牛顿—莱布尼兹公式的推广-计划书.
推广的牛顿莱布尼茨公式
推广的牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式是微积分中的重要公式，它能够将导数与积分联系起来，为我们解决许多数学问题提供了便利。
在本文中，我们将介绍牛顿莱布尼茨公式的推广及其应用。
让我们回顾一下牛顿莱布尼茨公式的原始形式。
牛顿莱布尼茨公式指出，如果函数F(x)在区间[a, b]上可导，并且它的导函数f(x)在[a, b]上连续，则有：∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)这个公式简洁而又实用，但它的适用范围有限。
在实际应用中，我们常常遇到更加复杂的情况，需要对不连续或不可导的函数进行积分。
这时，我们就需要推广牛顿莱布尼茨公式，以满足更广泛的需求。
我们可以考虑对不连续函数进行积分。
对于一个不连续函数，我们可以将其分解为多个连续函数的和或差。
然后，我们可以分别对每个连续函数应用牛顿莱布尼茨公式，再将结果相加或相减，即可得到整个函数的积分。
我们可以考虑对不可导函数进行积分。
对于一个不可导函数，我们可以通过拆分区间，将其拆分为多个可导函数的和或差。
然后，我们可以分别对每个可导函数应用牛顿莱布尼茨公式，再将结果相加或相减，即可得到整个函数的积分。
除了对不连续和不可导函数的积分，牛顿莱布尼茨公式还可以应用于一些特殊的函数。
例如，对于周期函数，我们可以通过将其分解为多个周期函数的和或差，并分别对每个周期函数应用牛顿莱布尼茨公式，再将结果相加或相减，来求解其积分。
牛顿莱布尼茨公式还可以应用于多重积分。
对于一个多元函数，我们可以先对其中的一个变量进行积分，然后对剩余的变量进行积分。
通过多次应用牛顿莱布尼茨公式，我们可以逐步求解多重积分。
牛顿莱布尼茨公式的推广不仅提供了解决更复杂数学问题的方法，还在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在物理学中，我们常常需要对速度、加速度等物理量进行求解，而这些物理量通常是通过对位移进行积分得到的。
牛顿莱布尼茨公式的推广为我们提供了解决这类问题的工具。
牛顿莱布尼茨公式是微积分中的重要公式，其推广形式能够解决更广泛的数学问题。
二重积分的牛顿莱布尼茨公式
二重积分的牛顿莱布尼茨公式《二重积分的牛顿莱布尼茨公式：深度与广度的探讨》引言在数学的世界里，积分是一种重要的运算方法，而二重积分则是其中的一种特殊形式。
在数学分析和实际问题中，二重积分扮演着至关重要的角色。
在本文中，我将与您一起探讨二重积分的牛顿莱布尼茨公式，深入挖掘其数学原理，并从不同角度对其进行分析，以期使您对这一重要概念有更为全面、深刻的理解。
一、牛顿莱布尼茨公式的定义与推导在数学中，牛顿莱布尼茨公式是积分学中的一条重要公式，它将积分与微分联系在了一起，为我们提供了一个便捷的方法来求解积分。
在一元函数积分的基础上，我们可以自然地将其推广到二元函数的情况下。
通过对二重积分概念的深入理解，并运用微积分的知识，我们可以得出二重积分的牛顿莱布尼茨公式。
牛顿莱布尼茨公式可以表述为：设$f(x,y)$是定义在闭区域$D$上的连续函数，$F(x)$表示$f$相对于$x$的不定积分，$G(y)$表示$f$相对于$y$的不定积分，则有$\iint_D \frac{\partial f}{\partial x}\,dx\,dy =\int_{x_0}^{x_1}F(x,y)\,dy = \int_{y_0}^{y_1}G(y,x)\,dx$其中，$\frac{\partial f}{\partial x}$表示$f(x,y)$相对于$x$的偏导数，$dx\,dy$表示面积元素，$[x_0, x_1]$和$[y_0, y_1]$分别为闭区域$D$在$x$和$y$方向上的投影。
推导牛顿莱布尼茨公式的过程并不复杂，通过对二重积分的定义和微分学的知识运用，我们可以得出上述结论。
这一过程包含了对积分学和微分学理论的深入运用，以及对函数性质的综合考量。
通过对公式的推导过程的深入理解，我们可以更好地把握其数学内涵。
二、牛顿莱布尼茨公式的深度解读通过公式的推导，我们已经初步了解了牛顿莱布尼茨公式的数学意义。
接下来，让我们进一步深入挖掘这一公式的内涵，探讨其在数学分析和实际问题中的应用。
牛顿布莱尼公式推导
1牛顿布莱尼茨公式牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.2牛顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很小时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)3牛顿布莱尼茨公式意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。
牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
