hilbert空间上的共轭算子
《泛函分析》教学大纲（本科）说明本课程的教学目的与要求本大纲
《泛函分析》教学大纲（本科）说明1本课程的教学目的与要求本大纲适用专业为数学与应用数学专业脱产与本科。
《泛函分析》是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点、方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数、几何处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理。
工程技术等领域有很大帮助。
2本课程的主要内容：本课程主要介绍线性泛函分析，重点介绍Banach空间最基本的几个定理，如泛函延拓，逆算子定理共鸣定理及某些具体空间泛函表示定理等，Hilbert空间几何学以及距离空间的必要知识，压缩映象原理等。
3教学重点与难点本重点是几个最基本的定理，如泛函延拓定理，逆算子定理，共鸣定理，他们也是本章的重点。
4本课程的知识范围及与相关课程的关系本课程主要可以在学完数学分析、线性代数空间、解析几何及实变函数，复变函数后学习。
5教材的选用本课程选用程其襄的《实变函数与泛变分析基础》。
6．教学学时分配本课程为一学期课程，每周４学时，总学时为７２学时，其中授课６２学时，习题课８学时，机动２学时, 函授按脱产学时的百分之四十进行面授。
教学内容第六章距离空间（２５学时）一、教学内容距离空间的概念，距离空间中开集闭集，稠密性与可分性，连续映照的概念，距离空间中完备性，及其上连续映照，具体空间收敛性、完备性判定法及不动点定理。
二、教学目的及要求要求学生掌握距离空间的一些基本概念，为后面学习打下基础。
Hilbert空间中的线性算子
共轭（伴随）算子
• 定理 T B( H1 , H 2 ) 1 S B( H 2 , H1 )
s.t., (Tx, y) ( x, Sy), x H1 , y H 2 .
唯一的有界线性算子S 称为T 的共轭 * 算子记为 T 。
i.e., (Tx, y) (x, T y), x H1, y H2
b
a
a
x(t ) K ( s, t ) y ( s ) ds dt
a a
b
( x(t ),
*
b
a
K ( s, t ) y ( s ) ds )
( x, T y ) L2 [ a ,b ]
(T y )( t )
b a
K ( s , t ) y ( s ) ds
自伴算子
H R
n
n
U U UU I
T
T
T
正交矩阵
酉矩阵Βιβλιοθήκη H CU U UU I
T
投影算子
• 定义 L是Hilbert空间H中的一个闭子空 间，定义算子P：
x H ,Px是x在L上的投影，
则称P为H到L的投影算子。 投影算子的范数或是0或是1
• 定理
线性算子 P：HH，则P
* 2
2 2
求T的共轭算子。
(Tx, y ) ( K (t , s ) x( s )ds, y (t ) )
a
b
L2 [ a ,b ]
b
a
b
b
a
K (t , s ) x( s ) y (t ) ds dt
希尔伯特空间的共轭空间
希尔伯特空间的共轭空间希尔伯特空间是现代数学中的一个非常重要的概念。
它是由德国数学家希尔伯特在20世纪初提出的，用于描述多元空间的一类向量空间。
在实际应用中，希尔伯特空间通常被用于描述物理量、信号和波函数等。
而希尔伯特空间的共轭空间也是一个非常重要的概念。
它是在希尔伯特空间中，所有线性连续函数所构成的向量空间。
一个是自己的共轭空间就是一个自反空间，而希尔伯特空间就是自反空间的一个重要例子。
下面我们来分步骤阐述希尔伯特空间的共轭空间。
第一步，了解线性连续函数的概念。
线性连续函数即是一个线性变换，而且连续。
这个概念从字面意思上也很容易理解：它是一个既保留向量空间的线性性质，同时又满足某种连续性质的函数。
