高中数学第二章函数2.2.3待定系数法练习
2.2.3待定系数法 高中 数学 人教B版2003课标版
(3,1)求这个二次函数的解析式.
解：因为二次函数的顶点坐标是(2,3),
所以设二次函数为 y a x 2 3
2
又因为图象经过点(3,1)
从而有 1 a 3 2 3 解得a=-2
2、方法提炼： (1)求二次函数设一般式是通法 (2)已知顶点（对称轴或最值），往往设顶点式 (3)已知图像与x轴有两交点，往往设两根式
作业:P62练习A练习B P63习题2-2A 习题2-2B
a 3 a 3 解得 b 2 或 b 4
所以一次函数为f(x)=3x+2或f(x)=－3x－4.
总结：
1、待定系数法解题的基本步骤是什么？
第一步：设出含有待定系数的解析式；
第二步：根据恒等的条件，列出含待定 系数的方程或方程组； 第三步：解方程或方程组，从而使问题 得到解决。
0 0 c 5 根据已知条件得方程组 a b c 4 4a 2b c 5 解方程组得a=2，b=1，c=－5.
中a，b，c待定，
因此，所求函数为f(x)=2x2+x－5.
待定系数法解题的基本步骤是什么？ 第一步：设出含有待定系数的解析式； 第二步：根据恒等的条件，列出含待定系 数的方程或方程组； 第三步：解方程或方程组，从而使问题得 到解决。
k=－ 2 .
所以所求的正比例函数是y=－ 2 x.
待定系数法:
一般地，在求一个函数时，如果知道
这个函数的一般形式，可先把所求函数写
为一般形式，其中系数待定，然后再根据 题设条件求出这些待定系数. 这种通过求
待定系数来确定变量之间关系式的方法叫
高中数学：2.2.3待定系数法单元测试题(新人教B版必修1)
2.2.3 待定系数法 测试题一、 选择题：1、一次函数12-=x y ，在图像上有一点)3,(x A ,则x 的值为 （ ）（A ）2 （B ）5 （C ）21 （D ） 51 2、抛物线122+-=x x y 的对称轴为 （ ）（A ）直线x=1 （B ）直线x=-1 （C ）直线x=2 （D ） 直线x=-23、已知抛物线通过点(-3,2),极点是（-2，3），则抛物线的解析式为（ ）A ）142---=x x y （B ）142--=x x y （C ）142-+=x x y （D ） 142+--=x x y4、已知二次函数c bx ax y ++=2的最大值为2，图像极点在直线1+=x y 上，而且图象过点（3，-6），则c b a ,, 的值为 （ ） （A ）-2，4，0 （B ）4，-2，0 （C ）-4，-2，0 （D ） -2，-4，05、抛物线极点坐标为（3，-1），与y 轴交点为（0，-4），则二次函数的解析式为 （ ）（A ）42312+--=x x y （B ）42312-+-=x x y （C ）42312+-=x x y （D ）42312-+=x x y 6．已知)(x f 为一次函数，且78)))(((+=x x f f f ，则=)(x f （ ）+1 +2 C.－2x+1 +77．已知二次函数12++=bx ax y 的图像的对称轴是x=1，而且通过点A （－1，7），则a ，b的值别离是（ ），4 ，－4 C.－2，4 D.－2，－48．已知))(1(322b ax x x x +-=-+，则a,b 的值别离为（ ），3 ，－3 C.－2，3 D.－2，－39．已知))()((65223c x b x a x x x x +++=--+，则a,b,c 的值别离为（ ），2，3 ，－2，－3 C.1，－2，3 ，2，－3二、填空题：10．已知72)1(2+-=-x x x f ，则)(x f ＝____________________；11．已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(，若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，则)(x f ＝______________；12、已知)(x f 是二次函数，知足,2)()1(,1)0(x x f x f f =-+=则=)(x f __________.13、已知反比例函数过点（2，3），则函数表达式为_______________________.14、一次函数54)(-=x x f ，则=-)3(x f ____________________________.三、解答题：15、已知二次函数)(x f ，5)2(,4)1(,5)0(==--=f f f ，求这个函数的解析式.参考答案：一、 选择题：1． A ；2． A ；3． A ；4． A ；5． B ；6．A ；7．B ；8．A ；9．C ；二、填空题：10．6)(2+=x x f11．535651)(2---=x x x f 12．21x x -+13．6y x=14．417x - 三、解答题：15. 设函数的解析式为2()f x ax bx c =++ 214351314134()53335425a c a b c b f x x x a b c c ⎧=⎪-=⎧⎪⎪⎪∴=-+⇒=-∴=--⎨⎨⎪⎪=++⎩=-⎪⎪⎩。
高中数学：2.2.3待定系数法 _1
第二章 函 数
解：因为已知函数 f(x)的顶点为(1，4)，故设二次函数的解析 式为 f(x)＝a(x－1)2＋4(a≠0)， 又经过(－1，0)， 所以 0＝a(－1－1)2＋4，所以 a＝－1， 所以 f(x)＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3， 所以 f(x)＝－x2＋2x＋3．
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第二章 函 数
由函数图象求函数的解析式，关键在于分析图象由哪几种函 数组成，然后就每一类函数利用待定系数法求相应解析式．
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第二章 函 数
在体育测试时，高一的一名高个男同学推铅球， 已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图 所示．
如果这个男同学出手处 A 点的坐标是(0，2)，铅球路线的最 高处 B 点的坐标是(6，5)．
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第二章 函 数
二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式， 选择合适的表达式能起到事半功倍的效果． (1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式； (2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们 可考虑函数的顶点式； (3)若题目中给出函数与 x 轴的交点或二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0 的两根，可设函数的两根式．
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第二章 函 数
3．已知抛物线 y＝ax2(a≠0)与直线 y＝kx＋1(k≠0)交于两点， 其中一交点为(1，4)，则另一交点为________． 解析：将(1，4)的坐标分别代入 y＝ax2 与 y＝kx＋1， 得44＝＝ak，＋1，解得ak＝＝43，. 再联立yy＝ ＝43xx2＋，1，解得xy＝＝41，，或xy＝＝14－. 14， 答案：－14，14
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第二章 函 数
求二次函数的解析式 已知二次函数的图象过点(1，4)，且与 x 轴的交点为 (－1，0)和(3，0)，求函数的解析式．
高中数学：第2章 2.2 2.2.3 待定系数法
2.2.3 待定系数法学习目标：1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式．(重点)2.掌握待定系数法的特征及应用，了解待定系数法在函数中的应用．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]待定系数法的定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．思考：待定系数法求函数解析式的步骤有哪些？[提示] (1)根据题设条件，设出含有待定系数的该函数解析式的恰当形式． (2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)．(3)解方程(组)，求出待定系数的值(或消去待定系数，从而使问题得到解决)． (4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式．[基础自测]1．思考辨析(1)确定一次函数的解析式只需要二个条件即可．( )(2)一个反比例函数的图象过(2,8)点，则其解析式为y ＝－16x .( ) (3)一次函数的图象经过点(1,3)，(3,4)，则其解析式为y ＝12x ＋52.( ) [解析] (1)√ 确定一次函数的解析式，即确定k ，b 的值，因此需要列关于k ，b 的两个二元一次方程求解．(2)× 反比例函数图象过点(2,8)则其解析式为y ＝16x .(3)√ 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(1,3)，(3,4)代入得⎩⎨⎧k ＋b ＝33k ＋b ＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝52，所以解析式为y ＝12x ＋52.[答案] (1)√ (2)× (3)√2．若函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P (3，－2)和Q (－1,2)，则这个函数的解析式为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝－x －1D ．