6 共轭算子与自共轭算子
共轭算子与自共轭算子
引例1 引例1 实Rn空间中的共轭算子 分析: 作映射A: 是有界线性算子， 分析 (1) 作映射 Rn→Rm，则A是有界线性算子， 且A的表现 是有界线性算子 的表现 形式为一个m× 矩阵 矩阵： 形式为一个 ×n矩阵：
∀ x = (x1,…xn)∈Rn, ∈ (2) 定义在 m上的有界线性泛函极为 Rm的共轭空间记 m)*, 即 定义在R 上的有界线性泛函极为y*, 的共轭空间记(R (Rm)*={y*|y*为Rm上的有界线性泛函 为 上的有界线性泛函} 是实的Hilbert空间，因而是自共轭的） 空间， ⇒(Rm)*=Rm (Rm是实的 空间 因而是自共轭的） ⇒∀y*∈(Rm)*, ∃y=(y1,…,ym)∈Rm, 使得 ∈ ∈
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第8页 页 3 希尔伯特空间中的自共轭算子的概念 定义3 自共轭算子 自共轭算子) 是希尔伯特空间, 定义 (自共轭算子 设H是希尔伯特空间 T: H→H是有界线性 是希尔伯特空间 → 是有界线性 算子, 算子 即T∈B(H,H), H*是H 的共轭空间 则对∀u∈H, ∈ 是 的共轭空间, 则对∀ ∈ 自共轭性)唯一 ∃g∈H*=H(自共轭性 唯一 使得 ∈ 自共轭性 唯一, ∆ g(Tx)=<Tx,u>=f(x) (∀x∈X) ∀ ∈ 从而对上述泛函f∈ 唯一, 从而对上述泛函 ∈H*, ∃u*∈H唯一 使得 ∈ 唯一 f(x)=<x,u*>, (∀x∈X) ∀ ∈ 从而对∀ ∈ 从而对∀u∈H, ∃u*∈H, 使得 <Tx,u>=<x,u*> (∀x∈X) ∈ ∀ ∈ 即定义了一个从H到 的有界线性算子 的有界线性算子T*: 即定义了一个从 到H的有界线性算子 T*: H→H, T*u=u* → 则称T*∈ 的共轭算子, 则称 ∈B(H,H)=B(H*,H*)为T∈B(H,H)的共轭算子 并有 为 ∈ 的共轭算子 <Tx,u>=<x,u*>=<x,T*u> (∀x∈X) ∀ ∈ 如果T*=T, 则有 则有<Tx,u>=<x,Tu>, 这时称 为自共轭算子 这时称T为自共轭算子 如果 或自伴算子或Hermite算子）。 算子）。 （或自伴算子或 算子
的共轭算子与自共轭算子。 求T的共轭算子与自共轭算子。 的共轭算子与自共轭算子 证：∀y=y(t)∈L2[a,b] ∈
∆ 是以K*(t,s)= K(s,t)为核的积分算子。 为核的积分算子。 即T* 是以 为核的积分算子 为实对称函数时， 当K(s,t)=K(t,s)时， 即K(t,s)为实对称函数时，T*=T, 即T 是复希尔伯特空间 时 为实对称函数时 的自共轭算子。 L2[a,b]→L2[a,b]的自共轭算子。 → 的自共轭算子
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第3页 页 求实R 求实 n空间中的共轭算子的过程图示
将实R 空间中的共轭算子进行推广，将得到Banach空间的共轭算子的概念和 将实 n空间中的共轭算子进行推广，将得到 空间的共轭算子的概念和 Hilbert空间的自共轭算子概念 空间的自共轭算子概念
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第12页 页 4 巴拿赫空间中的共轭算子的性质 定理3 是希尔伯特空间， 是有界线性算子， 定理 设H 是希尔伯特空间，T: H→H是有界线性算子，H *=H → 是有界线性算子 的共轭空间， 的共轭算子, 是H的共轭空间，T*: H*→H*, 即T*:H→H为T的共轭算子 的共轭空间 → → 为 的共轭算子 一定是有界线性算子， 则T* 一定是有界线性算子，且||T*||=||T||
