《初中数学》数学分析第一章第一节极限(文字版)
数学分析第一册第一章
S的最小的上界 称作 的上确界 的最小的上界,称作 的上确界. 的最小的上界 称作S的上确界 满足： 定义2 定义 设S是R中的一个数集 若数 η 满足： 是 中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是 的上界； 即是S的上界 的上界； (ii) 对任何 α < η , 存在x0 ∈ S , 使得 x0 > α , 即 则称数
事实上，对任何正数 无论多么大 无论多么大)， 事实上，对任何正数M(无论多么大 ，取 则 n0 ∈ N + , 且 n0
n0 = [ M ] + 1, ([ M ]表示对M 取整)
问题: 问题 设 S
有无上界; 有无上界 = [0,1]. (1) S有无上界 (2) S若有上界 有几个上界 若有上界,有几个上界 若有上界 有几个上界; (3) S有无最小的上界 有无最小的上界. 有无最小的上界
数集.确界原理 §2数集 确界原理 数集 一 区间与邻域 为开区间， 设 a, b ∈ R, 且 a < b. 称数集 {x | a < x < b} 为开区间，记作 ( a, b) 称为闭区间，记作 数集 称为闭区间，
{x | a ≤ x ≤ b}
(a, b)
数集
{x | a ≤ x < b} [a, b) 都称为半开半闭区间， 都称为半开半闭区间，分别记作 ( a, b] { x | a < x ≤ b} b
例2 设
满足： 定义2 定义 设S是R中的一个数集 若数η 满足： 是 中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是 的上界； 即是S的上界 的上界； η 又是 的最小上界， 的最小上界 (ii) 对任何 α < η , 存在x ∈ S , 使得 x0 > α ,即 又是S的最小上界， 则称数 证明: S = [0,1]. 证明 sup S = 1. 的上界； 的上界 证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界； (ii) 对任何 α < 1, 取 x0 = 1 ∈ S , 则有 x0 > α , 故 sup S = 1. 例2 设 证明: = [0,1).证明: sup S = 1. 的上界； 的上界 证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界； 则有任取 x0 ∈ S , (ii) 对任何 α < 1. 若 α < 0, 1+ α , 有 α < x0 . 有 α < x0 . 若 0 ≤ α < 1, 取 x0 = 2 sup S = 1. 例3 设 S 所以
数学极限知识点总结
数学极限知识点总结一、极限的概念极限是一个重要的数学概念，它描述了一个函数在自变量趋近某个特定值时的行为。
具体地说，当自变量x在某一点a附近不断靠近，同时函数f(x)的取值也逐渐接近某个特定的数L时，我们就说函数f(x)在自变量x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义可以用符号表示为：对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε。
在这个定义中，ε和δ分别表示"误差"和"变化范围"，而当自变量x距离a足够近时，函数f(x)的取值与极限L的差异也会变得足够小。
换句话说，极限描述了函数在某点附近的稳定性和趋势。
在实际问题中，极限的概念常常用于描述随着自变量的变化，函数取值的趋势。
比如，在物理学中，我们可以用极限来描述速度、加速度、流体的流动等随着时间或空间的变化而变化的量。
而在工程中，极限也可以描述材料的强度、电路的稳定性等。
因此，极限是数学中一个十分重要、普遍且有广泛应用的概念。
二、极限的性质1.极限的唯一性如果一个函数在某点附近有极限，那么这个极限是唯一的。
换句话说，对于一个自变量x趋近于a的函数f(x)，其极限只能有一个确定的值。
这个性质使得我们可以不用担心在计算函数的极限时会出现多个可能的结果，从而保证了极限的一致性和确定性。
2.极限的局部保号性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则当L>0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都大于0；当L<0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都小于0。
这个性质表明了在极限存在的情况下，函数在足够靠近极限点的地方都具有一致的正负性。
3.极限的局部有界性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则存在一个正数M，使得a的某个邻域内函数的取值都在区间(-M,M)之间。
教资极限知识点总结
教资极限知识点总结一、极限概念1. 极限的定义极限是数学分析中的一个重要概念，用于描述函数在某一点附近的变化趋势。
数学上，对于一个函数f(x)，当x无限接近某一点a时，f(x)的取值会无限接近于某一特定的值L，这个值L就是函数f(x)在点a处的极限，通常用lim(x->a) f(x) = L来表示。
2. 极限存在性一个函数在某一点的极限存在的条件是：当x无限接近于该点时，f(x)的取值会趋于某一具体的值，即存在一个数L，使得对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
这个数L就是函数f(x)在点a处的极限。
3. 极限的性质（1）唯一性：若lim(x->a) f(x)存在，则函数f(x)在点a处的极限唯一。
（2）局部有界性：若lim(x->a) f(x)存在，则存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，函数f(x)有界。
（3）夹逼定理：若对于所有的x（a-h和a+h之间）都有g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim(x->a)g(x) = lim(x->a) h(x) = L，则lim(x->a) f(x) = L。
4. 极限的计算（1）利用函数性质：例如使用分解因式、换元等方法来计算。
（2）利用极限性质：例如夹逼定理、加减乘除等方法来计算。
（3）利用洛必达法则：当使用代入法计算不便或不可行时，可以使用洛必达法则来计算不定式的极限。
二、常见的极限1. 无穷大极限当函数f(x)在无穷远的点x=a处的极限满足lim(x->∞) f(x) = L或lim(x->-∞) f(x) = L时，称为无穷大极限。
2. 无穷小极限当函数f(x)在某一点x=a处的极限满足lim(x->a) f(x) = 0时，称为无穷小极限。
3. 函数的连续性函数f(x)在某一点x=a处连续的条件是lim(x->a) f(x)存在且f(a)存在且lim(x->a) f(x) =f(a)。
数学分析华东师大第一章第一节
( 2) x1 x2 , y1 y2 , 则 x1 y1 x2 y2 .