y ＝－x ＋1D [把点P (3，－2)和Q (－1,2)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧－2＝3k ＋b ，2＝－k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝1.所以y ＝－x ＋1，故选D.]3．已知一个二次函数的顶点坐标为(0,4)，且过(1,5)点，则这个二次函数的解析式为( )【导学号：60462146】A ．y ＝14x 2＋1 B ．y ＝14x 2＋4 C ．y ＝4x 2＋1D ．y ＝x 2＋4D [设该二次函数的解析式为y ＝a (x －0)2＋4，即y ＝ax 2＋4，(1,5)代入，得a ＋4＝5，所以a ＝1，故解析式为y ＝x 2＋4.]4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为________． 5 [∵f (3)－f (－1)＝8a ＋4b ＝0， ∴4a ＋2b ＝0， ∴f (2)＝4a ＋2b ＋5＝5.][合 作 探 究·攻 重 难]待定系数法求一次函数的解析式【导学号：60462147】(2)已知一次函数的图象与x 轴交点的横坐标为－32，并且当x ＝1时，y ＝5，则这个一次函数的解析式为______．[解析] (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x ＋3，所以⎩⎨⎧k 2＝4，kb ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧ k ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝－3.所以函数的解析式为f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.(2)设所求的一次函数为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意知一次函数图象上有两个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0和(1,5)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧0＝－32k ＋b ，5＝k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝3，所以y ＝2x ＋3.[答案] (1)2x ＋1或－2x －3 (2)y ＝2x ＋3[规律方法] 用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤： (1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)； (2)根据题意列出关于k 和b 的方程组； (3)求出k ，b 的值，代入即可． [跟踪训练]1．一次函数的图象经过点(2,0)和点(－2,1)，则此函数的解析式为________． y ＝－14x ＋12 [设函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点(2,0)和(－2,1)代入解析式，得⎩⎨⎧0＝2k ＋b ，1＝－2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.所以函数的解析式为y ＝－14x ＋12.]待定系数法求二次函数的解析式2(1)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)； (2)图象顶点为(1,2)，并且过点(0,4)；(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．[思路探究] 设二次函数的解析式→列出含参数的方程(组)→解方程(组)→写出解析式[解] (1)由题意设二次函数的解析式为 y ＝a (x －2)(x －4)，整理，得y ＝ax 2－6ax ＋8a .又∵图象过点(0,3) ∴8a ＝3，∴a ＝38.∴解析式为y ＝38(x －2)(x －4)．(2)设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2＋2. 又∵图象过点(0,4) ∴a ＋2＝4，∴a ＝2. ∴解析式为y ＝2(x －1)2＋2. (3)设函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由题设知⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝5，即⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝2，∴函数的解析式为y ＝x 2－2x ＋2.[规律方法] 求二次函数解析式，应根据已知条件的特点，灵活选用解析式的形式，利用待定系数法求解.(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ，b ，c 为常数，a ≠0.(2)若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y ＝a (x －h )2＋k ，其中顶点为(h ，k )，a 为常数，a ≠0.(3)若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，则设所求二次函数为两根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，a 为常数，且a ≠0.)[跟踪训练]2．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式.【导学号：60462148】[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0)由f (0)＝1得，c ＝1 ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝2x 即2ax ＋a ＋b ＝2x∴⎩⎨⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1. 所以f (x )＝x 2－x ＋1待定系数法的综合应用[1．根据函数图象求函数解析式的关键是什么？ 提示：观察函数图象的形状．图2-2-32．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2-2-3所示，求该函数的解析式，并求出该函数的值域．提示：设二次函数解析式为y ＝a (x －1)2－1，(a ＞0)． 又函数过点(0,0)，故a ＝1，所以所求函数的解析式为y ＝(x －1)2－1(0≤x ＜3)． 由图可知该函数的取值满足－1＝f (1)≤f (x )＜f (3)＝3， 即该函数的值域为[－1,3)．如图2-2-4，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求此函数的解析式．图2-2-4[解] 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎨⎧k ＋b ＝1，b ＝2， 解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2(x ≤1)， 同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ≥3)； 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．法一：(顶点式)设抛物线的方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)，由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1，所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 法二：(一般式)设抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0,1≤x ≤3)． 因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)，所以有⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝－2，所以抛物线对应的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 综上，函数的解析式为 y ＝⎩⎨⎧－x ＋2，(x <1)，－x 2＋4x －2，(1≤x <3)，x －2，(x ≥3).[规律方法] 1.由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数的图象组成，然后再在不同区间上，利用待定系数法求出相应的解析式．2．分段函数的表达式要注意端点值． [跟踪训练]3．已知二次函数图象与x 轴的交点为(－2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(－1,8)，求二次函数解析式. 【导学号：60462149】[解] 法一：(一般式)设二次函数的表达式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0) 因为函数f (x )经过点(－2,0)，(3,0)和(－1,8)，所以⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0a －b ＋c ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝2c ＝12.所以二次函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋2x ＋12.法二：(两根式)设二次函数解析式为f (x )＝a (x ＋2)(x －3)，又因为二次函数图象经过(－1,8)，所以－4a ＝8，即a ＝－2，所以二次函数解析式为f (x )＝－2(x ＋2)(x －3)，即f (x )＝－2x 2＋2x ＋12.