第八章1图概念
合集下载
初中物理人教版八年级下册《第八章第1节牛顿第一定律》课件
，中国乒乓球队时隔八年再度包揽单项赛全部五枚 牌。如图是运动员在比赛中
的场景，下列说法正确的是（B ）
a.乒乓球速度越大，惯性越大
b.击球时，球和拍都会发生弹性形变
c.球在空中运动时，运动状态不变
d.球被水平击出后，若所受外力全部消失，球将立即竖直下落
5. 的是（ A ）
a.系安全带 b.旋转生、熟鸡蛋
6.如图所示，铅球由a处向右上方推出，在空中划出一道弧线后落到地面b处。当铅球在飞
行过程中，运动到最高点时，一切外力都消失，则铅球将会( A )
A.沿着水平方向运动
B.静止在该点
C.仍会掉在b点
D.竖直掉下来
7.静止在桌面上的茶杯，若它受到的一切外力都消失了，它将（ A ）
A.仍保持静止 B.加速运动起来 C.做匀速直线运动
这节课学习了哪些知识点？
探究阻力对物体运动的影响
牛顿第一定律
力不是维持物体运动的原因， 而是改变运动状态的原因。
物体不受力运动状态不改变 物体受力运动状态也会不改变
惯性
惯性的应用 惯性的防止
1、牛顿第一定律：一切物体在没有受到力的作用时，总保持静止 状态或匀速直线运动状态。（不受力，运动状态不改变。） 2、力不是维持物体运动的原因，而是改变物体运动状态的原因。
8.下列生活现象中，属于利用惯性的是( D)
D.落到地面上
A.人踩到西瓜皮上易滑倒
B.司机开车时需要系安全带
C.高速公路上汽车要限速行驶 D.通过拍打窗帘清除它上面的浮灰
9.关于惯性，下列说法中正确的是( D )
A.小汽车驾驶员和乘客系上安全带，是为了减小人的惯性
B.运动物体在阻力作用下会停止运动，说明力可以消除惯性
中学地理第八章知识点总结 第一节 中东(1)_210
第一节中东1.“三洲五海之地”(1)范围:包括西亚的大部分和非洲的埃及。
(2)位置的重要性:联系亚、非、欧三大洲,沟通大西洋和印度洋,自古以来是东西方交通枢纽。
(3)五海:阿拉伯海、红海、地中海、黑海和里(最大的湖泊)。
(4)交通要道:苏伊士运河,土耳其海峡,霍尔木兹海峡。
①里海是世界上最大的内陆湖,不是海。
②西亚≠中东:西亚包括阿富汗,不包括埃及;中东包括埃及,但不包括阿富汗。
“西亚”-“阿富汗”-土耳其的欧洲部分+“埃及”=“中东”。
2.世界石油宝库(1)地位:世界上石油储量最大、生产石油最多、输出石油最多的地区。
(2)分布:主要分布在波斯湾及其沿岸地区。
(3)输出路线（4）主要产油国：________、科威特、G阿拉伯联合酋长国、____、_______等。
3.匮乏的水资源(1)气候:北回归线经过,属于热带沙漠气候气候。
(2)严重匮乏的水资源：（1）原因：主要属于_________气候，气候干燥，沙漠广布，河流稀少。
随着人口增长、经济发展,中东水资源紧缺日趋严重。
（2）解决措施：建立建立海水淡化工程，发展节水农业；水资源统一调配；进口淡水。
4、宗教文化的差异：以_______________人为主，属于_____________人种。
（1）宗教：基督教、伊斯兰教、犹太教的发源地，目前大多数居民信奉_伊斯兰教。
（2）宗教圣城：________________(伊斯兰教、基督教、犹太教的圣城)；________________(伊斯兰教的圣城)。
(3)宗教文化上的巨大差异也是导致中东不安定的重要因素。
补充：石油与经济：水资源与经济：：第二节欧洲西部1.工业密集,发达国家集中(1)位置①纬度位置:大部分地区位于35°N～70°N,主要位于北温带,中纬度。
②海陆位置:位于欧洲的西半部,西临大西洋,北临北冰洋,南临地中海。
(2)欧洲西部主要国家及首都：①__________________，首都奥斯陆。
高等数学-第七版-课件-8-1 不定积分概念与基本积分公式
高等教育出版社
dx 1 x
2
2
ln( x 1 x ) C ,
2
1 2 1 x dx x 1 x arcsin x C . 2
数学分析 第八章 不定积分
不定积分的几何意义
像是 f (x) 的一条积分曲线. y 所有的积分曲线都是
由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 到的.
f ( x ) f ( x ) 0.
