直线与平面的垂直、平面与平面等与垂直关系

1、平面的斜线 当直线 l 与平面 相交且不垂直时，叫做直线 l 与平面 斜交，直线 l 叫做平面α的斜线。
斜线 l 与平面 的交点M叫做斜足，斜线上一点 与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。
l
A

M
34
2、射影 设直线 l 与平面 斜交于点 M，过 l 上任意点 A （异于点M），作平面 的垂线，垂足为O，我们把 点O叫做点A在平面 上的射影，直线OM叫做直线 l 在平面 上的射影。 l 思考：直线l在平面上的 A 射影与点A在l上的取法是 否有关？
mn P l l m, l n
简记为：线线垂直
符号表示： m ,n
l

P
m
n
线面垂直
直线与平面垂直的性质1：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线垂直于面上任意直线．（定义）
a 符号语言： b
图形语言：

ab
a b
O
0 , 2
(2)斜线和平面所成角的范围是 0, 2
42
例2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中的棱长为1， (1)求直线D1B1和平面A1B1BA所成的角；
A1 D D 平面 A1 B1 BA 解： 1是 D D1在平面 A1 B1 BA上的射影是 A1 , 1 1 B1上的点，且
线段B1E
C1 B1
D1 A1
E
D A B
C
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思考一：通过观察比萨斜塔，如 果把斜塔看成斜线，地面看成面， 如何用数学知识来描述斜塔的倾 斜程度呢？如何求得呢？ 思考二：异面直线所成的角是 如何定义的？
线面所成的角
转化为两相交直线所成角来定义
思考三：那么斜线与平面所成 角是否也可类比定义，转化为 两相交直线所成的角？
7
mn P

m
n
例3 已知：bα，c α,b∩c=E， β∩γ=a，c⊥β，b⊥γ。 求证：a⊥α。 证明： ∵ ∴ ∵ ∴ ∵
a
β
γ
b⊥β， β∩γ=a， b⊥a ； α c⊥γ，β∩γ=a， c⊥a ； b∩c=E， bα， cα, ∴ a⊥α。
b
E
c
例3 已知：正方体中，AC是面对角线， BD′是与AC 异面的体对角线。 求证：AC⊥BD′ 证明： 连接BD ∵正方体ABCD-A′B′C′D′ ∴DD ′⊥正方体ABCD ∵AC、BD 为对角线 ∴AC⊥BD ∵DD ′∩BD=D ∴AC⊥△D ′DB ∴AC⊥BD ′
(2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE. ∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC. (3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC， ∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，
∴PC⊥平面AEF.
而EF⊂平面AEF，∴PC⊥EF.
空间图形中的有关距离： 1.点与点的距离、点与线的距离、线与线的距离。 2.点 M 和平面的距离 设M是平面外一点，过点M作平面α的垂线， 垂足为N，我们把点M到垂足N之间的距离叫做点 M M和平面的距离。
P
A E H B D
C
线线垂直
线面垂直
线线垂直
练习
1、如图，空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直，则这 条直线和三角形的第三边AB的位置关系是（ ） A 平行 B 垂直 C 相交 D 不确定
C A

B
2 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的 距离相等，则这条直线和平面的位置是（ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交

定理6.3 如果两条直线同时垂直于一个 平面，那么这两条直线平行．
a // b
a b
O
简述为：线面垂直 线线平行
例1.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 是圆上一点,且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC
P
A C
O
B
例2.如图，P是△ABC所在平面外的一点， PA⊥PB , PB⊥PC , PC⊥PA , H是△ABC 的垂心 , 求证：PH⊥平面ABC
6.1一.直线与平面垂直的判定与性质
1、线面垂直定义：
一般地，如果一条直线 l 与平面α上的任何 直线都垂直，那么我们就说直线 l与平面α垂直， 记作： l ⊥. l 直线 l 叫做平面的垂线， 平面叫做直线l的垂面， l 与的交点P叫做垂足. P