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知2x 2＋x －3＝(x －1)(ax ＋b )，则a ，b 的值分别为( ) A ．2,3 B ．3,2 C ．－2,3D ．－3,2A [2x 2＋x －3＝ax 2＋(b －a )x －b ，根据恒等式⎩⎨⎧a ＝2，b －a ＝1，－3＝－b ，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3.] 2．已知函数f (x )＝ax 2＋k 的图象过点(1,7)和点(0,4)，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝3x 2＋4B ．f (x )＝2x 2＋5C ．f (x )＝3x 2＋2D ．f (x )＝5x 2＋4A [将(1,7)与(0,4)代入函数f (x )＝ax 2＋k 可得a ＝3，k ＝4.]3．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象顶点为(2,3)，且过点(3，－1)，则函数的解析式为________.【导学号：60462150】y ＝－4x 2＋16x －13 [由题意设函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋3， 则－1＝a (3－2)2＋3，解得a ＝－4.]4．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________.2 [f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3， 又∵f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎨⎧a 2＝12ab ＋4a ＝10b 2＋4b ＋3＝24，∴⎩⎨⎧ a ＝1b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－7.∴5a －b ＝2.]5．已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式．[解] 法一：(一般式)设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由条件可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)和(7,0)．将三个点的坐标代入，得⎩⎨⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73.∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：(两根式)∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)． ∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)(x －7)， 把顶点(4，－3)代入得－3＝a (4－1)×(4－7)， 解得a ＝13.∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点梳理(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点梳理单选题1、已知x >0，则下列说法正确的是（ ）A ．x +1x −2有最大值0B ．x +1x −2有最小值为0C ．x +1x −2有最大值为－4D ．x +1x −2有最小值为－4 答案：B分析：由均值不等式可得x +1x ≥2√x ×1x =2，分析即得解由题意，x >0，由均值不等式x +1x ≥2√x ×1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时等号成立 故x +1x −2≥0，有最小值0故选：B2、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（ ）A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100 C ．4×x 0.5>100D ．4×x 0.5<100答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x 0.5>100．故选：C.3、若不等式(ax −2)(|x |−b )≥0对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，则（ ）A ．a >0，ab =12B ． a >0，ab =2C ．a >0，a =2bD ．a >0，b =2a答案：B分析：由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a)(|x |−b )≥0，当b ≤0时，不满足题意，故b >0，再由二次函数的性质即可求解 由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a )(|x |−b )≥0，当b ≤0时，显然不满足题意，故b >0，由二次函数的性质可知，此时必有2a =b ，即ab =2，故选：B4、已知正数x ，y 满足2x+3y +13x+y =1，则x +y 的最小值（ ）A ．3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√28答案：A分析：利用换元法和基本不等式即可求解.令x +3y =m ，3x +y =n ，则2m +1n =1，即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )，∴x +y =m+n 4=(m 4+n 4)(2m +1n )=12+m 4n +2n 4m +14≥2√m 4n ⋅2n 4m +34=2×2√2+34=2√2+34，当且仅当m 4n =2n4m ，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立，故选：A.5、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可.不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−b a(−12)⋅13=2a，解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16)故选：A6、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ）A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8故选：B7、要使关于x 的方程x 2+(a 2−1)x +a −2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（）A ．{a |−1<a <2}B ．{a |−2<a <1}C ．{a |a <−2}D ．{a |a >1}答案：B分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围.由题意可得1+(a 2−1)+a −2=a 2+a −2<0，解得−2<a <1.故选：B.8、不等式1+x 1−x ≥0的解集为（ ）A ．{x|x ≥1或x ≤−1}B ．{x ∣−1≤x ≤1}C ．{x|x ≥1或x <−1}D ．{x|−1≤x <1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，解得−1≤x <1，故不等式的解集为{x|−1≤x <1}， 23,21<<-<<-a b故选：D ．多选题9、已知a >b ⩾2，则（ ）A ．b 2<3b −aB ．a 3+b 3>a 2b +ab 2C ．ab >a +bD ．12+2ab >1a +1b 答案：BC解析：根据不等式的性质，逐一判断即可．解：a >b ⩾2，A 错误，比如a =3，b =2，4>3不成立；B ，a 3+b 3−(a 2b +ab 2)=a 2(a −b)−b 2(a −b)=(a −b)2(a +b)>0成立；C ，由ab −a −b =a(b −1)−b =(b −1)(a −b b−1)=(b −1)[a −(1+1b−1)]>0，故C 成立， D ，12+2ab −1a −1b =(a−2)(b−2)2ab ⩾0，故D 不成立，故选:BC . 小提示：本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等．10、若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若且a <b ，则1a >1bB ．若0<a <1，则a 2<aC ．若a >b >0且c >0，则b+c a+c >b aD ．a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A ，当a <0<b 时，结论不成立，故A 错误；对于B ，a 2<a 等价于a (a −1)<0，又0<a <1，故成立，故B 正确；对于C ，因为a >b >0且c >0，所以b+c a+c >b a 等价于ab +ac >ab +bc ，即(a −b )c >0，成立，故C 正确； 对于D ，a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)等价于(a −1)2+(b +2)2≥0，成立，故D 正确.故选：BCD. 0ab11、下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）A．3x+4<0B．x2+mx-1>0C．ax2+4x-7>0D．x2<0答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.12、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2}，则下列结论正确的是（）A．