高中数学必修1 必修一第二章《汉书的概念与基本初等函数》

必修一第二章《汉书的概念与基本初等函数》（一）教材分析12、本章节在整个教材体系和高考中的地位和作用函数是中学数学中的一个重要概念，学生学习函数的知识将经历四个阶段。

第一个阶段是在初中，学生接受了初步的函数知识，掌握了一些简单函数的表示法、性质、图像。

本章是第二个阶段（数学1），第三个阶段将学习三角函数（数学4）、数列（数学5），第四个阶段安排在选修课程中，如导数及其应用（选修系列1和2）、概率（选修系列2）、参数方程（选修系列4）等都涉及函数知识的再认识，是对函数及其应用研究的深化和提高。

本章在学生学习函数知识的过程中是一个重要的环节，起到承上启下的作用，这里应该在初中学习的基础上，系统学习函数的知识，培养学生应用函数知识的意识。

函数是中学数学重要的基础知识，应用十分广泛，函数的思想方法贯穿于整个高中数学，对分析和解决各种数学问题和实际应用题具有重要作用，在历年的高考试题中函数的内容都保持较高的比例。

试题有容易题、中档题，也经常出现难题，难度较大的试题通常是考查函数与方程、不等式、数列、解析几何、导数等知识的综合运用；考查函数知识的试题几乎都涉及到中学数学里所有的思想方法，如数形结合、函数与方程、分类讨论、化归等思想方法；近几年还加大了对数学语言和实际应用能力的考查力度。

3、本章教学目标、数学思想、数学方法函数是本章的核心概念，也是中学数学中的基本概念。

高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿整个高中数学课程。

（1）了解函数概念产生的背景，学习和掌握函数的概念和性质，能借助函数的知识表达、刻画事物的变化规律。

（2）理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图像和性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质；了解幂函数的概念和性质。

知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

（3）了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简单方程的近似解；了解函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会利用函数知识分析问题、解决问题，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具。

（4）培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，创新意识与探究能力，数学建模能力以及数学交流的能力。

（5）通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段和工具（6）体验数学的文化价值，使学生感受数学的美，培养学生利用运动变化的观点观察事物，进一步树立科学的人生观、价值观和辩证唯物主义世界观。

本章涉及的数学思想可以分为两个层次：一是一般科学方法，如观察、实验、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象等；二是数学中常用的数学思想方法，如函数与方程、数形结合、符号化与形式化、分类讨论、化归等思想方法。

4、本章节的教学重点、教学难点、教学特点（1）函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性）（2）基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的概念、图像和性质（3）函数的应用（函数与方程的关系、函数的实际应用等）5（二）学情分析1、师生双边活动设计为了使学生了解函数概念产生的背景，丰富函数的感性认识，获得认识客观世界的体验，本章采用“突出主题，螺旋上升，反复应用”的方式，以实际问题为主线，在不同的场合考察问题的不同侧面，由浅入深，将函数的知识串联起来，既体现了知识体系的完整性，系统性，又体现了知识之间的有机联系和一以贯之的研究手段。

函数引入中的三个问题——我国从1949年到1999年的人口数据表、自由落体运动中物体下落的距离与时间关系式、某城市一天24小时内的气温变化图，既与初中时学习的函数内容相联系，又蕴含了函数的三种表示方法——列表法、解析法、图像法，起到了承上启下的作用。

这三个实际问题背景，既是函数知识的生长点，又突出了函数的本质，为从数学内部研究函数打下了基础。

例如：某城市一天24小时内的气温变化将函数概念、函数的图像、函数的单调性、函数的零点有机的贯通。

为了让所有学生都能够参与到数学学习中来，激发每一个学生的学习热情和学习兴趣，培养学生的实践能力、观察能力、判断能力，教材设置了旁白、思考、探究、实验、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间，从而促使教学方式和学习方式的改变。

为了适应学生个性发展的需要，教材在练习的基础上，将习题分为“感受、理解”“思考、运用”“探究、拓展”三个部分。

“感受、理解”面向全体学生，体现了本章的基本要求，即要求初步理解函数知识，并用来解决一些简单的问题；“思考、运用”面向多数学生，深化对函数概念的理解，并能运用函数知识解决一些较复杂的问题；“拓展、研究”为学生提供一些富有挑战性的问题，以激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养。

2、 课堂教学学生学法指导为了使学生掌握函数的基本研究方法，本章多次设计了让学生观察、思考、判断的情境。

如在函数的单调性、奇偶性的学习过程中，引导学生观察函数的图像，由图像的直观性理解数学的本质，培养学生的观判断、抽象、概括能力。

在基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的性质、方程的解与函数的零点的关系、二分法求方程的近似解等知识点，也多次为学生提供了探索的空间。

在学生能力的培养上，本章也进行了整体设计。

通过函数知识的运用，培养学生的理性思维能力；通过探究、思考，培养学生的实践能力、观察能力、判断能力；通过揭示对象之间的内在联系，培养学生的辩证思维能力；通过实际问题的解决，培养学生分析问题、解决问题的能力和表达交流的能力； 通过案例研究，培养学生的创新意识与探究能力；通过实习作业，培养学生的数学建模能力和实践能力。

3、学习本章节的教学建议和教学要求教材通过具体实例引入函数概念，让学生体会函数是数集之间的一种特殊的对应关系，要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。