画法：画直线与平面垂直时， 通常把直线画成与表示平面 的平行四边形的一边垂直。
即A1 B1是D1 B1在平面 A1 B1 BA上的射影。
D1 B1 A1是直线 D1 B1和平面 A1 B1 BA所成的角。
在RtD1 B1 A1中，D1 B1 A1 45
直线D1 B1和平面 A1 B1 BA所成的角是 45
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(2)求直线D1B和平面ABCD所成角的正切值。
PD AΒιβλιοθήκη 26COB
[例5※]
如右图，在底面为直角梯形的
四棱锥P－ABCD中，AD∥BC,∠ABC＝90°，
PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，
BC＝6.
求证：BD⊥平面PAC.
要证BD⊥平面PAC，只需在平面PAC内寻求两相交直线与BD 垂直，而PA显然与BD垂直，故只需证BD⊥AC.

M
O
斜线上一点与垂足间的线段叫做这个点到平面的垂线段。 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平 面上的射影。
35
思考：直线l在平面上的射影与点A在l上的取法是 否有关？ 假设在直线l上另取点A'（异 于M），在面AMO内过A'作 A'O'//AO交MO于点O'。 因为AO⊥平面 ， 所以A'O'⊥平面 。 所以直线l在平面 上的投影是直线MO' （即MO） 直线l在平面上的射影与点A在l上的取法无关！ 即对于任意一条斜线在平面内的射影是唯一的！
证明：设 AC 与 BD 交于点 E. ∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴PA⊥BD. AD 3 BC 又 tan∠ABD＝ AB ＝ 3 ，tan∠BAC＝AB＝ 3， ∴∠ABD＝30° ，∠BAC＝60° ， ∴∠AEB＝90° ，即 BD⊥AC. 又 PA∩AC＝A，∴BD⊥平面 PAC.
P
E
F
A
B
C
3.线面垂直的性质（公理） (1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；
(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直。
直线和平面垂直的性质
1.一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直
于平面内的任意直线． 2.垂直于同一平面的两条直线平行,垂直于同一 直线的两平面平行． 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于这个平面。
D′ B ′
C
A′ D
C B
A
证明： 连接BD ∵正方体ABCD-A′B′C′D′ ∴DD ′⊥正方体ABCD ∵AC、BD 为对角线 ∴AC⊥BD ∵DD ′∩BD=D ∴AC⊥△D ′DB ∴AC⊥BD ′
D′ A′ D A B′
C′
C
B
6.2线面垂直的性质
复习
直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

30
N
2、直线l和平面的距离 设直线 l 平行于平面，在直线 l 上任取一点M， 我们把点M到平面的距离叫做直线 l 和平面的距离。
l
M

N
31
3、平面和平面的距离 设平面平行平面，在平面上任取一点M，我 们把点M到平面的距离叫做平面和平面的距离。
M

N

32
二.直线与平面所成的角
36
A'
M
l
A
O

O'
例1、如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）线段AB1在面BB1D1D中的射影 （2）线段AB1在面A1B1CD中的射影
线段B1O
D1 A1 B1
C1
D A
O
C B
例1、如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）线段AB1在面BB1D1D中的射影 （2）线段AB1在面A1B1CD中的射影
即时训练： 如右图所示，P为△ABC所在平面外一
点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，
AF⊥PC于F. 求证：(1)BC⊥平面PAB； (2)AE⊥平面PBC； (3)PC⊥EF.
证明：(1)∵PA⊥平面ABC， BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.
但经过斜足的直线有无数条，选 取哪条直线与斜线所成的角来定 义直线与平面所成的角呢？
由于斜线在一个平面内的射影是确定的，而面内其 39 它的直线却具有不确定性！
探究：斜线与射影所成角和斜线与平面内任 意一条直线的所成角之间的大小关系？
A
O
C
B
斜线与射影所成角是斜线与平面内任意一条直线 的所成角中的最小值！
1
线面垂直直观图的画法：
a


m
a

n

2
2.线面垂直的判断定理: 如果直线 l 与平面 上的两条相交直线 a、b 都垂 直，那么直线 l 与平面垂直。
已知： a , b , a b O，l a , l b 求证： l
3
已知：a , b , a b O，l a, l b 求证：l
例2、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面，那么另一条也垂直于这个平面。