a>0B．b>0C．c>0D．a+b+c>0答案：BCD分析：对A，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B，C，利用韦达定理即可判断；对D，根据韦达定理以及b>0，即可求解.解：对A，∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2}，故相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，即a<0，故A错误；对B，C，由题意知：2和−12是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根，则有ca =2×(−12)=−1<0，−ba=2+(−12)=32>0，又∵a<0，故b>0,c>0，故B，C正确；对D，∵ca=−1，∴a+c=0，又∵b>0，∴a+b+c>0，故D正确.故选：BCD.13、某辆汽车以xkm/ℎ的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为15(x −k +4500x )L ，其中k 为常数．若汽车以120km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，欲使每小时的油耗不超过．．．9L ，则速度x 的值可为（ ） A ．60B ．80C ．100D ．120答案：ABC解析：先利用120km/h 时的油耗，计算出k 的值，然后根据题意“油耗不超过9L ”列不等式，解不等式求得x 的取值范围.由汽车以120km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，∴15(120−k +4500120)=11.5，解得：k =100，故每小时油耗为15(x +4500x )−20， 由题意得15(x +4500x )−20≤9，解得：45≤x ≤100，又60≤x ≤120，故60≤x ≤100，所以速度x 的取值范围为[60,100].故选：ABC小提示：关键点点睛：本题考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解题的关键是先利用120km/h 时的油耗，计算出k 的值，然后代入根据题意解不等式，考查实际应用问题，属于中档题. 填空题14、已知实数x ，y ，满足{−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3,则z =2x −3y 的取值范围是________．（用区间表示） 答案：[3,8]分析：直接用x +y,x −y 表示出2x −3y ，然后由不等式性质得出结论．2x −3y =m(x +y)+n(x −y)=(m +n )x +(m −n )y ,则{m +n =2m −n =−3解得{m =−12n =52，则2x −3y =−12(x +y)+52(x −y)， 又−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3，−2≤−12(x +y )≤12,5≤52(x −y )≤152∴5−2≤2x −3y ≤12+152，即3≤2x −3y ≤8，所以答案是：[3,8]．15、已知实数x 、y 满足−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，则3x −4y 的取值范围为______．答案：[−7,2]分析：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，利用待定系数法求出m,n 的值，然后根据不等式的性质即可求解.解：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，则{m +2n =32m −n =−4，解得{m =−1n =2， 所以3x −4y =−(x +2y)+2(2x −y)，因为−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，所以−3≤−(x +2y)≤2，−4≤2(2x −y)≤0，所以−7≤3x −4y ≤2，所以答案是：[−7,2].16、已知三个不等式：①ab >0，②c a >d b ，③bc >ad ，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可.由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ； {c a >d b bc >ad ⇒{bc−ad ab >0bc >ad ⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.解答题17、销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P =at t+1；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q =bt ．其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品．所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y 万元（1）求利润总和y 关于x 的表达式：（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．答案：（1）y =3x x+1+13(3−x),0≤x ≤3；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．分析：（1）由题意得y =ax x+1+b(3−x)，代入数值计算即可求出结果；（2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果.（1）因为对甲种商品投资x 万元，所以对乙种商品投资为3−x 万元，由题意知：y =P +Q =ax x+1+b(3−x)，当x =3时，f(x)=94，当x =0时，f(x)=1， 则{3a 4=94,3b =1,解得a =3,b =13， 则y =3x x+1+13(3−x),0≤x ≤3． （2）由（1）可得f(x)=3x x+1+13(3−x)=3(x+1)−3x+1+1−13x =133−[3x+1+13(x +1)]≤133−2√3x+1⋅x+13=73，当且仅当x =2时取等号，故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．18、已知函数f (x )=x 2+ax −2，f (x )>0的解集为{x |x <−1或x >b }．(1)求实数a 、b 的值；(2)若x ∈(0,+∞)时，求函数g (x )=f (x )+4x 的最小值．答案：(1)a =−1，b =2(2)2√2−1分析：（1）分析可知−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得a 、b 的值；（2）求得g (x )=x +2x −1，利用基本不等式可求得g (x )在(0,+∞)上的最小值.（1）解：因为关于x 的不等式x 2+ax −2>0的解集为{x |x <−1或x >b }，所以，−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，所以，{1−a −2=0−1⋅b =−2，解得{a =−1b =2.（2）解：由题意知g(x)=f(x)+4x =x2−x+2x=x+2x−1，因为x>0，由基本不等式可得g(x)=x+2x −1≥2√x⋅2x−1=2√2−1，当且仅当x=2x时，即x=√2时，等号成立故函数g(x)的最小值为2√2−1.。
全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式经典知识题库
(名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式经典知识题库单选题1、已知0<x<2，则y=x√4−x2的最大值为（）A．2B．4C．5D．6答案：A分析：由基本不等式求解即可因为0<x<2，所以可得4−x2>0，则y=x√4−x2=√x2⋅(4−x2)≤x2+(4−x2)2=2，当且仅当x2=4−x2，即x=√2时，上式取得等号，y=x√4−x2的最大值为2．故选：A．2、已知a,b为正实数，且a+b=6+1a +9b，则a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．12答案：B分析：根据题意，化简得到(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab≥6(a+b)+16，则有(a+b)2−6(a+b)−16≥0，解得a+b≥8，当且仅当a =2，b =6取到最小值8. 故选：B.3、若“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≥2C ．m ≥3D ．m ≥4 答案：C分析：x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0），解得﹣2m <x <m .根据“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，可得﹣2m ≤﹣2，3≤m ，m >0.解出即可得出. 解：x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0），解得﹣2m <x <m .∵“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，∴﹣2m ≤﹣2，3≤m ，(两个等号不同时取)m >0. 解得m ≥3.则实数m 的取值范围是[3，+∞）. 故选：C.4、已知a,b 为正实数且a +b =2，则ba +2b 的最小值为（ ） A ．32B ．√2+1C ．52D ．3 答案：D分析：由题知ba +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可.