由第六章拉格朗日中值定理的推论, 即知
F ( x ) G( x ) C .
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式
原函数
不定积分
定义2
不定 积分
不定积分的 几何意义
基本积分表
函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f 在 I 上
5. e dx e C . x a x 6. a dx C. ln a
x x
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式
原函数
不定 积分
不定积分的 几何意义
基本积分表
8. sin xdx cos x C .
9. sec xdx tan x C .
定理8.1（原函数存在性定理）
若函数 f 在区间 I 上连续, 则 f 在 I 上存在原函
数 F, 即
F ( x ) f ( x ).
在第九章中将证明此定理.
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式
原函数
不定 积分
不定积分的 几何意义
高考数学总复习 第八章 第1讲 平面向量及其线性运算配套课件 文
(1)求以线段 AB，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的
长；
解：(1)由题设知A→B＝(3,5)，A→C＝(－1,1)， 则A→B＋A→C＝(2,6)，A→B－A→C＝(4,4)． 所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2，2 10.
第十九页，共27页。
A．0
B.B→E
图 8-1-1
C.A→D
D.C→F
第九页，共27页。
4．设O→A＝e1，O→B＝e2，若 e1 与 e2 不共线，且点 P 在线段 AB 上，|AP|∶|PB|＝2，如图 8-1-2，则O→P＝( C )
A.13e1－23e2 C.13e1＋23e2
图 8-1-2
B.23e1＋13e2 D.23e1－13e2
非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个(yī ɡè)实数λ，使得b=λa，
即 b∥a(⇔3b)＝若λaO(→a≠P0＝)． xO→A＋yO→B ，三点 P，A，B 共线⇔x＋y＝1. 若P→A＝λP→B，则 P，A，B 三点共线．
第十六页，共27页。
【互动探究(tànjiū)】
3．(2013 年陕西)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,2)，若 a∥b, 则实数(shìshù) mC ＝)(
第六页，共27页。
5．共线向量及其坐标表示
使得((s1hb)ǐ＝向deλ量)a__a_(_a_≠_0_)与_．b 共线的充要条件是存在唯一一个(yī ɡè)实数λ，
(2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，当且仅当 x1y2 －x2y1＝0 时，向量(xiàngliàng) a，b 共线．
第八章 平面(píngmiàn)向量
长；
解：(1)由题设知A→B＝(3,5)，A→C＝(－1,1)， 则A→B＋A→C＝(2,6)，A→B－A→C＝(4,4)． 所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2，2 10.
第十九页，共27页。
A．0
B.B→E
图 8-1-1
C.A→D
D.C→F
第九页，共27页。
4．设O→A＝e1，O→B＝e2，若 e1 与 e2 不共线，且点 P 在线段 AB 上，|AP|∶|PB|＝2，如图 8-1-2，则O→P＝( C )
A.13e1－23e2 C.13e1＋23e2
图 8-1-2
B.23e1＋13e2 D.23e1－13e2
非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个(yī ɡè)实数λ，使得b=λa，
即 b∥a(⇔3b)＝若λaO(→a≠P0＝)． xO→A＋yO→B ，三点 P，A，B 共线⇔x＋y＝1. 若P→A＝λP→B，则 P，A，B 三点共线．
第十六页，共27页。
【互动探究(tànjiū)】
3．(2013 年陕西)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,2)，若 a∥b, 则实数(shìshù) mC ＝)(
第六页，共27页。
5．共线向量及其坐标表示
使得((s1hb)ǐ＝向deλ量)a__a_(_a_≠_0_)与_．b 共线的充要条件是存在唯一一个(yī ɡè)实数λ，
(2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，当且仅当 x1y2 －x2y1＝0 时，向量(xiàngliàng) a，b 共线．
第八章 平面(píngmiàn)向量
物理课件 人教版 高考一轮复习 第8章知识点复习
适用范围
适用于任何纯电阻
浓度均匀的电解液
训练突破
1.一根长为l、横截面积为S的金属棒,其材料的电阻率为ρ,棒内单位体积
自由电子数为n,电子的质量为m,电荷量为e。在棒两端加上恒定的电压时,
棒内产生电流,自由电子定向移动的平均速率为v,则金属棒内的电场强度
大小为( C )
2
A. 2
C.ρnev
2
B.