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第5页 页 注: 1) T与T*之间具有一定的对称关系 与 之间具有一定的对称关系 2) 线性赋范空间中的共轭算子的图示： 线性赋范空间中的共轭算子的图示：
||x*||≤||T|| ||y*|| ≤ T*y*(x)=x*(x)=y*(Tx) 3) T**与T的关系： 与 的关系 的关系： 在讨论X和 的关系是得到如下关系： 在讨论 和X**的关系是得到如下关系： 的关系是得到如下关系 ⊂ ∀x∈X, x*∈X*⇒x**(x*)=x*(x), ||x**||X**=||x||X, X⊂X** ∈ ∈ ⇒ ⇒∀T∈B(X,Y)，T*∈B(Y*,X*), 有T**∈B(X**,Y**): ∈ ， ∈ ∈ T**x**(y*)=x**(T*y*)=T*y*(x)=y*(Tx)=(Tx)**(y*) (∀x∈X, y*∈Y*,有T*y*∈X*,Tx∈Y) ∀ ∈ ∈ 有 ∈ ∈ ⇒ (Tx)**=T**x** 4) 若把 嵌入到X**，把Y嵌入到 若把X嵌入到 嵌入到Y**, 即X⊂X**, Y⊂Y**,则可视 则可视x**=x, 嵌入到 ， 嵌入到 ⊂ ⊂ 则可视 Tx=(Tx)**= T**x**=T**x⇒ T**x=Tx, ∀x∈X. ⇒ ∈
第4页 页
1
巴拿赫空间中的共轭算子的概念
定义1 共轭算子 共轭算子) 是线性赋范空间， 定义 (共轭算子 设X、Y是线性赋范空间，T: X→Y是有界线性 、 是线性赋范空间 → 是有界线性 算子， 是分别是X、 的共轭空间 的共轭空间， 算子，即T∈B(X,Y)，X*、Y*是分别是 、Y的共轭空间， ∈ ， 、 是分别是 则对∀ ∈ 唯一, 则对∀y*∈Y*, ∃x*∈X*唯一 使得 ∈ 唯一 x*(x)=y*(Tx), ||x*||≤||T|| ||y*|| (∀x∈X) ≤ ∀ ∈ 从而定义了一个从Y*到 的有界线性算子 的有界线性算子T*: 从而定义了一个从 到X*的有界线性算子 T*: Y*→X* , T*y*=x* → 则称T*∈ 的共轭算子(或伴随算子 则称 ∈B(Y*,X*) 为T∈B(X,Y)的共轭算子 或伴随算子 ∈ 的共轭算子 或伴随算子), T*y*(x)=x*(x)=y*(Tx) 并有 定义2 二次共轭算子 二次共轭算子) 定义 (二次共轭算子 ∀T∈B(X,Y)，T*∈B(Y*,X*), 有 ∈ ， ∈ T**∈B(X**,Y**), 使T**x**(y*)=x**(T*y*) (∀y*∈Y) ∈ ∀ ∈ 则称T** 为T*的共轭算子，或称为 的二次共轭算子。 的共轭算子， 的二次共轭算子。 则称 的共轭算子 或称为T的二次共轭算子
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是复欧式空间， 例1 设Cn是复欧式空间，A=(aij)n×n, aji= aij, I,j=1,2,…,n. 令 ×
是复希尔伯特空间C 的自共轭算子。 则A是复希尔伯特空间 n→Cn的自共轭算子。 是复希尔伯特空间 ∈ 证：∀x=(x1,…,xn), u=(u1,…,un)∈Cn
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在希尔伯特空间H中 注: 1) 在希尔伯特空间 中，T与T*之间仍具有一定的对称关系 与 之间仍具有一定的对称关系 2) 希尔伯特空间中的 自)共轭算子的图示： 希尔伯特空间中的(自 共轭算子的图示 共轭算子的图示：
<Tx,u>=<x,u*>=<x,T*u> 3) 由于希尔伯特空间的自共轭性，有H*=H, 因此此时的 实际上是上述共 由于希尔伯特空间的自共轭性 自共轭性， 因此此时的T*实际上是上述共 轭算子的特例。 轭算子的特例。
