《数学分析》2第一章实数集与函数---§1.实数
01实数集与函数
第一章实数集与函数第一节：实数说明：数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数一、实数及其性质1、实数的定义,(0,,)p q p q q ⎧⎧≠∈N ⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩有理数实数有限十进小数，或无限十进循环小数无理数：无限十进不循环小数2、实数的表示为以后需要，将有限小数（整数）表示为无限小数①正有限小数的表示令，其中（非负012.n x a a a a = 009,1,,,0,i n a i n a a +≤≤=≠∈N 整数）则记，如，若0121.999n x a a a a -= 1.25 1.24999x x =⇒= 为正整数时，记0x a =，如0(1).999x a =- 3 2.999x x =⇒= ②负有限小数的表示设为负有限小数，先将按①表示为有限小数，再加上负号，如y y -5.36 5.35999y y =-⇒=- ③零的表示规定00.000= 3、实数的比较① 非负实数的比较定义1：设，其中为非012.,n x a a a a = 012.n y b b b b = 00,a b负整数，为整数，,(1,2,)k k a b k = 0,9k k a b ≤≤ⅰ、，若x y =,0,1,2,k k a b k == ⅱ、，若，或x y >00a b >11,..,(0,1,2,,),k k l l l s t a b k l a b ++∃==> ② 负实数的比较ⅰ、，若x y =x y -=-ⅱ、，若x y <x y ->-③ 自然规律：非负实数>负实数④用有限小数比较实数大小ⅰ、非负实数的位不足（过剩）近似n 定义2：设为非负实数，称有理数012.,n x a a a a = 为实数的位不足近似；称有理数实数012.n n x a a a a = x n 110n n nx x =+的位过剩近似，，如，3位不足近似为x n 0,1,2,n = 3.2157x = ，3位过剩近似为3.215x = 3.216x =ⅱ、负实数的位不足（过剩）近似n 设负实数，则012.n x a a a a =- 位不足近似为，位过剩近似为n 0121.10n n n x a a a a =-- n 012.n nx a a a a =- 命题：设与为两个实数，则012.,n x a a a a = 012.n y b b b b = 非负整数，使得x y >⇔∃n n nx y >4、实数的性质实数集{|}R x x =为实数主要性质：性质2、实数集是有序的。
数学分析(考研必看)
数学分析第一章实数集与函数§1.实数一、 实数及其性质1. 实数的定义：实数，是有理数和无理数的总称。
2. 实数的六大性质：①（四则运算封闭性）：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算封闭，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。
②（有序性）：实数集是有序的，即任意两个实数a, b 必满足以下三种关系之一：a<b 、a=b 、a>b 。
③（传递性）：实数的大小关系具有传递性，即若a>b, b>c 则a>c 。
④（阿基米德性）：实数具有阿基米德性，即对任何a, b ∈R, 若b>a>0,则存在正整数na>b.⑤(稠密性)：实数集R 具有稠密性，即任意两个不相等的实数之间必有另外一个实数，且既有有理数也有无理数。
⑥实数集R 与数轴上点一一对应。
二、 绝对值与不等式1. 实数绝对值的性质： ①0;00a a a a =-≥==当且仅当时有 ②-a a a ≤≤ ③;a h h a h a h h a h <<=>-<<≤<=>-≤≤ ④a b a b a b -≤±≤+三角不等式⑤ab a b = ⑥(0)a a b b b=≠ §2数集·确界原理一、 区间与邻域1. 有限区间：开区间：{}x a x b <<记作(),a b ；闭区间：{}x a x b ≤≤记作[],a b ；半开半闭区间：{}x a x b ≤<记作[),a b ，{}x a x b <≤记作(],a b无限区间：(]{},a x a -∞=≤，(){},a x x a -∞=≤，(){},a x x a +∞=>，(){},x x R -∞+∞=-∞<<+∞=2. 邻域：设a R ∈,0>,满足绝对值不等式x a -<的全体实数x 的集合称为点a 的邻域，记作();U a 或写作()U a ，即有(){}();,U a x x a a a =-<=-+。
实数集与函数
1. 定义(反函数)(P13)
设函数 y f ( x), x D 满足 : 对值域 f ( D) 中的每一个值 y, D 中有且仅有一个值 x 使得 f ( x) y, 则按此对应法则得到一 个 定义在 f ( D) 上的函数 , 称这个函数为 f 的反函数 , 记作
f 1 : f ( D) D, yx
2) y x , s t 2 ;
x 3) f ( x) 1, g ( x) . x
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§3.函数概念 一. 函数的定义 2.几点说明
(1)自变量 (independen t variable )与因变量 (dependentvariable )(P10); (2)函数的表示方法 ;
(3)函数的定义域(即存在域);
2. 定义(复合函数)(P12)
例1(P12) 设 y f (u),u g ( x) 1 x2 , 求复合函数 f g ( x).
