数学思想的基本内涵
初中数学主要思想方法的内涵及层次结构探析
初中数学主要思想方法的内涵及层次结构探析初中数学是数学知识体系的重要组成部分，它是培养学生数学思维能力和数学素养的基础阶段。
在初中数学教学中，思想方法的内涵及层次结构探析是非常重要的。
接下来，我们将从基本思想方法、数学思维方法和数学实践方法三个层次对初中数学主要思想方法的内涵及层次结构展开探讨。
一、基本思想方法基本思想方法是初中数学教学的基础，它包括数学思想、逻辑思维和抽象思维三个方面。
数学思想是指学生在数学学习和运用中形成的数学的基本认识、观念和概念。
它是一种对数学对象及其本质的认识和把握。
逻辑思维是指学生在数学学习和运用中运用逻辑规律进行思考和分析的能力。
它是在数学问题的解决中，运用逻辑规律进行论证和推理的学科思维方法。
抽象思维是指学生在数学学习和运用中将具体问题抽象化，并形成一般性的概念和结论的能力。
它是学生运用抽象概念和结论处理数学问题时的思维方法。
二、数学思维方法数学思维方法是学生学习与运用数学知识时所采用的一种思维方法，具体包括逻辑思维、创造性思维和定性与定量思维三个方面。
逻辑思维是指根据数学规律和定理进行推理和判断的思维方法。
学生在解决数学问题时，要能够运用数学规律和定理，进行逻辑论证，从而得出正确的结论。
创造性思维是指学生在解决数学问题时，要善于运用创造思维，提出新颖的思路和方法，解决问题。
定性与定量思维是指学生在解决数学问题时，要能够进行定性和定量的分析，发现问题的本质和规律，从而解决问题。
初中数学主要思想方法的内涵及层次结构包括基本思想方法、数学思维方法和数学实践方法三个层次。
这些思想方法是学生学习数学知识和解决数学问题时所必备的思维方法，并且相互之间有着密切的联系和相互支持的关系。
只有学生在初中数学学习中，不断强化这些思想方法的培养和训练，才能真正提高数学思维能力，达到学科素养的提升目标。
在初中数学教学中，应该重视培养学生的数学思维能力，积极开展有针对性的思维方法培养和训练，使学生真正掌握基本思想方法、数学思维方法和数学实践方法，从而提高数学学科素养水平。
史宁中漫谈数学的基本思想
史宁中漫谈数学的基本思想史宁中，国务院学科评议组成员，第五届国家级教学名师，中国教育学会副会长，教育部第五届科技委数理学部委员，原东北师范大学校长数学思想是数学文化的核心，因为数学文化是数学的形态表现，可以包括：数学形式、数学历史、数学思想。
其中思想是本质的，没有思想就没有文化。
一、数学思想是什么数学思想需要满足两个条件：一是数学产生、发展过程中所必须依赖的那些思想，二是学习过数学的人所具有的思维特征。
可以归纳为三种基本思想：抽象、推理和模型。
通过抽象，把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象；通过推理，得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展；通过模型，创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁。
二、什么是抽象数学抽象包括：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。
通过抽象得到数学的基本概念：研究对象的定义，刻画对象之间关系的术语和运算方法。
这是从感性具体上升到理性具体的思维过程，只是第一次抽象。
在此基础可以凭借想象和类比进行第二次抽象，其特点是符号化，得到那些并非直接来源于现实的数学概念和运算方法。
数量与数量关系的抽象。
数学把数量抽象成数；数量关系的本质是多与少，抽象到数学内部就是数的大小。
由大小关系派生出自然数的加法。
数的四则运算，都是基于加法的。
数学还有一种运算，就是极限运算，这涉及到数学的第二次抽象，微积分的运算基础是极限。
为了合理解释极限，1821年柯西给出了-语言，开始了现代数学的特征：研究对象的符号化，证明过程的形式化，逻辑推理的公理化。
数学的第二次抽象就是为这些特征服务的。
图形与图形关系的抽象。
欧几里得最初抽象出点、线、面这些几何学的研究对象是有物理属性的，随着几何学研究的深入，特别是非欧几何学的出现，人们需要重新审视传统的欧几里得几何学。
1898年希尔伯特给出了符号化的定义，基于五组公理，实现了几何研究的公理体系。
这些公理体系的建立，完成了数学的第二次抽象。
《标准》中的10个核心概念
《标准》中的10个核心概念在总结前期实验经验的基础上，通过广泛听取各方意见和建议，此次《标准》提出了10个核心概念。