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四、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性:
a, b R + , n N+ , 使得 nb a.
k 1 π a 与 b 之间的有理数, 而 是 a 与 b 之间 n 4n 的无理数.
例2 若a , b R, 对 0，a b ，则 a b. 证 倘若a b，设 a b 0, 则 a b ,
与 a b 矛盾.
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k 1 k 2 k 1 k 2 于是, a b, 则 , 是 n n n n
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若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的. 即: 若 x a0 .a1a2 an ,
y b0 .b1b2 bn ,
则 x y an bn , n 0, 1, 2, . 用无限小数表示实数，称为正规表示. m 3. Q { x | x , 其中 m , n Z, n 0} 表示有理数集. n x Q, x 可用循环十进制小数表示， 1 42857 . 如 0 .1 7
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ;
x 0.1010010001 .
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二、实数的大小
定义1 x , y R + , 若
x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
是正规的十进制小数表示, 规定
a b a0 b0 或 n N+ , 使
初中数学 什么是函数的极限 如何计算一个函数的极限
初中数学什么是函数的极限如何计算一个函数的极限函数的极限（Limit）是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某个特定点或者无穷远点的趋势或者接近程度。
计算函数的极限是研究函数在特定点的性质和行为的重要方法。
在本文中，我们将详细讨论函数的极限概念以及如何计算一个函数的极限。
首先，让我们回顾一下函数的概念。
函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用符号表示为f(x)，其中 f 是函数的名称，x 是自变量，f(x) 是因变量。
函数的极限可以用以下形式表示：如果函数f(x) 在某一点c 的某个邻域内存在一个趋近于L 的数列，那么我们说f(x) 在点c 处的极限为L，表示为：lim(x→c) f(x) = L其中lim 表示极限的运算符，x→c 表示自变量x 趋向于点c，f(x) 是函数在点x 处的值，L 是函数在点c 处的极限值。
计算一个函数的极限的方法主要有以下几种：1. 代入法：当函数在某点的定义存在且没有间断点时，可以直接将自变量的值代入函数中进行计算。
例如，计算函数f(x) = x^2 在x = 2 处的极限，可以直接代入x = 2，得到f(2) = 2^2 = 4。
2. 分析法：当函数在某点的定义存在但代入法不适用时，可以通过分析函数在该点的性质和行为来计算极限。
例如，计算函数f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) 在x = 2 处的极限。
在x = 2 处，分子为0，分母也为0，此时无法直接代入计算。
通过因式分解可得到f(x) = (x + 2)，可以发现在x = 2 处，f(x) 的值为4。
因此，函数f(x) 在x = 2 处的极限为4。
3. 夹逼定理：夹逼定理是一种常用的计算极限的方法，适用于一些复杂函数或者无法直接代入计算的情况。
夹逼定理的核心思想是通过找到两个函数，一个上界函数和一个下界函数，这两个函数的极限都等于某个数L，然后证明要计算的函数的极限也等于L。
数分极限知识点总结
数分极限知识点总结1. 极限的定义和性质极限是数学分析中的一个重要概念，用来描述一个函数在某一点附近的表现。
通俗地讲，极限就是描述函数在某一点“接近”的程度。
在数学上，极限可以用严谨的定义来描述，即对于函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数f(x)的取值趋于某一个常数L，那么就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim(f(x))=L。