19
§3.函数概念 二. 函数的运算 II.函数的复合运算---复合函数
2. 定义(复合函数)(P12)
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§3.函数概念 二. 函数的运算 II.函数的复合运算---复合函数
(3)函数的定义域(即存在域);
(4)函数的基本要素;
(5)函数的象与原象(P11); (6)单值函数与多值函数(P11); (7) 函数的图形 [思考题] (1) 从函数的图形上看,单值函数与多值函数的区别何在?
(2) 试画出绝对函数,符号函数,取整函数,Dirichlet函数与Riemann 12 函数(P211)的草图.
(i) 分段函数:在定义域不同部分用不同数学式子表示的函数 (ii)用语言表示的函数
3) 定义在[0,1] 上的黎曼函数 (Riemann 函数) 1 p p p, q N , 为既约真分数 , 当x R( x) q q q 0, 当x 0,1和(0,1)内的无理数 .确
最新数学分析知识点最全汇总
第一章实数集与函数§1实数授课章节：第一章实数集与函数—-§1实数教学目的:使学生掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法:讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始,我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先,从大家都较为熟悉的实数和函数开始．［问题］为什么从“实数"开始．答:《数学分析》研究的基本对象是函数,但这里的“函数”是定义在“实数集”上的(后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此,我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质1、实数(,q p q p ⎧≠⎪⎪⎨⎪⎪⎩有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q 0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示.{}|R x x =为实数--全体实数的集合．［问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要,我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： ,n a ,,n n a ≠1(1)9999n n aa --0,a =则记；对于负有限小数，则先将y -表示为无限小数,现在所得的小数之前加负0.0000例： 2.001 2.0009999→；利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义1给定两个非负实数01.n x a a a =，01.n y b b b =。
其3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-；；中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,0,1,2,k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =;若00a b >或存在非负整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l ==,而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-,则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较)．定义2（不足近似与过剩近似）：01.n x a a a =为非负实数,称有理数01.n n x a a a =为实数x 的n 位不足近似;110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似,0,1,2,n =。
第一章实数集及函数
第一章 实数集与函数（10学时）§１．实数教学目的：使学生把握实数的大体性质．教学重点：（１）明白得并熟练运用实数的有序性、浓密性和封锁性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质和几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方式：教学．（部份内容自学）教学程序：引言上节课中，咱们与大伙儿一起探讨了《分析》这门旅程的研究对象、要紧内容等话题．从本节课开始，咱们就大体依照教材顺序给大伙儿介绍这门课程的要紧内容．第一，从大伙儿都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 什么缘故从“实数”开始．答：《数学分析》研究的大体对象是函数，但那个地址的“函数”是概念在“实数集”上的（《复变函数》研究的是概念在复数集上的函数）．为此，咱们要先了解一下实数的有关性质．一 实数及其性质 １、实数(,q p q p ⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，咱们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无穷小数”．为此作如下规定： ,n a 其,,n n a ≠19999n a -；关于正整数0,x a =1).9999；关于负有限小数（包括负整，那么先将y -表示为无穷小数，此刻所得的小数之前加负号．０＝0.0000例：2.001 2.0009999→3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确信的无穷小数来表示．但新的问题又显现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1） 概念１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．假设有,1,2,k k a b k ==，那么称x 与y 相等，记为x y =；假设00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，那么称x 大于y 或y 小于x ，别离记为x y >或y x <．关于负实数x 、y ，假设按上述规定别离有x y -=-或x y ->-，那么别离称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．概念２（不足近似与多余近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位多余近似；关于实数01nx a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位多余近似01n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤ 多余近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥．命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，那么x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位多余近似）．