另一方面， 定理， ≠θ, 另一方面，有Hahan-Banach定理，若T≠θ 则存在 ∈Y*,使得 ||y*||=1, 定理 ≠θ 则存在y*∈ 使得 |y*(Tx)|=||Tx|| ⇒||Tx||=|y*(Tx)|=|(T*y*)(x)|≤||T*y*|| ||x||≤||T*|| ||y*|| ||x||=||T*|| ||x|| ≤ ≤ ⇒||T||≤||T*||。若T=θ⇒ ||T*||=0=||T|| ≤ 。 θ 因此 ||T*||=||T||
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第7页 页 定理2 都是线性赋范空间， 定理 设X,Y,Z 都是线性赋范空间，若T,T1∈B(X,Y), T2∈B(Y,Z), 则1) (αT)*=αT8； α α ； 2) (T2·T1)*=T1*T2*; 3) (T1+T2)*=T1*+T2*; 4) 若I:X→X是恒等算子 则I*:X*→X*也是恒等算子。 是恒等算子, 也是恒等算子。 → 是恒等算子 → 也是恒等算子 证 1）∀y*∈Y*,∀x∈X ） ∈ ∀ ∈ ⇒(αT)*y*(x)=y*(αTx)=αy*(Tx)=αT*y*(x)⇒(αT)*=αT*； α α α α ⇒α α ； 2) ∀z*∈Z*,∀x∈X ∈ ∀ ∈ ⇒(T2·T1)*z*(x)=z*(T2T1x)=z*[T2(T1x)]=T2*z*(T1x)=(T1*T2*)z*(x) ⇒(T2·T1)*=T1*T2* 3) (T1+T2)*y*(x)=y*[(T1+T2)(x)]=y*(T1x)+y*(T2x) =T1*y*(x)+T2*y*(x)=(T1*+T2*)(x) ⇒(T1+T2)*=T1*+T2* 4) I*x*(x)=x*(Ix)=x*(x) ⇒I*x*=x* 定理3 T**是T的延拓，且||T**||=||T|| 定理 是 的延拓， 的延拓 的延拓; 证 1）X⊂X**, ∀y*∈Y*,∀x∈X, 有T**x=Tx⇒T**是T的延拓 ） ⊂ ∈ ∀ ∈ ⇒ 是 的延拓 由定理1， 由定理 ，||T||=||T*||=||T**||⇒(αT)*=αT*； ⇒α α ；
所以A*=A, 即A是复希尔伯特空间 n→Cn的自共轭算子。 是复希尔伯特空间C 的自共轭算子。 所以 是复希尔伯特空间
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基本内容 线性有界泛函
第四章 习题课基本内容1．线性有界泛函:f D X ⊂→∧满足()()()f x y f x f y αβαβ+=+，线性． 若x D ∀∈，|()|||||f x M x ≤．——称f 有界． 2．线性有界泛函的范数 |()|||||sup||||x f x f x θ≠=． ||||1||||1||||sup |()|sup |()|x x f f x f x ≤===．共轭空间（Banach 空间）*()n n R R =，*()p q l l =，*([,])p q L a b L =，*H H =． 基本定理：①延括定理：G X ⊂是线性子空间，:f G X ⊂→∧是线性有界泛函，则*F X ∃∈，使（ⅰ）当x G ∈时，()()F x f x =； （ⅱ）||||||||X G F f =． ②两个推论：（Ⅰ）（Hahn —Banach 定理）设X l.n.s ，0x X ∀∈，0x θ≠，则*f X ∃∈，||||1f =，00()||||f x x =．（Ⅱ）设X l.n.s ，G X ⊂是线性子空间，0x X ∈，0(,)0d x G >，则*f X ∃∈，满足（ⅰ）x G ∀∈，()0f x =；（ⅱ）0()f x d =； （ⅲ）||||1f =． 