牛顿-莱布尼茨公式的详细证明

牛顿—莱布尼茨公式
● 前言
此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。

公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。

证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。

所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字)
● 定积分性质的证明
首先给出定积分的定义：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间
[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间∆x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。

由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为∆S i =f(εi ) ∆x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限
即： 性质1：证明⎰b
a
c dx = C(b-a)，其中C 为常数.
几何上这就是矩形的面积
性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数.
设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K
1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=∆=-+-++-=-=-∑⎰0()()()
()()()()()0
()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x
∆→''=='''∴=-=-=+∆-'∴==∆Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==∆∑
⎰
即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ∆|为半径的区间,使得K(x+x ∆)=K(x)
∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线
即: F(x)-G(x)=C
性质3：如果f(x)≤g(x),则
设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0.
即
相关定理的证明
介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x ∈[a,b],取m 为f(x)的最小值,M 为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m ,M 的数C,至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=C
证明：
运用零点定理:
设f(x)在[a,b]上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=0
设x1,x2∈[a,b],且x1<x2,f(x1)=m,f(x2)=M,g(x)=f(x)-C,其中m<C<M
则：g(x1)=f(x1)-C<0 g(x2)=f(x2)-C>0
即: g(x1)*g(x2)<0 由零点定理得，至少存在一点ε∈(x1,x2),有
g(ε)=0= f(ε)-C => f(ε)=C
Ps: 在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定理，在几何上有明显 的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0（在x 轴上方），一个小于
0(在x 轴下方)，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x 轴有一个交点。

严格的证明这里就不了，其实我也不太懂，有兴趣的可以上网查查.
()()b b a a f x dx g x dx ≤⎰⎰1()lim ()0n b i i a n i k x dx k x ε→∞==∆≤∑⎰Q ()[()()]()()0b b b b a a a a k x dx f x g x dx f x dx g x dx =-=-≤⎰⎰⎰⎰
()()b b a a f x dx g x dx ∴≤⎰⎰
积分中值定理: 若函数 f(x)在区间[a, b]上连续,，则在区间 [a, b]上至少 存在一个点ε∈(a,b),有
几何意义:曲线所围成的面积总有一个以积分区间为长的矩形面积与之相等
设f(x)在区间[a, b]的最大值为M ，最小值为m ，即：m ≤f(x)≤M
由介值定理：在区间 [a, b]上至少存在一个点ε∈(a,b)，有
积分上限函数(变上限的定积分)的定义
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分 的值由区间[a,b]与 f(x)决定，与积分变量的记号x 无关，因此可以记为 而对于积分 ，当x ∈[a,b]时，都会有一个由积分 所确定的值与之对应，因此积分 是上限x 的函数.记为：
下面证明
显然，我们好自然会从左边证起，因为我们要运用φ(x)的定义，用到导数的定义，更重要的是，因为我们要落笔，而不是呆呆的看。

(因为有的人是在看，有的人是在观察，这明显存在很大的差别) ()()()b a f x dx f b a ε=-⎰()()()()()b b b a a a b a b a mdx f x dx Mdx m b a f x dx M b a f x dx m M b a ∴≤≤⇒-≤≤-⇒≤≤-⎰⎰⎰⎰⎰()()b a f x dx f b a ε=-⎰
()b a f x dx ⎰()b a f t dt ⎰()x a f t dt ⎰()x a f t dt ⎰()x a f t dt ⎰()()x a
x f t dt ϕ=⎰()()
x f x ϕ'=
由积分中值定理，有：
(其中ε是在x 与x+∆x 之间)
这就是你想看到的，显然，当∆x->0时，ε->x
通往真相的最后一步
证明:
设F(x)为f(x)的原函数
由性质2：f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数C,有
相信你以后用它的时候会更加坚定，更加自然. End. ()00()()()()lim lim x x x a
a x x f t dt f t dt x x x x x x
ϕϕϕ+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰Q 00()()()lim lim a x x x x x a x x x f t dt f t dt f t dt x x +∆+∆∆→∆→+==∆∆⎰⎰⎰()()x x x f t dt f x ε+∆=∆⎰000()()()lim lim lim ()x x x x x x f t dt f x x f x x εϕε+∆∆→∆→∆→∆'∴===∆∆⎰
0()lim ()()x x f f x ϕε∆→'∴==()()()b a f x dx F b F a =-⎰()()x a x f t dt ϕ= ⎰Q 也是f(x)的一个原函数()()F x x C ϕ=+()()()()F b b C F a a C
ϕϕ=+ =+Q ()()()()()()b a a a F b F a b a f t dt f t dt ϕϕ∴-=-=-⎰⎰()0()()()a b b b a a a a f t dt f t dt f t dt f x dx
= , ⇒=⎰⎰⎰⎰与积分变量无关而()()()b a F b F a f x dx ∴-=⎰。