2019年吉林省中考数学试卷含答案解析
2019年吉林中考数学试题(解析版)
{来源}2019年吉林中考数学试卷{适用范围:3．九年级}2019年吉林初中毕业生学业水平考试数学试卷考试时间：120分钟满分：120分{题目}1．（2019年吉林）1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）（第1题）A．3 B．2 C．1 D．－1{答案}D{解析}本题考查了数轴上有理数的表示，因为负数在原点的左侧，因此本题选D．{分值}2{章节: [1-1-2-2]数轴}{考点:数轴表示数}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．（2019年吉林）2．如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）（第2题）A．B．C．D．{答案}D{解析}本题考查了俯视图，因为该组合图形俯视图由四个正方体连成一排，因此本题选D．{分值}2{章节:[1-29-2]三视图}{考点:简单组合体的三视图}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}3．（2019年吉林）3．若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）A．1a⨯D．1a÷a-C．1a+B．1{答案}B{解析}本题考查了数值大小比较，a-1比a小，因此本题选B．{分值}2{章节:[1-2-2]整式的加减}{考点:实数的大小比较}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}4．（2019年吉林）4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°（第4题）{答案}C{解析}本题考查了图形的旋转运动，因为图形可以分解成三份完全相同的图形，360°÷3=120°，因此本题选C ． {分值}2{章节:[1-23-1]图形的旋转} {考点:与旋转有关的角度计算} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}5．（2019年吉林）5．如图，在⊙O 中，AB 所对的圆周角∠ACB =50°，若P 为AB 上一点，∠AOP =55°，则∠POB 的度数为（ ） A ．30° B ．45° C ．55° D ．60°OPC BA （第5题）{答案}B{解析}本题考查了圆内角度计算，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此本题选B ． {分值}2{章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角} {考点:直径所对的圆周角} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}6（2019年吉林）6． 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。
2019年吉林省中考数学试题(含答案)
吉林省 2019 年初中毕业生学业考试 数学试题数学试题共 6 页，包括六道大题，共 26 道小题。
全卷满分 120 分，考试时间为 120 分钟.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘 贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题 卷上答题无效．一、单项选择题（每小题 2 分共 12 分）1．在 1， 2，4， 3 这四个数中，比 0 小的数是（A） 2.（B）1.（C） 3 .（D）4.2．用 4 个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的俯视图是正面（A）（B）（C）（D）3．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2 的度数为（A）10°.（B）15°.（C）20°.（D）25°.4．如图，四边形 ABCD、AEFG 是正方形，点 E、G 分别在 AB，AD 上，连接 FC，过点E 作 EH//FC，交 BC 于点 H.若 AB=4，AE=1，则 BH 的长为（A）1.（B）2.（C）3.（D）3 2 .（第 3 题）（第 4 题）（第 5 题）5．如图，△ABC 中，∠C=45°，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，若 AD=DB=DE，AE=1，则 AC 的长为（A） 5 .（B）2.（C） 3 .（D） 2 .6．小军家距学校 5 千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑自行车速度的 2 倍，现在小军乘班车上学可以从家晚出发，结果与原来到校的时间相同.设小军骑车的速度为 x 千米/时，则所列方程正确的为（A） 5 1 5 . x 6 2x（B） 5 1 5 . x 6 2x（C） 5 10 5 .x2x（D） 5 10 5 .x2x二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）7．经统计，截止到 2013 年末，某省初中在校学生只有 645 000 人，将数据 645 000 用科学记数法表示为.8．不等式组2x 4, x30的解集是.9．若 a 13 b ，且 a，b 为连续正整数，则= b2 a2.10.某校举办“成语听写大赛”45 名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设 8个获奖名额.某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是（填“平均数”或“中位数”）.11．如图，矩形 ABCD 的面积为（用含 x 的代数式表示）.（第 11 题）（第 12 题）（第 13 题）12．如图，直线 y 2x 4 与 x、y 轴分别交于点 A、B 两点，以 OB 为边在 y 轴右侧作等边三角形 OBC，将点 C 向左平移，使其对应点 C ' 恰好落在直线 AB 上，则点 C ' 的坐标为.13．如图，OB 是⊙O 的半径，弦 AB=OB，直径 CD⊥AB.若点 P 是线段 OD 上的动点，连接 PA，则∠PAB 的度数可以是（写出一个即可）.14．如图，将半径为 3 的圆形纸片，按下列顺序折叠.若 AB 和 BC 都经过圆心 O，则阴影部分的面积是（结果保留π ）.（第 14 题）三、解答题（每小题 5 分，共 20 分） 15．先化简，再求值： x(x 3) (x 1)2 ，其中 x 2 1 .16．为促进教育均衡发展，A 市实行“阳光分班” .某校七年级一班共有新生 45 人，其 中男生比女生多 3 人，求该班男生、女生各有多少人.17．如图所示，从一副普通扑克牌中选取红桃 10、方块 10、梅花 5、黑桃 8 四张扑克牌， 洗匀后正面朝下放在桌子上，甲先从中任意抽取一张后，乙再从剩余三张扑克牌中任 意抽取一张，用画树形图或列表的方法，求甲、乙两人抽取的扑克牌的点数都是 10 的概率.18．如图，△ABC 和△ADE 中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接 BD，CE.求证： △ABD≌△AEC.（第 18 题）四、解答题（每小题 7 分，共 28 分）19．图①是电子屏幕的局部示意图，4×4 网格的每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形顶点叫做格点.点 A，B，C，D 在格点上，光点 P 从 AD 的中点出发，按图②的程序移动.（1）请在图①中用圆规画出光点 P 经过的路径；（2）在图①中，所画图形是图形（填“轴对称”或“中心对称”），所画图形的周长是 （结果保留π ）.（图①）（图②）（第 19 题）20．某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小报作品征集活动.现从中随机抽 取部分作品，按 A，B，C，D 四个等级进行评分，并根据统计结果绘制了如下两幅不 完整的统计图.（第 20 题）（1）求抽取了多少份作品；（2）此次抽取的作品中等级为 B 的作品有份，并补全条形统计图；（3）若该校共征集到 800 份作品，请估计等级为 A 的作品约有多少份.21．某校九年级四个数学活动小组参加测量操场旗杆高度的综合时间活动.如图是四个小组在不同位置测量后绘制的示意图，用测角仪测得旗杆顶端 A 的仰角级记为α ，CD为测角仪的高，测角仪 CD 的底部 C 处与旗杆的底部 B 处之间的距离记为 CB.四个小组测量和计算数据如下表所示：（第 21 题）（1）利用第四组学生测量的数据，求旗杆 AB 的高度（精确到 0.1m）；（2）四组学生测量旗杆高度的平均值为m（精确到 0.1m）.22．甲，乙两辆汽车分别从 A，B 两地同时出发，沿同一条公路相向而行.乙车出发 2h 后休息，与甲车相遇后，继续行驶.设甲，乙两车与 B 地的路程分别为 y 甲（km），y 乙（km），甲车行驶的时间为 x（h）, y 甲，y 乙与 x 之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：（1）乙车休息了h；（2）求乙车与甲车相遇后 y 乙与 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）当两车相距 40km 时，直接写出 x 的值.（第 22 题）五、解答题（每小题 8 分，共 16 分） 23．如图，四边形 OABC 是平行四边形，以 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AB 于 D，延长AO 交⊙O 于 E，连接 CD，CE.若 CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若 BC=3，CD=4，求平行四边形 OABC 的面积.（第 23 题）24．如图①，直角三角形 AOB 中，∠AOB=90°，AB 平行于 x 轴，OA=2OB，AB=5，反比例函数 y k (x 0) 的图象经过点 A. x（1）直接写出反比例函数的解析式； （2）如图②，P（x,y）在（1）中的反比例函数图象上，其中 1<x<8，连接 OP，过 O作 OQ⊥OP，且 OP=2OQ，连接 PQ.设 Q 坐标为（m,n），其中 m<0,n>0,求 n 与 m 的函数解析式，并直接写出自变量 m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若 Q 坐标为（m,1），求△POQ 的面积.（图①）（第 24 题）（图②）六、解答题（每小题 10 分，共 20 分）25．如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC=6cm,BD=8cm，动点 P，Q 分别从点 B，D 同时出发，运动速度均为 1cm/s，点 P 沿 B→C→D 运动，到点 D 停止，点 Q 沿 D→O→B 运动，到点 O 停止 1s 后继续运动，到 B 停止，连接 AP，AQ，PQ.设△APQ 的面积为 y（cm2）（这里规定：线段是面积 0 的几何图形），点 P 的运动时间为 x（s）.（1）填空：AB=cm,AB 与 CD 之间的距离为 cm；（2）当 4≤x≤10 时，求 y 与 x 之间的函数解析式；（3）直接写出在整个运动过程中，使 PQ 与菱形 ABCD 一边平行的所有 x 的值.（备用图）（第 25 题）26．如图①，直线 l: y mx n(m 0,n 0) 与 x,y 轴分别相交于 A，B 两点，将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°，得到△COD，过点 A，B，D 的抛物线 P 叫做 l 的关联抛物线，而 l 叫做 P 的关联直线.（1）若 l: y 2x 2 ,则 P 表示的函数解析式为则 l 表示的函数解析式为.，若 P: y x2 3x 4 ，（2）求 P 的对称轴（用含 m,n 的代数式表示）； （3）如图②，若 l: y 2x 4 ，P 的对称轴与 CD 相交于点 E，点 F 在 l 上，点 Q 在P 的对称轴上.当以点 C，E，Q，F 为顶点的四边形是以 CE 为一边的平行四边形 时，求点 Q 的坐标； （4）如图③，若 l: y mx 4m ，G 为 AB 中点，H 为 CD 中点，连接 GH，M 为 GH 中点，连接 OM.若 OM= 10 ，直接写出 l，P 表示的函数解析式.（图①）（图②） （第 26 题）一题：1）A 2)A 3)D 4)C 5)D 6)B（图③）二题：7）6.45X10 ^5 8）X>3 9）7 10）中位数 11）X^2+5X+6 12）(-1，2) 13）60 度≤角 A≤75 度 写一个就行 如：65 度 14）3 派三题：15）X-1 值 根号 2 16）女： 21 人 男： 24 人 17）六分之一 18）用等量减等量差相等证明两个角相等，再由已知用边角边证明全等四题：19) (1)心形 (2)轴对称；4 π 20) (1)120 (2)48 (3)240 21) (1)9.6 (2)9.7 22) (1)0.5 (2)Y=80X (2.5--5) (3) 2 或 2.75 小时五题：23) (1)连接 OD 证明全等即可 (2) 12 24) (1)Y=8/X(2)n=-2/m (-4<m<-0.5)(3)5六题：25)(1)5 ; 4.8 (2) 4≤X≤5 Y=-1.2X+6 ；5<X≤9 Y=-0.3X+7.2X-28.5 ; 9<X≤10 Y=12 (3) X=40/13 或 X=85/1326)(1)P: Y=-X^2-X+2 ; L: Y=-4X+4 (2)对称轴是直线 X=-(mn+n)/2m(3) (-1,3.5) 或 (-1,8.5) Y=-0.25X^2-X+8(4)m=2 ;L: Y=-2X+8 ; P:。
2019年吉林省中考数学试题(解析版)
2019年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣12．（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）A．B．C．D．3．（2分）若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）A．a+1B．a﹣1C．a×1D．a÷14．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°5．（2分）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°6．（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（）A．两点之间，线段最短B．平行于同一条直线的两条直线平行C．垂线段最短D．两点确定一条直线二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）分解因式：a2﹣1＝．8．（3分）不等式3x﹣2＞1的解集是．9．（3分）计算：•＝．10．（3分）若关于x的一元二次方程（x+3）2＝c有实数根，则c的值可以为（写出一个即可）．11．（3分）如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC＝70°，∠CED＝50°，则∠B＝°．12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝10，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为．13．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为m．14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a＝．16．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．17．（5分）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝4时，求y的值．18．（5分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD ＝90°．20．（7分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是（填写序号）．（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为人；②统计图中人数最多的选项为；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x （h）之间的关系如图所示．（1）m＝，n＝；（2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．24．（8分）性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为；（2）如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE＝cm，∠EAD＝°；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当PQ＝cm时，直接写出x的值．26．（10分）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．2019年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣1【分析】直接利用数轴得出结果即可．【解答】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为﹣1，故选：D．【点评】本题考查了数轴、根据数轴﹣1是解题关键．2．（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．（2分）若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）A．a+1B．a﹣1C．a×1D．a÷1【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身，减去一正数小于本身，减去一个负数大于本身，乘以1等于本身，除以1也等于本身，逐一进行比较便可．【解答】解：A．a+1＞a，选项错误；B．a﹣1＜a，选项正确；C．a×1＝a，选项错误；D．a÷1＝a，选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，具体考查了一个数加1，减1，乘1，除以1，值的大小变化规律．基础题．4．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．【解答】解：∵360°÷3＝120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．5．（2分）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．【解答】解：∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°，故选：B．【点评】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．6．（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（）A．两点之间，线段最短B．平行于同一条直线的两条直线平行C．垂线段最短D．两点确定一条直线【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．故选：A．【点评】此题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）分解因式：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．故答案为：（a+1）（a﹣1）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．8．（3分）不等式3x﹣2＞1的解集是x＞1．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3，不等号的方向不变．【解答】解：∵3x﹣2＞1，∴3x＞3，∴x＞1，∴原不等式的解集为：x＞1．故答案为x＞1．【点评】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．9．（3分）计算：•＝．【分析】根据分式乘除法的法则计算即可．【解答】解：•＝，故答案为：．【点评】本题考查了分式的乘除法，熟记法则是解题的关键．10．（3分）若关于x的一元二次方程（x+3）2＝c有实数根，则c的值可以为5（答案不唯一，只有c≥0即可）（写出一个即可）．【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围．【解答】解：一元二次方程化为x2+6x+9﹣c＝0，∵△＝36﹣4（9﹣c）＝4c≥0，解上式得c≥0．故答为5（答案不唯一，只有c≥0即可）．【点评】本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，关键在于求出c的取值范围．11．