3．线性有界算子1X ，2X ——l.n.s ，1D X ⊂线性子空间，2:T D X ⊂满足 ()()()T x y T x T y αβαβ+=+．4．线性有界算子，算子范数． 5．基本定理引理：（开映射原理）：若1X ，2X 是Banach 空间，12()T B X X ∈→，且2()R T X =，则T 为开映射．① 逆算子定理：设1X ，2X 都是Banach 空间，12:T X X →满射，可逆的线性有界算子，则T 的逆算子1T -是有界算子．② 闭图像定理：设1X ，2X 都是Banach 空间，12:()T D T X X ⊂→是闭算子，其中()D T 是1X 的闭子空间，则T 是线性有界算子．③ 共鸣定理：设1X 是Banach 空间，2X 是l.n.s.{|}i X i A ∈是一族12X X →的线性有界算子，则{|||||}i T i A ∈有界1x X ⇔∀∈，{|||||}i T x i A ∈有界．6．强收敛与弱收敛① l.n.s 中的点列的强、弱收敛．（ⅰ）若||||0n x x →→，称{}n x 强收敛于x ，记为n x x →； （ⅱ）若*f X ∀∈，|()()|0n f x f x -→，称*n x x →（弱收敛）． ② 有限维空间中，强弱收敛等价． ③ 弱收敛的判别（等价条件）*n x x →⇔（ⅰ）{||||}n X 有界；（ⅱ）**M X ∃⊂（稠密），使*f M ∀∈，0|()()|0n f x f x -→．④ 算子列的各种收敛性：（ⅰ）一致收敛：||||0n T T -→； （ⅱ）强收敛：||||0n T x Tx -→；（ⅲ）弱收敛：||()()||0n f T x f Tx -→，*2f X ∀∈，1x X ∈． 特别泛函列n f ：（ⅰ）强收敛：||||0n f f -→（对应一致收敛）；（ⅱ）弱*收敛：||()()||0n f x f x -→（对应算子列强收敛）．7．共轭算子设1X ，2X 是同一数域∧上的l.n.s.12()T B X X ∈→， ***21:T X X →，如果对任何1x X ∈，*2f X ∈，都有*()()()T f x f Tx = 或 *(,)(,)x T f Tx f =成立，就称*T 是T 的共轭算子（也称伴随算子）．共轭算子的范数：定理（共轭算子的范数）：设12()T B X X ∈→，*T 是T 的共轭算子，则*T 是**21X X →的线性有界算子，且有*||||||||T T =．定理（共轭算子的性质）： （1）**()aT aT =； （2）***2112()T T T T ⋅=⋅； （3）***1212()T T T T +=+；（4）12:I X X →,则***12:I X X →． 8．自共轭算子H 是Hilbert 空间，若,x y H ∀∈，(,)(,)Tx y x Ty =．T ——自共轭算子． Th ．（自共轭算子的充要条件）：H 是复的Hilbert 空间，T 为自共轭算子x H ⇔∀∈，(,)Tx x 为实数．性质：（1）特征值为实数；T 1X *1X *T 2X *2X（2）不同特征值的特征向量正交．投影算子：0Px x =.（0x x z =+，0x M ∈，z M ⊥∈）．举 例例1．设21,X X 是s n l ..，)(21X X T →∈，则T X X B T ⇔→∈)(21应某个内部非空的有界集为有界集。
用复参数迭代法解不适定自共轭紧算子方程
品篓 征为数．， 复数为则参来解类适方， 蓑霎值实的质引 参作正化数求这不定程 立 『 入 生 建
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ｎ １ Ｉ２ｉ ＋ ２ ＝Ｉ （Ｉ 、 １ ａ Ｉ
