牛顿-莱布尼茨公式
牛顿—莱布尼兹公式
1 不难看出，其中的和式是函数 f ( x ) 在区间 1 x 上的一个积分和（这里所取的是等分分割）， [0 ,1]
1 1 J lim i n 1 i 1 n n
n
1 i i 1 i x i , i [ , ], i 1,2, , n n n n n
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为
b a
f ( x )dx F ( x ) a F (b) F (a )
。
b
证： 由定积分定义，任给 0 ，要证存在 0,
当 || T || 时，有|
f ( )x [F (b) F (a)]|
1 dx J ln(1 x ) |0 ln 2 所以： 0 1 x 1
1 注：也可以把J看作 f ( x ) 在 [1 , 2] 上的定积分， x
同样有： J
2 1
3 dx dx ln 2 2 x 1 x
例 3 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
i 1
n
x ba
i 1
n
i
所以 f 在[a, b] 上可积，且有公式成立
F ( x ) 可由积分 注1 ：在应用牛顿-莱布尼茨公式时， 法求得。 注2： 定理条件尚可削减，例如： 1）对F 的要求可削减为：在 [a, b]上连续，在 [a, b] 内可导，且 F ( x ) f ( x ), x [a , b] 2）对 f 的要求可削减为：在 [a, b] 上可积。这 时（2）式仍成立，且由 f 在 [a, b]上可积，
牛顿莱布尼公式
牛顿莱布尼公式牛顿 - 莱布尼茨公式学习资料。
一、公式内容。
1. 公式表达式。
- 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，那么∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)。
- 这里F(x)满足F^′(x)=f(x)。
例如，对于函数f(x) = 2x，其一个原函数F(x)=x^2，那么∫_1^22xdx=x^2big_1^2=2^2 - 1^2=3。
二、公式的意义。
1. 计算定积分的有力工具。
- 在牛顿 - 莱布尼茨公式出现之前，计算定积分是非常复杂的事情。
例如，对于∫_a^bx^2dx，如果按照定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）来计算，过程十分繁琐。
而牛顿 - 莱布尼茨公式将定积分的计算转化为求原函数在区间端点的值的差，大大简化了定积分的计算过程。
2. 建立了导数与定积分之间的联系。
- 导数表示函数的变化率，定积分表示函数在区间上的累积效应。
牛顿 - 莱布尼茨公式表明这两种看似不同的概念实际上有着紧密的联系。
它是微积分基本定理的重要组成部分，体现了微分和积分这一对矛盾的相互转化关系。
三、公式的使用条件。
1. 函数的连续性。
- 函数f(x)在区间[a,b]上必须连续。
如果函数在区间内有间断点，那么直接使用牛顿 - 莱布尼茨公式可能会得到错误的结果。
例如，对于函数f(x)=(1)/(x)在区间[ - 1,1]上，x = 0是其间断点，不能直接用牛顿 - 莱布尼茨公式计算∫_-1^1(1)/(x)dx。
2. 原函数的存在性。
- 需要找到f(x)在区间[a,b]上的一个原函数F(x)。
有些函数的原函数不能用初等函数表示，如f(x)=e^-x^{2}，虽然它在任何区间[a,b]上连续，但它的原函数不能用我们常见的初等函数表示，这就给使用牛顿 - 莱布尼茨公式带来了一定的困难。
我们可以用数值方法或者其他特殊的函数表示方法来处理这类问题。
四、公式的证明（简单理解）1. 从定积分的定义出发。
广义牛顿莱布尼兹公式
广义牛顿莱布尼兹公式
广义牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的一个重要定理，用于计算
函数的定积分。
该公式描述了函数积分与函数原函数之间的关系。