教学应从学生已有的函数只是入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的变化，在集合的基础上，构建函数的一般概念。

形式化和符号化是数学的重要特征。

如所有的函数关系都可以用一个抽象的符号)(x f y =来表示，这种表示不仅形式简单，而且也可以加深对函数概念本质的理解。

又如在说明单调增函数时，符号语言“当)()(,2121x f x f x x <<都有时”是对自然语言“随着x 的增大，)(x f 也增大”的精确刻画。

这样，学生在证明函数的单调性时，就有了一个形式化的模式，表述简洁明了。

教学时应将这两种描述进行对比，使学生体会到使用符号语言的优点和美感，养成运用符号语言的习惯。

根式、分数指数幂、对数是学习指数函数、幂函数、对数函数的基础，要掌握它们的概念与运算性质。

指数函数、对数函数、幂函数的图像时它们性质的直观体现，对了解和掌握函数的性质具有形象直观的优势，应教会学生画它们的图像，学会观察它们的图像，借助函数的图像来研究函数性质并解决相关问题。

数学的发展引起了计算工具的改革和进步，反过来，计算工具的广泛应用，又促进了数学的发展，为了帮助学生体会函数是刻画现实世界中变量之间依赖关系的数学模型，充分利用现代信息技术体现数学的应用功能，教学中，教师应有意识地运用适当的信息技术辅助教学。

在教学过程中，应突出本章的核心概念----函数，其本质是两个变量之间的相互依赖关系，体现函数对应法则是我“输入”、“输出”功能，函数的性质只是对应法则在函数定义域上的表现，离开了函数的定义域谈函数的性质是没有意义的。

应重视问题提出的背景，充分发挥这些问题的载体作用，体现它们的数学价值。

为了体现数学文化，除了引导学生学习阅读栏目中提供的有关对数发展史的材料外，还应指导学生查阅有关资料、书籍、网站，多了解一些数学文化方面的知识，激发学生学习数学的兴趣和欲望。

（三）教学手段、数学思想和数学方法多媒体、小黑板、实物投影等教学手段在这里都适用，利用启发式、发现式、比较式，师生互动等教学方法都可以完成教学数学思想可以分为两个层次：一是一般科学方法，如观察、实验、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象等；二是数学中常用的数学思想方法，如函数与方程、数形结合、符号化与形式化、分类讨论、化归等思想方法。

（四）典型例题剖析例1、设函数R x x x x f ∈--+=,12)(2；（1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）求函数)(x f 的最小值分析：将)(x f 改写为分段函数，借助其函数图像，直观地把握其特性解：（1）由题意)2()2(),2()2(,7)2(,3)2(f f f f f f -≠-≠-=-=且故，所以)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数。

（2）,2,12,3)(22⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=x x x x x x x f 当2≥x 时，,413)21()(2-+=x x f 则当2=x 时，)(x f 的最小值为3；当2<x 时，,43)21(1)(22+-=+-=x x x x f 则当21=x 时，)(x f 的最小值为43，所以)(x f 在R 上的最小值为43。

例2、讨论关于x 的方程m x x =--322解的个数分析：先解方程m x x =--322，再根据它与原方程的关系，求原方程的解。

但由于本体只需要确定方程解的个数，因此可以不解出方程，而根据函数与方程的联系，借助图像直观判断解的个数 解：方程m x x =--322的解的个数即为函数 32)(2--==x x x f y 的图像与函数m y =的交点的个数。

分别做出这两个函数的图像如下：由图像可知：(1)当4-<m 时，方程无解，解的个数为0（2）当3,4->-=m m 或时，图像由两个交点，即方程的解的个数为2（3）当34-<<-m 时，图像有4个交点，方程的解的个数为4（4）当3-=m 时，图像有3个交点，方程的解的分数为3例3、设)(x f y =是定义在R 上的函数，且对于任意R y x ∈,，恒有)()()(y f x f y x f +=+，且当2)1(,0)(0-=<>f x f x 时，，（1）判断)(x f 的单调性；（2）求当]3,3[-∈x 时，)(x f 的最大值以及最小值分析：利用赋值法求出)(x f 得奇偶性，再利用单调性定义证明单调性解：（1）令,0==y x 则有,0)0(),0()0()0(=∴+=f f f f令),()()(,x f x f x x f x y -+=--=则)()(x f x f -=-∴，)(x f ∴为奇函数当0>x 时，设210x x <<，则)()()()()(121212x x f x f x f x f x f -=-+=-，)()(,0)(,0,012121212x f x f x x f x x x x <∴<-∴>-∴>> ，),0()(+∞∴在x f 上为减函数又)(x f 为奇函数，∴)(x f 在R 上单调递减（2）6)1()1()1()1()2()12()3(-=++=+=+=f f f f f f f6)3()3(=-=-∴f f ，]3,3[)(-∴在x f 上的最大值为6，最小值为-6例4、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对一定量的水清洗1次的效果作如下假定：用1个单位量的水可以洗掉蔬菜上残留农药量的21，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x 个单位量的水清洗1次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数)(x f（1）试规定)0(f 的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数)(x f 应满足的条件和具有的性质；（3）设,11)(2+=x x f 现有)0(>a a 的水，可以清洗1次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，试问哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少，并说明理由。