极限有许多重要的性质，其中最重要的包括极限的唯一性、极限的局部有界性、极限的保号性等。
这些性质在研究极限时起到了非常重要的作用。
2. 极限的计算方法在实际计算中，我们需要掌握一些常用的计算极限的方法，包括极限的四则运算法则、极限的夹逼定理、极限的放缩定理、极限的L'Hospital法则等。
这些方法对于计算复杂的极限非常有帮助，能够让我们更好地理解函数在某一点的表现。
3. 极限存在性的判定在实际问题中，我们常常会遇到需要判断一个函数在某一点是否存在极限的问题。
对于这类问题，我们需要掌握一些判定极限存在性的方法，包括柯西极限存在准则、极限存在性与函数连续性的关系、函数单调有界准则等。
熟练掌握这些方法能够帮助我们更好地解决实际问题中的极限存在性问题。
4. 极限与无穷大在数分中，我们经常会遇到一些极限涉及到无穷大的问题。
对于这类问题，我们需要掌握无穷大的性质、无穷大的比较定理等方法，来帮助我们更好地理解和计算这类复杂的极限。
5. 极限与级数级数是数学分析中的另一个重要概念，它是无穷多个项的和所组成的一种数列。
在研究级数时，极限起着非常重要的作用，我们需要掌握级数收敛的判定条件、级数与函数极限的关系等，来帮助我们更好地理解和计算级数的性质。
6. 极限与微积分微积分是数学分析中的一个重要分支，而极限是微积分中的基础概念。
在学习微积分时，我们经常会用到极限的概念。
我们需要掌握一些常见函数的极限性质，包括指数函数、对数函数、三角函数的极限等，以及极限在微积分中的应用，比如导数的定义、微分方程的求解等。
极限总结知识点
极限总结知识点极限的概念最早起源于17世纪的数学家牛顿和莱布尼茨，并在此后的数学发展中被不断完善和深化。
极限的概念是微积分中的基础，也是分析数学和实变函数理论中的核心内容之一。
在学习极限的过程中，我们需要掌握一些基本概念和相关定理，下面就是对极限相关知识点的总结：一、极限的定义1. 函数极限的定义设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意小的正实数ε，总存在一个正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-A|<ε成立，那么就称limf(x)=A，即称A是当x趋于a时函数f(x)的极限，记作limf(x)=A，或者limx→af(x)=A。
2. 数列极限的定义数列{an}的极限是指当n趋于无穷大时，数列的通项an的极限趋向于一个确定的常数A，即limn→∞an=A。
二、极限的性质1. 唯一性如果f(x)的极限存在，那么极限是唯一的。
2. 有界性如果f(x)在某一点a的邻域内有界，那么f(x)在a处的极限也有界。
3. 保号性如果函数f(x)的极限存在并且大于（或小于）一个常数A，那么函数f(x)在a附近的某个去心邻域内也大于（或小于）A。
4. 夹逼性如果函数f(x)在点a的某个领域内与另外两个函数g(x)和h(x)夹在一起，并且当x趋于a 时，g(x)和h(x)的极限相等且等于A，那么函数f(x)的极限也等于A。
5. 收敛性与发散性如果函数f(x)的极限存在，那么称f(x)是收敛的，否则称f(x)是发散的。
6. 局部有界性如果函数f(x)在点a处的极限存在，那么f(x)在a的某个去心邻域内有界。
7. 局部半连续性如果函数f(x)在点a处的极限存在，那么函数f(x)在a的左、右邻域内至少有一个是半连续的。
三、极限的计算方法1. 用极限的定义计算极限利用极限的定义，可以求出一些函数在特定点处的极限。
2. 用夹逼准则计算极限当函数f(x)所在的区间内有另外两个函数g(x)和h(x)，并且g(x)≤f(x)≤h(x)在区间内成立，且limx→ag(x)=limx→ah(x)=A，那么可以利用夹逼准则求出函数f(x)的极限。
《初中数学》数学分析-第一章第一节：极限(文字版)
二、极限
【夹逼法求极限】例
谢谢
II 高中数学学科知识
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识 知识构架
I 高等数学基础知识
第一章 数学分析
III 初中数学学科知识
II 高中数学学科知识
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析
考试重点 考试重点
考试重点
考试重点
考试重点
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析-第一节 极限
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析-第一节 极限
一、实数的完备性
【单调数列】
单调数列：若数列 {a n } 的各项满足关系式 an an1 ，则{a n } 为递增数 列.同理可定义递减数列，递增数列和递减数列统称为单调数列.