D.
解析:金属棒的电阻
R=ρ ,金属棒中的电流
故棒两端电压 U=IR=ρnevl,电场强度大小
I=neSv,
E= =ρnev,选项
C 正确。
2.如图所示,M和N是形状相同的玻璃容器,厚度相同,上、下表面为正方
形,但M和N的尺寸不同,M、N的上表面边长关系为a1>a2。现将相同的电
A.随着所加电压的增大,小灯泡的电阻增大
1
B.对应 P 点,小灯泡的电阻为 R=
2
1
C.对应 P 点,小灯泡的电阻为 R=
2 -1
D.对应 P 点,小灯泡的功率为图中矩形 PQOM 所围面积的大小
解析:I-U图线上的点和原点连线的斜率逐渐减小,说明电阻逐渐增大,A正
1
确。对应P点,小灯泡的电阻为R=
IM,就能确定电动机的电功率P=UMIM,根据电流IM和电动机的电阻r可求出
热功率 Pr=M 2 r ,最后求出输出功率P出=P-Pr。
2.首先,对其他纯电阻电路、电源的内电路,利用欧姆定律进行分析计算,确
定相应的电压或电流。然后,利用闭合电路的电压关系、电流关系间接确
部分半导体:电阻率随温度升高而减小。
知识点三
电功率、焦耳定律
适用于任何纯电阻
浓度均匀的电解液
训练突破
1.一根长为l、横截面积为S的金属棒,其材料的电阻率为ρ,棒内单位体积
自由电子数为n,电子的质量为m,电荷量为e。在棒两端加上恒定的电压时,
棒内产生电流,自由电子定向移动的平均速率为v,则金属棒内的电场强度
大小为( C )
2
A. 2
C.ρnev
2
B.
D.
解析:金属棒的电阻
R=ρ ,金属棒中的电流
故棒两端电压 U=IR=ρnevl,电场强度大小
I=neSv,
E= =ρnev,选项
C 正确。
2.如图所示,M和N是形状相同的玻璃容器,厚度相同,上、下表面为正方
形,但M和N的尺寸不同,M、N的上表面边长关系为a1>a2。现将相同的电
A.随着所加电压的增大,小灯泡的电阻增大
1
B.对应 P 点,小灯泡的电阻为 R=
2
1
C.对应 P 点,小灯泡的电阻为 R=
2 -1
D.对应 P 点,小灯泡的功率为图中矩形 PQOM 所围面积的大小
解析:I-U图线上的点和原点连线的斜率逐渐减小,说明电阻逐渐增大,A正
1
确。对应P点,小灯泡的电阻为R=
IM,就能确定电动机的电功率P=UMIM,根据电流IM和电动机的电阻r可求出
热功率 Pr=M 2 r ,最后求出输出功率P出=P-Pr。
2.首先,对其他纯电阻电路、电源的内电路,利用欧姆定律进行分析计算,确
定相应的电压或电流。然后,利用闭合电路的电压关系、电流关系间接确
部分半导体:电阻率随温度升高而减小。
知识点三
电功率、焦耳定律
8.1 基本几何图形 第1课时 棱柱、棱锥、棱台(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A
教学重难点
重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征； 难点：棱柱、棱锥和棱台的侧面展开图问题.