舡：０
ｒｌ ｇ，
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－
Ｎ． ｏ ４
韩传峰等：用复参数迭代法解不适定 自共轭紧算子方程
８９ ８
故 的 取 足３ （ ＝ ， 一０ —０时 式 于０即Ｒ 当 选 满 ０ ） 南 （ ） 上 趋 ， 为Ｋ的 则 算 正 化
很 多 问题 中，算 子 的逆算 子 可能不 存在 ，或者 即使 存在 但不 连续 ，这 时就称 （） １ 式 为不适 定 问题 ．求解 不适 定 问题 的基 本 思想是 用 一组 与原 问题 相 临近 的适 定 问题 去逼近 原 问题 的解 ，通 常称 之为 正则化 方法 ［ 针 对正 则化 方法 的研 究很 多，如 Ｔｋ ｏｏ ． ｉｈ ｎｖ方法 【 、 ｌ ｄ ｅ ｅ 方法 ［ ａ ｗ ｂｒ ｎ 引、动力 系统方 法 ［ 引、共轭梯 度法 ［ 和 隐式迭 代法 ［． ｊ ４ ］ 对 一般 的不适 定方 程 ，傅初 黎等 ［ 将 Ｔ ｋ ｏ ｏ 】 ｉｈ ｎ ｖ方法 改进建 立 了迭代 Ｔｋ ｏ ｏ ｉｈ ｎ ｖ正则 化
强奇异Calderón-Zygmund算子的交换子的双权BMO估计
６＊ Ｉ， ｕ ｗ：ｓｐ Ｊ
Ｂ
１
【 ６） （
一
ｂＩ 曰ｄ ｚ＜。 ｃ
其中上确界取遍 ｎ中所有的球 Ｂ 显然， 出 为 Ｌ ｂ ｓ ｌ 当 ｅ ｅｇ ｅ测度 时， ｘ ＢＭ Ｏ（ ） ｗ ＝ＢＭ Ｏ． 本文的主要 目的是研 究强 Ｃ ｌｅｄ — ｙ ｍｕ ｄ算 子 Ｔ 和加权 ＢＭ Ｏ（ｚ ）／） ａ ｒｎＺ ｇ ｎ ｄ （Ｌ ｐ 函数 ｂ Ｉ， 生成 的交换子 死 的 （ ｐ ） （） 有界性． （ ， ） 主要定 理如下： 定理 １ 发算子 是强奇异 Ｃ ｌｅｄ —ｙ ｍｕ ｄ算子且 ＞ａ １ ） ｓ见定义 ４ 此 ａｄｒｎＺ ｇ ｎ （一 ， ． 外 ’ ， ∈ ， ＜Ｐ＜ｃ ； ∈Ｊ （（ ， ｝ １ 殳 ｏ ｂ Ｅ ＝ ） 且 ＝ （ ｝ ） Ｍ ） ｐ 则存在不 依赖 于 函数 ，常 ， ／
第 ４ 卷 第 １ 期 ５
２ １ 年 ３ 月 ０２
数 学 研 究
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ Ｍ ａ ｈ ｍ ａ ｉａ Ｓ ｕ ｙ ｏ ｒ ａ ｏ ｔ ｅ ｔｃ ｌ ｔ ｄ
Ｖｏ ． ４ ＮＯ １ Ｉ ５ ． Ｍ ａ ．２ １ ｒ ０２
强奇 异 Ｃａｄ ｒ ｎ Ｚ ｇ ｎ ｌｅ６ — ｙ ｍｕ ｄ算子 的交换 子 的 双 （ 一ｄ １ ∽ ） 。 。
如果 存 在 常数 Ｃ， 得 使
Ｍ （） ｃ （） ｎ ． ｚ ｚ ， ． ｚ∈Ｒ ， ｅ ”
则称 ∈Ａ１ 其 中 Ｍ 是 标 准 的 Ｈｍｄ —ｉ ｌ ｏ ． ‘ｙＬｔ ｅ ｄ极 大 算 子 ． ｔ ｗｏ 定义 ４ 设 （） ｚ ∈Ａ ｌ ＜Ｏ ， ０ 则存 住 ￡＞ ０以及 Ｃ ＞０ 使得对每个方体 Ｑ 中
基 金项 口；国家 自然科学恭金资助 项 目 （０ ６ ０ ５１ ８ １ ７ ）和江 两省 教育厅基 金资助项 目 （ Ｊ ０ ９ ）等 １９ １１， ７１３ ０ ＧＪ １ ３ Ｔ
自共轭算子的谱定理
自共轭算子的谱定理自共轭算子的谱理论是现代数学中重要的研究内容之一，它既是经典数学理论的延伸与发展，又在很多领域中得到了广泛的应用。
本文将介绍自共轭算子的谱定理的基本概念、性质以及应用。
一、自共轭算子的定义与性质在谈论自共轭算子的谱定理之前，首先需要了解自共轭算子的定义与性质。
1.自共轭算子的定义设H是一个Hilbert空间，T:H→H是一个线性算子。
如果存在一个算子S:H→H，满足对于任意的x,y∈H，都有⟨Tx, y⟨=⟨x, Sy⟨，则称算子T是自共轭的，而S则称为T的共轭算子。