线性性质即是对于任意的标量和向量，都满足加法和乘法的结合律、交换律和分配律等性质。
连续性质则可以被解释为这样一个性质：当向量在向量空间中逐渐接近另一个向量时，那么函数值也应逐渐接近相应的函数值。
第二步，了解共轭空间的概念。
在希尔伯特空间的情形下，所有线性连续函数所构成的向量空间称为希尔伯特空间的共轭空间。
准确地说，这些函数的定义域都是希尔伯特空间中的向量，而定义域是标量的函数（即内积）称为线性连续函数。
第三步，确定共轭空间的维度。
在一般的有限维向量空间中，任意一个向量空间的共轭空间的维度等于这个向量空间的维度，但是在无限维向量空间中，共轭空间的维度可能无限大。
而对于希尔伯特空间来说，则一定与它自身的维度相等。
第四步，了解共轭空间的性质。
在希尔伯特空间中，共轭空间同样具有向量空间的结构，且它也是希尔伯特空间的完备空间。
它们是互为共轭的。
事实上，对于每一个线性连续函数f，都有唯一的向量h 与之对应，满足h的内积与f在其定义域上的取值相等。
这种对应关系被称为共轭作用。
通过以上步骤的了解，我们可以得出结论：希尔伯特空间的共轭空间是一个与其自身维度相等的完备向量空间，它是由希尔伯特空间中所有线性连续函数所构成的向量空间。
Hilbert C~-模上分块可共轭算子的加权Moore-Penrose逆
Hilbert C~*-模上分块可共轭算子的加权Moore-Penrose逆本文将介绍和研究Hilbert C*-模间可共轭算子A的加权Moore-Penrose逆AMN+的性质和一般表达式.当A=(Aij)是1×2或2×2分块时,研究AMN+的一般表达式怎么由Aij等具体给出.在2×2分块的情况下,首先通过算子理论给出一种从不加权Moore-Penrose逆到加权Moore-Penrose逆的构造方法,其次基于此方法给出AMN+的一般表达式.于是一些结果可由矩阵情形推广到Hilbert C*-模算子的情形.全文共分为四章.在第一章中,我们主要介绍Hilbert C*-模、可共轭算子加权Moore-Penrose逆的基本概念和基本性质,并且得出一些和矩阵相类似的结论,如性质1.2.3、1.2.4和1.2.5.在第二章中,我们在HilbertC*-模算子的框架下研究1×2分块可共轭算子A的AMN+表达式.根据
Sherman-Morrison-Woodbury公式我们给出了AMN1+与AMN2+之间的关系式,进而得出AMN+的一般表达式.在第三章中,我们先利用构造交换图的技巧,对于2×2分块加权可共轭算子进行具体分析,然后推广2×2分块(不加权)可共轭算子的Moore-Penrose逆的一般表达式,最后再由不加权情形过渡到加权的情形并给出了加权Moore-Penrose逆的一般表达式.在第四章中,当A是一正定算子,我们给出了At一般表达式的推导过程.然后在此基础上我们给出了一般算子的
Moore-Penrose逆的表达式的证明.。
泛函分析习题
第七章 度量空间和赋范线性空间复习题：1。
设(,)X d 为一度量空间，令0000(,){|,(,)},(,){|,(,)},U x x x X d x x S x x x X d x x εεεε=∈<=∈≤问0(,)U x ε的闭包是否等于0(,)S x ε?2.设[,]C a b ∞是区间[,]a b 上无限次可微函数的全体，定义()()()()01|()()|(,)max.21|()()|r r r r r a t b r f t g t d f g f t g t ∞≤≤=-=+-∑ 证明[,]C a b ∞按(,)d f g 成度量空间.3。
设B 是度量空间X 中闭集,证明必有一列开集12,,,,n O O O 包含B ,而且1.n n O B ∞==4.设(,)d x y 为空间X 上的距离，证明(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+也是X 上的距离.5。