牛顿-莱布尼茨公式
05
牛顿-莱布尼茨公式的扩展
变上限的牛顿-莱布尼茨公式
总结词
变上限的牛顿-莱布尼茨公式是针对积分上限变化的情况进行扩展的公式。
详细描述
当积分的上限是一个变量时，传统的牛顿-莱布尼茨公式不再适用。为了解决这 个问题，变上限的牛顿-莱布尼茨公式被引入，它允许积分上限在一定范围内变 化，从而更准确地计算定积分。
感谢观看
THANKS
04
牛顿-莱布尼茨公式的证明
利用不定积分证明
总结词
通过不定积分和原函数的概念，证明牛 顿-莱布尼茨公式。
VS
详细描述
首先，根据不定积分的定义，我们知道对 一个函数进行不定积分可以得到其原函数 。然后，利用不定积分的基本性质，我们 可以将一个定积分转化为不定积分的形式 。最后，通过计算不定积分的结果，得到 定积分的值，从而证明了牛顿-莱布尼茨 公式。
要点一
总结词
通过微积分基本定理，证明牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
详细描述
微积分基本定理指出，如果一个函数在闭区间上可积，那 么其定积分等于其在该区间上所有分割点的函数值的积分 和的极限。利用这个定理，我们可以将定积分转化为求和 的形式，其中每个项表示函数在某个分割点的函数值。通 过计算这些项的和的极限，可以得到定积分的值，从而证 明了牛顿-莱布尼茨公式。
原函数是指一个函数，其导数等于给定的函数。例如，对于函数f(x)=x^2，其原 函数为F(x)=x^3/3。
牛顿-莱布尼茨公式的重要性
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学 中的基本定理之一，它为计算定
积分提供了一种简便的方法。
通过使用牛顿-莱布尼茨公式， 我们可以将复杂的定积分问题转 化为求原函数的问题，从而简化
高阶牛顿莱布尼茨公式
高阶牛顿莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式，这可是微积分里的重要家伙！在咱们深入探讨高阶的牛顿-莱布尼茨公式之前，先让我跟您聊聊我之前遇到的一件小事。
有一次，我去参加一个数学爱好者的聚会。
在聚会上，大家都在热烈地讨论各种数学问题。
这时候，有个年轻人站出来，说他最近被牛顿-莱布尼茨公式搞得晕头转向。
大家纷纷表示理解，毕竟这可不是个简单的玩意儿。
咱们来说说这高阶牛顿-莱布尼茨公式啊。
它其实就是在普通的牛顿-莱布尼茨公式基础上，更上一层楼啦。
普通的牛顿-莱布尼茨公式用于计算定积分，就是把一个函数在某个区间上的面积给算出来。
那高阶的是啥样呢？简单来说，就是处理更复杂的函数和更高阶的导数。
比如说，如果一个函数的导数比较复杂，不是一次或者二次的那种简单形式，而是更高次的，这时候就得用上高阶的牛顿-莱布尼茨公式。
举个例子吧，假如有个函数 f(x) = x^3 + 2x^2 + 5x + 1，它的二阶导数是 6x + 4。
如果我们要计算这个函数在某个区间 [a, b] 上的积分，用普通的公式可能就有点费劲了。
但如果用上高阶的公式，就能更轻松地搞定。
您可能会问，这高阶的公式到底咋来的呢？其实啊，它是通过对普通公式的不断推导和拓展得到的。
就像盖房子，一层一层往上盖，越来越高，越来越复杂。
在学习高阶牛顿-莱布尼茨公式的时候，可别着急。
得一步一步来，先把基础打牢。
就像学走路，得先站稳了，才能跑起来。
很多同学一看到这高阶的公式，就觉得头大。
其实啊，只要多做几道题，多琢磨琢磨，就能找到其中的规律。
比如说，先把函数的高阶导数求出来，然后再根据公式进行计算。
我还记得有个学生，刚开始学的时候总是出错。
后来他静下心来，每天花时间练习，慢慢地就掌握了。
所以说，别被它的外表吓到，只要肯下功夫，没啥搞不定的。
再回到开头说的那个聚会，最后大家一起帮助那个年轻人理清了思路，他开心得不得了。
这也让我感觉到，数学的魅力就在于大家一起探讨，一起进步。
牛顿-莱布尼兹公式
牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula）通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系，牛顿-莱布尼茨公式的内容是：若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，则这即为牛顿-莱布尼茨公式牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式，因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式，牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。
内容是一个连续函数在区间[ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。
牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式， [2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。
[1] 因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
若函数f(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a) 这即为牛顿—莱布尼茨公式.牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.下面就是该公式的证明全过程：编辑本段对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：b∫a*f(x)dx 现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：Φ(x)= x∫a*f(x)dx 但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：Φ(x)= x∫a*f(t)dt编辑本段研究这个函数Φ(x）的性质：1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt,则Φ与格林公式和高斯公式的联系’(x)=f(x).证明：让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt 显然,x+Δx(上限)∫a （下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt 而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.) 当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x) 可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x).2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F （a）,F（x）是f(x)的原函数.证明：我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x）+C=F（x）但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a],故面积为0）,所以F（a）=C 于是有Φ(x）+F （a）=F（x）,当x=b时,Φ(b)=F（b)-F(a),而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt,所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a) 把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.例子：求由∫（下限为2,上限为y）e^tdt+∫（下限为o,上限为x）costdt=0所确定的隐函数y对x的导数dy/dx求1,∫（下限为-1,上限为1）(x-1)^3dx 2,求由∫（下限为0,上限为5）|1-x|dx 3,求由∫（下限为-2,上限为2）x√x^2dxe^(y)-e^(2)+sin(x)=0,y=ln(e^(2)-sin(x)),dy/dx=-cos(x)/(e^(2)-sin(x). 1).(x-1)^4/4|(-1,1)=(1-1))^4/4-(-1-1))^4/4=-4;2).∫（下限为0,上限为5）|1-x|dx=-∫（下限为0,上限为1）x-1dx+∫（下限为1,上限为5）x-1dx=-(x-1)^2/2|(0,1)+(x-1)^2/2|(1,5)=17/2; x√x^2是奇函数,所以∫（下限为-2,上限为2）x√x^2dx=0。
积分基本公式牛顿莱布尼茨公式推导
积分基本公式牛顿莱布尼茨公式推导
积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）推导
1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ’(x)=f(x)。
证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）
f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)?Δx(ξ在x与
x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。
)
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。
证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）