（3分）如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC＝70°，∠CED＝50°，则∠B＝60°．【分析】利用平行线的性质，即可得到∠CED＝∠C＝50°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B 的度数．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠CED＝∠C＝50°，又∵∠BAC＝70°，∴△ABC中，∠B＝180°﹣50°﹣70°＝60°，故答案为：60．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝10，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为20．【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE＝BE＝AB＝5，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE的周长为5×4＝20．【解答】解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，∴DE＝BE＝AB＝5，由折叠可得，CB＝BE，CD＝ED，∴四边形BCDE的周长为5×4＝20，故答案为：20．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．13．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为54m．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【解答】解：设这栋楼的高度为hm，∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，∴＝，解得h＝54（m）．故答案为：54．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是25π﹣48（结果保留π）．【分析】连接OC，根据同样只统计得到▱ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC＝90°．根据勾股定理得到OC＝10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，四边形ODCE是平行四边形，∴▱ODCE是矩形，∴∠ODC＝90°．∵OD＝8，OE＝6，∴OC＝10，∴阴影部分图形的面积＝﹣8×6＝25π﹣48．故答案为：25π﹣48．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a＝．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝a2﹣2a+1+a2+2a＝2a2+1，当时，原式＝5．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．【分析】画出树状图，共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能，由概率公式即可得出结果．【解答】解：画树状图如下：共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种结果，则取出的扇子和手绢都是红色的概率为．【点评】此题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．（5分）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝4时，求y的值．【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）直接利用x＝4代入求出答案．【解答】解：（1）y是x的反例函数，所以，设，当x＝2时，y＝6．所以，k＝xy＝12，所以，；（2）当x＝4时，y＝3．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键．18．（5分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】证明：由题意可得：AE＝FC，在平行四边形ABCD中，AB＝DC，∠A＝∠C在△ABE和△CDF中，，所以，△ABE≌△CDF（SAS）．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确掌握基本作图方法是解题关键．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD ＝90°．【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．（2）如图，四边形CGDH即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（7分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是（2）（填写序号）．（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．【分析】问题解决设竹签有x根，山楂有y个，由题意得出方程组：，解方程组即可；反思归纳由每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，得出ac+d＝b即可．【解答】问题解决解：设竹签有x根，山楂有y个，由题意得：，解得：，答：竹签有20根，山楂有104个；反思归纳解：∵每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则ac+d＝b，故答案为：（2）．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）【分析】过C作CF⊥AB于F，于是得到∠AFC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则∠AFC＝90°，在Rt△ACF中，AC＝30，∠CAF＝43°，∵cos∠CAF＝，∴AF＝AC•cos∠CAF＝30×0.73＝21.9，∴CE＝BF＝AB+AF＝170+21.9＝191.9≈192（cm），答：花洒顶端C到地面的距离CE为192cm．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是方案三；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为1000人；②统计图中人数最多的选项为手机；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．【分析】（1）根据三个方案选出最具有代表性的一个方案即可；（2）①把电脑、手机、电视、广播、其他，这五个选项的总人数相加即可；②从统计图中找出人数最多的选项即可；③用80×该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的人数所占的百分比即可得到结论．【解答】解：（1）最具有代表性的一个方案是方案三，故答案为：方案三；（2）①这次接受调查的居民人数为260+400+150+100+90＝1000人；②统计图中人数最多的选项为手机；③80×＝52.8万人，答：该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数52.8万人．故答案为：1000，手机．【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；也考查了用样本估计总体．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x （h）之间的关系如图所示．（1）m＝4，n＝120；（2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．【分析】（1）观察图象即可解决问题；（2）运用待定系数法解得即可；（3）把x＝3代入（2）的结论即可．【解答】解：（1）根据题意可得m＝2×2＝4，n＝280﹣280÷3.5＝120；故答案为：4；120；（2）设y关于x的函数解析式为y＝kx（0≤x≤2），因为图象经过（2，120），所以2k＝120，解得k＝60，所以y关于x的函数解析式为y＝60x，设y关于x的函数解析式为y＝k1x+b（2≤x≤4），因为图象经过（2，120），（4，0）两点，所以，解得，所以y关于x的函数解析式为y＝﹣60+240（2≤x≤4）；（3）当x＝3.5时，y＝﹣60×3.5+240＝30．所以当甲车到达B地时，乙车距B地的路程为30km．【点评】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式．24．（8分）性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为4；（2）如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2sinα（用含α的式子表示）．【分析】性质探究作CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠BDC＝90°，由等腰三角形的性质得出AD＝BD，∠A＝∠B＝30°，由直角三角形的性质得出AC＝2CD，AD＝CD，得出AB＝2AD＝2CD，即可得出结果；理解运用（1）同上得出则AC＝2CD，AD＝CD，由等腰三角形的周长得出4CD+2CD＝8+4，解得：CD＝2，得出AB＝4，由三角形面积公式即可得出结果；（2）①由等腰三角形的性质得出∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG，得出∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH即可；②连接FH，作EP⊥FH于P，由等腰三角形的性质得出PF＝PH，由①得：∠EFG+∠EHG＝∠FGH＝120°，由四边形内角和定理求出∠FEH＝120°，由等腰三角形的性质得出∠EFH＝30°，由直角三角形的性质得出PE＝EF＝5，PF＝PE＝5，得出FH＝2PF＝10，证明MN是△FGH的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；类比拓展作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝α，由三角函数得出BD＝AB ×sinα，得出BC＝2BD＝2AB×sinα，即可得出结果．【解答】性质探究解：作CD⊥AB于D，如图①所示：则∠ADC＝∠BDC＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴AD＝BD，∠A＝∠B＝30°，∴AC＝2CD，AD＝CD，∴AB＝2AD＝2CD，∴＝＝；故答案为：；理解运用（1）解：如图①所示：同上得：AC＝2CD，AD＝CD，∵AC+BC+AB＝8+4，∴4CD+2CD＝8+4，解得：CD＝2，∴AB＝4，∴△ABC的面积＝AB×CD＝×4×2＝4；故答案为：4（2）①证明：∵EF＝EG＝EH，∴∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG，∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH；②解：连接FH，作EP⊥FH于P，如图②所示：则PF＝PH，由①得：∠EFG+∠EHG＝∠FGH＝120°，∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵EF＝EH，∴∠EFH＝30°，∴PE＝EF＝5，∴PF＝PE＝5，∴FH＝2PF＝10，∵点M、N分别是FG、GH的中点，∴MN是△FGH的中位线，∴MN＝FH＝5；类比拓展解：如图③所示：作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝α，∵sinα＝，∴BD＝AB×sinα，∴BC＝2BD＝2AB×sinα，∴＝＝2sinα；故答案为：2sinα．【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、四边形内角和定理、就直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE＝3cm，∠EAD＝45°；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当PQ＝cm时，直接写出x的值．【分析】（1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数；（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，∴AE＝＝3cm，∠BAE＝∠BEA＝45°∵∠BAD＝90°∴∠DAE＝45°故答案为：3，45（2）当0＜x≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，∵AP＝x，∠DAE＝45°，PF⊥AD∴PF＝x＝AF，∴y＝S△PQA＝×AQ×PF＝x2，（2）当2＜x≤3时，如图，过点P作PF⊥AD，∵PF＝AF＝x，QD＝2x﹣4∴DF＝4﹣x，∴y＝x2+（2x﹣4+x）（4﹣x）＝﹣x2+8x﹣8当3＜x≤时，如图，点P与点E重合．∵CQ＝（3+4）﹣2x＝7﹣2x，CE＝4﹣3＝1cm ∴y＝（1+4）×3﹣（7﹣2x）×1＝x+4（3）当0＜x≤2时∵QF＝AF＝x，PF⊥AD∴PQ＝AP∵PQ＝cm∴x＝∴x＝当2＜x≤3时，过点P作PM⊥CD∴四边形MPFD是矩形∴PM＝DF＝4﹣2x，MD＝PF＝x，∴MQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x∵MP2+MQ2＝PQ2，∴（4﹣2x）2+（4﹣x）2＝∵△＜0∴方程无解当3＜x≤时，∵PQ2＝CP2+CQ2，∴＝1+（7﹣2x）2，∴x＝综上所述：x＝或【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．26．（10分）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．【分析】（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k即可；（2）易求A（﹣1，0），B（3，0），抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值；（3））①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2时，h＝﹣1﹣（﹣4）＝1；当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；②当h＝9时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，则P（4，5），△BCP 的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【解答】解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k，得k＝﹣4，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）令y＝0，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4；抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，S＝＝8；（3）①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2时，h＝﹣1﹣（﹣4）＝1；当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；②当h＝9时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，∴P（4，5），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴△BCP的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．。
2019年吉林省中考数学试题(含解析)
2019吉林省数学中考解析一、单项选择题1.（2019吉林省，1，2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) -1【答案】D【解析】从图中可以看出蝴蝶在原点的左侧，所以可能是-1，故选择D【知识点】数轴2. （2019吉林省，2，2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立方体，它的俯视图为【答案】D【解析】从上面看是一行四个小正方形，故选D【知识点】三视图3. （2019吉林省，3，2分）若a 为实数，则下列格式的运算结果比a 小的是(A) a+1 (B) a-1 (C) 1a ⨯ (D) 1a ÷【答案】B【解析】选项A 比a 大1；选项C ，选项D 和a 相等，只有选项B 比a 小，故选B【知识点】实数的大小4. （2019吉林省，4，2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为(A) 30° (B) 90° (C) 120° (D) 180°【答案】C【解析】这个交通标志图案是由3个基本图案组成的，所以旋转角至少为120°，故选C【知识点】图形的旋转5. （2019吉林省，5，2分）如图，在⊙O 中，弧AB 所对的圆周角∠ACB=50°，若P 为弧AB 上一点，∠AOP=55°，则∠POB 的度数为(A) 30° (B) 45° (C) 55° (D) 60°【答案】B【解析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可知，∠AOB=2∠ACB=110°，因为∠AOP=55°，所以∠POB 的度数为45°，故选B【知识点】同弧所对的圆周角与圆心角的关系6. （2019吉林省，6，2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好的观赏风光，如图，A 、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是(A) 两点之间，线段最短 (B) 平行于同一条直线的两条直线平行(C) 垂线段最短 (D) 两点确定一条直线【答案】A【解析】这里主要体现了长度问题，所以蕴含的数学道理是两点之间，线段最短，选择A【知识点】生活中的数学应用二、填空题7. （2019吉林省，7，3分）分解因式：a 2-1=【答案】(a+1)(a-1)【解析】平方差公式：两数和与这两数的差的积【知识点】公式法因式分解8. （2019吉林省，8，3分）不等式3x-2＞1的解集是【答案】x ＞1【解析】移项，得3x ＞2+1，即3x ＞3，∴x ＞1【知识点】解不等式9. （2019吉林省，9，3分）计算yx x 22y = 【答案】x21 【解析】单项式乘以单项式，分子分母分别相乘，能约分的要约分【知识点】整式的乘法，约分10. （2019吉林省，10，3分）若关于x 的一元二次方程（x+3)2=c 有实数根，则c 的值可以为 （写出一个即可）【答案】答案不唯一，例如5，（c ≥0时方程都有实数根）【解析】c ≥0时方程都有实数根【知识点】一元二次方程根的情况11. （2019吉林省，11，3分）如图，E 为△ABC 边CA 延长线上一点，过点E 作ED ∥BC ，若 ∠BAC=70°，∠CED=50°，则∠B=【答案】60°【解析】因为ED ∥BC ，所以∠CED=∠C=50°，因为∠BAC=70°，三角形内角和为80°，所以∠B=60°【知识点】平行线的性质，三角形内角和定理12. （2019吉林省，12，3分）如图，在四边形ABCD 中，AB=10，BD ⊥AD ，若将△BCD 沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为【答案】20【解析】∵BD ⊥AD ，E 为AB 的中点，∴BE=DE=AB 21=5，∵折叠，∴BC=BE=5,CD=DE=5,∴四边形BCDE 的周长为5+5+5+5=20【知识点】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，折叠的性质13. （2019吉林省，13，3分）在某一时刻，侧的一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为 m【答案】54 【解析】由同一时刻阳光下的影子与物高之间的关系可得2121影影物物=，∴9038.12=物 ∴可求得这栋楼的高度为54米.【知识点】由同一时刻阳光下的影子与物高之间的关系，图形的相似的实际应用14. （2019吉林省，14，3分）如图，在扇形OAB 中，∠AOB=90°，D 、E 分别是半径OA,OB 上的点，以OD,OE 为邻边的 ODCE 的顶点C 在弧AB 上，若OD=8，OE=6，则阴影部分图形的面积是 （结果保留π)【答案】25π-48【解析】如图，连接DE,OC∵ ODCE ，∠AOB=90°，∴ ODCE 是矩形，∴DE=OC ，Tt △DOE 中，OD=8，OE=6，∴DE=10=OC ，∴S 阴=S 扇-S 矩=86-10412⨯⨯π=25π-48 【知识点】矩形的性质，扇形的面积三、解答题15.