学科素养
1.数学抽象：多面体与旋转体等概念的理解； 2.逻辑推理：棱柱、棱锥、棱台的结构特点； 3.直观想象：判断空间几何体； 4.数学建模：通过平面展开图将空间问题转化为平面问题解决，体现了转 化的思想方法.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
练习： 1．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的 公共边折叠围成一个正方体的是( )
2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面” 表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图 中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形. 底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……其中三棱锥又叫四面体。
棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如棱锥S-ABCD。 （3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面区截棱锥，底面于截面之间的部分 叫做棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、 顶点。
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、 五棱台……
用各顶点字母表示棱柱，如棱台ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。
思考：
1．面数最少的多面体是什么？ 提示：围成一个多面体至少要四个面，所以面数最少 的多面体是四面体，如三棱锥就是四面体． 2．棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ 提示：根据棱柱的概念可知，棱柱的侧面一定是平行 四边形．
题型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特点 例1 (1)下列命题中正确的是________．(填序号) ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②棱柱的一对互相平行的平面均可看作底面； ③三棱锥的任何一个面都可看作底面； ④棱台各侧棱的延长线交于一点． (2)关于如图所示几何体的正确说法的序号为________．
重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征； 难点：棱柱、棱锥和棱台的侧面展开图问题.
学科素养
1.数学抽象：多面体与旋转体等概念的理解； 2.逻辑推理：棱柱、棱锥、棱台的结构特点； 3.直观想象：判断空间几何体； 4.数学建模：通过平面展开图将空间问题转化为平面问题解决，体现了转 化的思想方法.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
练习： 1．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的 公共边折叠围成一个正方体的是( )
2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面” 表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图 中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形. 底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……其中三棱锥又叫四面体。
棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如棱锥S-ABCD。 （3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面区截棱锥，底面于截面之间的部分 叫做棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、 顶点。
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、 五棱台……
用各顶点字母表示棱柱，如棱台ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。
思考：