解：因为a,b 为正实数且a +b =2， 所以b =2−a ， 所以，ba +2b =2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b )−1因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立；所以ba +2b =2−a a+2b =2a +2b −1≥3，当且仅当a =b =1时等号成立；5、若对任意实数x >0,y >0，不等式x +√xy ≤a(x +y)恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．√2−12B ．√2−1C ．√2+1D ．√2+12答案：D分析：分离变量将问题转化为a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，进而求出x+√xy x+y的最大值，设√yx=t(t >0)及1+t =m(m >1)，然后通过基本不等式求得答案.由题意可得，a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，则只需求x+√xy x+y的最大值即可，x+√xy x+y=1+√y x 1+y x，设√yx =t(t >0)，则1+√y x 1+y x=1+t1+t 2，再设1+t =m(m >1)，则1+√y x 1+y x=1+t 1+t 2=m 1+(m−1)2= m m 2−2m+2=1m+2m−2≤2√m⋅2m−2=2√2−2=√2+12，当且仅当m =2m⇒√y x=√2−1时取得“=”.所以a ≥√2+12，即实数a 的最小值为√2+12. 故选：D.6、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ） A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞) 答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16)7、若正数a,b 满足a +b =ab ，则a +2b 的最小值为（ ） A ．6B ．4√2C ．3+2√2D ．2+2√2 答案：C分析：由a +b =ab ，可得1a +1b =1，则a +2b =(a +2b)(1a +1b )，化简后利用基本不等式可求得其最小值 因为正数a,b 满足a +b =ab ， 所以1a +1b =1，所以a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+a b +2b a≥3+2√a b ⋅2b a=3+2√2，当且仅当ab =2ba，即a =√2+1,b =2+√22时取等号，故选：C8、若x >1，则x +1x−1的最小值等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D分析：将x +1x−1变形为x −1+1x−1+1，即可利用均值不等式求最小值. 因为x >1，所以x −1>0，因此x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)⋅1x−1+1=3,当且仅当x −1=1x−1，即x =2时，等号成立，所以x +1x−1的最小值等于3.故选：D.9、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ）A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A10、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ）A ．{x|x >1或x <−16}B ．{x |−16<x <1 }C ．{x|x >1或x <−3}D ．{x |−3<x <2 } 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1 }．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．11、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b ≥2D ．1a−1<1b−1 答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a<1b，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C.12、已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要 答案：C分析：先证充分性，由（x −2）(x −3）≤0 求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简|x −2|+|x −3|即可，再证必要性，若|x −2|+|x −3|=1，即|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，再根据绝对值的性质可知（x −2）(x −3）≤0．充分性：若（x −2）(x −3）≤0，则2≤x ≤3， ∴|x −2|+|x −3|=x −2+3−x =1，必要性：若|x −2|+|x −3|=1，又∵|（x −2）−（x −3）|=1， ∴|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|， 由绝对值的性质：若ab ≤0，则|a |+|b |=|a −b|， ∴（x −2）(x −3）≤0，所以“（x −2）(x −3）≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的充要条件， 故选：C ． 填空题13、若不等式x 2−2>mx 对满足|m |≤1的一切实数m 都成立，则x 的取值范围是___________答案：x <−2或x >2分析：令f (m )=mx −x 2+2，依题意可得−1≤m ≤1时f (m )<0恒成立，则{f (1)<0f (−1)<0，即可得到关于x的一元二次不等式组，解得即可；解：因为x 2−2>mx ，所以mx −x 2+2<0令f (m )=mx −x 2+2，即f (m )<0在|m |≤1恒成立，即−1≤m ≤1时f (m )<0恒成立，所以{f (1)<0f (−1)<0，即{x −x 2+2<0−x −x 2+2<0，解x −x 2+2<0得x >2或x <−1；解−x −x 2+2<0得x >1或x <−2，所以原不等式组的解集为x ∈(−∞,−2)∪(2,+∞) 所以答案是：(−∞,−2)∪(2,+∞)14、已知x >54，则函数y =4x +14x−5的最小值为_______. 答案：7分析：由x >54，得4x −5>0，构造导数关系，利用基本不等式即可得到.法一：∵x >54，∴4x −5>0， y =4x +14x−5=(4x −5)+14x−5+5≥2+5=7，当且仅当4x −5=14x−5，即x =32时等号成立，所以答案是：7.法二：∵x >54，令y ′=4−4(4x−5)2=0得x =1或x =32， 当54<x <32时y′<0函数单调递减，当x >32时y′>0函数单调递增，所以当x =32时函数取得最小值为：4×32+14×32−5=7，所以答案是：7.【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.15、若对任意x >0，x 3+5x 2+4x ≥ax 2恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 答案：(−∞,9]分析：先分离参数a ，再运用基本不等式可求解. 因为对任意x >0，x 3+5x 2+4x ≥ax 2⇔x 2+5x+4x≥a 恒成立，只需满足a ≤(x 2+5x+4x)min，因为x >0，所以x 2+5x+4x=x +4x +5≥2√x ⋅4x +5=9，当且仅当x =4x ，即x =2时取等号.故实数a 的取值范围是(−∞,9]. 所以答案是：(−∞,9]16、已知实数x 、y 满足−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，则3x −4y 的取值范围为______． 答案：[−7,2]分析：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，利用待定系数法求出m,n 的值，然后根据不等式的性质即可求解. 解：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，则{m +2n =32m −n =−4 ，解得{m =−1n =2，所以3x −4y =−(x +2y)+ 2(2x −y)， 因为−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0， 所以−3≤−(x +2y)≤2，−4≤2(2x −y)≤0， 所以−7≤3x −4y ≤2， 所以答案是：[−7,2].17、若函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)，则a +b 的值为____.答案：92分析：根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为[1,b ](b >1)，列出相应方程组，求出a ，b 的值即可. 解：由函数f (x )=12x 2−x +a ，可得对称轴为x =1， 故函数在[1,b ]上是增函数.∵函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)，∴{f(1)=1f(b)=b，即{12−1+a=112b2−b+a=b.解得a=32，b=1或b=3.∵b>1，∴b=3.∴a+b=32+3=92.所以答案是：92.解答题18、若0<a<b，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例.（1）a+1b <b+1a；（2）a2+1a2≥a+1a；（3）a 2b +b2a>a+b.答案：（1）正确，证明见解析；（2）正确，证明见解析；（3）正确，证明见解析. 