2.自共轭算子的性质（1）自共轭算子是线性的：如果T是一个自共轭算子，那么对于任意的x,y∈H，a,b∈C，有T(ax+by)=aTx+bTy。
（2）共轭算子是封闭的：如果T是一个自共轭算子，那么T的共轭算子S也是一个自共轭算子。
（3）共轭算子的共轭与自共轭算子相等：如果T是一个自共轭算子，那么T的共轭算子S的共轭算子与T相等，即(S*)* =T。
（4）自共轭算子的范数等于原算子的范数：如果T是一个自共轭算子，那么||T||=||T*||，其中||T||表示算子T的范数，||T*||表示算子T的共轭算子的范数。
二、自共轭算子的谱定理的基本概念1.谱对于自共轭算子T，我们定义其谱σ(T)为所有使得(T-λI)不可逆的复数λ的集合，其中I表示H上的单位算子。
2.点谱与连续谱对于自共轭算子T的谱σ(T)，我们可以按照以下方式分类：（1）点谱：对于每一个λ∈σ(T)，都存在一个非零向量u∈H，使得(T-λI)u=0。
称这样的λ为T的特征值，而u称为T相应于特征值λ的特征向量，此时记T的点谱为σp(T)。
（2）连续谱：对于每一个λ∈σ(T)，不存在一个非零向量u∈H，使得(T-λI)u=0。
称这样的λ为T的连续谱，此时记T的连续谱为σc(T)。
（3）剩余谱：对于每一个λ∈σ(T)，存在一个非零向量u∈H，使得(T-λI)u=0，但是(T-λI)u≠0。
第三章 Hilbert空间与共轭算子2
∑
m
( x, ek )ek ||2 = ∑ | ( x, ek ) |2 ，由 ∑ | ( x, en ) |2 收
k = n +1 ∞ n =1 ∞
m
∞
敛知 || S m − S n ||→ 0 ， m, n → ∞ 。从而 {S n }n =1 收敛，即 设 {en }n =1 是 H 的一个完全标准正交系， x ' =
n
, en ，并已用过了 y1 , y2 ,
, ykn ，则令
yn +1 = ynk +1 − ∑ ( ynk +1 , ei )ei 。若 yn +1 = θ ，用 ynk + 2 来替代 ynk +1 求 yn +1 ，依次类推。若
i =1
yn +1 ≠ θ ，则令 en +1 = yn +1 / || yn +1 || 。
span { x1 , x2 ,
, xn } ⊆ span {e1 , e2 ,
, en } ， n = 1, 2,
证明： （1）若 x1 ≠ θ ，取 y1 = x1 ， e1 = y1 / || y1 || ，否则考虑 x2 代替 x1 求 y1 ，依次类推。 （2） y2 = x2 − ( x2 , e1 )e1 ，若 y2 ≠ θ 时，令 e2 = y2 / || y2 || ，否则用 x3 来代替求 y2 ，依次 类推。 （3）依次做下去，若得到 e1 , e2 ,
0 ≤ t < 0.5 0.5 ≤ t < 1 t < 0 or t ≥ 1
对任意的 m, n ∈ Z ，ψ n, m (t ) = 2− n / 2ψ (2− n t − m) ， 则容易验证 {ψ n , m | n, m ∈ Z} 构成 L ( R ) 的一个 膨胀 （尺 标准正交基， 它是由函数ψ 通过平移、 度变换）给出的，具有表示简单性和应用简便特点。但是我们可以看到，Haar 基中的函数 均是不连续的， 当要表示的函数是连续或可微分的是时， 它在这个基小的分解系数分布得很 长，不利于处理。所以人们提出寻找连续或可微的或具有其它特性的函数ψ ，使
共轭算子的定义
共轭算子的定义
嘿，朋友们！今天咱来聊聊共轭算子呀！这玩意儿听起来是不是挺玄乎的？其实啊，没那么复杂啦！
你看啊，共轭算子就好像是一个数学世界里的小魔术。