但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F（a）=C 于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a), 而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F （b)-F(a)
把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。
maple 牛顿-莱布尼茨公式
《探寻maple 牛顿-莱布尼茨公式》一、引言maple 牛顿-莱布尼茨公式，作为微积分中的经典公式，是描述求导和积分的关系的重要定理。
它由两位伟大的数学家牛顿和莱布尼茨分别独立发现，并且在实际应用和理论探讨中发挥着重要作用。
本文将从浅入深地探讨maple 牛顿-莱布尼茨公式，希望能为读者深入理解这一数学定理的内涵和应用。
二、maple 牛顿-莱布尼茨公式的基本概念1. maples 的概念在微积分中，maple 是代表一个函数的导数。
它描述了函数在某一点的瞬时变化率，是微积分中非常重要的概念之一。
2. 牛顿-莱布尼茨公式的表达maple 牛顿-莱布尼茨公式由以下表达式所描述：∫(a, b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，∫代表积分，f(x)是函数，F(x)是f(x)的不定积分函数，a和b是积分的上下限。
三、maple 牛顿-莱布尼茨公式的探讨1. 证明方法maple 牛顿-莱布尼茨公式的证明可以通过利用极限的性质，结合微分学和积分学的知识进行推导。
基于导数和积分的定义，可以清晰地展示maple 牛顿-莱布尼茨公式的成立过程。
2. 函数的连续性和可导性maple 牛顿-莱布尼茨公式适用于连续函数和可导函数。
在进行积分操作时，对函数连续性和可导性的要求是必不可少的。
3. 应用场景maple 牛顿-莱布尼茨公式在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
在物理学中，可以利用maple 牛顿-莱布尼茨公式求解曲线下的面积和质心等问题。
四、个人理解和观点作为一名数学爱好者，我深刻理解maple 牛顿-莱布尼茨公式的重要性和美妙之处。
它不仅揭示了导数和积分之间的奇妙关系，还为我们解决实际问题提供了强大的工具。
maple 牛顿-莱布尼茨公式的深入理解不仅有助于提高数学水平，还能拓展思维，对于培养逻辑思维和解决实际问题具有重要意义。
五、总结本文从maple 牛顿-莱布尼茨公式的基本概念出发，深入探讨了其证明方法、适用条件和应用场景，同时结合个人观点和理解进行了阐述。
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（1） 在 上连续；
（2） 内除有有限个点外 恒成立，则有
。
进一步，巩子坤在文献[4]牛顿—莱布尼兹公式的再推广中再一次弱化了牛顿-莱布尼兹公式的条件。
定理4[4]函数 在闭区间 上可积，若存在函数 满足条件
（1）
（2）在 内除点集；
外，均有 则
。
五、参考文献（不少于10篇）
[1]华东师范大学数学系.数学分析上、下册[M].北京:高等教育出版社, 2003.
[2]陈启娴.牛顿—莱布尼兹公式应用范围的推广[J].西华大学学报, 2005, (24): 78-80.
[3]汤泽莹,周敏,邓小妮.对牛顿—莱布尼兹公式的一点认[J].数学理论与应用, 1999, (19): 46-48.
[10]菲赫尔金戈尔茨.微积分学教程:第二卷第一分册.北京:人民教育出版社, 1956.
六、尚需解决的问题
搜集更多的资料，使牛顿—莱布尼兹公式的推广和应用更系统更全面。
七、指导教师意见
指导教师签名：
年月日
事实上，我们可以对公式的条件进行弱化，从而对其应用范围进行推广。陈启娴在牛顿—莱布尼兹公式应用范围的推广中得出了下面的结论，并给出了证明。
定理2[2]函数 在 闭区间上可积，若存在函数 使得
（1） 在 上连续；
（2） 在 内可导，且 ，则有
。
事实上还能进一步放宽牛顿—莱布尼兹成立的条件。文献[2]中对牛顿—莱布尼兹公式进行了进一步的推广。
国内外研究现状、水平与发展趋势：
牛顿-莱布尼兹公式是微积分学的一个极其重要的基本公式。它的应用相当广泛。为了便于对照原定理讨论牛顿-莱布尼兹公式应用范围的推广,现将文献[1]中的定理叙述如下:
定理1[1] 在 上连续，且存在原函数 ， ， ，则 在 上可积，且
（1）
在（1）式定理中，函数 在闭区间 上连续是牛顿-莱布尼兹公式成立的一个重要条件。然而， 在闭区间 上连续只是定积分存在的充分而非必要条件。那么，当定积分存在而函数 并不在闭区间 上连续时，牛顿-莱布尼兹公式又是否成立呢？
[4]巩子坤.牛顿—莱布尼兹公式的再推广[J].洛阳大学学报, 1999, 14 (2): 16-18.