具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且存在原函数
F(x)，则广义牛顿-莱布尼兹公式表述如下：
∫[a, b] f(x) dx = F(b) F(a)。
这个公式的意义在于，如果一个函数在某个区间上存在原函数，那么该函数在该区间上的定积分就可以通过求原函数在区间端点处
的函数值之差来计算。
这个公式的证明可以通过微积分的基本定义和导数的基本性质
进行推导。
通过将定积分转化为求导的逆运算，可以得到广义牛顿-
莱布尼兹公式。
需要注意的是，广义牛顿-莱布尼兹公式只适用于连续函数，并
且要求函数在积分区间上存在原函数。
对于不连续的函数或者在积
分区间上不存在原函数的函数，该公式不成立。
此外，广义牛顿-莱布尼兹公式还可以推广到多维情况。
对于多
元函数的定积分，我们可以类似地使用原函数的概念来计算。
总结起来，广义牛顿-莱布尼兹公式是微积分中一个重要的公式，用于计算函数的定积分。
它表达了函数积分与函数原函数之间的关系，为我们简化定积分的计算提供了便利。
牛顿莱布尼茨公式与积分运算
牛顿莱布尼茨公式与积分运算知识点：牛顿-莱布尼茨公式与积分运算一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的表述，它建立了微分学与积分学之间的联系。
公式如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间(a, b)内可导，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫(from a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数，即F’(x) = f(x)。
二、积分运算的基本性质1.线性性质：设f(x)和g(x)是两个可积函数，α和β是两个常数，则有：∫(from a to b) (αf(x) + βg(x))dx = α∫(from a to b) f(x)dx + β∫(from a to b) g(x)dx2.保号性：如果f(x)在区间[a, b]上非负（非正），则∫(from a to b)f(x)dx非负（非正）。
3.可加性：如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，且它们的区间分界点相同，那么：∫(from a to b) f(x)dx + ∫(from a to b) g(x)dx = ∫(from a to b) (f(x) + g(x))dx4.换元积分法：设 Integration variable change : x = g(t)，dx = g’(t)dt，则有：∫(from a to b) f(x)dx = ∫(from g(a) to g(b)) f(g(t))g’(t)dt三、积分运算的基本公式1.幂函数的积分公式：∫(from a to b) x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为积分常数。
2.指数函数的积分公式：∫(fro m a to b) e^x dx = e^x + C。
3.对数函数的积分公式：∫(from a to b) ln|x| dx = ln|x| + C。
高等数学牛顿—莱布尼茨公式
( x) f (t ) d t
a
x
在区间 [a, b] 上可导， 并且它的导数等于被积函数， 即
( x) f ( x) d x 或 f (t ) d t f ( x) dx a
定理2 (原函数存在定理）如果f ( x)在闭区间[a , b]上连续
y
则( x) f (t ) d t
b
b
a
பைடு நூலகம்
f ( x)dx F ( x) a F (b) F (a).
“Newton—Leibniz公式”
b
例3
计算下列定积分.
1 (1) d x; 2 0 1 x
1
(2) sin x dx.
3 0
解
1 1 (1) dx arctan x 0 2 0 1 x
1
arctan 1 arctan 0 ; 4
6.3
1
牛顿——莱布尼茨公式
.