（2019吉林省，15，5分）先化简，再求值：（a-1)2+a(a+2),其中a=2【思路分析】将原代数式化简求值即可【解题过程】解：原式=a 2-2a+1+a 2+2a=2a 2+1,当a=2时， 原式=51221222=+⨯=+⨯）（ 【知识点】整式的运算16.（2019吉林省，16，5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子出颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别，从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率.【思路分析】根据题意画出树状图或者列出表格，即可求出概率【解题过程】解：如图，共有4种等可能结果，其中取出的擅自和手绢都是红色的有1种可能，∴P （取出的擅自和手绢都是红色）=41【知识点】概率17. （2019吉林省，17，5分）已知y 是x 的反比例函数，并且当x=2时，y=6,（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x=4时，求y 的值【思路分析】（1）将x=2时，y=6代入解析式即可求出待定系数，即可求出解析式；（2）当x=4时，代入（1）中的解析式，可求出y 的值【解题过程】解：（1）∵y 是x 的反比例函数，∴设y=xk (k ≠0）， ∵当x=2时，y=6,∴k=xy=12,∴y=x12 (2)当x=4时，代入y=x12得， y=3412= 【知识点】反比例函数18. （2019吉林省，18，5分）如图，在 ABCD 中，点E 在边AD 上，以C 为圆心，AE 长为半径画弧，交边BC 于点F ，连接BE ，DF求证：△ABE ≌△CDF【思路分析】由作图可知，AE=CF ，有平行四边形的性质可知对边相等，对角相等，由SAS 可以证明两个三角形全等.【解题过程】解：由题意得AE=FC∵ ABCD ，∴AB=DC ，∠A=∠C在△ABE 和△CDF 中，AE=CF,∠A=∠C,AB=DC ，∴△ABE ≌△CDF【知识点】平行四边形的性质，三角形的全等四、解答题19.（2019吉林省，19，7分）图①，图②均为44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，在图①中已画出线段AB ，在图②中已画出线段CD ，其中A,B,C,D 均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB 为对角线画一个菱形AEBF ，且E,F 为格点；（2）在图②中，以CD 为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH ，且G,H 为格点，∠CGD=∠CHD=90°【思路分析】(1)AB 为对角线长为4，则另一条对角线在AB 的中垂线上，如图所示；（2）根据勾股定理，画出格点三角形，如图所示【解题过程】【知识点】菱形，勾股定理20.（2019吉林省，20，7分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖而成，现将一些山楂分别串在若干跟竹签上，如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签，这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂，若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是（填写序号）（1）bc+d=a; (2)ac+d=b; (3)ac-d=b【思路分析】（1）根据题意表示出山楂的个数，列出二元一次方程组即可解决（2）表示出山楂的总个数，即竹签串的山楂与剩余的山楂的和就是总山楂的个数【解题过程】问题解决解：设竹签x根，山楂y个，根据题意得答：竹签有20根，山楂104个反思归纳（2）【知识点】二元一次方程组的应用，代数式21.（2019吉林省，21，7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm,与墙壁的夹角∠CAD为43°，求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）.（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）【思路分析】如图，过点C 作CM ⊥BD 于点M ，解Rt ▲ACM ，可以求出AM 的长，从而可以求出BM 的长，由于CE=BM 问题可以解决.【解题过程】解：如图，过点C 作CM ⊥BD 于点M ，Rt ▲ACM 中AC=30m,∠CAD=43°，cos ∠CAD=30AM AC AM = ∴AM=30cos ∠CAD=73.030⨯=21.9，所以CE=AM+AB=21.9+170=191.9≈192cm答：花洒顶端C 到地面的距离为192cm【知识点】解直角三角形22. （2019吉林省，22，7分）某地区有城市居民和农村居民共80万人，某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”.（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和农村居民进行调查，其中最具有代表性的一个方案是 ;（2）该机构采用了最具代表性的调查方案进行调查，供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项，每位被调查居民只选择一个选项，现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民的人数为 ；②统计图中人数最多的选项为 ；③请你估计该地区城区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数【思路分析】（1）具有代表性的人群要包括城区居民和农村居民；（2）①五种选项的总人数之和就是所求的总人数；②从统计图中可以看出选择手机的人数最多；③从抽取的人数中可以算出“电脑和手机”的人数占总抽取人数的比例，从而计算出该地区的总人数.【解题过程】（1）方案三；（2）①260+400+150+100+90=1000（人）②手机③528000800001000260400=⨯+（人） 答：该地区城区居民和农民居民将电脑和手机作为获取信息的最主要途径的总人数为52800人.【知识点】条形统计图，样本估计总体五、解答题23. （2019吉林省，23，8分） 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B 地。
2019年吉林省长春市中考数学试卷(含答案与解析)
数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前吉林省长春市2019年中考数学试卷数 学一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分) 1.如图,数轴上表示2-的点A 到原点的距离是( )A .2-B .2C .12-D .122.2019年春运前四日,全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275 000 000人次,275 000 000这个数用科学记数法表示为( )A .727.510⨯B .90.27510⨯C .82.7510⨯D .92.7510⨯3.如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形,这个立体图形的主视图是 ( )AB C D4.不等式20x -+≥的解集为( )A .2x -≥B .2x -≤C .2x ≥D .2x ≤5.《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载：今有共买鸡,人出九,盈十一；人出六,不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡,每人出九钱,会多出11钱；每人出6钱,又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ,买鸡的钱数为y ,可列方程组为( )A .911616x y x y +=⎧⎨+=⎩B .911616x y x y -=⎧⎨-=⎩C .911616x y x y +=⎧⎨-=⎩D .911616x y x y -=⎧⎨+=⎩6.如图,一把梯子靠在垂直水平地面的墙上,梯子AB 的长是3米.若梯子与地面的夹角为α,则梯子顶端到地面的距离C 为 ( )A .3sin α米B .3cos α米C .3sin α米D .3cos α米 7.如图,在ABC △中,ACB ∠为钝角.用直尺和圆规在边AB 上确定一点D .使2ADC B ∠=∠,则符合要求的作图痕迹是 ( )ABCD8.如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC △的顶点A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3,0).90ACB ∠=︒,2AC BC =,则函数k(0,0)xy k x =＞＞的图象经过点B ,则k 的值为( )A .92B .2C .278D .274-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分) 9.计算：= . 10.分解因式：2ab b += .11.一元二次方程2310x x -+=的根的判别式的值是 .12.如图,直线MN PQ ∥,点A 、B 分别在MN 、PQ 上,33MAB ∠=︒.过线段AB 上的点C 作CD AB ⊥交PQ 于点D ,则CDB ∠的大小为 .13.如图,有一张矩形纸片ABCD ,8AB =,6AD =.先将矩形纸片ABCD 折叠,使边AD 落在边AB 上,点D 落在点E 处,折痕为AF ；再将AEF △沿EF 翻折,AF 与BC 相交于点G ,则GCF △的周长为 .14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线282(0)3y ax ax a =-+＞与y 轴交于点A ,过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M .P 为抛物线的顶点.若直线OP 交直线AM 于点B ,且M 为线段AB 的中点,则a 的值为 .三、解答题(共10小题,满分78分) 15.(本小题满分6分)先化简,再求值：2(21)4(1)a a a +--,其中18a =.16.(本小题满分6分)一个不透明的口袋中有三个小球,每个小球上只标有一个汉字,分别是“家”、“家”、“乐”,除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字,用画树状图(或列表的)方法,求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率.17.(本小题满分6分)为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9 000套彩灯,为尽快完成任务,实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.18.(本小题满分7分)如图,四边形ABCD 是正方形,以边AB 为直径作O ⊙,点E 在BC 边上,连结AE 交O ⊙于点F ,连结BF 并延长交CD 于点G . (1)求证：ABE BCG △≌△；(2)若55AEB ∠=︒,3OA =,求»BF的长.(结果保留π)数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）19.(本小题满分7分)网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况,据如下(单位：时)：根据以上信息,解答下列问题：(1)上表中的中位数m 的值为 ,众数n 的值为 .(2)用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间.(3)已知该校七年级学生有200名,估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数.20.(本小题满分7分)图①、图②、图③均是66⨯的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,点A 、B 、C 、D 、E 、F 均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法. (1)在图①中以线段AB 为边画一个ABM △,使其面积为6. (2)在图②中以线段CD 为边画一个CDN △,使其面积为6.(3)在图③中以线段EF 为边画一个四边形EFGH ,使其面积为9,且90EFG ∠=︒.图①图②图③-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________21.(本小题满分8分)已知A、B两地之间有一条270千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示.(1)乙车的速度为千米/时,a=,b=.(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式.(3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间的路程.22.(本小题满分9分)教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.例2 如图,在ABC△中,D,E分别是边BC,AB的中点,AD,CE相交于点G,求证：13GE GDCE AD==.证明：连结ED.请根据教材提示,结合图①,写出完整的证明过程.结论应用：在ABCDY中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC的中点,AE、BD交于点F.(1)如图②,若ABCDY为正方形,且6AB=,则OF的长为.(2)如图③,连结DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为12,则ABCDY的面积为.图①图②图③数学试卷第7页（共26页）数学试卷第8页（共26页）数学试卷 第9页（共26页） 数学试卷 第10页（共26页）23.(本小题满分10分)如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,20AC =,15BC =.点P 从点A 出发,沿AC 向终点C 运动,同时点Q 从点C 出发,沿射线CB 运动,它们的速度均为每秒5个单位长度, 点P 到达终点时,P 、Q 同时停止运动.当点P 不与点A 、C 重合时,过点P 作PN AB ⊥于点N ,连结PQ ,以PN 、PQ 为邻边作PQMN Y .设PQMN Y 与ABC △重叠部分图形的面积为S ,点P 的运动时间为t 秒. (1)①AB 的长为 ；②PN 的长用含t 的代数式表示为 . (2)当PQMN Y 为矩形时,求t 的值；(3)当PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为四边形时,求S 与t 之间的函数关系式； (4)当过点P 且平行于BC 的直线经过PQMN Y 一边中点时,直接写出t 的值.24.(本小题满分12分)已知函数22,()1,()222x nx n x n y n nx x x n ⎧-++⎪=⎨-++⎪⎩≥＜(n 为常数) (1)当n ＝5,①点(4,)P b 在此函数图象上,求b 的值； ②求此函数的最大值.(2)已知线段AB 的两个端点坐标分别为(2,2)A 、(4,2)B ,当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时,直接写出n 的取值范围.(3)当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4,求n 的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第11页（共26页） 数学试卷 第12页（共26页）吉林省长春市2019年中考数学试卷数学答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】解：数轴上表示2-的点A 到原点的距离是2. 故选：B .【考点】绝对值的定义. 2.【答案】C【解析】解：将275 000 000用科学记数法表示为：82.7510⨯. 故选：C .【考点】科学记数法. 3.【答案】A【解析】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有1个正方形. 故选：A . 【考点】三视图. 4.【答案】D【解析】解：移项得：2x --≥， 系数化为1得：2x ≤. 故选：D .【考点】合并同类项. 5.【答案】D【解析】解：设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为：911616x yx y -=⎧⎨+=⎩.故选：D .【考点】列方程解决问题. 6.【答案】A【解析】解：由题意可得：sin 3BC BCAB α==， 故3sin ()BC m α=. 故选：A .【考点】锐角三角函数关系. 7.【答案】B【解析】解：2ADC B ∠=∠∵且ADC B BCD ∠=∠+∠，B BCD ∠=∠∴， DB DC =∴，∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点， 故选：B .【考点】线段的中垂线的性质. 8.【答案】D【解析】解：如图，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ， ∵A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3,0)， ∴3OA OC ==，在Rt AOC △中，AC =， 又2AC BC =∵，2BC =∴ 又90ACB ∠=︒∵，45OAC OCA BCD CBD ∠=∠=︒=∠=∠∴，32CD BD ===∴，39322OD =+=∴93,22B ⎛⎫⎪⎝⎭∴代入k y x =得：274k =，故选：D .数学试卷 第13页（共26页） 数学试卷 第14页（共26页）【考点】直角坐标系. 二.填空题 9.【答案】【解析】解：原式= 故答案为：【考点】合并同类二次根式. 10.【答案】(2)b a +【解析】解：2(2)ab b b a +=+. 故答案为：(2)b a +. 【考点】分解因式. 11.【答案】5【解析】解：1,3a b ==-∵，1c =，224(3)4115b ac ∆=-=--⨯⨯=∴.故答案为：5. 【考点】判别式. 12.【答案】57【解析】解：∵直线MN PQ ∥， ∴33MAB ABD ∠=∠=︒∴，CD AB ⊥∵， 90BCD ∠=︒∴，903357CDB ∠=︒-︒=︒∴.故答案为：57.【考点】平行线的性质，三角形内角和定理. 13.【答案】4+【解析】解：由折叠的性质可知，45DAF BAF ∠=∠=︒，6AE AD ==∴，2EB AB AE =-=∴，由题意得，四边形EFCB 为矩形，2FC ED ==∴， AB FC ∵∥，45GFC A ∠=∠=︒∴， 2GC FC ==∴，由勾股定理得，GF = 则GCF △的周长4GC FC GF =++=+ 故答案为：4+【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，周长公式. 14.【答案】2【解析】解：∵抛物线282(0)3y ax ax a =-+＞与y 轴交于点A ，80,3A ⎛⎫⎪⎝⎭∴，抛物线的对称轴为1x =.∴顶点P 坐标为8(1,)3a -，点M 坐标为8(2,)3.∵点M 为线段AB 的中点， ∴点B 坐标为8(4,)3设直线OP 解析式为y kx =(k 为常数，且0k ≠)，将点8(1,)3P a -代入得83a k -=，83y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴.将点8(4,)3B 代入得88()433a =-⨯，解得2a =.数学试卷 第15页（共26页） 数学试卷 第16页（共26页）故答案为：2.【考点】抛物线解析式，对称性. 三、解答题 15.【答案】2【解析】解：原式224414481a a a a a =++-+=+81a =+，当18a =时，原式812a =+=.【考点】完全平方公式，单项式乘以多项式.16.【答案】59【解析】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为59.【考点】概率. 17.【答案】300【解析】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x 套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x 套，由题意得：9000900051.2x x -=，解得：300x =，经检验，300x =是原方程的解，且符合题意.答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套. 