想象一下，你有一堆数字和运算，就像你有一堆玩具，而共轭算子呢，就是那个能把这些玩具变个样的神奇魔法棒！它能让一些东西翻转、颠倒，但又有着奇妙的规律。
比如说，在复数的世界里，一个复数乘以它的共轭，就会得到一个特别的结果。
这就好像你有一面镜子，把东西放进去，就会看到一个特别的影像。
是不是挺有意思的？
再打个比方，共轭算子就像是一个贴心的小伙伴，总是能在关键时刻给你一些特别的反馈。
比如说，在信号处理中，共轭算子可以帮助我们更好地理解和处理信号，就像一个聪明的小助手，能帮我们把复杂的事情变得简单一点。
它可不是那种只知道死板干活的家伙哦！它充满了灵活性和变化。
有时候，你觉得某个问题很难搞，但是一旦引入共轭算子，嘿，说不定就迎刃而解啦！
你说它神奇不神奇？而且啊，它在很多领域都大显身手呢！比如在量子力学里，共轭算子可是有着重要的地位，就像一个厉害的大侠，在那个奇妙的世界里闯荡。
那它到底是怎么发挥作用的呢？嗯，这就需要我们更深入地去了解和探索啦！就像你要了解一个新朋友，需要花时间去相处、去发现他的优点和特点一样。
共轭算子就是这样一个有趣又有用的东西，它不是那种高高在上、遥不可及的概念，而是我们可以亲近、可以掌握的数学工具。
只要我们用心去学，去感受，就一定能发现它的魅力所在呀！
所以啊，别被共轭算子这个名字吓到啦！它其实就是数学世界里的一个小精灵，等着我们去和它玩耍、去发现它的奇妙之处呢！大家加油哦，相信你们一定能和共轭算子成为好朋友的！。
“泛函分析”课程学习指南
“泛函分析”课程学习指南本课程主要分为四部分内容：绪论，空间理论，算子理论和算子谱理论。
绪论从分析和代数中的若干问题出发，运用类比、联想、化归等方法，引入泛函分析中的一些基本概念和研究方法，诠释数学研究的基本思想。
空间理论中主要介绍距离空间，赋范空间和内积空间三类空间结构，重点讲授Hilbert 空间的几何特征。
算子理论中主要介绍了Banach 空间中有界线性算子的基本定理和它们的应用，即：一致有界原则，开映射定理，闭图像定理和Hahn-Banach 定理，这是本门课程的核心内容。
算子谱理论中主要介绍有界线性算子的基本性质，重点讲述了有界自共轭算子和紧算子谱的性质。
为了让学生更好地理解和掌握这些内容，下面按章列出知识要点，重点难点和学习要求。
绪论1. 知识要点泛函分析中十分抽象的基本概念（空间的结构、收敛性、按坐标分解等）的来源和背景2. 重点难点从有限维空间到无穷维空间的过渡，数学研究的基本方法：化归，类比，归纳，联想。
3. 学习要求从分析和代数中具体的实例中感悟数学研究的思想方法。
第一章 距离空间1. 知识要点距离空间的定义； 收敛性； 开集； 闭集； 连续映射；可分的距离空间；距离空间中的列紧集；完备的距离空间；距离空间的完备化；压缩映射原理2. 重点难点一些具体的距离空间（如：[,], , , , p p C a b L l S s ）的完备性，可分性及收敛的具体含义。
3. 学习要求(1) 掌握距离空间的定义及例；(2) 掌握距离空间中点集的拓扑概念；(3) 清楚具体的距离空间的拓扑性质和收敛的具体含义；(4) 掌握压缩映射原理的内容及证明，并能利用压缩映射原理解决一些具体问题。
第二章 赋范空间1. 知识要点赋范空间和Banach 空间的定义；范数与距离的关系；Riesz 引理；有限维空间的几何特征；赋范空间中的级数；赋范空间的商空间2. 重点难点(1) 范数与距离的关系；(2) Riesz引理的内容与应用。
“泛函分析”课程学习指南
“泛函分析”课程学习指南本课程主要分为四部分内容：绪论，空间理论，算子理论和算子谱理论。
绪论从分析和代数中的若干问题出发，运用类比、联想、化归等方法，引入泛函分析中的一些基本概念和研究方法，诠释数学研究的基本思想。
空间理论中主要介绍距离空间，赋范空间和内积空间三类空间结构，重点讲授Hilbert空间的几何特征。