这就是：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。
核心概念有何意义呢？首先应该注意到，这些核心概念的内涵在性质上是体现的学习主体——学生的特征，它们涉及的是学生在数学学习中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等，因此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面。
第二，《标准》将这些核心概念放在课程内容设计栏目下提出，是想表明，这些概念不是设计者超乎于数学课程内容之上外加的，而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中，或者与课程内容紧密结合的。
从这一意义上看，核心概念往往是一类课程内容的核心或聚焦点，它有利于我们把握课程内容的线索和层次，抓住教学中的关键。
并在数学内容的教学中有机地去发展学生的数学素养。
第三，深入一步讲，核心概念本质上体现的是数学的基本思想。
数学的基本思想指对数学及其对象、数学概念和数学结构及数学方法的本质性认识。
数学基本思想集中反映为数学抽象、数学推理和数学模型思想。
这些思想是数学学习中的重要目标。
不难看出，核心概念对数学基本思想的体现是鲜明的。
比如，与“数与代数”部分内容直接关联的数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接体现了抽象、推理和模型的基本思想要求。
这启示我们，核心概念的教学要更关注其数学思想本质。
第四，这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标，并通过教师的教学予以落实。
仅以“数学思考”和“问题解决”部分的目标设定来看，《标准》就提出了：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力”；“发展数据分析观念，感受随机现象”；“发展合情推理和演绎推理能力”；“增强应用意识，提高实践能力”；“体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”。
数学文化的内涵、作用和修养
五、黄金分割点与优选法
中国数学家 华罗庚
• 假设在区间【0,1】上有一个单峰函数，我们要求 其达到极大值的点。可以通过在区间上不断取点 进行比较后得到。
• 在区间上取两个点的原则是：这两个点应该关于 区间的中点对称配置，同时，其中的任何一个点 应同时是缩小区间中的一个这样的点。
“文化”的涵义
• 当个人在对作为名词的文字（产物）不断 理解的过程中，使其承载的道理融入人的 思想，演化成个人的精神内涵，这就有了 文而化之的作用，统称：文化。
“数学文化”的内涵：
• 是指个人在对数学知识的不断理解过程中， 使其所承载的数学的思想、方法、观点、 精神等观念上的东西，融入人的头脑，演 化成个人的数学素养，我们把这种过程和 结果统称为数学文化 。
——德国哲学家康 德
一、什么是类比
• 先看具体例子，再给定义。
问题1.1 一个固定的正四面体内任一点到4个面的距离之和是 否为一个定值？
P
·
类比问题1.1的平面几何问题： 证明正三角形中任一点到三边的距离之和是一定值。
A
B
n
pl
m
C
• 问题1.2 ：有函数不知其式，在 处取值a，在 处取值b，在 处取值c，问函数的解析式是什么？
“学养教师”的数学文化修养：
• 对于数学教学，学养教师要关心的是一种探本寻 源，追查来龙去脉，以高角度观看全局的尝试。 正是在这番探本寻源的工夫中欣赏到数学文化的 魅力，亲身体会数学经验。固然，自己有了全局 观后，教师还得按学生特性设计和布置教学内容， 让学生经历及欣赏到这种数学经验。
怎么理解数学的基本思想
怎么理解数学的基本思想作者：来源：《江西教育·教学版》2012年第11期编辑老师:您好!《数学课程标准》(2011年版)在总目标中提出:“通过义务教育阶段的数学学习,学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。
请问:怎么理解数学基本思想?江西省泰和县第二实验小学刘爱六刘老师:您好!您提出的问题也是大家所关注的问题。
北京市特级教师储瑞年(兼任全国中小学教材审定委员中学数学审查委员、北京教育科学研究院教育教学指导委员会中学数学学科指导专家)对这一问题的解释如下:“课标”在这里的措词为“数学的基本思想”,而不是“数学的基本思想方法”,是因为后者可能更多地让人联想到“方法”,如换元法、代入法、配方法,层次就降低了,且冲淡了“思想”。