证明点列{}n f 按题2中距离收敛于[,]f C a b ∞∈的充要条件为n f 的各阶导数在[,]a b 上一致收敛于f的各阶导数.6.设[,]B a b ⊂,证明度量空间[,]C a b 中的集 {|t , (t)=0}fB f ∈当时为[,]C a b 中的闭集，而集 {||()|}(0)A ft B f t a a =∈<>当时,为开集的充要条件是B 为闭集。
7。
设E 及F 是度量空间中两个集，如果(,)0d E F >，证明必有不相交开集O 及G 分别包含E 及F 。
8.设[,]B a b 表示[,]a b 上实有界函数全体，对[,]B a b 中任意两元素,[,]f g B a b ∈，规定距离为(,)sup |()()|.a t bd f g f t g t ≤≤=-证明[,]B a b 不是可分区间.9.设X 是可分距离空间，f 为X 的一个开覆盖，即f 是一族开集，使得对每个x X∈，有f 中开集O ，使x O ∈，证明必可从f 中选出可数个集组成X 的一个覆盖. 10。
hilbert空间上线性有界算子关系式ab-ba≠i的一个证明
hilbert空间上线性有界算子关系式ab-
ba≠i的一个证明
空间上的线性有界算子是指在一个Hilbert空间上，用线
性方程组来定义的算子。
这种算子常常用来表达特定的空间性质，比如它可以用来描述空间中物体的运动规律，或者表达某种程度的不变量。
本文将讨论关系式AB-BA≠I这一结论，它
表明空间上线性有界算子AB和BA不等价，这也是Hilbert空间上线性有界算子的一个重要特性。
首先，我们来看看Hilbert空间上线性有界算子的定义。
Hilbert空间上的线性有界算子是指从Hilbert空间到自身的线
性算子，它的特征是它的范数是有限的。
也就是说，它的范数是一个有界的数字，表示它的力量是有限的。
另外，它还有一个特性，即它的力量是越来越大的，但总是有一个上限，即它的范数。
现在我们来看AB-BA≠I这个结论。
由于AB是一个线性
有界算子，因此它的范数是有限的，这意味着它的力量是有限的。
另外，BA也是一个线性有界算子，它的范数也是有限的，但是它的力量可能比AB大，因为它的范数可以比AB大。
因此，AB和BA的力量是不同的，因此AB-BA≠I。
综上所述，AB-BA≠I是空间上线性有界算子的一个重要
性质。
它表明，AB和BA的力量是不同的，因此AB-BA≠I。
这也是Hilbert空间上线性有界算子的特性之
一，它可以帮助我们更好地理解和分析空间中的特性。
自共轭算子的谱定理
自共轭算子的谱定理自共轭算子的谱理论是现代数学中重要的研究内容之一，它既是经典数学理论的延伸与发展，又在很多领域中得到了广泛的应用。
本文将介绍自共轭算子的谱定理的基本概念、性质以及应用。
一、自共轭算子的定义与性质在谈论自共轭算子的谱定理之前，首先需要了解自共轭算子的定义与性质。
1.自共轭算子的定义设H是一个Hilbert空间，T:H→H是一个线性算子。
如果存在一个算子S:H→H，满足对于任意的x,y∈H，都有⟨Tx, y⟨=⟨x, Sy⟨，则称算子T是自共轭的，而S则称为T的共轭算子。
2.自共轭算子的性质（1）自共轭算子是线性的：如果T是一个自共轭算子，那么对于任意的x,y∈H，a,b∈C，有T(ax+by)=aTx+bTy。
（2）共轭算子是封闭的：如果T是一个自共轭算子，那么T的共轭算子S也是一个自共轭算子。
（3）共轭算子的共轭与自共轭算子相等：如果T是一个自共轭算子，那么T的共轭算子S的共轭算子与T相等，即(S*)* =T。
（4）自共轭算子的范数等于原算子的范数：如果T是一个自共轭算子，那么||T||=||T*||，其中||T||表示算子T的范数，||T*||表示算子T的共轭算子的范数。