算子理论中主要介绍了Banach空间中有界线性算子的基本定理和它们的应用，即：一致有界原则，开映射定理，闭图像定理和Hahn-Banach定理，这是本门课程的核心内容。
算子谱理论中主要介绍有界线性算子的基本性质，重点讲述了有界自共轭算子和紧算子谱的性质。
为了让学生更好地理解和掌握这些内容，下面按章列出知识要点，重点难点和学习要求。
绪论1.知识要点泛函分析中十分抽象的基本概念（空间的结构、收敛性、按坐标分解等）的来源和背景2.重点难点从有限维空间到无穷维空间的过渡，数学研究的基本方法：化归，类比，归纳，联想。
3.学习要求从分析和代数中具体的实例中感悟数学研究的思想方法。
第一章距离空间1.知识要点距离空间的定义；收敛性；开集；闭集；连续映射；可分的距离空间；距离空间中的列紧集；完备的距离空间；距离空间的完备化；压缩映射原理2.重点难点一些具体的距离空间（如：[,],,,,p pC a b L l S s）的完备性，可分性及收敛的具体含义。
3.学习要求(1)掌握距离空间的定义及例；(2)掌握距离空间中点集的拓扑概念；(3)清楚具体的距离空间的拓扑性质和收敛的具体含义；(4)掌握压缩映射原理的内容及证明，并能利用压缩映射原理解决一些具体问题。
第二章赋范空间1.知识要点赋范空间和Banach空间的定义；范数与距离的关系；Riesz引理；有限维空间的几何特征；赋范空间中的级数；赋范空间的商空间2.重点难点(1)范数与距离的关系；(2)Riesz引理的内容与应用。
3.学习要求(1)掌握赋范空间的定义和典型例子；(2)能够证明一些具体空间是赋范空间及它的完备性；(3)准确掌握Riesz引理的背景，内容和应用；(4)掌握有限维空间的几何特征；(5)了解赋范空间中的级数和商空间的含义。
Крейн空间上一些自共轭算子的性质
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任八
冯诺伊曼简介
两位相差四十多岁的一老一少常在书房或花 园里一待就是几个小时，弄得哥廷根一些教 授心里不是滋味。可以说，冯•诺伊曼“失 踪的两年”与十七世纪牛顿返回故乡躲避鼠 疫的两年颇为相似，后者借机发明了近代科 学。不同的是，牛顿是在静谧的农庄，而冯 •诺伊曼却在繁华的都市。
冯•诺伊曼在柏林的两年，只是修了化学的一些基础课程， 拿学位却要到苏黎世。1923年秋天，他在苏黎世联邦工业 大学轻松通过了一年一度的入学考试（爱因斯坦考了两 次），开始了第二阶段的学习。第一学期他的功课全优， 包括有机化学、无机化学和分析化学，有意思的是，在数 学方面成就斐然的他不得不修最基础的高等数学。两年以 后，他勉强读完了化学工程的全部课程，摔破的实验室玻 璃容器难以计数。其时，他早已经与这所大学两位最好的 数学家——外尔和波利亚建立了密切的关系。外尔去外地 讲学开会的时候，身为化学系本科生的冯•诺伊曼会替他代 课。匈牙利老乡兼师兄波利亚回忆过一件往事， 有一次他 在课堂上提起一个悬而未决的数学问题，没想到下课时已 经被冯• 诺伊曼解决了。
辗转在欧罗巴的土地上
中学的最后一年，老冯•诺伊曼便开始为儿 子的前途操心。他征询过许多朋友的意见， 包括当时担任共产党-社会民主党联合政府 教育部次长的冯•卡门。最后决定，儿子要 学化学工程。这就像新千年之交的中国，很 多家长希望孩子读计算机和生物学一样，长 辈的意志强加在了后辈身上。
小冯•诺伊曼要去柏林大学和苏黎世联邦工学 院（ETH）学习化学工程，但他真正感兴趣 的却是数学，而数学家在匈牙利前景并不看 好。结果，他一边在柏林和苏黎世学化工， 一边在布达佩斯大学注册成为数学博士候选 人。也就是说，尚且不满十八岁的年轻人要 在相距遥远的三座城市兼读跨专业的本科生 和研究生。由此可见，冯•诺伊曼父子是多 么的自信和坚毅。