这里在“思想”的前面加了“基本”二字,一方面强调其重要,另一方面也希望控制其数量——基本思想不要太多了。
说“强调其重要”,是因为“数学思想”可以有许多,并且是具有层次的,而“数学的基本思想”则是其中带有基本重要性的一些思想,处于较高的层次;其他的数学思想都可以由这些“数学的基本思想”演变出来,派生出来,发展出来,处于相对较低的层次。
《数学课程标准》中所说的“数学的基本思想”主要指:数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想。
由“数学抽象的思想”可派生:分类的思想、集合的思想、数形结合的思想、“变中有不变”的思想、符号表示的思想、对称的思想、对应的思想、有限与无限的思想,等等。
由“数学推理的思想”可派生:归纳的思想、演绎的思想、公理化思想、转换化归的思想、联想类比的思想、逐步逼近的思想、代换的思想、特殊与一般的思想,等等。
由“数学建模的思想”可派生:简化的思想、量化的思想、函数的思想、方程的思想、优化的思想、随机的思想、抽样统计的思想,等等。
在用数学思想解决具体问题时,会逐渐形成程序化的操作,就构成了“数学方法”。
新课标初中数学思想
新课标初中数学思想数学是研究数量关系和空间形式的科学，它不仅是一种语言，更是一种思维方式。
新课标下的初中数学教育，强调了数学思想的培养，旨在通过数学的学习，使学生形成科学的思维方式，提高解决问题的能力。
以下是对新课标初中数学思想的概述。
一、数学思想的内涵数学思想是指在数学研究和实践中形成的一系列基本观念和方法论，包括但不限于逻辑推理、抽象思维、数学建模等。
这些思想不仅适用于数学领域，也广泛应用于其他学科和日常生活中。
二、新课标对数学思想的要求1. 基础性：强调数学基础知识的重要性，使学生掌握数学的基本概念、原理和运算规则。
2. 应用性：注重数学知识在实际生活中的应用，培养学生解决实际问题的能力。
3. 创新性：鼓励学生在学习数学的过程中发挥创造性，探索新的解题方法和思路。
4. 批判性：培养学生的批判性思维，能够对数学知识进行深入分析和质疑。
三、数学思想在初中数学教学中的体现1. 数与代数：通过代数表达式、方程和不等式等，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。
2. 几何与图形：通过平面几何和立体几何的学习，培养学生的空间想象力和几何直观。
3. 统计与概率：通过数据收集、处理和分析，培养学生的数据分析能力和概率思维。
4. 函数与关系：通过函数的概念和性质，培养学生的变量思维和关系理解能力。
四、数学思想的教学策略1. 情境创设：通过设置贴近学生生活的实际情境，激发学生的学习兴趣和参与度。
2. 问题驱动：以问题为驱动，引导学生主动探索和解决问题，培养解决问题的能力。
3. 合作学习：鼓励学生进行小组合作，通过交流和讨论，共同解决问题，培养团队协作能力。
4. 反思总结：在学习过程中，引导学生进行反思和总结，形成自己的数学思想和方法。
五、数学思想的培养途径1. 课堂讲授：教师在讲授数学知识的同时，注重数学思想的渗透和引导。
2. 实践活动：组织数学实践活动，如数学建模、数学竞赛等，让学生在实践中体验数学思想。
3. 跨学科学习：鼓励学生将数学思想应用于其他学科，如物理、化学等，拓宽数学思想的应用领域。
数学的基本思想
数学的基本思想一、概述数学，作为自然科学的重要分支，是人类探索世界奥秘、解析自然规律的强大工具。
其基本思想，是数学学科得以发展的基石，也是我们在学习和应用数学时应当深入理解和把握的核心内容。
数学的基本思想首先体现在其抽象性上。
数学通过抽象的方式，将现实世界中的具体对象和现象提炼为数学概念和模型，进而用这些概念和模型去描述和解释世界的本质规律。
这种抽象性使得数学具有广泛的应用性，能够跨越不同领域，为各种实际问题提供精确、量化的分析和解决方案。
数学的基本思想还包括逻辑推理和演绎证明。
数学是一门严谨的学科，其结论的得出必须建立在严格的逻辑推理和演绎证明的基础之上。
这种思想不仅保证了数学结论的准确性和可靠性，也培养了我们分析问题、解决问题的逻辑思维能力和严谨的科学态度。
数学的基本思想还体现在其优化和求解上。
数学中的很多问题都需要通过优化算法和求解方法来找到最优解或近似解。
这种思想不仅在数学内部有着广泛的应用，也在计算机科学、工程学等领域发挥着重要作用。
数学的基本思想包括抽象性、逻辑推理和演绎证明、优化和求解等方面。
这些思想不仅是数学学科的核心内容，也是我们学习和应用数学时需要深入理解和把握的关键所在。