1．面数最少的多面体是什么？ 提示：围成一个多面体至少要四个面，所以面数最少 的多面体是四面体，如三棱锥就是四面体． 2．棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ 提示：根据棱柱的概念可知，棱柱的侧面一定是平行 四边形．
题型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特点 例1 (1)下列命题中正确的是________．(填序号) ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②棱柱的一对互相平行的平面均可看作底面； ③三棱锥的任何一个面都可看作底面； ④棱台各侧棱的延长线交于一点． (2)关于如图所示几何体的正确说法的序号为________．
人教版高一物理必修二第八章第一节功和功率PPT
l1
α
F
WF1=F1·l
WF2=F2·0
l
F1
又 F1=F cos α
即W=Fcosα·l
W表示力对物体所做的功；
高中物理
一、功
F表示物体所受到得力；
Ｌ是物体所发生的位移；
1、定义：
α是力F和位移Ｌ之间的夹角；
求功时一定明确要求的是哪一个力在哪一段位移 力对物体所做的功，上等做于的力功的。大小、位移的大小、力与位移夹角余弦 这三者的乘积
(2)摩擦力对木箱所做的功； (3)外力对木箱所做的总功．
W1＝Fxcos 60°＝40×8×0.5 J＝160 J (2)摩擦力对木箱做负功 f=Fcos 60°
W2＝﹣fx=﹣Fxcos 60°＝﹣160J
(3)外力对木箱所做的总功:
W＝W1＋W2＝0
典例精析
二、功的计算
针对训练 如图所示，两个互相垂
锐角 钝角 锐角 钝角
典例精析
一、正、负功的判断
例2 质量为m的小物块在倾角为α的
斜面上处于静止状态，如图所示．若
N
f
x
斜面体和小物块一起以速度v沿水平方
向向右做匀速直线运动，通过一段位
移x.斜面体对物块的摩擦力和支持力
mg
的做功情况是( B )
A．摩擦力做正功，支持力做正功 B．摩擦力做正功，支持力做负功 C．摩擦力做负功，支持力做正功
直的力F1与F2作用在同一物体上， 使物体通过一段位移的过程中，力
F1对物体做功4 J，力F2对物体做功3 W1 4J J，则力F1与F2的合力对物体做功为 W2 3J
(A)
A．7 J
B．1 J
功为标量，合力做功等于F1与 F2做功的代数和
人教版 高一物理 第八章 1
第八章机械能守恒定律1．功与功率一、功1．力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。
2．公式：W＝F l cosα。
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为以地面为参考系时物体的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
(3)功是标量。
3．单位：国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。
1 J＝1 N·m。
二、正功和负功1．正功和负功：π2 ＜α≤πW ＜0 力F 对物体做负功(或说成物体克服力F 做功)2.几个力的总功的求法： (1)先由W ＝F l cos α计算各个力对物体所做的功W 1、W 2、W 3、…然后求所有力做功的代数和，即W 总＝W 1＋W 2＋W 3＋…(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F 合，然后由W 总＝F合l cosα计算总功，此时α为F 合的方向与l 的方向间的夹角。
三、功率1．定义：功W 与完成这些功所用时间t 的比值。
2．定义式：P ＝W t 。
3．单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用W 表示。
4．物理意义：功率是标量，它是表示物体做功快慢的物理量。
5．功率与力、速度的关系式：P ＝Fv cos α，其中α是力与速度方向之间的夹角，当力的方向与物体的运动方向相同时，P ＝Fv 。
6．公式P ＝Fv 中各物理量间的关系：(1)功率P 一定时，物体的运动速度v 与牵引力F 成反比。
(2)物体的运动速度v 一定时，功率P 与牵引力F 成正比。
(3)牵引力F 一定时，功率P 与物体的运动速度v 成正比。
7．平均功率：物体在一段时间内做功的功率的平均值，通常用P ＝W t 描述。
8．瞬时功率：物体在某一时刻或某一位置的功率，瞬时功率通常用P ＝Fv 描述。
，学习功和功率的概念后，我们分析判断下列哪些说法是正确的？①只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功。
②一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8.1 基本概念