【考点】列方程，解方程.18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，AB 为O ⊙的直径，90ABE BCG AFB ∠=∠=∠=︒∴，90BAF ABF ∠+∠=︒∴，90ABF EBF ∠+∠=︒，EBF BAF ∠=∠∴，在ABE △与BCG △中，EBF BAF AB BC ABE BCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABE BCG ASA ∴△≌△；(2)解：如图，连接OF ，90ABE AFB ∠=∠=︒∵，55AEB ∠=︒ ， 905535BAE ∠=︒-︒=︒∴， 270BOF BAE ∠=∠=︒∴， 3OA =∵，∴»BF的长70π37π1806⨯==g .【解析】(1)根据四边形ABCD 是正方形，AB 为O ⊙的直径，得到90ABE BCG AFB ∠=∠=∠=︒，根据余角的性质得到EBF BAF ∠=∠，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；(2)连接OF ，根据三角形的内角和得到905535BAE ∠=︒-︒=︒，根据圆周角定理得到270BOF BAE ∠=∠=︒，根据弧长公式即可得到结论.【考点】正方形的性质，圆的性质，余角的性质，余角的性质，三角形的内角和，圆周角定理，弧长公式.数学试卷 第17页（共26页） 数学试卷 第18页（共26页）19【答案】(1) 2.5 2.5(2)43.2(小时) (3)130(人)【解析】解：(1)从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，∴中位数m 的值为2.5 2.52.52+=，众数n 为2.5； 故答案为：2.5，2.5. (2)2.41843.2⨯=(小时)，答：估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间为43.2小时.(3)1320013020⨯=(人)， 答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人. 【考点】中位数，众数，平均数.20.【答案】解：(1)如图①所示，ABM △即为所求； (2)如图②所示，CDN △即为所求； (3)如图③所示，四边形EFGH 即为所求；图①图②图③【解析】(1)利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形； (2)利用三角形面积求法得出答案；(3)根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案.21.【答案】解：(1)乙车的速度为：(270602)275-⨯÷=千米/时，27075 3.6a =÷=，27060 4.5b =÷=.故答案为：75；3.6；4.5. (2)60 3.6216⨯=(千米)，当2 3.6x ＜≤时，设11y k x b =+，根据题意得：1111203.6216k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11135270k b =⎧⎨=-⎩， 135270(2 3.6)y x x =-∴＜≤；当6 4.6x ＜≤时，设60y x =，135270(2 3.6)60(3.6 4.5)x x y x x -⎧=⎨⎩＜≤＜≤∴；(3)甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间为：20(27070)606-÷=(小时)， 此时甲、乙两车之间的路程为：201352701806⨯-=(千米). 答：当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米.【解析】(1)根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a 、b 的值； (2)运用待定系数法解得即可；(3)求出甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间，代入(2)的结论解答即可. 22.【答案】证明：如图①，连结ED .∵在ABC △中，D ，E 分别是边BC ，AB 的中点， ∴DE AC ∥，12DE AC =， ∴DEG ACG △∽△，2CG AG AC GE GD DE===∴， 3CG GE AG GD GE GD ++==∴，13GE GD CE AD ==∴； 结论应用： (1)解：如图②.∵四边形ABCD 为正方形，E 为边BC 的中点，对角线AC 、BD 交于点O ，数学试卷 第19页（共26页） 数学试卷 第20页（共26页）AD BC ∴∥，1122BE BC AD ==，12BO BD =，∴BEF DAF △∽△，12BF BE DF AD ==∴， 12BF DF =∴，13BF BD =∴，12BO BD =∵，111236OF OB BF BD BD BD =-=-=∴，∵正方形ABCD 中，6AB =，BD =∴OF =∴；(2)解：如图③，连接OE . 由(1)知，13BF BD =，16OF BD =， 2BF OF=∴. BEF ∵△与OEF △的高相同，BEF ∴△与OEF △的面积比2BFOF==， 同理，CEG △与OEG △的面积比2=，∴CEG △的面积BEF +△的面积2=(OEG △的面积OEF +△的面积)1212=⨯=， BOC ∴△的面积32=， ∴ABCD Y 的面积3462=⨯=.故答案为6.图①图②图③【解析】教材呈现：如图①，连结ED .根据三角形中位线定理可得DE AC ∥，12DE AC =，那么DEG ACG △∽△，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明13GE GD CE AD ==； 结论应用：(1)如图②.先证明BEF DAF △∽△，得出12BF DF =，那么13BF BD =，又12BO BD =，可得16OF OB BF BD =-=，由正方形的性质求出BD =，即可求出OF = (2)如图③，连接OE .由(1)易证2BFOF=.根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出BEF △与OEF △的面积比2BFOF==，同理，CEG △与OEG △的面积比= 2，那么CEG △的面积BEF +△的面积= 2(OEG △的面积OEF +△的面积)1212=⨯=，所以BOC △的面积32=，进而求出□ABCD 的面积3462=⨯=.23.【答案】(1)解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，20AC =，15BC =.25AB ==∴.3sin 5CAB ∠=∴，由题可知5AP t =，3sin 535PN AP CAB t t =∠==g g ∴.故答案为：①25；②3t .(2)当PQMN Y 为矩形时，90NPQ ∠=︒， ∵PN AB ⊥，数学试卷 第21页（共26页） 数学试卷 第22页（共26页）∴PQ AB ∥，CP CQCA BC=∴， 由题意可知5AP CQ t ==，205CP t =-，20552015t t-=∴， 解得127t =，即当PQMN Y 为矩形时127t =. (3)当PQMN Y ABC △重叠部分图形为四边形时，有两种情况， Ⅰ.如解图(3)1所示.▱PQMN 在三角形内部时.延长QM 交AB 于G 点， 由(1)题可知：4cos sin 5A B ==，3cos 5B =，5AP t =，155BQ t =-，3PN QM t ==. ∴cos 4AN AP A t ==g ∴，cos 93BG BQ B t ==-g ，sin 124QG BQ B t ==-g ， ∵PQMN Y 在三角形内部时.有0QM QG ＜≤，03124t t -∴＜≤，1207t ∴＜≤.254(93)16NG t t t =---=-∴.∴当1207t ∴＜≤时，PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为PQMN Y ，S 与t 之间的函数关系式为23(16)348S PN NG t t t t ==-=-+g g .Ⅱ.如解图(3)2所示.当0QG QM ＜＜，□PQMN 与ABC △重叠部分图形为梯形PQMG时，即：0243t t -＜＜，解得：1237t ≤＜， PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为梯形PQMG 的面积2111()(16)(3124)1496222S NG PN QG t t t t t =+=-+-=-+.综上所述：当1207t ∴＜≤时，2348S t t =-+.当1237t ≤＜，2114962S t t =-+.(4)当过点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点时，有两种情况，Ⅰ.如解题图(4)1，PR BC ∥，PR 与AB 交于K 点，R 为MN 中点，过R 点作RH AB ⊥，PKN HKR B ∠=∠=∠∴，39cot 344tNK PN PKN t =∠==g g ，NR MR =∵，HR PN QM ∥∥，1(16)2NH GH t ==-∴，12HR GM =，3(124)712GM QM QG t t t =-=--=-∴，11(712)22HR GM t ==-.133cot (712)(712)248KH HR HKR t t =∠=-⨯=-g ∴，NK KH NH +=∵，931(712)(16)482t t t +-=-∴， 解得：10043t =，Ⅱ.如解题图(4)2，PR BC ∥，PR 与AB 交于K 点，R 为MQ 中点，过Q 点作QH PR ⊥，HPN A QRH ∠=∠=∠∴，四边形PCQH 为矩形，339sin 2510t tHQ QR QRH =∠==g g ∴205PC t =-∵，920510tt -=∴，解得20059t =. 综上所述：当10043t =或20059时，点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点.数学试卷 第23页（共26页） 数学试卷 第24页（共26页）【解析】(1)根据勾股定理即可直接计算AB 的长，根据三角函数即可计算出PN . (2)当PQMN Y 为矩形时，由PN AB ⊥可知PQ AB ∥，根据平行线分线段成比例定理可得CP CQCA BC=，即可计算出t 的值. (3)当PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ.PQMN Y 在三角形内部时，Ⅱ.PQMN Y 有部分在外边时.由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积.(4)当过点P 且平行于BC 的直线经过PQMN Y 一边中点时，有两种情况，Ⅰ.过MN 的中点，Ⅱ.过QM 的中点.分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t 值.【考点】勾股定理，三角函数，平行线分线段成比例定理，解三角形. 24.【答案】解：(1)当n ＝5时， 2255(5)155(5)222x x x y x x x ⎧-++⎪=⎨-++⎪⎩≥＜， ①将(4,)P b 代入2155222y x x =-++， 92b =∴； ②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x ＜时，当52x =时有最大值为458； ∴函数的最大值为458；(2)将点(4,2)代入2y x nx n =-++中，185n =∴， 1845n ∴＜≤时，图象与线段AB 只有一个交点； 将点(2,2)代入2y x nx n =-++中， ∴2n =，将点(2,2)代入21222n ny x x =-++中， ∴83n =， 823n ∴≤＜时图象与线段AB 只有一个交点；综上所述：1845n ＜≤，823n ≤＜时，图象与线段AB 只有一个交点；(3)当x n =时，22112222n n y n n =-++=，n42＞，8n ∴＞；当2nx =时，182n y =+，1n 482+≤，312n ∴≥，当x n =时，22y n n n n =-++=，4n ＜；∴函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n ＞或3142n ≤＜. 【解析】(1)①将(4,)P b 代入2155222y x x =-++；②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x ＜时，当52x =时有最大值为458；故函数的最大值为458；(2)将点(4,2)代入2y x nx n =-++中，得到185n =，所以1845n ＜≤时，图象与线段AB只有一个交点；将点(2,2)代入2y x nx n =-++和21222n ny x x =-++中，得到2n =，83n =，所以823n ≤＜时图象与线段AB 只有一个交点；(3)当x n =时，n 42＞，得到8n ＞；当2n x =时，1n 482+≤，得到312n ≥，当x n =时，22n＜.=-++=，4y n n n n数学试卷第25页（共26页）数学试卷第26页（共26页）。
2019年吉林省中考数学试卷含答案
绝密★启用前 在吉林省2019 年初中毕业生学业水平考试数 学数学试题共6 题,包括六道大题,共26 道小题。
全卷满分120 分,考试时间为120 分此钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
5.如注意事项：A1.答题前,请您将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将条形码准确粘贴在条形码 区域内。
2.答题时,请您按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答,在草稿纸、试题上答题无效。
卷一、单项选择题(每小题 2 分,共 12 分) 1.如图,数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为()上答题无效6.曲更A .3B .2C .1D .－1 (2.如图,由6 个相同的小正方体组合成一个立体图形,它的俯视图为 )中ABC正面D（第2题）二、7.分8.不9.计AB C D 10.3.若a 为实数,则下列各式的运算结果比a 小的是A . a 1B . a 1() C . a 1D . a 1 4.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,则这个旋转角度至11.少为 ()A .30°B .90°C .120°D .180°数学试卷 第 1 页（共 8 页）16.甲口袋中装有红色、绿色两子,从乙口袋都是红色的概EDCAB(第11题)12.如图,在四边形ABC D 中,AB 10 ,BD AD .若将 △BC D 沿BD 折叠,点C 与边AB 的中点E 恰好重合,则四边形BC DE 的周长为.BECDA(第12题)13.在某一时刻,测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ,同时同地测得一栋楼的影长 为90 m ,则这栋楼的高度为m .17.已知y 是x 的(1)求y 关于x14.如图,在扇形OAB 中,AO B 90 ,D ,E 分别是半径OA ,OB 上的点,以O D ,OE 为邻边的OD CE 的顶点C 在 AB 上,若O D 8 ,OE 6 ,则阴影部分图形的面积是 (2)当 x 4 时________(结果保留 ).B CE18.如图,在ABF ,连接BE 、O D A(第14题)AE三、解答题(每小题 5 分,共 20 分)15.先化简,再求值：a 12a a 2,其中a 2 .B（第1数学试卷 第 3 页（共 8 页）四、解答题(每小题 7 分,共 28 分) 19.图①,图②均为4 4 的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.在图①中已画出 线段AB ,在图②中已画出线段C D ,其中A 、B 、C 、D 均为格点,按下列要求画图： (1)在图①中,以AB 为对角线画一个菱形AEBF 且E ,F 为格点；(2)在图②中,以C D 为对角线画一个对边不相等的四边形C G D H ,且G ,H 为格点,在此卷上答题无效CG D CH D 90 .22.20.问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂,再蘸以冰糖制作而成.现将一些山楂分别串在若干根 竹签上.如果每根竹签串5 个山楂,还剩余4 个山楂；如果每根竹签串8 个山楂,还剩 余7 根竹签.这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a 根竹签,b 个山楂.若每根竹签串c 个山楂,还剩余d 个山楂,则下列等式成立 的是________(填写序号).(1)bc d a ；(2)ac d b ；(3)ac d b .21.墙壁及淋浴花洒截面如图所示,已知花洒底座A 与地面的距离AB 为 170 cm ,花洒A C 的长为 30 cm ,与墙壁的夹角CA D 为 43°.求花洒顶端C 到地面的距离CE (结果精确到1 cm )(参考数据：s in43 0.68 ,cos43 0.73 ,tan43 0.93)数学试卷 第 5 页（共 8 页）五、解答题(每小题 8 分,共 16 分)六、解答题(每小23.甲、乙两车分别从A , B 两地同时出发,沿同一条公路相向行驶,相遇后,甲车继续以原 速行驶到B 地,乙车立即以原速原路返回到B 地,甲、乙两车距B 地的路程y (k m) 与 各自行驶的时间x (h) 之间的关系如图所示. 25.如图,在矩形AE .动点P 、以2 cm/s 的过程中,点P (1)AE(1)m,n；(2)求乙车距B 地的路程y 关于x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围； (3)当甲车到达B 地时,求乙车距B 地的路程(2)求y 关于x5(3)当P QC ED Q（第226.如图,抛物线y于点C (0,－324.性质探究如图①,在等腰三角形 A BC 中,ACB 120 ,则底边 A B 与腰 A C 的长度之比为 ________.(1)求此抛物(2)当点P 位于(3)设此抛物差为h .ECHABFG ①求h 关②当h 9图①图②（第24题）理解运用(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为8 4 3 ,则它的面积为 (2)如图②,在四边形EF G H 中,EF EG EH .①求证：EFG EH G FG H ；；②在边F G ,G H 上分别取中点M , N ,连接M N .若FG H 120 ,EF 10 ,直接写 出线段M N 的长. 类比拓展顶角为2 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________(用含 的式子表示).数学试卷 第 7 页（共 8 页）吉林省2019年初中毕业生学业水平考试数学答案解析一、单项选择题1．【答案】D【解析】蝴蝶在原点的左边，应为负数，所以，选项中，只有1有可能，选D.【考点】数轴的定义2．【答案】D【解析】从上面往下看，能看到一排四个正方形，D 符合.【考点】三视图3．【答案】B【解析】a1表示比a小1 的数，所以，B 符合.【考点】实数的运算法则4．【答案】C【解析】一个圆周360°，图中三个箭头，均分圆，每份为120°，所以，旋转120°后与自身重合。
2019年吉林省中考数学试卷
2019年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）（2019•吉林）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为()A．3 B．2 C．1 D．1-2．（2分）（2019•吉林）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为()A．B．C．D．3．（2分）（2019•吉林）若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是() A．1a-C．1a+B．1a÷a⨯D．14．（2分）（2019•吉林）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为()A．30︒B．90︒C．120︒D．180︒5．（2分）（2019•吉林）如图，在O中，AB所对的圆周角50∠=︒，若P为ACBAB上一点，55∠=︒，则错误!未找到引用源。
的度数为()AOPA ．30︒B ．45︒C ．55︒D ．60︒6．（2分）（2019•吉林）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更地观赏风光．如图，A 、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是( )A ．两点之间，线段最短B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．垂线段最短D ．点确定一条直线二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）（2019•吉林）分解因式：21a -= ． 8．（3分）（2019•吉林）不等式321x ->的解是 ．9．（3分）（2019•吉林）计算：22y x x y= ． 10．（3分）（2019吉林）若关于错误!未找到引用源。
的一元二次方程2(3)x c +=有实数根，则c 的值可以为 （写出一个即可）．11．（3分）（2019•吉林）如图，E 为ABC ∆边错误!未找到引用源。