命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，知足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，那么r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数经常使用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．● 封锁性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四那么运算是封锁的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必知足以下关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 浓密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：假设对任何正数ε，有a b ε<+，那么a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二 、绝对值与不等式（分析论证的大体工具）．１．绝对值的概念实数a 的绝对值的概念为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 确实是点a 到原点的距离．熟悉到这一点超级有效，与此相应，||x a - 表示确实是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）． ［练习］Ｐ４． ５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生把握确界原理，成立起实数确界的清楚概念。
数学分析课后答案
第一章 实数集与函数§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明：⑴x a +是无理数.⑵当0≠a 时，ax 是无理数.证： ⑴ 假设x a +是有理数，则x a x a =-+)(是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾， 故x a +是无理数.⑵假设ax 是有理数，则x aax =为有理数，这与题设x 为无理数相矛盾 故ax 是无理数.1、 试在数轴上表示出下列不等式的解：⑴ 0)1(2>-x x ；⑵⑶2、 设a 、R b ∈.证明：若对任何正数ε有ε<-b a ，则b a =.证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <;若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a -=-.令b a -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-b a b a 矛盾;若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a -=-.令a b -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-a b b a 矛盾;从而必有b a =.3、 设0≠x ,证明21≥+xx ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x1同号,从而21211=⋅≥+=+x x x x x x , 等号当且仅当x x 1=,即1±=x 时成立.4、 证明:对任何R x ∈,有⑴ 121≥-+-x x ；⑵2321≥-+-+-x x x证: ⑴因为21111-=+-≤--x x x , 所以121≥-+-x x . ⑵因为21132-+-≤-≤--x x x x , 所以2321≥-+-+-x x x5、 设a 、b 、+∈R c (+R 表示全体正实数的集合),证明:c b c a b a -≤+-+2222 证:对任意的正实数a 、b 、c 有)(22222c b a bc a +≤,两端同时加244c b a +,有224222222242c b a c a b a bc a c b a +++≤++, 即))(()(222222c a b a bc a ++≤+ bc c a b a a 2))((2222222-≤++-,两端再同加22c b +,则有c b c a b a -≤+-+2222其几何意义为:当c b ≠时,以),(b a ,),(c a ,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边.当c b =时,此三角形变为以),(c a ,)0,0(为端点的线段,此时等号成立6、 设0,0>>b x ,且b a ≠,证明x b x a ++介于1与b a 之间. 证:因为x b a b x b x a +-=++-1,)()(x b b a b x b a x b x a +-=-++,且0,0>>b x 所以当b a >时, ba xb x a <++<1; 当b a <时, 1<++<xb x a b a ; 故x b x a ++总介于1与b a 之间.7、 设p 为正整数,证明:若p 不是完全平方数,则p 是无理数 证:假设p 是有理数,则存在正整数m 、n 使n m p =，且m 与n 互素. 于是22m p n =.可见n 能整除2m .由于m 与n 互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u 、v 使1=+nv mu .从而m mnv u m =+2因n 能整除2m ,又能整除mnv ,故能整除其和,于是n 可整除m ,这样1=n 因此2m p =.这与p 不是完全平方数相矛盾, 故p 是无理数8、 设a 与b 为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：⑴ b x a x -<-；⑵b x a x -<-；⑶b a x <-2. 解: ⑴原不等式等价于11<---bx b a 这又等价于20<--<b x b a 即⎩⎨⎧-<-<>b x b a b x 220或⎩⎨⎧->-><b x b a b x 220 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>>b a b a x b x 2或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<<ba b a x b x 2 故当b a >时,不等式的解为2b a x +> 当b a <时,不等式的解为2b a x +< 当b a =时,不等式无解.⑵原不等式等价于⎩⎨⎧-<->b x a x b x 且⎩⎨⎧-<->b x x a b x 即⎩⎨⎧>>b a b x 且⎪⎩⎪⎨⎧+>>2b a x b x 故当b a >时,21b x +>; 当b a ≤时,不等式无解.⑶当0≤b 时,显然原不等式无解,当0>b 时原不等式等价于b a x b a +<<-2 因此①当0≤+b a 或0≤b 时,无解 ②当0>+b a 且0>b 时,有解Ⅰ 如果b a ≥,则解为b a x b a +<<- 即b a x b a +<<-或b a x b a +>>--Ⅱ 如果b a <,则解为b a x +< 即b a x b a +<<+-。
数学分析第一章
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设
k
是满足
k n
a
的最大的正整数，即
k +1 n
> a.