教学内容 1.图的定义、种类和术语
有向边、无向边、加权边 有向图、无向图、加权图 顶点的度、邻接点、子图 路径、回路、图的连通性 生成树和生成林
教学要求
1.了解图的定义 种类和有关术语 2.了解图的主要 运算
2.图的主要运算
王 庆 瑞 制 作
先深搜索、先广搜索 找生成树（最小生成树） 找路径（最短路径）
但只含有足以使图保持连通的n-1条边 相关概念： 生成树也称支撑树 生成树不唯一 生成森林（spanning forest）：无向非连通图每个 连通分量有一棵生成树，构成图的生成森林
版权所有
6．生成树和生成林 1 示例
生成树1 B
A E D G A E
不得擅用
C B C
原图 生成树2 D G
8.1.1 图的定义和种类
1. 图（graph）的定义
用于描述多对多的网状关系
由用于表示事物的顶点（ vertex ）集合 V ，以及表示 事物之间关系的边（edge）集合E构成 记作G=（V，E） 顶点数目n>0，边数目m≥0 画图时，顶点用圆圈表示，边用线条（或弧线）表示 顶点名用大写字母A，B，C…表示（写在圈内或圈外） 顶点变量名用小写字母v，w，s…表示
版权所有
5．有向图的连通性1 示例
不得擅用
A
B D
C
E
强连通图
版权所有
5．有向图的连通性2 示例 C不可到达D
A B D B A D
不得擅用
C
E
C
强连通分量1
E
强连通分量2
非强连通图
版权所有
6．生成树和生成林 0 无向连通图的生成树（spanning tree）：
不得擅用
是图的一种连通子图，它含有图的全部n个顶点，
C点：出度1，入度2，度数3 C E
D
版权所有 不得擅用
8.1.2 有关术语1
1.顶点的度（degree）
无向图的顶点度： v的度（degree）：与v关联的边数
A，B，C：3度 A D C F
版权所有 不得擅用
E E，F：2度
B
王 庆 瑞 制 作
5度
版权所有
2.子图（subgraph）0 原图的一部分
不得擅用
由原图中部分顶点，以及这些顶点之间的一部分边组 成的图
A B D A B B A
C
原图
E
C 子图1
C
子图2
E
版权所有
2.子图（subgraph）1 原图的一部分
不得擅用
由原图中部分顶点，以及这些顶点之间的一部分边组 成的图
A E D A A D D E
B C
原图
B F C
子图1
F
子图2
版权所有
8.1.2 有关术语0
1.顶点的度（degree） 有向图的顶点度： v的出度（out-degree）：v射出的边数（以v为尾） v的入度（in-degree）：射入v的边数（以v为头） v的度（degree）：v的出度与入度之和
A A点：出度2，入度2，度数4
王 庆 瑞 制 作
B D点：出度2，入度0，度数2
F
F B
A D
E G
C
F
版权所有
6．生成树和生成林 2 示例
生成林1 B
A E D G D G A E
不得擅用
C
F
B C
A
B D C
E
G F
F
非连通图
生成林2
精品课件！
精品课件！
小结
1.图的定义、种类和有关术语
有向边、无向边、加权边、有向图、无向图、加权图 顶点的度、邻接点、子图、路径、回路、有向和无向图的 连通性、生成树和生成林
画图形时，权标在边旁边
有向加权边
A 50 B v 16
无向加权边
w
版权所有 不得擅用
5．图的种类
种类繁多，分类的方法各异，最常见的有：
有向图（directed graph，digraph）边都有向 无向图（undirected graph）边都无向 混和图 有些边有向，有些边无向（可化为有向图） 简单图 无重复边，无到自身的边（形如<v,v>的边） 多重图 无上述限制 加权图（labeled graph） 边均带权
2.图的主要运算
王 庆 瑞 制 作
先深搜索，先广搜索，找连通分量 找生成树（最小生成树），找路径（最短路径）
版权所有 不得擅用
尾 v
w
头
版权所有 不得擅用
3．无向边（undirected edge）
不带方向的边 顶点 v 和 w 之间的无向边表示成（ v ， w ） 边是关联于v和w的 v与w互为邻接点 （v，w）与（w，v）表示同一条边 v 无向边用不带箭头的线条表示
w
边表示顶点间的某种关系 无向边：对称关系（如同志关系） 有向边：非对称关系（如领导和被领导关系） 单行道：有向边；双行道：无向边
王 庆 瑞 制 作
版权所有 不得擅用
版权所有 不得擅用
2．有向边（directed edge）
顾名思义，带有方向的边 顶点v和w之间的有向边表示成<v，w> v：边的尾（tail）； w：边的头（head） 边是由v射入w的； w是与v相邻（adjacent）的顶点（w是v的邻接点） 有向边也称弧（arc） <v，w>与 <w，v>是不同的边 有向边用带箭头的线条表示，箭头指向边的头
A B D 路径2，回路