延长线上一点，过点E 作//ED BC ．若70BAC ∠=︒，50CED ∠=︒，则B ∠= ︒．12．（3分）（2019•吉林）如图，在四边形ABCD 中，10AB =，BD AD ⊥．若将BCD ∆沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为 ．13．（3分）（2019•吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为 m ．14．（3分）（2019•吉林）如图，在扇形OAB 中，90AOB ∠=︒．D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的ODCE 的顶点C 在AB 上．若8OD =，6OE =，则阴影部分图形的面积是 （结果保留)π．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）（2019•吉林）先化简，再求值：2(1)(2)a a a -++，其中2a =．16．（5分）（2019•吉林）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．17．（5分）（2019•吉林）已知y 是x 的反比例函数，并且当2x =时，6y =．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当4x =时，求y 的值．18．（5分）（2019•吉林）如图，在ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE 长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：ABE CDF∆≅∆．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）（2019•吉林）图①，图②均为44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，90CGD CHD∠=∠=︒．20．（7分）（2019•吉林）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是（填写序号）．（1）bc d a-=．+=；（3）ac d b+=；（2）ac d b21．（7分）（2019•吉林）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角CAD∠为43︒．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1)cm．（参考数据：sin430.68︒=，cos430.73︒=，tan 430.93)︒=22．（7分）（2019•吉林）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查． 其中最具有代表性的一个方案是 ；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为 人；②统计图中人数最多的选项为 ；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）（2019•吉林）甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B 地，乙车立即以原速原路返回到B 地．甲、乙两车距B 地的路程()y km 与各自行驶的时间()x h 之间的关系如图所示．（1）m = ，n = ；（2）求乙车距B 地的路程y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当甲车到达B 地时，求乙车距B 地的路程．24．（8分）（2019•吉林）性质探究如图①，在等腰三角形ABC 中，120ACB ∠=︒，则底边AB 与腰AC 的长度之比为 ．理解运用（1）若顶角为120︒的等腰三角形的周长为843+，则它的面积为 ；（2）如图②，在四边形EFGH 中，EF EG EH ==．①求证：EFG EHG FGH ∠+∠=∠；②在边FG ，GH 上分别取中点M ，N ，连接MN ．若120FGH ∠=︒，10EF =，直接写出线段MN 的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 （用含α的式子表示）．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）（2019•吉林）如图，在矩形ABCD 中，4AD cm =，3AB cm =，E 为边BC 上一点，BE AB =，连接AE ．动点P 、Q 从点A 同时出发，点P 2/cm s 的速度沿AE 向终点E 运动；点Q 以2/cm s 的速度沿折线AD DC -向终点C 运动．设点Q 运动的时间为()x s ，在运动过程中，点P ，点Q 经过的路线与线段PQ 围成的图形面积为2()y cm ．（1）AE = cm ，EAD ∠= ︒；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当54PQ cm =时，直接写出x 的值．26．（10分）（2019•吉林）如图，抛物线2(1)y x k =-+与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点(0,3)C -．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且0m >．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求ABP ∆面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点)P 最高点与最低点的纵坐标之差为h ．①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当9h =时，直接写出BCP ∆的面积．2019年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为()A．3 B．2 C．1 D．1-【分析】直接利用数轴得出结果即可．【解答】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为1-，故选：D．2．（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为( )A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：故选：D．3．（2分）若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是() A．1a+B．1a-C．1a÷a⨯D．1【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身，减去一正数小于本身，减去一个负数大于本身，乘以1等于本身，除以1也等于本身，逐一进行比较便可．【解答】解：A ．1a a +>，选项错误；B ．1a a -<，选项正确；C ．1a a ⨯=，选项错误；D ．1a a ÷=，选项错误；故选：B ．4．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为( )A ．30︒B ．90︒C ．120︒D ．180︒【分析】根据图形的对称性，用360︒除以3计算即可得解．【解答】解：3603120︒÷=︒，∴旋转的角度是120︒的整数倍，∴旋转的角度至少是120︒．故选：C ．5．（2分）如图，在O 中，AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒，若P 为AB 上一点，55AOP ∠=︒，则POB ∠的度数为( )A ．30︒B ．45︒C ．55︒D ．60︒【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出AOB ∠的度数，进而由角的和差求得结果．【解答】解：50ACB ∠=︒，2100AOB ACB ∴∠=∠=︒，55AOP ∠=︒，45POB ∴∠=︒，故选：B ．6．（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A 、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是( )A ．两点之间，线段最短B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．垂线段最短D ．两点确定一条直线【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程． 故选：A ．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）分解因式：21a -= (1)(1)a a +- ．【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．【解答】解：21(1)(1)a a a -=+-．故答案为：(1)(1)a a +-．8．（3分）不等式321x ->的解是 1x > ．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3，不等号的方向不变．【解答】解：321x ->，33x ∴>，1x ∴>，∴原不等式的解集为：1x >．故答案为1x >．9．（3分）计算：22y x x y = 12x． 【分析】根据分式乘除法的法则计算即可．【解答】解：2122y x x y x =， 故答案为：12x． 10．（3分）若关于x 的一元二次方程2(3)x c +=有实数根，则c 的值可以为 5（答案不唯一，只有0c 即可） （写出一个即可）．【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△0，由此可以得到关于c 的不等式，解不等式就可以求出c 的取值范围．【解答】解：一元二次方程化为2690x x c ++-=，△364(9)40c c =--=，解上式得0c ．故答为5（答案不唯一，只有0c 即可）．11．（3分）如图，E 为ABC ∆边CA 延长线上一点，过点E 作//ED BC ．若70BAC ∠=︒，50CED ∠=︒，则B ∠= 60 ︒．【分析】利用平行线的性质，即可得到50CED C ∠=∠=︒，再根据三角形内角和定理，即可得到B ∠的度数．【解答】解：//ED BC ，50CED C ∴∠=∠=︒，又70BAC ∠=︒，ABC ∴∆中，180507060B ∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：60．12．（3分）如图，在四边形ABCD 中，10AB =，BD AD ⊥．若将BCD ∆沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为 20 ．【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到152DE BE AB ===，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE 的周长为5420⨯=．【解答】解：BD AD ⊥，点E 是AB 的中点，152DE BE AB ∴===， 由折叠可得，CB BE =，CD ED =，∴四边形BCDE 的周长为5420⨯=，故答案为：20．13．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为 54 m ． 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【解答】解：设这栋楼的高度为hm ，在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋楼的影长为60m ，∴1.8390h =，解得54()h m =． 故答案为：54．14．（3分）如图，在扇形OAB 中，90AOB ∠=︒．D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的ODCE 的顶点C 在AB 上．若8OD =，6OE =，则阴影部分图形的面积是 2548π- （结果保留)π．【分析】连接OC ，根据同样只统计得到ODCE 是矩形，由矩形的性质得到90ODC ∠=︒．根据勾股定理得到10OC =，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC ，90AOB ∠=︒，四边形ODCE 是平行四边形，ODCE ∴是矩形，90ODC ∴∠=︒．8OD =，6OE =，10OC ∴=，∴阴影部分图形的面积29010862548360ππ⨯=-⨯=-． 故答案为：2548π-．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：2(1)(2)a a a -++，其中2a =．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式22221221a a a a a =-+++=+，当2a =5=．16．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．【分析】画出树状图，共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能，由概率公式即可得出结果．【解答】解：画树状图如下：共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种结果， 则取出的扇子和手绢都是红色的概率为14．17．（5分）已知y 是x 的反比例函数，并且当2x =时，6y =．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当4x =时，求y 的值．【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）直接利用4x =代入求出答案．【解答】解：（1）y 是x 的反例函数，所以，设(0)k y k x=≠，当2x =时，6y =．所以，12k xy ==，所以，12y x =；（2）当4x =时，3y =．18．（5分）如图，在ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：ABE CDF∆≅∆．【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】证明：由题意可得：AE FC=，在平行四边形ABCD中，AB DC=，A C∠=∠在ABE∆和CDF∆中，AE CFA C AB CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以，()ABE CDF SAS∆≅∆．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①，图②均为44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，90CGD CHD∠=∠=︒．【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．（2）如图，四边形CGDH即为所求．20．（7分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是（2）（填写序号）．（1）bc d a+=；（2）ac d b+=；（3）ac d b-=．【分析】问题解决设竹签有x根，山楂有y个，由题意得出方程组：548(7)x y x y+=⎧⎨-=⎩，解方程组即可；反思归纳由每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，得出ac d b+=即可．【解答】问题解决解：设竹签有x根，山楂有y个，由题意得：548(7)x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得：20104xy=⎧⎨=⎩，答：竹签有20根，山楂有104个；反思归纳解：每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则ac d b+=，故答案为：（2）．21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角CAD∠为43︒．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1)cm．（参考数据：sin430.68︒=，cos430.73︒=，tan430.93)︒=【分析】过C作CF AB⊥于F，于是得到90AFC∠=︒，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过C作CF AB⊥于F，则90AFC∠=︒，在Rt ACF∆中，30AC=，43CAF∠=︒，cosAFCAFAC∠=，cos300.7321.9AF AC CAF∴=∠=⨯=，17021.9191.9192()CE BF AB AF cm∴==+=+=≈，答：花洒顶端C到地面的距离CE为192cm．22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是 方案三 ；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为 人；②统计图中人数最多的选项为 ；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．【分析】（1）根据三个方案选出最具有代表性的一个方案即可；（2）①把电脑、手机、电视、广播、其他，这五个选项的总人数相加即可； ②从统计图中找出人数最多的选项即可；③用80⨯该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的人数所占的百分比即可得到结论．【解答】解：（1）最具有代表性的一个方案是方案三，故答案为：方案三；（2）①这次接受调查的居民人数为260400150100901000++++=人；②统计图中人数最多的选项为手机；③2604008052.81000+⨯=万人， 答：该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数52.8万人．故答案为：1000，手机．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B 地，乙车立即以原速原路返回到B 地．甲、乙两车距B 地的路程()y km 与各自行驶的时间()x h 之间的关系如图所示．（1）m =4 ，n = ；（2）求乙车距B 地的路程y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当甲车到达B 地时，求乙车距B 地的路程．【分析】（1）观察图象即可解决问题；（2）运用待定系数法解得即可；（3）把3x =代入（2）的结论即可．【解答】解：（1）根据题意可得224m =⨯=，280280 3.5120n =-÷=； 故答案为：4；120；（2）设y 关于x 的函数解析式为(02)y kx x =， 因为图象经过(2,120)，所以2120k =， 解得60k =，所以y 关于x 的函数解析式为60y x =， 设y 关于x 的函数解析式为1(24)y k x b x =+， 因为图象经过(2,120)，(4,0)两点， 所以11212040k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得160240k b =-⎧⎨=⎩，所以y 关于x 的函数解析式为60240(24)y x =-+；（3）当 3.5x =时，60 3.524030y =-⨯+=． 所以当甲车到达B 地时，乙车距B 地的路程为30km ．24．（8分）性质探究如图①，在等腰三角形ABC 中，120ACB ∠=︒，则底边AB 与腰AC 的长度之比为 3 ．理解运用（1）若顶角为120︒的等腰三角形的周长为843+，则它的面积为 ；（2）如图②，在四边形EFGH 中，EF EG EH ==． ①求证：EFG EHG FGH ∠+∠=∠； ②在边FG ，GH 上分别取中点M ，N ，连接MN ．若120FGH ∠=︒，10EF =，直接写出线段MN 的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 （用含α的式子表示）．【分析】性质探究作CD AB ⊥于D ，则90ADC BDC ∠=∠=︒，由等腰三角形的性质得出AD BD =，30A B ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出2AC CD =，3AD CD =，得出223AB AD CD ==，即可得出结果； 理解运用（1）同上得出则2AC CD =，3AD CD ，由等腰三角形的周长得出423843CD CD +=+，解得：2CD =，得出43AB =出结果；（2）①由等腰三角形的性质得出EFG EGF ∠=∠，EGH EHG ∠=∠，得出EFG EHG EGF EGH FGH ∠+∠=∠+∠=∠即可；②连接FH ，作EP FH ⊥于P ，由等腰三角形的性质得出PF PH =，由①得：120EFG EHG FGH ∠+∠=∠=︒，由四边形内角和定理求出120FEH ∠=︒，由等腰三角形的性质得出30EFH ∠=︒，由直角三角形的性质得出152PE EF ==，PF ==2FH PF ==MN 是FGH ∆的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；类比拓展作AD BC ⊥于D ，由等腰三角形的性质得出BD CD =，12BAD BAC α∠=∠=，由三角函数得出sin BD AB α=⨯，得出22sin BC BD AB α==⨯，即可得出结果．