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二、极限
【极限的定义】 【例】
【2014 下半年】 ：函数列{ f n ( x)} 与函数 f ( x) 都在闭区间[a, b] 有定 义，则在 [a, b] 上 { f n ( x)} 一致收敛于 f ( x) 的充要条件是（ ）
A. 0, x [a, b], 正整数N，使得当n N时，有 f n ( x) f ( x) B. 0, x0 [a, b], 正整数N，使得当n N时，有 f n ( x) f ( x) C.正整数N , 0, x0 [a, b], 使得当n N时，有 f n ( x) f ( x) D. 0, 正整数N，使得当n N时，x [a, b], 有 f n ( x) f ( x)
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国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析-第一节 极限
第一节 极限
一、实数的完备性
二、极限
（一）实数的完备性
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第一节 极限
一、实数的完备调数列 （二）关于实数完备性的三个基本定理 1、确界原理 2、单调有界定理 3、柯西收敛准则
二、极限 （一）极限的定义 （二）极限的基本性质
III 初中数学学科知识
第一章 数与代数 第二章 空间与图形 第三章 统计与概率 第四章 综合与实践
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数学学科知识
I 高等数学基础知识
第一章 数学分析 第二章 高等代数 第三章 空间解析几何
II 高中数学学科知识
第一章 集合、逻辑与算法初步 第二章 函数 第三章 方程、不等式、数列与极限 第四章 立体几何 第五章 解析几何 第六章 向量与复数 第七章 推理证明与排列组合 第八章 统计与概率 第九章 数学史
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第一节 极限
一、实数的完备性
【三个基本定理】
确界原理：设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界；若S 有 下界，则 S 必有下确界。 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限。 柯西收敛准则：数列{a n} 收敛的充要条件是：对任意给定的 0 ，
存在 N 0 ，使得当 n, m N 时，有 an am 成立.
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5、利用夹逼法
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第一节 极限
一、实数的完备性
【确界】
上确界：设 S 为 R 中的一个数集.若数 M 满足：对一切 xS 都有
x M ,则 M 是 S 的上界；对任何 M ,存在 x0 S ,使得 x0 , 即M
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数学学科知识
I 高等数学基础知识
第一章 数学分析 第二章 高等代数 第三章 空间解析几何
II 高中数学学科知识
第一章 集合、逻辑与算法初步 第二章 函数 第三章 方程、不等式、数列与极限 第四章 立体几何 第五章 解析几何 第六章 向量与复数 第七章 推理证明与排列组合 第八章 统计与概率 第九章 数学史
又是 S 的最小上界，则称 M 是数集 S 的上确界，记作 M supS .
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第一节 极限
一、实数的完备性
【确界】
下确界：设 S 为 R 中的一个数集.若数 M 满足：对一切 xS 都有
x M ,则 M 是 S 的下界；对任何 M ,存在 x0 S ,使得 x0 , 即M
III 初中数学学科知识
第一章 数与代数 第二章 空间与图形 第三章 统计与概率 第四章 综合与实践
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数学分析
第一节 极限 第二节 函数连续性 第三节 导数与微分 第四节 级数 第五节 积分
考试重点 考试重点 考试重点 考试重点 考试重点
（一）极限的定义
1、确界
（二）极限的基本性质
2、单调数列
1、数列极限的性质
（二）关于实数完备性的三个基本定理 2、函数极限的性质
1、确界原理 2、单调有界定理 3、柯西收敛准则
证选 明择 题题
（三）求极限的方法
计选
1、两个重要极限
算择 题题
2、变量替换与重要极限法
3、等价无穷小因子替换
4、洛必达法则
II 高中数学学科知识
第一章 集合、逻辑与算法初步 第二章 函数 第三章 方程、不等式、数列与极限 第四章 立体几何 第五章 解析几何 第六章 向量与复数 第七章 推理证明与排列组合 第八章 统计与概率 第九章 数学史
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数学学科知识
I 高等数学基础知识
又是 S 的最小上界，则称 M 是数集 S 的上确界，记作 M supS .
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第一节 极限
一、实数的完备性
【确界】
上确界：设 S 为 R 中的一个数集.若数 M 满足：对一切 xS 都有
x M ,则 M 是 S 的上界；对任何 M ,存在 x0 S ,使得 x0 , 即M
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初级中学-数学学科知识
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数学学科知识
I 高等数学基础知识
第一章 数学分析 第二章 高等代数 第三章 空间解析几何
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第一章 数学分析 第二章 高等代数 第三章 空间解析几何
第一章 数学分析 第二章 高等代数 第三章 空间解析几何
II 高中数学学科知识
第一章 集合、逻辑与算法初步 第二章 函数 第三章 方程、不等式、数列与极限 第四章 立体几何 第五章 解析几何 第六章 向量与复数 第七章 推理证明与排列组合 第八章 统计与概率 第九章 数学史
III 初中数学学科知识
第一章 数与代数 第二章 空间与图形 第三章 统计与概率 第四章 综合与实践
又是 S 的最大下界，则称 M 是数集 S 的下确界，记作M inf S .
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第一节 极限
一、实数的完备性
【单调数列】
单调数列：若数列 {a n} 的各项满足关系式an an1 ，则{a n} 为递增数 列.同理可定义递减数列，递增数列和递减数列统称为单调数列.