于是, a < k + 1 < k + 2 < b, 则 k + 1, k + 2 是
nn
nn
a 与 b 之间的有理数, 而 k + 1 + π 是 a 与 b 之间 n 4n
的无理数.
例2 若a,b R,对 > 0，a < b + ，则 a b.
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c,则有
a>c.
4.实数具有阿基米德性 , 即对任何 a, b R, 若 b > a > 0
则存在正整数 n, 使得na > b.
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必 有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.
6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数 都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯 一的代表一个实数.
证 倘若a > b，设 a b > 0, 则 a b + ,
与 a < b + 矛盾.
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（6）实数与数轴上的点一一对应
实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系.
1. 这种对应关系，粗略地可这样描述： 设 P 是数轴上的一点 (不妨设在 0的右边), 若 P 在 整数 n与 n + 1之间，则 a0 n. 把(n, n + 1]十等分, 若点 P 在第 i 个区间，则 a1 i. 类似可得到 an, n 2, 3, L . 这时, 令点 p 对应于 a0 .a1a2 L an L .
实数集与函数
第一章实数集与函数【教学目的】1.使学生掌握实数的概念，初步建立实数集确界的概念；2.使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。
要求学生：理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。
【教学重点】确界、函数的概念及其有关性质。
【教学时数】6学时§1实数【教学目的】使学生掌握实数的基本性质．【教学重点】1.理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；2.牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式。
【教学难点】实数集的概念及其应用．【教学方法】讲授与引导相结合（部分内容自学）【教学时数】0.5学时数学分析本学期的具体研究对象是中学里大家已接触过的一元函数，其定义域是实数集，因此对实数基本知识的了解是必须的，本节将回顾实数的一些基本知识。
一．实数与实数的性质1.实数的分类实数分为有理数（包括整数和分数）和无理数。
实数全体所成的集合称为实数集。
实数集记为R （正实数和负实数分别记为+R 和-R ），有理数集记为Q （正有理数集和负有理数集分别记为+Q 和-Q ），整数集记为Z ，自然数集记为N 。
2.实数的表示（1）有理数的表示：（仅给出正有理数的表示，负有理数只须在正有理数前面加负号“-”即可，零总表示为“0”）分数表示：任何正有理数总可唯一地表示成p q，其中p 和q 为互质的正整数；十进制表示：任何正有理数总可表示成十进制有限小数或无限循环小数。
对有限小数还可用无限循环小数表示，例如，012012..(1)999k k a a a a a a a a =- ，其中0a 是非负整数，12,,,k a a a 是在0,1,2,,9 这10个数字中取，0k a ≠。
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授课章节：第一章 实数集与函数---§１．实数
教学目的：使学生掌握实数的基本性质．
教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；
（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要
工具）
教学难点：实数集的概念及其应用．
教学方法：讲授．（部分内容自学）
教学程序：
引言
上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．
[问题] 为什么从“实数”开始．
答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．
一 实数及其性质 １、实数(,q p q p
⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩
正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合．
[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：
例：2.001 2.0009999→
3 2.9999
2.001 2.009999
3 2.9999→-→--→-
利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？
２．两实数大小的比较
1） 定义１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，
,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,1,2,
k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y
<
（或y x >）．
规定：任何非负实数大于任何负实数．
2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．
定义２（不足近似与过剩近似）：01
n x a a a =为非负实数，称有理数01n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似；对于实数01n
x a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位过剩近似01n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤
≤ 过剩近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥．
命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使
n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）
． 命题应用————例１
例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．
证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()
12n n r x y =+，则r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．
３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．
● 封闭性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数
不为０）仍是实数．
● 有序性：任意两个实数,a b 必满足下列关系之一：,,a b a b a b <>=．
● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．
● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．
● 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．
● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．
例２．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．
（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）
二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）．
１．绝对值的定义
实数a 的绝对值的定义为,0||0
a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．
２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，
||x a - 表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．
３．性质．
１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤； ３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；
４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）； ５）||||||ab a b =⋅；６）||||
a a
b b =（0b ≠）． ［练习］Ｐ４． ５
［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式
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[作业]Ｐ４．１．（１） ２．（２）、（３） ３。