【解答】性质探究解：作CD AB ⊥于D ，如图①所示：则90ADC BDC ∠=∠=︒，AC BC =，120ACB ∠=︒， AD BD ∴=，30A B ∠=∠=︒，2AC CD ∴=，AD =，2AB AD ∴==，∴AB AC =；理解运用（1）解：如图①所示：同上得：2AC CD =，AD ，8AC BC AB ++=+，48CD ∴+=+解得：2CD =，AB ∴=，ABC ∴∆的面积11222AB CD =⨯=⨯= 故答案为：（2）①证明：EF EG EH ==，EFG EGF ∴∠=∠，EGH EHG ∠=∠，EFG EHG EGF EGH FGH ∴∠+∠=∠+∠=∠；②解：连接FH ，作EP FH ⊥于P ，如图②所示：则PF PH =，由①得：120EFG EHG FGH ∠+∠=∠=︒，360120120120FEH ∴∠=︒-︒-︒=︒，EF EH =，30EFH ∴∠=︒，152PE EF ∴==，PF ∴=，2FH PF ∴==，点M 、N 分别是FG 、GH 的中点，MN ∴是FGH ∆的中位线，12MN FH ∴== 类比拓展解：如图③所示：作AD BC ⊥于D ，AB AC =，BD CD ∴=，12BAD BAC α∠=∠=， sin BD ABα=， sin BD AB α∴=⨯，22sin BC BD AB α∴==⨯，∴2sin 2sin BC AB AB ABαα==； 故答案为：2sin α．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在矩形ABCD 中，4AD cm =，3AB cm =，E 为边BC 上一点，BE AB =，连接AE ．动点P 、Q 从点A 同时出发，点P 以2/cm s 的速度沿AE 向终点E 运动；点Q 以2/cm s 的速度沿折线AD DC -向终点C 运动．设点Q 运动的时间为()x s ，在运动过程中，点P ，点Q 经过的路线与线段PQ 围成的图形面积为2()y cm ．（1）AE = 32 cm ，EAD ∠= ︒；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当54PQ cm =时，直接写出x 的值．【分析】（1）由勾股定理可求AE 的长，由等腰三角形的性质可求EAD ∠的度数；（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）3AB cm =，3BE AB cm ==， 2232AE AB BE cm ∴=+=，45BAE BEA ∠=∠=︒90BAD ∠=︒ 45DAE ∴∠=︒故答案为：32，45（2）当02x <时，如图，过点P 作PF AD ⊥，2AP x =，45DAE ∠=︒，PF AD ⊥PF x AF ∴==，212PQA y S AQ PF x ∆∴==⨯⨯=， （2）当23x <时，如图，过点P 作PF AD ⊥，PF AF x ==，24QD x =-4DF x ∴=-，2211(24)(4)8822y x x x x x x ∴=+-+-=-+- 当732x<时，如图，点P 与点E 重合．(34)272CQ x x =+-=-，431CE cm =-= 11(14)3(72)1422y x x ∴=+⨯--⨯=+ （3）当02x <时QF AF x ==，PF AD ⊥PQ AP ∴=54PQ cm = ∴524x = 52x ∴= 当23x <时，过点P 作PM CD ⊥∴四边形MPFD 是矩形42PM DF x ∴==-，MD PF x ==，(24)4MQ x x x ∴=--=-222MP MQ PQ +=，2225(42)(4)16x x ∴-+-=△0<∴方程无解 当732x <时，222PQ CP CQ =+，∴2251(72)16x =+-， 258x ∴=综上所述：258x =或52 26．（10分）如图，抛物线2(1)y x k =-+与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点(0,3)C -．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且0m >．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求ABP ∆面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点)P 最高点与最低点的纵坐标之差为h ．①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当9h =时，直接写出BCP ∆的面积．【分析】（1）将点(0,3)C -代入2(1)y x k =-+即可；（2）易求(1,0)A -，(3,0)B ，抛物线顶点为(1,4)-，当P 位于抛物线顶点时，ABP ∆的面积有最大值；（3）)①当01m <时，223(23)2h m m m m =----=-+；当12m <时，1(4)1h =---=；当2m >时，2223(4)21h m m m m =----=-+；②当9h =时若229m m -+=，此时△0<，m 无解；若2219m m -+=，则4m =，则(4,5)P ，BCP ∆的面积1118451(41)36222=⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=； 【解答】解：（1）将点(0,3)C -代入2(1)y x k =-+，得4k =-，22(1)423y x x x ∴=--=--；（2）令0y =，1x =-或3x =，(1,0)A ∴-，(3,0)B ，4AB ∴=；抛物线顶点为(1,4)-，当P 位于抛物线顶点时，ABP ∆的面积有最大值，14482S =⨯⨯=； （3）①当01m <时，223(23)2h m m m m =----=-+；当12m <时，1(4)1h =---=；当2m >时，2223(4)21h m m m m =----=-+；②当9h =时若229m m -+=，此时△0<，m 无解；若2219m m -+=，则4m =，(4,5)P ∴，(3,0)B ，(0,3)C -，BCP ∴∆的面积1118451(41)36222=⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=；声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/7/10 10:09:00；用户：数学；邮箱：85886818-2@；学号：27755521【素材积累】1、成都，是一个微笑的城市，宁静而美丽。
2019年吉林省中考数学试卷以及逐题解析版
2019年吉林省中考数学试卷以及逐题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为()A．3B．2C．1D．1-2．（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为()A．B．C．D．3．（2分）若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是()A．1a÷a⨯D．1a-C．1a+B．14．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为()A．30︒B．90︒C．120︒D．180︒5．（2分）如图，在O中，AB所对的圆周角50∠=︒，AOPACB∠=︒，若P为AB上一点，55则POB∠的度数为()A．30︒B．45︒C．55︒D．60︒6．（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A 、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是( )A ．两点之间，线段最短B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．垂线段最短D ．两点确定一条直线二、填空题（每小题3分，共24分） 7．（3分）分解因式：21a -= ． 8．（3分）不等式321x ->的解是 ． 9．（3分）计算：22y xx y= ． 10．（3分）若关于x 的一元二次方程2(3)x c +=有实数根，则c 的值可以为 （写出一个即可）．11．（3分）如图，E 为ABC ∆边CA 延长线上一点，过点E 作//ED BC ．若70BAC ∠=︒，50CED ∠=︒，则B ∠= ︒．12．（3分）如图，在四边形ABCD 中，10AB =，BD AD ⊥．若将BCD ∆沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为 ．13．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为 m ．14．（3分）如图，在扇形OAB 中，90AOB ∠=︒．D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的ODCE 的顶点C 在AB 上．若8OD =，6OE =，则阴影部分图形的面积是（结果保留)π．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：2(1)(2)a a a -++，其中2a =．16．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．17．（5分）已知y 是x 的反比例函数，并且当2x =时，6y =． （1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当4x =时，求y 的值．18．（5分）如图，在ABCD 中，点E 在边AD 上，以C 为圆心，AE 长为半径画弧，交边BC 于点F ，连接BE 、DF ．求证：ABE CDF ∆≅∆．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①，图②均为44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB ，在图②中已画出线段CD ，其中A 、B 、C 、D 均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠=∠=︒．90CGD CHD20．（7分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是（填写序号）．（1）bc d a-=．+=；（2）ac d b+=；（3）ac d b21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角CAD∠为43︒．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1)︒=cm．（参考数据：sin430.68︒=，cos430.73︒=，tan430.93)22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为人；②统计图中人数最多的选项为；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程x h之间的关系如图所示．y km与各自行驶的时间()()（1）m=，n=；（2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．24．（8分）性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，120∠=︒，则底边AB与腰AC的长度之比为．ACB理解运用（1）若顶角为120︒的等腰三角形的周长为843+，则它的面积为 ； （2）如图②，在四边形EFGH 中，EF EG EH ==． ①求证：EFG EHG FGH ∠+∠=∠；②在边FG ，GH 上分别取中点M ，N ，连接MN ．若120FGH ∠=︒，10EF =，直接写出线段MN 的长． 类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 （用含α的式子表示）．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在矩形ABCD 中，4AD cm =，3AB cm =，E 为边BC 上一点，BE AB =，连接AE ．动点P 、Q 从点A 同时出发，点P 以2/cm s 的速度沿AE 向终点E 运动；点Q 以2/cm s 的速度沿折线AD DC -向终点C 运动．设点Q 运动的时间为()x s ，在运动过程中，点P ，点Q 经过的路线与线段PQ 围成的图形面积为2()y cm ． （1）AE = cm ，EAD ∠= ︒；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当54PQ cm =时，直接写出x 的值．26．（10分）如图，抛物线2(1)y x k =-+与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点(0,3)C -．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且0m >． （1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求ABP∆面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点)P最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当9∆的面积．h=时，直接写出BCP2019年吉林省中考数学试卷答案与解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为()A．3B．2C．1D．1-【分析】直接利用数轴得出结果即可．【解答】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为1-，故选：D．【点评】本题考查了数轴、根据数轴1-是解题关键．2．（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为()A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．（2分）若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是()A．1a÷a⨯D．1 a+B．1a-C．1【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身，减去一正数小于本身，减去一个负数大于本身，乘以1等于本身，除以1也等于本身，逐一进行比较便可．【解答】解：A．1+>，选项错误；a aB．1-<，选项正确；a aC．1⨯=，选项错误；a aD．1÷=，选项错误；a a故选：B．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，具体考查了一个数加1，减1，乘1，除以1，值的大小变化规律．基础题．4．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为()A．30︒B．90︒C．120︒D．180︒【分析】根据图形的对称性，用360︒除以3计算即可得解．【解答】解：3603120︒÷=︒，∴旋转的角度是120︒的整数倍，∴旋转的角度至少是120︒．故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120︒的整数倍是解题的关键．5．（2分）如图，在O中，AB所对的圆周角50AOP∠=︒，ACB∠=︒，若P为AB上一点，55则POB∠的度数为()A．30︒B．45︒C．55︒D．60︒【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出AOB∠的度数，进而由角的和差求得结果．【解答】解：50∠=︒，ACB∴∠=∠=︒，AOB ACB2100∠=︒，55AOP45POB ∴∠=︒，故选：B ．【点评】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．6．（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A 、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是( )A ．两点之间，线段最短B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．垂线段最短D ．两点确定一条直线【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程． 故选：A ．【点评】此题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）分解因式：21a -= (1)(1)a a +- ．【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-． 【解答】解：21(1)(1)a a a -=+-． 故答案为：(1)(1)a a +-．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键． 8．（3分）不等式321x ->的解是 1x > ．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3，不等号的方向不变．【解答】解：321x ->，33x ∴>，1x ∴>，∴原不等式的解集为：1x >．故答案为1x >．【点评】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．9．（3分）计算：22y x x y = 12x ． 【分析】根据分式乘除法的法则计算即可． 【解答】解：2122y x x y x =， 故答案为：12x． 【点评】本题考查了分式的乘除法，熟记法则是解题的关键．10．（3分）若关于x 的一元二次方程2(3)x c +=有实数根，则c 的值可以为 5（答案不唯一，只有0c 即可） （写出一个即可）．【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△0，由此可以得到关于c 的不等式，解不等式就可以求出c 的取值范围．【解答】解：一元二次方程化为2690x x c ++-=，△364(9)40c c =--=， 解上式得0c ．故答为5（答案不唯一，只有0c 即可）．【点评】本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，关键在于求出c 的取值范围．11．（3分）如图，E 为ABC ∆边CA 延长线上一点，过点E 作//ED BC ．若70BAC ∠=︒，50CED ∠=︒，则B ∠= 60 ︒．【分析】利用平行线的性质，即可得到50CED C ∠=∠=︒，再根据三角形内角和定理，即可得到B ∠的度数．【解答】解：//ED BC ，50CED C ∴∠=∠=︒，又70BAC ∠=︒，ABC ∴∆中，180507060B ∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：60．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．12．（3分）如图，在四边形ABCD 中，10AB =，BD AD ⊥．若将BCD ∆沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为 20 ．【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到152DE BE AB ===，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE 的周长为5420⨯=．【解答】解：BD AD ⊥，点E 是AB 的中点，152DE BE AB ∴===， 由折叠可得，CB BE =，CD ED =，∴四边形BCDE 的周长为5420⨯=，故答案为：20．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．13．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为 54 m ．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【解答】解：设这栋楼的高度为hm，在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，∴1.8390h=，解得54()h m=．故答案为：54．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．14．（3分）如图，在扇形OAB中，90AOB∠=︒．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的ODCE的顶点C在AB上．若8OD=，6OE=，则阴影部分图形的面积是2548π-（结果保留)π．