不得擅连通性0 v与w连通（connected）：顶点v到w有路径 也称v可到达w
不得擅用
相关概念： 孤立点：与任何点都不连通 孤悬边：删除边（v，w）后，v或w就变成孤立点 连通图（connected graph）任何两顶点都连通 连通分量（connected component）极大连通子图 极大指的是在满足连通的条件下，尽可能多的含有图 中的顶点以及这些顶点之间的边 连通图只含一个连通分量
3.路径和回路 （subgraph）0 路径（path） ：首尾相接的边序列 回路径（cycle）：起点与终点重合的路径 简单路径：边不重复；基本路径：中间无重复顶点
路径1 A B D C F E 路径2
不得擅用
回路
版权所有
3.路径和回路 （subgraph）1 路径（path） ：首尾相接的边序列 回路径（cycle）：起点与终点重合的路径 简单路径：边不重复；基本路径：中间无重复顶点
版权所有
4．无向图的连通性1 示例 A到E不可达
不得擅用
A
E D G F
孤悬边
B
C
孤悬点
不连通的图
版权所有
4．无向图的连通性2 示例
不得擅用
连通分量1
A E D C F
连通分量2
B
G
不连通的图
版权所有
5．有向图的连通性0
不得擅用
v与w连通（connected）：v到顶点w路径 也称v可到达w
相关概念： 强连通图（strongly connected graph）：任何两点v 和w均相互连通 强连通分量（ strongly connected components ，或 strong components） ：极大强连通子图 极大指的是在满足强连通的条件下，尽可能多的含有 图中的顶点以及这些顶点之间的边 强连通图只含一个强连通分量
版权所有 不得擅用
4．加权边（labeled edge）
边附带一个实数作为权（weight） 边的权可以表示边的长度、沿着边旅行所需的费用或 时间、工程（输电线路、通信线路、高速公路等）造 价等（这里只研究非负权）
权又统称为耗费（cost），俗称长度（length） 但不一定满足三角不等式（两边之和大于第三边）
边权图称网（network），非加权图也称0/1图 这里只研究简单图（简单的有向、无向图，简单的有 向、无向加权图）
版权所有 不得擅用
有向图示例
A B D
C
E
版权所有 不得擅用
无向图示例
A B D
E
C
F
版权所有 不得擅用
无向加权图示例
A 120 87 B 60 E 53 C 46 74 D
91
教学内容 1.图的定义、种类和术语
有向边、无向边、加权边 有向图、无向图、加权图 顶点的度、邻接点、子图 路径、回路、图的连通性 生成树和生成林
教学要求
1.了解图的定义 种类和有关术语 2.了解图的主要 运算
2.图的主要运算
王 庆 瑞 制 作
先深搜索、先广搜索 找生成树（最小生成树） 找路径（最短路径）
但只含有足以使图保持连通的n-1条边 相关概念： 生成树也称支撑树 生成树不唯一 生成森林（spanning forest）：无向非连通图每个 连通分量有一棵生成树，构成图的生成森林
版权所有
6．生成树和生成林 1 示例
生成树1 B
A E D G A E
不得擅用
C B C
原图 生成树2 D G
8.1.1 图的定义和种类
1. 图（graph）的定义
用于描述多对多的网状关系
由用于表示事物的顶点（ vertex ）集合 V ，以及表示 事物之间关系的边（edge）集合E构成 记作G=（V，E） 顶点数目n>0，边数目m≥0 画图时，顶点用圆圈表示，边用线条（或弧线）表示 顶点名用大写字母A，B，C…表示（写在圈内或圈外） 顶点变量名用小写字母v，w，s…表示
版权所有
5．有向图的连通性1 示例
不得擅用
A
B D
C
E
强连通图
版权所有
5．有向图的连通性2 示例 C不可到达D
A B D B A D
不得擅用
C
E
C
强连通分量1
E
强连通分量2
非强连通图
版权所有
6．生成树和生成林 0 无向连通图的生成树（spanning tree）：
不得擅用
是图的一种连通子图，它含有图的全部n个顶点，
C点：出度1，入度2，度数3 C E
D
版权所有 不得擅用
8.1.2 有关术语1
1.顶点的度（degree）
无向图的顶点度： v的度（degree）：与v关联的边数
A，B，C：3度 A D C F
版权所有 不得擅用
E E，F：2度
B
王 庆 瑞 制 作
5度
版权所有
2.子图（subgraph）0 原图的一部分
不得擅用
由原图中部分顶点，以及这些顶点之间的一部分边组 成的图
A B D A B B A
C
原图
E
C 子图1
C
子图2
E
版权所有
2.子图（subgraph）1 原图的一部分
不得擅用
由原图中部分顶点，以及这些顶点之间的一部分边组 成的图
A E D A A D D E
B C
原图
B F C
子图1
F
子图2
版权所有
8.1.2 有关术语0