变上限的定积分
2. 牛顿——莱布尼茨公式公 式
1. 变上限的定积分
如果 x 是区间 [a, b]上任意一点，定积分 x a f (t )dt 表示曲线 y = f (x) 在部分区间 [a, x] 上曲边梯形 AaxC 的面积， 如图中阴影部分所示的面积 . 当 x 在 y B 区间 [a, b] 上变化时, y = f (x) 阴影部分的曲边梯形面 C A 积也随之变化，所 以 变 F(x) 上限定积分 x f (t )dt
(2) sin x dx
3 0
cos x
3 0
1 1 cos ( cos 0) 1 2 2 3
例4. 计算
例5. 计算
莱布尼茨公式与牛顿莱布尼茨公式的区别与联系
莱布尼茨公式与牛顿莱布尼茨公式的区别与联系莱布尼茨公式与牛顿-莱布尼茨公式是微积分领域中两个重要的公式，它们在求解导数和积分问题时发挥着关键作用。
本文将探讨莱布尼茨公式与牛顿-莱布尼茨公式的区别与联系。
一、莱布尼茨公式莱布尼茨公式是由德国数学家莱布尼茨于17世纪提出的，它描述了求解函数导数的方法。
莱布尼茨公式可以用下面的形式表示：\[ \frac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x}f(t)dt \right)=f(x) \]其中，f(x)是在区间[a,x]上的一个连续函数。
莱布尼茨公式表示了求函数导数的一个重要性质，即函数的导数等于积分函数的导数。
莱布尼茨公式的应用范围广泛，它常被用于求解复杂函数的导数、计算曲线的斜率以及解决微分方程等问题。
通过莱布尼茨公式，我们可以简单而直接地求解导数，而不需要通过极限定义进行推导。
二、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是由牛顿和莱布尼茨共同发现和建立的，它描述了求解函数积分的方法。
牛顿-莱布尼茨公式可以用下面的形式表示：\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a) \]其中，F(x)是f(x)的一个原函数。
牛顿-莱布尼茨公式表示了求函数积分的一个重要性质，即函数的积分等于积分函数在积分区间端点处的值之差。
牛顿-莱布尼茨公式的应用也非常广泛，它不仅可以用于计算确定积分，还可以解决曲线下面积、求解定积分的应用问题等。
与莱布尼茨公式相比，牛顿-莱布尼茨公式用于计算函数的积分，是莱布尼茨公式的一种特殊情况。
三、莱布尼茨公式与牛顿-莱布尼茨公式的区别1. 表达形式不同：- 莱布尼茨公式以函数的导数形式出现，描述了函数导数和积分之间的关系；- 牛顿-莱布尼茨公式以函数的积分形式出现，描述了函数积分和原函数之间的关系。
2. 作用领域不同：- 莱布尼茨公式常被用于求解函数的导数、计算曲线斜率和解决微分方程等；- 牛顿-莱布尼茨公式常被用于计算函数的积分和解决曲线下面积、求解定积分的应用问题等。
牛顿-莱布尼茨公式
• 牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也 被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函 数或者不定积分之间的联系。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增 量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了 这一公式，[2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了 这一公式。[1] 因为二者最早发现了这一公式，于是命名 为牛顿-莱布尼茨公式。
原函数存在定理
• 原函数是指已知函数f(x)是一个定义在某区间的函 数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的 任一点都 举例dF(x)=f(x)dx。 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
原函数的定义
• 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存 在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 • 若F'(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函 数F(x)为函数f(x)的原函数。 • 例：sinx是cosx的原函数。
公式应用
• 牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可 以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围 成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算 坝体的填筑方量。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运 动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的 万有引力。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式 在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支 中都有体现。
不等式证明
• 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当 积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据 被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到 证明不等式成立的目的。 • 在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便 去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用 积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运 用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本 不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可 以得到“>”的结论, 或者成功的算中, 如果 含有定积分式, 常常可以运用 定积分的相关知识, 比如积分 中值定理等, 把积分
牛顿布莱尼公式推导
1牛顿布莱尼茨公式牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.2牛顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很小时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)3牛顿布莱尼茨公式意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。
牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
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牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。
若f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个在[a,b]上的原函数，则 ∫a b f(x)dx=F(b)-F(a)
这个公式叫做牛顿—莱布尼茨公式。
定积分式
如果我们把中的积分区间的上限作为一个变量x，这样我们就定义了一个新的函数： 但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。
为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：
2 Φ性质
1、定义函数，则
与格林公式和高斯公式的联系。
证明：让函数 获得增量，则对应的函数增量
显然，
而
（ξ在x与x+Δx之间，可由积分中值定理推得）
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x），故有
可见这也是导数的定义，所以最后得出 。
2、，F(x)是f(x)的原函数。
证明：我们已证得
，故
但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F(a)=C
于是有Φ(x)+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ(b) = F(b) - F(a),而
，所以
把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。
相关人物
牛顿
牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。
他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。
牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。
莱布尼茨
德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。
就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。
它已含有现代的微分符号和基本微分法则。
1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。
他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。
我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。