【全】刘觉平电动力学课后习题答案

第一章三維歐氏空間中的張量目录：习题1.1 正交坐标系的转动 (2)习题1.2 物理量在空间转动变换下的分类 (9)习题1.3 物理量在空间反演变换下的进一步分类 (10)习题1.4 张量代数 (15)习题1.5 张量分析 (21)习题1.6 Helmholtz定理 (35)习题1.7 正交曲线坐标系 (38)习题1.8 正交曲线坐标系中的微分运算 (42)习题1.11、 设三个矢量,,a b c r r r 形成右（左）旋系，证明，当循环置换矢量,,a b c r r r的次序，即当考察矢量,,(,,)b c a c a b r rr r r r 时，右（左）旋系仍保持为右（左）旋系。

证明：()V a b c =⨯⋅r r r，对于右旋系有V>0.当循环置换矢量,,a b c r r r次序时， ()V b c a '=⨯⋅r r r ＝()0c a b V ⨯⋅=〉rr r 。

（*）所以，右旋系仍然保持为右旋系 同理可知左旋系情况也成立。

附：（*）证明。

由于张量方程成立与否与坐标无关，故可以选取直角坐标系，则结论是明显的。

2、 写出矢量诸分量在下列情况下的变换矩阵：当Cartesian 坐标系绕z 轴转动角度α时。

解：变换矩阵元表达式为 ij i j a e e '=⋅r r1112212213233233cos ,sin ,sin ,cos ,0,1a a a a a a a a αααα===-===== 故()cos sin 0sin cos 0001R ααααα⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭3、 设坐标系绕z 轴转α角，再绕新的y 轴（即原来的y 轴在第一次转动后所处的位置）转β角，最后绕新的z 轴（即原来的z 轴经第一、二次转动后所处的位置）转γ角；这三个角称为Euler 角。

试用三个转动矩阵相乘的办法求矢量诸分量的在坐标轴转动时的变换矩阵。

解：我们将每次变换的坐标分别写成列向量,,,X X X X ''''''， 则 ()()(),,z y z X R X X R X X R X αβγ'''''''''''''===∴()()()z y z X R R R X γβα''''''=绕y '-轴转β角相当于“先将坐标系的y '-轴转回至原来位置，再绕原来的y-轴（固定轴）转β角，最后将y-轴转至y '-轴的位置”。

因而1()()()()y z y z R R R R βαβα-'=同理有1()()()()z y z y R R R R γβγβ-''''=∴ 111 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()z y z y z y y z y z z z y z z z z y z z z z y z R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R γβαβγββαβγααβαγααβααγαβγ-''''''-'-=====易知：()cos sin 0sin cos 0001z R ααααα⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()cos sin 0sin cos 0001z R γγγγγ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭， ()cos 0sin 010sin 0cos y R βββββ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∴()()()(),,z y z R R R R αβγαβγ=＝cos cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos γβαγαγβαγαβαγβαγαγβαγαβαγβγββ-+-⎛⎫⎪---+ ⎪ ⎪⎝⎭//上面的解答让人疑惑。

就结论()()()(),,z y z R R R R αβγαβγ=本身让人觉得没有什么物理意义，分别绕原来的z 轴，y 轴，z 轴转动怎么可能呢？且绕y ’轴转β角等效于绕原来y 轴转β角，怎么说？实际上， ()()(),,z y z X R X X R X X R X αβγ'''''''''''''===∴()()()z y z X R R R X γβα''''''=而()cos sin 0sin cos 0001z R ααααα⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()''cos sin 0sin cos 0001z R γγγγγ⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭， ()'cos 0sin 010sin 0cos y R βββββ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭就直接可以得到：()()()(),,cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos sin sin cos z y z R R R R αβγγβαγβαγαγβαγαγβγβαγαγβαγαγββαβαβ'''=-+-⎛⎫⎪=---+ ⎪⎪⎝⎭这个结果与《物理学中的数学方法》F.W.拜伦 R.W.福勒 著（P12） 结果一致 （上面运算结果由Matlab 验算过）4 设x a 、y a 与z a 是矢量的Cartesian 坐标，则)0,xy z a a ia a a ±=±=称为矢量a 的循环坐标。

