几类算子

由条件得
0 Tv , v Tx Ty, x y
| |2 Tx , x Ty , y Tx , y Ty , x Tx , y Ty , x
令
(4)
i ，则 i ，此时由（4）式
(5)
Tx , y Ty , x 0
又若令
二 自伴算子、酉算子和正常算子的性质
引理1 设 T 为复内积空间 X上有界线性算 子,那么T 0 的充要条件为对一切 x X ,有
Tx, x 0
证明
(3)
若 T 0，显然有 Tx, x 0 ；
反之，如果（3）式对一切 x X 成立，对 任意 x, y X 及数 ，令 v x y ，由
U 是保范算子,即对任意 xX，有
U
证明 （1）由酉算子定义,有
|| Ux || Ux ,Ux x ,U Ux x , x || x ||
2 *
2
（2） 由（1）立即可得. （3） 因 U 为一一到上,故 U 1 也一一到上，
1 * ** 1 1 ( U ) U U ( U ) ，所以 并且由于 1 U 仍为酉算子. （4） 因 U 及 V 为酉算子，故为一一到上 映射，所以 U V 仍为一一到上映射，且


由自伴算子定义可知,若 T1 和 T 2 是 X上的 两个自伴算子，则 T1 T 2 也是自伴算子. 并且 有下列定理 定理2 设 T1 和 T2是Hilbert空间 X上两个自 伴算子,则 T1 T 2 自伴的充要条件为 T1 T2 T2 T1. 证明 由共轭算子性质，
(T1 T2 ) T2 T T2 T1 ,
Tx , x x , Tx Tx , x ,
因此 Tx , x 是实数； 反之,如果对所有 x X ， Tx , x 都为实数,则
Tx , x Tx , x x , T x T x , x ,
所以 (T T ) x , x 0 . 由引理1，T T * ， 即 T 自伴算子，证毕.
* *
*
* n
* AA I . 故 A 为酉算子.证毕. 同理可证
定理4中的（1）的逆命题不一定成立， 即保范算子不一定为酉算子. 例1 设 X l 2，T为 l 2 中如下定义的
2 ( , , , ) l 算子，对任何 1 2 3 ，令
T (1 , 2 , 3 ,) (0, 1 , 2 ,).
1 ，则由（4）式
Tx , y Ty , x 0
(6)
将（5）式与（6）式相加,得到 Tx , y 0 , 由于x, y是 X 中的任意向量，所以 T 0 . 定理1 设 T 为复Hilbert空间 X 上有界 有界线性算子，则 T为自伴算子的充要条件 为对一切 x X ， Tx , x 是实数. 证明 若T为自伴算子,则对所有 x X,有
T A iB 为算子 T 的笛卡尔分解.
定理6
设 T 为复Hilbert空间 X上有界
有界线性算子， A iB 为 T 的笛卡尔分解， 则 T 是正常算子的充要条件为 AB BA . 证明 所以 因
T * ( A iB )* A* iB* A iB, TT ( A iB)( A iB) A B iAB iBA,
即 T T .所以 T是酉算子.证毕.
*
1
下面介绍正常算子的一些基本性质. 设 T 是复 Hilbert 空间 X 上的有界算子,令
T T T T A ,B 2 2i
*
*
容易证明 A 和 B 是自伴算子,并且有 T A iB 称 A 和 B分别为算子 T 的实部和虚部，并称
但 T n 自伴，故 lim Tn* T ，因此由极限的唯 一性，有 T * T .证毕. 上述三个定理是研究自伴算子,特别是 研究自伴算子谱理论的基础.
n
定理4 设 U 及 V 是Hilbert空间 X 上两个 酉算子，则 （1）
||U x|||| x||; （2） 当 X {0} 时， ||U ||1 ； （3） U 1 是酉算子； （4） UV 是酉算子； （5） 若 U n , n 1, 2,是 X 上一列酉算子， 且{U n } 收敛于有界算子 A，则 A也为酉算子.
|| T * x ||2 T * x , T * x TT * x , x T *Tx , x Tx , Tx || Tx ||2
所以 || T x |||| Tx || .
*
* x X || T x |||| Tx ||,则 充分性:若对任何 ,有
(T *T TT * ) x , x T *Tx , x TT * x , x
X
反之,若（2）式成立,则 T 为 X 上的酉算子. 所以 T 为酉算子的充要条件是（2）式成立. 又由（2）式知，酉算子必为正常算子，但 正常算子不一定是酉算子. 例如 T 2iI ，则 T * 2iI ，所以
TT * T *T 4 I，即 T 是正常算子,但显然
T 不是自伴算子和酉算子.
对一的，并且对任何 x X ，有
T Tx, x Tx, Tx x, x ,
*
* 所以 (T T I ) x , x 0 .由引理1， T T I.
*
又因 T 是映射到 X上的，故 T 1 在全空间 X 上有定义，由于 T T I，所以 T TT T .
* * 1 1
1 T 为 X 上的酉算子. T * T ，则称
当 T 是自伴算子时，由 T * 的定义， 对一切 x, y 1)
显然自伴算子必为正常算子. 但正常算子不 一定是自伴算子. 又由酉算子的定义，则有
T T TT I
* *
(2)
其中 I为 X 上恒等算子；
* 2 2
T *T ( A iB)( A iB) A2 B 2 iBA iAB,
因此， T *T TT * 的充要条件为
BA AB BA AB
即 AB BA .证毕. 定理7 设 T 为复Hilbert空间 X上有界 有界线性算子，则 T 是正常算子的充要条件 为对任何 x X ,有 || T * x |||| Tx ||. 证明 必要性：若 T*T TT* ,则对任何 x X ,有
(U V ) V U V U
* * *
1
1
(U V )
1
所以 U V 仍为酉算子. （5）当 n 时，因 U n A ， 所以
|| U n A |||| U n A || 0
* *
U Un I . 即 U n A , 因此 A A lim n
|| Tx || || T x || 0
2 * 2
由引理1， T*T TT*，即 T是 X上正常算子.
显然 T 是 l 2 到 l 2中的线性算子，并且
|| T (1 , 2 , 3 ,) ||2 | i |2 ||(1 , 2 ,) ||2 .
i 1

X
所以 T 是保范算子.但 T 的像为 l 2 中第一个 坐标为0的向量全体.故 T 不映射到上,因此 不是酉算子.称 T 为 l 2 上单向移位算子. 定理5 设 T 为复Hilbert空间 X上 有界线性算子，那么 T 是酉算子的充要条件 为 T 是映射到上的保范算子. 证明 由定理4，只要证明充分性即可. 设 T 为 X 到 X 上的保范算子，所以 T 是一
§9.5 自伴算子、酉算子和正常算子 主要内容
1.自伴算子、酉算子和正常算子的定义 2.自伴算子、酉算子和正常算子的性质
一 自伴算子、酉算子和正常算子的定义
定义1 设 T 为Hilbert空间 X 到 X 中的 有界线性算子,若 T T ，则称 T 为 X上的
*
自伴算子；若 TT * T *T ,则称 T 为 X 上的 正常算子；若 T 是 X 到 X 的一对一映射,且
* * * 1
T1 T 2 自伴的充要条件为 T1 T2 T2 T1 . 所以，
定理3 设 {Tn } 是空间 X上一列自伴算子， 并且 lim Tn T，那么 T 仍为 X上自伴算子.
n
证明
因 || Tn T || 0(n ) ，由于
n
|| (Tn T )* |||| Tn T || ，所以 lim Tn* T * ，