解析：(1)作差分解因式，即可得出答案；(2)作差分解因式，即可得出答案；(3)用基本不等式，即可得出答案.（1）正确a+1b −b−1a=(a−b)(1+1ab)<0（2）正确a2+1a2−(a+1a)=(a+1a)2−(a+1a)−2=(a+1a−2)(a+1a+1)≥0（3）正确a 2b +b>2a,b2a+a>2b∴a2b+b2a+a+b>2a+2b∴a2b+b2a>a+b小提示：本题考查证明不等式，一般采用作差法、作商法、基本不等式，属于容易题.19、已知不等式ax2+(1−a)x+a−1<0．(1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)若不等式对a∈[0,12]恒成立，求实数x的取值范围．答案：(1)(−∞，−13)；(2)(−1−√52，−1+√52)．分析：（1）根据一元二次不等式的解集为全体实数的条件可得Δ<0，a<0，从而解出a的范围即可．（2）化简整理为关于a的一次函数再分析．构造函数g(a)利用{g(0)<0g(12)<0，解不等式组．（1）当a=0时，不等式为x−1<0，解得x<1，显然不符合题意；当a≠0时，由已知，得{a<0(1−a)2−4a(a−1)<0即{a<03a2−2a−1>0，解得a<−13,综上，实数a的取值范围为(−∞，−13)．（2）原不等式可化为(x2−x+1)a+x−1<0，设g（a）=(x2−x+1)a+x−1，由题意，当a∈[0，12]，g(a)<0恒成立，所以{g(0)<0g(12)<0，即{x−1<012(x2−x+1)+x−1<0 ,解得−1−√52<x<−1+√52，所以实数x的取值范围为(−1−√52，−1+√52)．20、已知a>0，b>0.（1）求证：a2+3b2≥2b(a+b)；（2）若a+b=2ab，求ab的最小值.答案：（1）证明见解析；（2）1.分析：（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.（2）根据a+b=2ab，可得2ab=a+b≥2√ab，从而得到√ab≥1，进而求得ab≥1，注意等号成立的条件，得到结果.证明：（1）∵a2+3b2−2b(a+b)=a2−2ab+b2=(a−b)2≥0，∴a2+3b2≥2b(a+b).（2）∵a>0，b>0，∴2ab=a+b≥2√ab，即2ab≥2√ab，∴√ab≥1，∴ab≥1.当且仅当a=b=1时取等号，此时ab取最小值1.小提示：该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.。
新课标2022版高考数学总复习第二章函数第一节函数及其表示练习含解析理
高考数学总复习：第一节 函数及其表示学习要求:1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.1.函数与映射的概念函数映射两集合A 、B设A 、B 是两个① 非空数集 设A 、B 是两个② 非空集合对应关系f :A →B按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A中的③ 任意 一个数x ,在集合B 中都有④ 唯一确定 的数f (x )与之对应按某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的⑤ 任意 一个元素x ,在集合B 中都有⑥ 唯一确定 的元素y 与之对应名称 称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y =f (x ),x ∈A 对应f :A →B▶提醒 判断一个对应关系是不是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域:在函数y =f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的⑦ 定义域 ;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的⑧ 值域 .(2)函数的三要素:⑨ 定义域 、值域和对应关系.(3)相等函数:若两个函数的⑩ 定义域 相同,且 对应关系 完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示方法: 解析法 、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.▶提醒一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.知识拓展1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为{x|x∈R且x≠xπ+π2,x∈Z}.(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}.(7)y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域为{x|x>0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[4xx-x24x ,+∞);当a<0时,值域为(-∞,4xx-x24x].(3)y=xx(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数y=1与y=x0是同一个函数.()(2)f(x)=√x-3+√2-x是一个函数.()(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.()(4)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个.()答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)√2.若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是 ( )答案 B3.(新教材人教A 版必修第一册P65例2改编)函数f (x )=√2x的定义域为 ( )A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞) 答案 A 要使f (x )=2x有意义,需满足2x-1>0,解得x >0,∴函数f (x )=2x的定义域为(0,+∞),故选A.4.(2020山东威海一中期中)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x -2)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12) C.(-1,0) D.(12,1)答案 D ∵f (x )的定义域为(-1,0),∴-1<2x -2<0,解得12<x <1,∴函数f (2x -2)的定义域为(12,1),故选D .5.已知f (x )是一次函数,且f [f (x )]=x +2,则f (x )= ( )A.x +1B.2x -1C.-x +1D.x +1或-x -1答案 A 因为f (x )是一次函数,所以可设f (x )=kx +b (k ≠0).由f [f (x )]=x +2得k (kx +b )+b =x +2,即k 2x +kb +b =x +2,所以k 2=1,kb +b =2,解得k =1,b =1,则f (x )=x +1.故选A.函数、映射概念的理解典例1 (1)给出下列四个对应:①A =R,B =R,对应关系f :x →y ,y =1x +1,x ∈A ,y ∈B ;②A ={x |12x ∈N *},B ={x |x =1x,x ∈N *},对应关系f :a →b ,b =1x;③A ={x |x ≥0},B =R,对应关系f :x →y ,y 2=x ,x ∈A ,y ∈B ;④A ={x |x 是平面α内的矩形},B ={y |y 是平面α内的圆},对应关系f :每一个矩形都对应它的外接圆. 其中是从A 到B 的映射的为( )A.①③B.②④C.①④D.③④ (2)下列函数中,与函数y =x +1是相等函数的是 ( )A.y =(√x +1)2B.y =√x 33+1C.y =x 2x+1 D.y =√x 2+1答案 (1)B (2)B解析 (1)对于①,当x =-1时,y 的值不存在,所以①不是从A 到B 的映射;对于②,A ,B 是两个集合,分别用列举法表述为A ={2,4,6,…},B ={1,12,13,14,…},由对应关系f :a →b ,b =1x 知,②是从A 到B 的映射;③不是从A 到B 的映射,如A 中的元素1对应B 中两个元素±1;④是从A 到B 的映射.(2)对于A,函数y =(√x +1)2的定义域为{x |x ≥-1},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于B,两个函数的定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C,函数y =x 2x +1的定义域为{x |x ≠0},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于D,两个函数的定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B .名师点评1.定义域和值域都相同的两个函数不一定是相等函数.2.判断一个从集合A 到集合B 的对应是不是一个函数(映射)的依据可归纳为可以一对一,也可以多对一,但不能一对多.1.下列对应关系:①A ={1,4,9},B ={-3,-2,-1,1,2,3}, f :x →x 的平方根; ②A =R,B =R, f :x →x 的倒数; ③A =R,B =R, f :x →x 2-2;④A ={-1,0,1},B ={-1,0,1}, f :x →x 2. 其中是A 到B 的映射的是 ( )A.①③B.②④C.③④D.②③ 答案 C2.