【分析】连接OC，根据同样只统计得到ODCE是矩形，由矩形的性质得到90ODC∠=︒．根据勾股定理得到10OC=，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC，90AOB∠=︒，四边形ODCE是平行四边形，ODCE∴是矩形，90ODC∴∠=︒．8OD=，6OE=，10OC∴=，∴阴影部分图形的面积29010862548 360ππ⨯=-⨯=-．故答案为：2548π-．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：2(1)(2)a a a -++，其中2a =．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式22221221a a a a a =-+++=+，当2a =时，原式5=．【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．【分析】画出树状图，共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能，由概率公式即可得出结果．【解答】解：画树状图如下：共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种结果，则取出的扇子和手绢都是红色的概率为14．【点评】此题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（5分）已知y 是x 的反比例函数，并且当2x =时，6y =．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当4x =时，求y 的值．【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）直接利用4x =代入求出答案．【解答】解：（1）y 是x 的反例函数， 所以，设(0)k y k x=≠， 当2x =时，6y =．所以，12k xy ==，所以，12y x=；（2）当4x =时，3y =．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键．18．（5分）如图，在ABCD 中，点E 在边AD 上，以C 为圆心，AE 长为半径画弧，交边BC 于点F ，连接BE 、DF ．求证：ABE CDF ∆≅∆．【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】证明：由题意可得：AE FC =，在平行四边形ABCD 中，AB DC =，A C ∠=∠在ABE ∆和CDF ∆中，AE CF A C AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以，()ABE CDF SAS ∆≅∆．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确掌握基本作图方法是解题关键．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①，图②均为44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB ，在图②中已画出线段CD ，其中A 、B 、C 、D 均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB 为对角线画一个菱形AEBF ，且E ，F 为格点；（2）在图②中，以CD 为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH ，且G ，H 为格点，90CGD CHD ∠=∠=︒．【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）如图，菱形AEBF 即为所求．（2）如图，四边形CGDH 即为所求．【点评】本题考查作图-应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（7分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a 根竹签，b 个山楂．若每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，则下列等式成立的是 （2） （填写序号）．（1）bc d a +=；（2）ac d b +=；（3）ac d b -=．【分析】问题解决设竹签有x根，山楂有y个，由题意得出方程组：548(7)x yx y+=⎧⎨-=⎩，解方程组即可；反思归纳由每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，得出ac d b+=即可．【解答】问题解决解：设竹签有x根，山楂有y个，由题意得：548(7)x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得：20104xy=⎧⎨=⎩，答：竹签有20根，山楂有104个；反思归纳解：每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则ac d b+=，故答案为：（2）．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角CAD∠为43︒．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1)cm．（参考数据：sin430.68︒=，cos430.73︒=，tan430.93)︒=【分析】过C作CF AB⊥于F，于是得到90AFC∠=︒，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过C作CF AB⊥于F，则90AFC∠=︒，在Rt ACF∆中，30AC=，43CAF∠=︒，cosAFCAFAC∠=，cos300.7321.9AF AC CAF∴=∠=⨯=，17021.9191.9192()CE BF AB AF cm∴==+=+=≈，答：花洒顶端C到地面的距离CE为192cm．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是方案三；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为人；②统计图中人数最多的选项为；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．【分析】（1）根据三个方案选出最具有代表性的一个方案即可；（2）①把电脑、手机、电视、广播、其他，这五个选项的总人数相加即可；②从统计图中找出人数最多的选项即可；③用80⨯该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的人数所占的百分比即可得到结论．【解答】解：（1）最具有代表性的一个方案是方案三，故答案为：方案三；（2）①这次接受调查的居民人数为260400150100901000++++=人；②统计图中人数最多的选项为手机；③2604008052.81000+⨯=万人，答：该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数52.8万人．故答案为：1000，手机．【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；也考查了用样本估计总体．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程()y km与各自行驶的时间()x h之间的关系如图所示．（1）m=4，n=；（2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．【分析】（1）观察图象即可解决问题；（2）运用待定系数法解得即可；（3）把3x =代入（2）的结论即可．【解答】解：（1）根据题意可得224m =⨯=，280280 3.5120n =-÷=；故答案为：4；120；（2）设y 关于x 的函数解析式为(02)y kx x =，因为图象经过(2,120)，所以2120k =，解得60k =，所以y 关于x 的函数解析式为60y x =，设y 关于x 的函数解析式为1(24)y k x b x =+，因为图象经过(2,120)，(4,0)两点，所以11212040k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得160240k b =-⎧⎨=⎩， 所以y 关于x 的函数解析式为60240(24)y x =-+；（3）当 3.5x =时，60 3.524030y =-⨯+=．所以当甲车到达B 地时，乙车距B 地的路程为30km ．【点评】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式．24．（8分）性质探究如图①，在等腰三角形ABC 中，120ACB ∠=︒，则底边AB 与腰AC 的长度之比为3 ．理解运用（1）若顶角为120︒的等腰三角形的周长为843+，则它的面积为 ；（2）如图②，在四边形EFGH 中，EF EG EH ==．①求证：EFG EHG FGH ∠+∠=∠； ②在边FG ，GH 上分别取中点M ，N ，连接MN ．若120FGH ∠=︒，10EF =，直接写出线段MN 的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 （用含α的式子表示）．【分析】性质探究作CD AB ⊥于D ，则90ADC BDC ∠=∠=︒，由等腰三角形的性质得出AD BD =，30A B ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出2AC CD =，3AD CD =，得出223AB AD CD ==，即可得出结果；理解运用（1）同上得出则2AC CD =，3AD CD ，由等腰三角形的周长得出423843CD CD +=+，解得：2CD =，得出43AB =（2）①由等腰三角形的性质得出EFG EGF ∠=∠，EGH EHG ∠=∠，得出EFG EHG EGF EGH FGH ∠+∠=∠+∠=∠即可；②连接FH ，作EP FH ⊥于P ，由等腰三角形的性质得出PF PH =，由①得：120EFG EHG FGH ∠+∠=∠=︒，由四边形内角和定理求出120FEH ∠=︒，由等腰三角形的性质得出30EFH ∠=︒，由直角三角形的性质得出152PE EF ==，353PF PE ==2103FH PF ==MN 是FGH ∆的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果； 类比拓展作AD BC ⊥于D ，由等腰三角形的性质得出BD CD =，12BAD BAC α∠=∠=，由三角函数得出sin BD AB α=⨯，得出22sin BC BD AB α==⨯，即可得出结果．【解答】性质探究解：作CD AB ⊥于D ，如图①所示：则90ADC BDC ∠=∠=︒，AC BC =，120ACB ∠=︒，AD BD ∴=，30A B ∠=∠=︒，2AC CD ∴=，AD =，2AB AD ∴==，∴AB AC =；理解运用（1）解：如图①所示：同上得：2AC CD =，AD =，8AC BC AB ++=+，48CD ∴+=+解得：2CD =，AB ∴=，ABC ∴∆的面积11222AB CD =⨯=⨯=故答案为：（2）①证明：EF EG EH ==，EFG EGF ∴∠=∠，EGH EHG ∠=∠，EFG EHG EGF EGH FGH ∴∠+∠=∠+∠=∠；②解：连接FH ，作EP FH ⊥于P ，如图②所示：则PF PH =，由①得：120EFG EHG FGH ∠+∠=∠=︒，360120120120FEH ∴∠=︒-︒-︒=︒，EF EH =，30EFH ∴∠=︒， 152PE EF ∴==， 353PF PE ∴==，2103FH PF ∴==，点M 、N 分别是FG 、GH 的中点，MN ∴是FGH ∆的中位线，1532MN FH ∴==； 类比拓展解：如图③所示：作AD BC ⊥于D ，AB AC =，BD CD ∴=，12BAD BAC α∠=∠=， sin BD ABα=， sin BD AB α∴=⨯，22sin BC BD AB α∴==⨯，∴2sin 2sin BC AB AB ABαα==； 故答案为：2sin α．【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、四边形内角和定理、就直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和含30︒角的直角三角形的性质是解题的关键．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在矩形ABCD 中，4AD cm =，3AB cm =，E 为边BC 上一点，BE AB =，连接AE ．动点P 、Q 从点A 同时出发，点P 以2/cm s 的速度沿AE 向终点E 运动；点Q 以2/cm s 的速度沿折线AD DC -向终点C 运动．设点Q 运动的时间为()x s ，在运动过程中，点P ，点Q 经过的路线与线段PQ 围成的图形面积为2()y cm ．（1）AE = 32 cm ，EAD ∠= ︒；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当54PQ cm =时，直接写出x 的值．【分析】（1）由勾股定理可求AE 的长，由等腰三角形的性质可求EAD ∠的度数；（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）3AB cm =，3BE AB cm ==，2232AE AB BE cm ∴+=，45BAE BEA ∠=∠=︒90BAD ∠=︒45DAE ∴∠=︒故答案为：3245（2）当02x <时，如图，过点P 作PF AD ⊥， 2AP x =，45DAE ∠=︒，PF AD ⊥PF x AF ∴==，212PQA y S AQ PF x ∆∴==⨯⨯=， （2）当23x <时，如图，过点P 作PF AD ⊥，PF AF x ==，24QD x =-4DF x ∴=-，2211(24)(4)8822y x x x x x x ∴=+-+-=-+- 当732x<时，如图，点P 与点E 重合．(34)272CQ x x =+-=-，431CE cm =-=11(14)3(72)1422y x x ∴=+⨯--⨯=+ （3）当02x <时QF AF x ==，PF AD ⊥PQ AP ∴= 54PQ cm = ∴524x = 528x ∴= 当23x <时，过点P 作PM CD ⊥∴四边形MPFD 是矩形42PM DF x ∴==-，MD PF x ==，(24)4MQ x x x ∴=--=-222MP MQ PQ +=，2225(42)(4)16x x ∴-+-= △0<∴方程无解当732x <时，222PQ CP CQ =+，∴2251(72)16x =+-， 258x ∴=综上所述：258x =52【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．26．（10分）如图，抛物线2(1)y x k =-+与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点(0,3)C -．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且0m >．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求ABP ∆面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点)P 最高点与最低点的纵坐标之差为h ． ①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当9h =时，直接写出BCP ∆的面积．【分析】（1）将点(0,3)C -代入2(1)y x k =-+即可；（2）易求(1,0)A -，(3,0)B ，抛物线顶点为(1,4)-，当P 位于抛物线顶点时，ABP ∆的面积有最大值；（3）)①当01m <时，223(23)2h m m m m =----=-+；当12m <时，1(4)1h =---=；当2m >时，2223(4)21h m m m m =----=-+；②当9h =时若229m m -+=，此时△0<，m 无解；若2219m m -+=，则4m =，则(4,5)P ，BCP ∆的面积1118451(41)36222=⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=； 【解答】解：（1）将点(0,3)C -代入2(1)y x k =-+，得4k =-，22(1)423y x x x ∴=--=--；（2）令0y =，1x =-或3x =，(1,0)A ∴-，(3,0)B ，4AB ∴=；抛物线顶点为(1,4)-，当P 位于抛物线顶点时，ABP ∆的面积有最大值，14482S =⨯⨯=； （3）①当01m <时，223(23)2h m m m m =----=-+；当12m <时，1(4)1h =---=；当2m >时，2223(4)21h m m m m =----=-+；②当9h =时若229m m -+=，此时△0<，m 无解；若2219m m -+=，则4m =，(4,5)P ∴，(3,0)B ，(0,3)C -，BCP ∴∆的面积1118451(41)36222=⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=； 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．。
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2019年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）（2017•吉林）计算（﹣1）2的正确结果是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣22．（2分）（2017•吉林）如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（）A．B．C．D．3．（2分）（2017•吉林）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．（a2）3＝a6D．（ab）2＝ab2 4．（2分）（2017•吉林）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（2分）（2017•吉林）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC 于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的度数是（）A．70°B．44°C．34°D．24°6．（2分）（2017•吉林）如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若AB＝12，OA＝5，则BC的长为（）A．5B．6C．7D．8二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）（2017•吉林）2016年我国资助各类家庭困难学生超过84 000 000人次．将84 000 000这个数用科学记数法表示为．8．（3分）（2017•吉林）苹果原价是每千克x元，按8折优惠出售，该苹果现价是每千克元（用含x的代数式表示）．9．（3分）（2017•吉林）分解因式：a2+4a+4＝．10．（3分）（2017•吉林）我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b 的根据是．11．（3分）（2017•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．矩形ABCD绕着点A 逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为．12．（3分）（2017•吉林）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m 的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝4m，BD＝14m，则旗杆AB的高为m．13．（3分）（2017•吉林）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画BÊ，CÊ．若AB＝1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．14．（3分）（2017•吉林）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y＝kx+b与y＝bx+k互为交换函数．例如：y＝4x+3的交换函数为y＝3x+4．一次函数y＝kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）（2017•吉林）某学生化简分式1x+1+2x2−1出现了错误，解答过程如下：原式=1(x+1)(x−1)+2(x+1)(x−1)（第一步）=1+2(x+1)(x−1)（第二步）=3x2−1．（第三步）（1）该学生解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是；（2）请写出此题正确的解答过程．