二、自共轭算子的谱定理的基本概念1.谱对于自共轭算子T，我们定义其谱σ(T)为所有使得(T-λI)不可逆的复数λ的集合，其中I表示H上的单位算子。
2.点谱与连续谱对于自共轭算子T的谱σ(T)，我们可以按照以下方式分类：（1）点谱：对于每一个λ∈σ(T)，都存在一个非零向量u∈H，使得(T-λI)u=0。
称这样的λ为T的特征值，而u称为T相应于特征值λ的特征向量，此时记T的点谱为σp(T)。
（2）连续谱：对于每一个λ∈σ(T)，不存在一个非零向量u∈H，使得(T-λI)u=0。
称这样的λ为T的连续谱，此时记T的连续谱为σc(T)。
（3）剩余谱：对于每一个λ∈σ(T)，存在一个非零向量u∈H，使得(T-λI)u=0，但是(T-λI)u≠0。
2-5-1 共轭空间
问题1的另一种证法：若 X* 为有限维空间，
则 dim X** = dim X*。于是，由于 X X**，
必有 dim X
dim X** < ∞，矛盾。
共轭算子
定义：设 X，Y为 B* 空间，T L(X，Y)。
定义算子 T*：Y* →X* 如下：
T*y*，x = y*，Tx ， 称 T* 为 T 的共轭算子。 x X，y* Y*
x *，x y * Tx
x X。
y* T x
因此， x* X*，并且 || x*|| ≤ || y*||||T||
共轭算子合理性
由定义，T*y* = x*，只须验证 T* 是线性算
子，再由上面结果，|| T* || ≤ || T ||。
y1 * y2 *，Tx y2 *，Tx x2 *，x y1 *，Tx x1 *，x x1 * x2 *，x
第二共轭空间
由于 X* 是 Banach 空间，称它的共轭空间
为 X 的第二共轭空间，记作 X**。
取定 x X，对 x* X*，令 x**(x*) = x*(x) = x*，x 。 则定义了 X*上的线性泛函 x**。并且 || x**(x*) || ≤ || x |||| x* ||。 于是， x**有界， || x** || ≤ || x ||。 (1)
矩阵的转置共轭，有关矩阵的转置共轭的
很多性质都可以推广到共轭算子。
性质：X、Y、Z 为 B*空间，T L(X，Y)， S L(Y，Z)。则 (ST)* = T*S*。
共轭算子合理性
定理：T* L(Y*，X*)。
证明：任意给定 y* Y*，则按照如下方式
唯一确定了 X 上的线性泛函 x*： x*，x = y*，Tx ，
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hilbert空间上的共轭算子
在数学中，Hilbert空间上的共轭算子是指将一个Hilbert空间中的向量映射为另一个向量的线性算子，并且满足一定的条件。
这个算子被称为共轭算子，因为它将原始向量的复共轭映射到新的向量上。
具体来说，设H为一个Hilbert空间，T为H上的一个线性算子，那么T的共轭算子T*定义为：对于任意的x,y∈H，有(Tx,y)=(x,T*y)，其中(Tx,y)表示内积。
共轭算子具有很多重要的性质。
其中最重要的是，如果T是一个有界线性算子，则T*也是有界的，并且||T*||=||T||。
此外，如果T是自伴的，则T*也是自伴的。
这些性质使得共轭算子在Hilbert空间理论中有着广泛的应用。
共轭算子的一个重要应用是在量子力学中。
在量子力学中，物理量被表示为Hilbert空间上的算子，而共轭算子则用于描述物理量的测量。
例如，如果一个算子A表示一个物理量的测量，那么它的共轭算子A*表示这个物理量的共轭测量。
这个概念在量子力学中有着重要的应用，例如在描述粒子的自旋时。
总之，Hilbert空间上的共轭算子是一个非常重要的数学概念，它在Hilbert空间理论和量子力学中都有着广泛的应用。