下列四组函数中,表示相等函数的一组是 ( )A.f (x )=|x |,g (x )=√x 2B.f (x )=√x 2,g (x )=(√x )2C.f (x )=x 2-1x -1,g (x )=x +1D.f (x )=√x +1·√x -1,g (x )=√x 2-1 答案 A函数的定义域角度一 具体函数的定义域典例2 (1)函数f (x )=√x +1+lg(6-3x )的定义域为 ( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2] (2)函数f (x )=√4-|x |+lgx 2-5x +6x -3的定义域为 ( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6] 答案 (1)C (2)C解析 (1)要使函数f (x )=√x +1+lg(6-3x )有意义,则{x +1≥0,6-3x >0,即-1≤x <2.故函数f (x )的定义域为[-1,2).(2)要使函数f (x )有意义,需满足{4-|x |≥0,x 2-5x +6x -3>0,即{|x |≤4,(x -3)(x -2)x -3>0,解得2<x <3或3<x ≤4,故f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4].角度二 已知函数定义域,求参数的取值范围典例3 (1)(2019河北衡水联考)若函数y =xx -1xx 2+4xx +3的定义域为R,则实数m 的取值范围是 ( )A.(0,34]B.(0,34)C.[0,34]D.[0,34)(2)若函数f (x )=√xx 2+xxx +x 的定义域为{x |1≤x ≤2},则a +b 的值为 . 答案 (1)D (2)-92解析 (1)要使函数的定义域为R, 则mx 2+4mx +3≠0恒成立, ①当m =0时,显然满足条件; ②当m ≠0时,由Δ=(4m )2-4m ×3<0, 得0<m <34. 综上可知,0≤m <34.(2)函数f (x )=√xx 2+xxx +x 的定义域是不等式ax 2+abx +b ≥0的解集.由题意知不等式ax 2+abx +b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}, 所以{x <0,1+2=-x ,1×2=xx,解得{x =-32,x =-3, 所以a +b =-32-3=-92. 角度三 抽象函数的定义域典例4 已知函数f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f (x +12)+f (x -12)的定义域是 .答案 [12,32]解析 因为函数f (x )的定义域是[0,2],所以函数g (x )=f (x +12)+f (x -12)中的自变量x 需要满足{0≤x +12≤2,0≤x -12≤2,解得12≤x ≤32,所以函数g (x )的定义域是[12,32]. ◆变式探究 若函数y =f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=x (2x )x -1的定义域是 .答案 [0,1)解析 由题意得{0≤2x ≤2,x -1≠0,解得0≤x <1,所以g (x )的定义域为[0,1).名师点评简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式,构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)抽象函数:①若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],则函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出; ②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域.1.(1)函数f (x )=√2x -1-1的定义域是 . (2)函数f (x )=(x -12)0√x +2的定义域是 .答案 (1)(1,3] (2)(-2,12)∪(12,+∞) 2.若函数y =的定义域为R,则实数a 的取值范围是 .答案 [0,12)解析 由题意得ax 2-4ax +2>0恒成立, 则a =0或{x >0,x =(-4x )2-4×x ×2<0,解得0≤a <12.3.已知函数y =f (x 2-1)的定义域为[0,2],则函数g (x )=x (2x )x -1的定义域是 .答案 [-12,1)∪(1,32]解析 因为y =f (x 2-1)的定义域为[0,2],所以x ∈[0,2],x 2-1∈[-1,3],所以{-1≤2x ≤3,x -1≠0,解得-12≤x ≤32且x ≠1,所以函数g (x )的定义域是[-12,1)∪(1,32].函数的解析式典例5 (1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x ). (2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x,求f (x ). 解析 (1)解法一(待定系数法):因为f (x )是二次函数,所以设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f (2x +1)=a (2x +1)2+b (2x +1)+c =4ax 2+(4a +2b )x +a +b +c.因为f (2x +1)=4x 2-6x +5,所以{4x =4,4x +2x =-6,x +x +x =5,解得{x =1,x =-5,x =9,所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R). 解法二(换元法): 令2x +1=t (t ∈R),则x =x -12,所以f (t )=4(x -12)2-6·x -12+5=t 2-5t +9(t ∈R),所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).解法三(配凑法):因为f (2x +1)=4x 2-6x +5=(2x +1)2-10x +4=(2x +1)2-5(2x +1)+9, 所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).(2)(解方程组法)由f (-x )+2f (x )=2x①, 得f (x )+2f (-x )=2-x②,①×2-②得3f (x )=2x +1-2-x,即f (x )=2x +1-2-x3.故函数的解析式是f (x )=2x +1-2-x3(x ∈R).方法技巧求函数解析式的常用方法(1)配凑法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的式子,然后以x 替代g (x )得f (x )的解析式.(2)换元法:已知函数f (g (x ))的解析式,求f (x )的解析式时可用换元法,即令g (x )=t ,从中解出x ,代入已知解析式进行换元,此时要注意新元的取值范围.(3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定系数法.(4)解方程组法:已知关于f (x )与f (1x )或f (-x )的等式,可根据已知条件构造出等式,组成方程组,通过解方程组求出f (x )的解析式.(2020河北衡水中学调研)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0, f (x +1)=f (x )+x +1.求f (x )的解析式.解析 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=0知c =0,则f (x )=ax 2+bx ,又由f (x +1)=f (x )+x +1得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以{2x +x =x +1,x +x =1,解得a =b =12,所以f (x )=12x 2+12x (x ∈R).分段函数角度一 分段函数的最值问题典例6 已知函数f (x )={x 2-2xx +9,x ≤1,x +4x +x ,x >1,若f (x )的最小值为f (1),则实数a 的取值范围是 .答案 [2,+∞)解析 当x >1时, f (x )=x +4x +a ≥4+a ,当且仅当x =2时,等号成立.当x ≤1时, f (x )=x 2-2ax +9为二次函数,要想在x =1处取最小值,则函数图象的对称轴要满足x =a ≥1,并且f (1)≤4+a ,即1-2a +9≤a +4,解得a ≥2.角度二 已知函数值,求参数的值(或取值范围)典例7 设函数f (x )={x 2+2x ,x <0,x +1,x ≥0,则f (-1)= ;若f (a )>f (a -1),则实数a 的取值范围是 .答案 -1;(-12,+∞)名师点评分段函数问题的求解策略(1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.1.(2020辽宁盘锦一中模拟)已知函数f (x )={2e x -1,x <1,x 3+x ,x ≥1,则f (f (x ))<2的解集为 ( )A.(1-ln 2,+∞)B.(-∞,1-ln 2)C.(1-ln 2,1)D.(1,1+ln 2)答案 B 因为当x ≥1时, f (x )=x 3+x ≥2,当x <1时, f (x )=2e x -1<2,所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1,即2e x -1<1,解得x <1-ln 2, 所以f (f (x ))<2的解集为(-∞,1-ln 2),故选B.2.(2018课标全国Ⅰ文,12,5分)设函数f (x )={2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是 ( )A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)答案 D 函数f (x )={2-x ,x ≤0,1,x >0的图象如图所示:由f (x +1)<f (2x )得{2x <0,2x <x +1,得{x <0,x <1.∴x <0,故选D .3.已知函数f (x )={log 2(3-x ),x ≤0,2x -1,x >0,若f (a -1)=12,则实数a = .