通过深入学习和掌握这些基本思想，我们可以更好地运用数学工具和方法去解决实际问题，推动科学技术的发展和社会的进步。
1. 数学的定义与重要性数学，作为一门精确的科学，其本质在于对数量、结构、变化和空间的研究。
它不仅仅是一种工具，更是一种语言，一种思维方式，它以逻辑和推理为基础，追求精确和普遍性。
数学的重要性体现在它对其他科学领域的基础性作用，以及在技术、经济和社会发展中的广泛应用。
在科学研究中，数学是不可或缺的语言和工具。
它为物理学、化学、生物学等自然科学提供了描述自然现象、建立理论模型和进行科学预测的基础。
例如，牛顿的运动定律和万有引力定律，都是通过数学公式精确表达的。
在工程学领域，数学模型和计算方法对于设计、分析和优化各种工程系统至关重要。
数学思想的基本内涵
数学思想的基本内涵
《标准（2011版）》关于课程的总目标中指出：“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
”
把数学教学中的“双基”：基础知识与基本技能；发展为“四基”：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。
即通过数学教学达到以下要求：掌握数学基础知识；训练数学基本技能；领悟数学基本思想；积累数学基本活动经验。
数学思想的基本内涵
谈到数学思想，人们很容易想到数学思想方法，而且容易将数学思想和数学思想方法发生混淆。
通常认为，在中小学数学中，数学思想方法具体表现为三个不同的层次：
1、解决具体问题的思想方法，如消元法、代入法、配方法和待定系数法等；
2、逻辑方面的思想方法，如分析法、综合法、演绎法、归纳法和类比法等；
3、一般性的数学思想方法，如公理化思想方法、数学模型化思想方法等。
这些都是数学思想方法，而不是基本数学思想。
数学的基本思想，是数学产生和发展所必需依靠的、必须依赖的思想，同时也是学习过数学的人应当具备的思维特征，这些特征表现在人们分析和解决日常生活问题的过程当中。
数学思想与数学方法
数学思想是数学观念的系统化，具有概括性和普遍性, 它帮助人们在数学活动中确立正确的观念、方向和依据，使数学活动沿着有效的思维轨道运演，
指导方法的运用；
而数学方法指向数学实践活动，是数学思想的表现形式和得以实现的手段,具有操作性和具体性，为数学问题的求解和数学知识的获取提供了可能。
数学思想在数学活动中起决策作用；数学方法在数学活动中起“渡船”作用。
数学思想是内隐的；而数学方法是外显的。
数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系,是数学方法的进一步的概括和升华。
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数学思想的基本内涵
《标准（2011版）》关于课程的总目标中指出：“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
”
把数学教学中的“双基”：基础知识与基本技能；发展为“四基”：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。
即通过数学教学达到以下要求：掌握数学基础知识；训练数学基本技能；领悟数学基本思想；积累数学基本活动经验。
数学思想的基本内涵
谈到数学思想，人们很容易想到数学思想方法，而且容易将数学思想和数学思想方法发生混淆。
通常认为，在中小学数学中，数学思想方法具体表现为三个不同的层次：
1、解决具体问题的思想方法，如消元法、代入法、配方法和待定系数法等；
2、逻辑方面的思想方法，如分析法、综合法、演绎法、归纳法和类比法等；
3、一般性的数学思想方法，如公理化思想方法、数学模型化思想方法等。
这些都是数学思想方法，而不是基本数学思想。
数学的基本思想，是数学产生和发展所必需依靠的、必须依赖的思想，同时也是学习过数学的人应当具备的思维特征，这些特征表现在人们分析和解决日常生活问题的过程当中。
数学思想与数学方法
数学思想是数学观念的系统化，具有概括性和普遍性, 它帮助人们在数学活动中确立正确的观念、方向和依据，使数学活动沿着有效的思维轨道运演，
指导方法的运用；
而数学方法指向数学实践活动，是数学思想的表现形式和得以实现的手段,具有操作性和具体性，为数学问题的求解和数学知识的获取提供了可能。
数学思想在数学活动中起决策作用；数学方法在数学活动中起“渡船”作用。
数学思想是内隐的；而数学方法是外显的。
数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系,是数学方法的进一步的概括和升华。