[5]李信明.牛顿—莱布尼兹公式的推广[J].潍坊学院学报, 2001, (1) : 23-24.
[6]张若峰.牛顿—莱布尼兹公式在平面曲线积分和空间曲线积分中的应用[J].河西学院学报, 2004, (20): 8-9.
。
定理6[5]设 为单连通区域， 上具有连续的一阶偏导数， 为 上的一个原函数， 、 为 内的任意两点，则对连接 与 的任意一条光滑曲线 上的积分
。
张若峰在文献[6]指出虽然从牛顿—莱布尼兹公式的表面看，该公式反映的是一元函数积分与微分之间的基本关系，但事实上整个微积分上都是微分与积分的关系。总而言之，牛顿—莱布尼兹公式是整个微积分的基本定理，是微积分理论的基础。推广后的牛顿-莱布尼兹公式有了更广泛的应用。
目的意义：
微积分是广泛应用于自然科学各个领域的基本数学工具，微积分的创立极大的推动了人类的文明进程。牛顿—莱布尼兹公式是微积分学中一个极其重要的基本公式，它揭示了函数的定积分与不定积分之间的内在联系，利用它可将定积分的计算问题转化为原函数的计算问题。由于它的重要性，人们又称它为“微积分基本定理”。对于每一个学习微积分的人来说，都应该对牛顿—莱布尼兹公式建立的历史有所了解，从而进一步加深对该公式的理解。但由于该公式的条件比较强，影响了它的应用。通过对牛顿—莱布尼兹公式的研究，弱化其条件可以扩大它的应用范围，因此研究牛顿—莱布尼兹公式及其推广是很有必德民族师专学报, 1995, 15 (2): 18-23.
[8]马保国.微积分中值定理研究[M].北京：中国教育出版社, 2006.
[9]张若峰.牛顿—莱布尼兹公式在平面曲线积分和空间曲线积分中的应用[J].河西学院学报, 2004, (20): 8-9.
三、研究内容
1、介绍了几种通过将牛顿—莱布尼兹条件的弱化给出了牛顿—莱布尼兹的推广的形式。
2、对比上述几种牛顿—莱布尼兹的推广，得出推广后的牛顿—莱布尼兹公式在求解数学问题中有更广泛的应用的结论。
四、特色与创新
已有的参考文献中通常有牛顿—莱布尼兹公式的一种或几种推广形式，而本文对牛顿—莱布尼兹公式的推广进行了整理，总结。使大家对牛顿—莱布尼兹应用范围的推广有了更系统的认识，增加了该公式的实用性。
通常牛顿—莱布尼兹公式只适用于定积分，而对于多元函数积分的计算，则是将其化为定积分来进行。事实上，在一定条件下，可以建立多元函数的牛顿—莱布尼兹公式。
文献[5]中，李信明给出了二重积分和与路径无关的曲线积分上的牛顿—莱布尼兹公式，使其应用范围得到了进一步的推广，加大了它的实用性。
定理5[5]设 在矩阵区域 上连续， 为 的一个原函数，则
河北科技师范学院
本科科研技能训练计划书
牛顿莱布-尼兹公式的推广
院（系、部）名称：数学与信息科技学院
专业名称：数学与应用数学专业
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学生学号：**********
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2016年6月3日
数学与信息科技学院制
一、题目来源：自选
二、主要依据（目的意义，国内外研究现状、水平与发展趋势）