1.顶点的度（degree） 有向图的顶点度： v的出度（out-degree）：v射出的边数（以v为尾） v的入度（in-degree）：射入v的边数（以v为头） v的度（degree）：v的出度与入度之和
A A点：出度2，入度2，度数4
王 庆 瑞 制 作
B D点：出度2，入度0，度数2
F
F B
A D
E G
C
F
版权所有
6．生成树和生成林 2 示例
生成林1 B
A E D G D G A E
不得擅用
C
F
B C
A
B D C
E
G F
F
非连通图
生成林2
精品课件！
精品课件！
小结
1.图的定义、种类和有关术语
有向边、无向边、加权边、有向图、无向图、加权图 顶点的度、邻接点、子图、路径、回路、有向和无向图的 连通性、生成树和生成林
画图形时，权标在边旁边
有向加权边
A 50 B v 16
无向加权边
w
版权所有 不得擅用
5．图的种类
种类繁多，分类的方法各异，最常见的有：
有向图（directed graph，digraph）边都有向 无向图（undirected graph）边都无向 混和图 有些边有向，有些边无向（可化为有向图） 简单图 无重复边，无到自身的边（形如<v,v>的边） 多重图 无上述限制 加权图（labeled graph） 边均带权
2.图的主要运算
王 庆 瑞 制 作
先深搜索，先广搜索，找连通分量 找生成树（最小生成树），找路径（最短路径）
版权所有 不得擅用
尾 v
w
头
版权所有 不得擅用
3．无向边（undirected edge）
不带方向的边 顶点 v 和 w 之间的无向边表示成（ v ， w ） 边是关联于v和w的 v与w互为邻接点 （v，w）与（w，v）表示同一条边 v 无向边用不带箭头的线条表示
w
边表示顶点间的某种关系 无向边：对称关系（如同志关系） 有向边：非对称关系（如领导和被领导关系） 单行道：有向边；双行道：无向边
王 庆 瑞 制 作
版权所有 不得擅用
版权所有 不得擅用
2．有向边（directed edge）
顾名思义，带有方向的边 顶点v和w之间的有向边表示成<v，w> v：边的尾（tail）； w：边的头（head） 边是由v射入w的； w是与v相邻（adjacent）的顶点（w是v的邻接点） 有向边也称弧（arc） <v，w>与 <w，v>是不同的边 有向边用带箭头的线条表示，箭头指向边的头
A B D 路径2，回路
不得擅连通性0 v与w连通（connected）：顶点v到w有路径 也称v可到达w
不得擅用
相关概念： 孤立点：与任何点都不连通 孤悬边：删除边（v，w）后，v或w就变成孤立点 连通图（connected graph）任何两顶点都连通 连通分量（connected component）极大连通子图 极大指的是在满足连通的条件下，尽可能多的含有图 中的顶点以及这些顶点之间的边 连通图只含一个连通分量
3.路径和回路 （subgraph）0 路径（path） ：首尾相接的边序列 回路径（cycle）：起点与终点重合的路径 简单路径：边不重复；基本路径：中间无重复顶点
路径1 A B D C F E 路径2
不得擅用
回路
版权所有
3.路径和回路 （subgraph）1 路径（path） ：首尾相接的边序列 回路径（cycle）：起点与终点重合的路径 简单路径：边不重复；基本路径：中间无重复顶点
版权所有
4．无向图的连通性1 示例 A到E不可达
不得擅用
A
E D G F
孤悬边
B
C
孤悬点
不连通的图
版权所有
4．无向图的连通性2 示例
不得擅用
连通分量1
A E D C F
连通分量2
B
G
不连通的图
版权所有
5．有向图的连通性0
不得擅用
v与w连通（connected）：v到顶点w路径 也称v可到达w
相关概念： 强连通图（strongly connected graph）：任何两点v 和w均相互连通 强连通分量（ strongly connected components ，或 strong components） ：极大强连通子图 极大指的是在满足强连通的条件下，尽可能多的含有 图中的顶点以及这些顶点之间的边 强连通图只含一个强连通分量
版权所有 不得擅用
4．加权边（labeled edge）
边附带一个实数作为权（weight） 边的权可以表示边的长度、沿着边旅行所需的费用或 时间、工程（输电线路、通信线路、高速公路等）造 价等（这里只研究非负权）
权又统称为耗费（cost），俗称长度（length） 但不一定满足三角不等式（两边之和大于第三边）
边权图称网（network），非加权图也称0/1图 这里只研究简单图（简单的有向、无向图，简单的有 向、无向加权图）
版权所有 不得擅用
有向图示例
A B D
C
E
版权所有 不得擅用
无向图示例
A B D
E
C
F
版权所有 不得擅用
无向加权图示例
A 120 87 B 60 E 53 C 46 74 D
91