16．（5分）（2017•吉林）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．17．（5分）（2017•吉林）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．18．（5分）（2017•吉林）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）（2017•吉林）某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如下表：第1月第2月第3月第4月第5月月份销售额人员甲7.29.69.67.89.3乙 5.89.79.8 5.89.9丙4 6.28.59.99.9（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：统计值平均数（万元）中位数（万元）众数（万元）数值人员甲9.39.6乙8.2 5.8丙7.78.5（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由．20．（7分）（2017•吉林）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．21．（7分）（2017•吉林）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin34°＝0.56，cos34°＝0.83，tan34°＝0.67．）22．（7分）（2017•吉林）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．过点A作AC平行于x轴交y轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD=12OC，且△ACD的面积是6，连接BC．（1）求m，k，n的值；（2）求△ABC的面积．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）（2017•吉林）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD＝30°，AD＝1．将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；（2）四边形ABC'D′的周长为；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．24．（8分）（2017•吉林）如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．（1）正方体的棱长为cm；（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）（2017•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AB＝4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB 于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．26．（10分）（2017•吉林）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣2）2−43经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a＝．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．2017年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）（2017•吉林）计算（﹣1）2的正确结果是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：原式＝1．故选：A．2．（2分）（2017•吉林）如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（）A．B．C．D．【解答】解：正六棱柱的俯视图为正六边形．故选：B．3．（2分）（2017•吉林）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．（a2）3＝a6D．（ab）2＝ab2【解答】解：（A）a2与a3不是同类项，故A错误；（B）原式＝a5，故B错误；（D）原式＝a2b2，故D错误；故选：C．4．（2分）（2017•吉林）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵x+1≥2，∴x≥1．故选：A．5．（2分）（2017•吉林）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC 于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的度数是（）A．70°B．44°C．34°D．24°【解答】解：∵AB＝BD，∠B＝40°，∴∠ADB＝70°，∵∠C＝36°，∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝34°．故选：C．6．（2分）（2017•吉林）如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若AB＝12，OA＝5，则BC的长为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：由勾股定理，得OB=√OA2+AB2=13，CB＝OB﹣OC＝13﹣5＝8，故选：D．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）（2017•吉林）2016年我国资助各类家庭困难学生超过84 000 000人次．将84 000 000这个数用科学记数法表示为8.4×107．【解答】解：84 000 000＝8.4×107，故答案为：8.4×107．8．（3分）（2017•吉林）苹果原价是每千克x元，按8折优惠出售，该苹果现价是每千克0.8x 元（用含x的代数式表示）．【解答】解：依题意得：该苹果现价是每千克80%x＝0.8x．故答案是：0.8x．9．（3分）（2017•吉林）分解因式：a2+4a+4＝（a+2）2．【解答】解：a2+4a+4＝（a+2）2．故答案为：（a+2）2．10．（3分）（2017•吉林）我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b 的根据是同位角相等，两直线平行．【解答】解：如图所示：根据题意得出：∠1＝∠2；∠1和∠2是同位角；∵∠1＝∠2，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；故答案为：同位角相等，两直线平行．11．（3分）（2017•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．矩形ABCD绕着点A 逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为1．【解答】解：由旋转的性质得到AB ＝AB ′＝5，在直角△AB ′D 中，∠D ＝90°，AD ＝3，AB ′＝AB ＝5， 所以B ′D =√AB′2−AD 2=√52−32=4， 所以B ′C ＝5﹣B ′D ＝1． 故答案是：1．12．（3分）（2017•吉林）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB 的高度，使用长为2m 的竹竿CD 作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O 处重合，测得OD ＝4m ，BD ＝14m ，则旗杆AB 的高为 9 m ．【解答】解：∵OD ＝4m ，BD ＝14m ， ∴OB ＝OD +BD ＝18m ，由题意可知∠ODC ＝∠OBA ，且∠O 为公共角， ∴△OCD ∽△OAB ， ∴OD OB=CD AB，即418=2AB，解得AB ＝9，即旗杆AB 的高为9m ． 故答案为：9．13．（3分）（2017•吉林）如图，分别以正五边形ABCDE 的顶点A ，D 为圆心，以AB 长为半径画BÊ，CE ̂．若AB ＝1，则阴影部分图形的周长为 65π+1 （结果保留π）．【解答】解：∵五边形ABCDE 为正五边形，AB ＝1， ∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ＝1，∠A ＝∠D ＝108°， ∴BÊ=CE ̂=108°180°•πAB =35π， ∴C 阴影=BE ̂+CE ̂+BC =65π+1． 故答案为：65π+1．14．（3分）（2017•吉林）我们规定：当k ，b 为常数，k ≠0，b ≠0，k ≠b 时，一次函数y ＝kx +b 与y ＝bx +k 互为交换函数．例如：y ＝4x +3的交换函数为y ＝3x +4．一次函数y ＝kx +2与它的交换函数图象的交点横坐标为 1 ． 【解答】解：由题意可得， {y =kx +2y =2x +k ， 解得，{x =1y =k +2，故答案为：1．三、解答题（每小题5分，共20分） 15．（5分）（2017•吉林）某学生化简分式1x+1+2x 2−1出现了错误，解答过程如下：原式=1(x+1)(x−1)+2(x+1)(x−1)（第一步）=1+2(x+1)(x−1)（第二步）=3x 2−1．（第三步） （1）该学生解答过程是从第 一 步开始出错的，其错误原因是 分式的基本性质 ； （2）请写出此题正确的解答过程．【解答】解：（1）一、分式的基本性质用错； （2）原式=x−1(x+1)(x−1)+2(x+1)(x−1)=x+1(x+1)(x−1)=1x−1故答案为：（1）一、分式的基本性质用错；16．（5分）（2017•吉林）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km ，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km ．求隧道累计长度与桥梁累计长度．【解答】解：设隧道累计长度为xkm ，桥梁累计长度为ykm ， 根据题意得：{x +y =3422x =y +36，解得：{x =126y =216．答：隧道累计长度为126km ，桥梁累计长度为216km ．17．（5分）（2017•吉林）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况， ∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为49．18．（5分）（2017•吉林）如图，点E 、F 在BC 上，BE ＝FC ，AB ＝DC ，∠B ＝∠C ．求证：∠A ＝∠D ．【解答】证明：∵BE ＝FC ， ∴BE +EF ＝CF +EF ，即BF＝CE；又∵AB＝DC，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）（2017•吉林）某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如下表：第1月第2月第3月第4月第5月月份销售额人员甲7.29.69.67.89.3乙 5.89.79.8 5.89.9丙4 6.28.59.99.9（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：平均数（万元）中位数（万元）众数（万元）统计值数值人员甲8.79.39.6乙8.29.7 5.8丙7.78.59.9（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由．=15（7.2+9.6+9.6+7.8+9.3）＝8.7（万元）【解答】解：（1）x甲把乙按照从小到大依次排列，可得5.8，5.8，9.7，9.8，9.9；中位数为9.7万元．丙中出现次数最多的数为9.9万元．故答案为：8.7，9.7，9.9；（2）我赞同甲的说法．甲的平均销售额比乙、丙都高．20．（7分）（2017•吉林）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．【解答】解：（1）如图①、②所示，△ABC和△ABD即为所求；（2）如图③所示，▱ABFE即为所求．21．（7分）（2017•吉林）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin34°＝0.56，cos34°＝0.83，tan34°＝0.67．）【解答】解：由题意可得：∠AOC＝90°，OC＝5km．在Rt △AOC 中， ∵tan34°=OAOC ，∴OA ＝OC •tan34°＝5×0.67＝3.35km ， 在Rt △BOC 中，∠BCO ＝45°， ∴OB ＝OC ＝5km ，∴AB ＝5﹣3.35＝1.65≈1.7km ， 答：A ，B 两点间的距离约为1.7km ．22．（7分）（2017•吉林）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与函数y =kx（x ＞0）的图象交于点A （m ，2），B （2，n ）．过点A 作AC 平行于x 轴交y 轴于点C ，在y 轴负半轴上取一点D ，使OD =12OC ，且△ACD 的面积是6，连接BC ． （1）求m ，k ，n 的值； （2）求△ABC 的面积．【解答】解：（1）∵点A 的坐标为（m ，2），AC 平行于x 轴， ∴OC ＝2，AC ⊥y 轴， ∵OD =12OC ， ∴OD ＝1， ∴CD ＝3，∵△ACD 的面积为6， ∴12CD •AC ＝6，∴AC ＝4，即m ＝4，则点A 的坐标为（4，2），将其代入y =kx 可得k ＝8，∵点B（2，n）在y=8x的图象上，∴n＝4；（2）如图，过点B作BE⊥AC于点E，则BE＝2，∴S△ABC=12AC•BE=12×4×2＝4，即△ABC的面积为4．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）（2017•吉林）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD＝30°，AD＝1．将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；（2）四边形ABC'D′的周长为4√3；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．【解答】解：（1）∵BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD＝30°，∴∠ADB＝60°，由平移可得，B'C'＝BC＝AD，∠D'B'C'＝∠DBC＝∠ADB＝60°，∴AD∥B'C'∴四边形AB'C'D是平行四边形，∵B'为BD中点，∴Rt△ABD中，AB'=12BD＝DB'，又∵∠ADB＝60°，∴△ADB'是等边三角形，∴AD＝AB'，∴四边形AB'C'D是菱形；（2）由平移可得，AB＝C'D'，∠ABD'＝∠C'D'B＝30°，∴AB∥C'D'，∴四边形ABC'D'是平行四边形，由（1）可得，AC'⊥B'D，∴四边形ABC'D'是菱形，∵AB=√3AD=√3，∴四边形ABC'D′的周长为4√3，故答案为：4√3；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：∴矩形周长为6+√3或2√3+3．24．（8分）（2017•吉林）如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．（1）正方体的棱长为 10 cm ；（2）求线段AB 对应的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）如果将正方体铁块取出，又经过t （s ）恰好将此水槽注满，直接写出t 的值．【解答】解：（1）由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10cm ，12秒后水槽内高度变化趋势改变， 故正方体的棱长为10cm ； 故答案为：10；（2）设线段AB 对应的函数解析式为：y ＝kx +b ， ∵图象过A （12，10），B （28，20）， ∴{12k +b =1028k +b =20， 解得：{k =58b =52， ∴线段AB 对应的解析式为：y =58x +52（12≤x ≤28）；（3）∵28﹣12＝16（s ），∴没有立方体时，水面上升10cm ，所用时间为：16秒， ∵前12秒由立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒， ∴将正方体铁块取出，经过4秒恰好将此水槽注满． 六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）（2017•吉林）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝4cm ．点P 从点A 出发，以2cm /s 的速度沿边AB 向终点B 运动．过点P 作PQ ⊥AB 交折线ACB于点Q ，D 为PQ 中点，以DQ 为边向右侧作正方形DEFQ ．设正方形DEFQ 与△ABC 重叠部分图形的面积是y （cm 2），点P 的运动时间为x （s ）．（1）当点Q 在边AC 上时，正方形DEFQ 的边长为 x cm （用含x 的代数式表示）； （2）当点P 不与点B 重合时，求点F 落在边BC 上时x 的值； （3）当0＜x ＜2时，求y 关于x 的函数解析式；（4）直接写出边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围． 【解答】解：（1）∵∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，PQ ⊥AB ， ∴∠AQP ＝45°， ∴PQ ＝AP ＝2x ， ∵D 为PQ 中点， ∴DQ ＝x ， 故答案为：x ；（2）如图①，延长FE 交AB 于G ，由题意得AP ＝2x ， ∵D 为PQ 中点， ∴DQ ＝x ， ∴GP ＝x ， ∴2x +x +2x ＝4， ∴x =45；（3）如图②，当0＜x ≤45时，y ＝S 正方形DEFQ ＝DQ 2＝x 2， ∴y ＝x 2；如图③，当45＜x ≤1时，过C 作CH ⊥AB 于H ，交FQ 于K ，则CH =12AB ＝2，∵PQ ＝AP ＝2x ，CK ＝2﹣2x ，∴MQ ＝2CK ＝4﹣4x ，FM ＝x ﹣（4﹣4x ）＝5x ﹣4， ∴y ＝S 正方形DEFQ ﹣S △MNF ＝DQ 2−12FM 2，∴y＝x2−12（5x﹣4）2=−232x2+20x﹣8，∴y=−232x2+20x﹣8；如图④，当1＜x＜2时，PQ＝4﹣2x，∴DQ＝2﹣x，∴y＝S△DEQ=12DQ2，∴y=12（2﹣x）2，∴y=12x2﹣2x+2；（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，即2x＝2，∴x＝1，当Q为BC的中点时，BQ=√2，PB＝1，∴AP＝3，∴2x＝3，∴x=3 2，∴边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围为：1＜x＜3 2．26．（10分）（2017•吉林）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣2）2−43经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a＝13．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．【解答】解：【问题】∵抛物线y＝a（x﹣2）2−43经过原点O，∴0＝a（0﹣2）2−4 3，a=1 3，故答案为：13；【操作】：如图①，抛物线：y =13（x ﹣2）2−43，对称轴是：直线x ＝2，由对称性得：A （4，0），如图②，沿x 轴折叠后所得抛物线为：y =−13（x ﹣2）2+43图象G 对应的函数解析式为：y ={13(x −2)2−43(x ≤0或x ≥4)−13(x −2)2+43(0＜x ＜4)；【探究】：如图③，由题意得：当y ＝1时，13（x ﹣2）2−43=1， 解得：x 1＝2+√7，x 2＝2−√7，∴C （2−√7，1），F （2+√7，1），当y ＝1时，−13（x ﹣2）2+43=1，解得：x 1＝3，x 2＝1，∴D （1，1），E （3，1），由图象得：图象G 在直线l 上方的部分，当1＜x ＜2或x ＞2+√7时，函数y 随x 增大而增大；【应用】：∵D （1，1），E （3，1），∴DE ＝3﹣1＝2，∵S △PDE =12DE •h ≥1，∴h ≥1；①当P 在C 的左侧或F 的右侧部分时，设P [m ，13(m −2)2−43]， ∴h =13（m ﹣2）2−43−1≥1，（m ﹣2）2≥10，m ﹣2≥√10或m ﹣2≤−√10，m ≥2+√10或m ≤2−√10，②如图③，作对称轴交抛物线G 于H ，交直线CD 于M ，交x 轴于N ， ∵H （2，43）， ∴HM =43−1=13＜1， ∴点P 不可能在DE 的上方；③∵MN ＝1，且O （0，0），A （4，0），∴P 不可能在CO （除O 点）、OD 、EA （除A 点）、AF 上，∴P 与O 或A 重合时，符合条件，∴m ＝0或m ＝4；综上所述，△PDE 的面积不小于1时，m 的取值范围是：m ＝0或m ＝4或m ≤2−√10或m ≥2+√10．。