设坐标系作一有限转动R(,,αβγ)，这里,,αβγ是相应的Euler 角，试写出矢量诸循环坐标系转动时的变换矩阵。

解：由题意得：0x y z a a a A a a a +-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）00010A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以100010A -⎛ =⎪ ⎪⎝⎭坐标变换后，0a a a +-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭经变换矩阵D 变为''0'a a a +-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，即''00'a a a D a a a ++--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）又''''0''x x y y z z a a a a A a AR a a a a +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，0x y z a a a A a a a +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以''100'a a a ARA a a a ++---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）所以由（2）、（3）得1D ARA -=最后得2()2()2()2()cos sin 22cos sin cos 22i i i i i i i i e e e D e e e e e αγγαγαααγγαγβββββββββ-+-----+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 详细步骤：10 0cos cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin cos 001cos cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin sin0cos sin sin sin cos0010 D ARAαβγαγαβγαγβγαβγαγαβγαγβγαβαββ-=⎛⎛⎫⎪-+-⎛⎫ ⎪⎪=---+⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2(0 (cos)(cos)cos cos sin sin cos0cos)cos)010cos2i i ii i iie e ee e eeγγγγγγαγαβααβαβαβαββαβααβαββ----+⎪⎪⎛⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭=)2()2()2()sin2cossin cos22i ii ii i ie ee ee e eγαγαααγγαγββββββββ-----+⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭2()2()2()2()cos sin22cossin cos22i i ii ii i ie e eD e ee e eαγγαγαααγγαγβββββββββ-+-----+⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭（结果经Matlab验算，正确）因此三四两题课本给出答案均无误。

5、试证坐标系作无限小转动的变换矩阵可写成α＝I＋ε，其中ε是反对称矩阵，而I是二阶单位张量；并指出ijε的几何意义。

证：为了清楚起见，我们先用矩阵语言证明ε是反对称矩阵：()()()()()()TT TT T T T T Tx I x x x x I I xx x x I x x I xεεεεεεεεε'''=+⇒=++''⇒=+++≈++r r r r r rr r r r r r舍去高阶小量由于长度是转动变换不变量，T Tx x x x''=r r r r于是()00T T Tx xεεεε+=+=r r，即，故ε是反对称矩阵（上面，ATA表示的转置）下面用分量语言证明：处理时，要特别小心行向量和列向量，因为这在分量语言中是看不出来的。

为了以示区别，i i x x W W我们用表示行向量，表示列向量由于是做无限小转动，所以可以写成：'i i ik k x x x ε=+W W W （1）又由于''i i i i x x x x = （长度是旋转不变量） （2）()()()2 =i i i j ji i ik k i i ik k i i ji j ji j ik k i i ik k i i ji j i i j ji ij i s x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x εεεεεεεεεε''==++=+++≈++++W WW W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W WQ所以()jjiij i x x εε+W W ，由于i x 的任意性，可得到ji ij εε+=0即｛0,(1,2,3),()ii ik ki i k i εεε===-≠ 即ij ji εε=-，为反对称矩阵的矩阵元若不加以区分，很容易得到这样一个错误的结论：,000,ik k i i ji j ik k ji j ij j i i ji j i j j iji j i i ji j ji x x x x x x x x x x x x x x εεεεεεεεε←←∴++=⇒+=⇒+==即若考虑二阶项，就会得到是一个对称矩阵的错误结论虽然哑指标可以任意的换字母，但是那里面的,i j x x 在两个项中是不一样的（有行向量和列向量的区别）由此可将（1）（2）两式写成矩阵形式，'r r α=r r，I αε=+（ I 为二阶单位矩阵，ε的元为之前的ij ε，即是反对称矩阵）引入矢量δφr，使2ijk jkiεεδφ-=，其中ijk ε为三阶全反对称张量，则因为恒等式()()22ilm lm lm ijkjl km jm kl jk εεεεδδδδε-=--=-得ijk i jk εδφε=- 则 ijk j k ik k x x εδφε= （3）结合（1）式右边，得出'r r r δφ=+⨯r r rr由此可知δφr为坐标系所做的无限小角转动的角位移。