答案 log 23解析 由题意知当a -1≤0,即a ≤1时,log 2(3-a +1)=12,解得a =4-√2>1,舍去.当a -1>0,即a >1时,2a -1-1=12,解得a =log 23>1,成立.故a =log 23.微专题——新定义函数的有关计算新定义函数问题是近几年高考中函数的热点题型,解答这类问题的关键在于阅读理解时准确把握新定义、新信息,并把它纳入已有的知识体系之中,用原来的知识和方法来解决新情境下的问题,一般有两方面的考查:(1)利用新函数进行计算;(2)讨论新函数的性质.典例 (2020浙江镇海中学高三模拟)定义符号函数sgn x ={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,若f (x )是定义在R 上的减函数,g (x )=f (x )-f (ax )(a >1),则 ( )A.sgn[g (x )]=sgn xB.sgn[g (x )]=-sgn xC.sgn[g (x )]=sgn[f (x )]D.sgn[g (x )]=-sgn[f (x )] 答案 A解析 由题意知g (x )=f (x )-f (ax ),且f (x )是R 上的减函数, 当x >0时,x <ax ,则有f (x )>f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )>0, 此时sgn[g (x )]=1;当x =0时,x =ax ,则有f (x )=f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )=0, 此时sgn[g (x )]=0;当x <0时,x >ax ,则有f (x )<f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )<0, 此时sgn[g (x )]=-1. 综上所述,sgn[g (x )]=sgn x. 故选A.根据新定义得到f (x )的表达式,判断函数f (x )在定义域的单调性,可得结果.1.(2020辽宁大连高三月考)在实数的原有运算法则中,我们定义新运算 “x” 如下:当a ≥b 时,a x b =a ;当a <b 时,a x b =b 2,则函数f (x )=(1x x )·x -(2x x )(x ∈[-2,2])的最大值等于(“·”和“-”仍为通常的乘法和减法) ( )A.-1B.1C.12D.6 答案 D 因为a x b ={x ,x ≥x ,x 2,x <x ,所以f (x )=(1x x )·x -(2x x )={x -2,-2≤x ≤1,x 3-2,1<x ≤2,易知函数f (x )在[-2,2]上单调递增,所以f (x )max =f (2)=6,故选D.2.定义符号函数sgn x ={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则当x ∈R 时,不等式x +2>(2x -1)sgn x的解集为 .答案 {x |-3-√334<x <3}解析 当x >0时,不等式可转化为x +2>2x -1,解得0<x <3; 当x =0时,不等式可转化为2>1,不等式成立;当x <0时,不等式可转化为x +2>12x -1①,因为2x -1<0,所以①等价于(x +2)(2x -1)<1,即2x 2+3x -3<0,解得-3-√334<x <0.综上所述,不等式的解集为 {x |-3-√334<x <3}.A 组 基础达标1.下列各组函数中,表示同一个函数的是 ( )A.f (x )=x 2和f (x )=(x +1)2B.f (x )=(√x )2x和f (x )=(x )2C.f (x )=log a x 2和f (x )=2log a xD.f (x )=x -1和f (x )=√(x -1)2答案 B2.函数y =ln(x 2-x )+√4-2x 的定义域为 ( )A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0)∪(1,2]C.(-∞,0)D.(-∞,2)答案 B 由已知得{x 2-x >0,4-2x≥0,解得{x <0或x >1,x ≤2,即x ∈(-∞,0)∪(1,2],故选B.3.已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12)C.(-1,0)D.(12,1)答案 B4.已知函数f (x +1)=3x +2,则f (x )= ( )A.3x +2B.3x +1C.3x -1D.3x +4 答案 C5.已知f (10x)=x ,则f (5)= ( )A.105B.510C.log 510D.lg 5 答案 D6.(2020湖南湘潭一中模拟)已知函数f (x )={x +1x -2,x >2,x 2+2,x ≤2,则f (f (1))= ( )A.-12 B.2 C.4 D.11 答案 C ∵函数f (x )={x +1x -2,x >2,x 2+2,x ≤2,∴f (1)=12+2=3,∴f (f (1))=f (3)=3+13-2=4.故选C.7.已知函数f (x )={3-x +1(x ≤0),x x +2(x >0),若f (f (-1))=18,则实数a 的值是 ( )A.0B.1C.2D.3 答案 C8.设函数f :R →R 满足f (0)=1,且对任意的x ,y ∈R 都有f (xy +1)=f (x )·f (y )-f (y )-x +2,则f (2 017)= ( ) A.0 B.1 C.2 017 D.2 018答案 D 令x =y =0,则f (1)=f (0)·f (0)-f (0)-0+2=1×1-1-0+2=2,令y =0,则f (1)=f (x )·f (0)-f (0)-x +2,将f (0)=1, f (1)=2代入得f (x )=1+x ,所以f (2 017)=2 018,故选D .9.(2020湖南郴州二中模拟)设x ∈R,用[x ]表示不超过x 的最大整数,则y =[x ]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f (x )=2x +32x +1,则函数y =[f (x )]的值域为 ( )A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2} 答案 D f (x )=2x +32x+1=2x +1+22x+1=1+22x+1,∵2x>0,∴1+2x>1,∴0<22x+1<2,∴1<1+22x +1<3,即1<f (x )<3.当1<f (x )<2时,[f (x )]=1;当2≤f (x )<3时,[f (x )]=2.综上,函数y =[f (x )]的值域为{1,2},故选D.B 组 能力拔高10.已知函数f (x )={(x -1)x +4-2x ,x <1,1+log 2x ,x ≥1,若f (x )的值域为R,则实数a 的取值范围是( )A.(1,2]B.(-∞,2]C.(0,2]D.[2,+∞)答案 A 当x ≥1时, f (x )=1+log 2x ≥1;当x <1时, f (x )=(a -1)x +4-2a 必须是增函数,且值域区间的右端点的值大于或等于1,才能满足f (x )的值域为R,可得{x -1>0,x -1+4-2x ≥1,解得1<a ≤2.11.(2020江苏苏州一中期中)已知函数f (x )={2x ,x ≤1,log 3(x -1),x >1,且f (x 0)=1,则x 0=( )A.0B.4C.0或4D.1或3 答案 C 当x 0≤1时,由f (x 0)=2x 0=1得x 0=0(满足x 0≤1);当x 0>1时,由f (x 0)=log 3(x 0-1)=1得x 0-1=3,得x 0=4(满足x 0>1),故选C. 12.(2020北京,11,5分)函数f (x )=1x +1+ln x 的定义域是 .答案 (0,+∞)解析 要使函数f (x )有意义,则{x +1≠0,x >0,故x >0,因此函数f (x )的定义域为(0,+∞). 13.(2019湖南衡阳模拟)已知函数f (x )=xxx -1,若f (x )+f (1x )=3,则f (x )+f (2-x )= .答案 6 解析 ∵f (x )=xx x -1, f (x )+f (1x)=3, ∴f (x )+f (1x )=xx x -1+xx 1x-1=xx x -1-x x -1=x (x -1)x -1=3,解得a =3,∴f (x )=3x x -1,∴f (x )+f (2-x )=3x x -1+6-3x 2-x -1=6(x -1)x -1=6.C 组 思维拓展14.(2020广东珠海一中模拟)已知x 为实数,用[x ]表示不超过x 的最大整数,例如[1.2]=1,[-1.2]=-2,[1]=1.对于函数f (x ),若存在m ∈R 且m ∉Z,使得f (m )=f ([m ]),则称函数f (x )是Ω函数. (1)判断函数f (x )=x 2-13x ,g (x )=sin πx 是不是Ω函数(只需写出结论);(2)已知f (x )=x +x x,请写出a 的一个值,使得f (x )为Ω函数,并给出证明. 解析 (1)f (x )=x 2-13x 是Ω函数,g (x )=sin πx 不是Ω函数. (2)a =32.证明:设k ∈N *,取a ∈(k 2,k 2+k ),令[m ]=k ,m =x x ,则一定有m -[m ]=xx -k =x -x 2x∈(0,1),且f (m )=f ([m ]),所以f (x )是Ω函数.。
高中数学 2.2.3 待定系数法课后强化作业 新人教B版必
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.2.3 待定系数法课后强化作业 新人教B 版必修1一、选择题1．已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝4x B ．y ＝－4x C ．y ＝14xD ．y ＝－14x[答案] A[解析] 设正比例函数的解析式为y ＝kx (k ≠0)， 又点(2,8)在函数图象上，∴8＝2k ，∴k ＝4，故选A.2．已知一个一次函数的图象过点(1,3)、(3,4)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝12x －52B ．y ＝12x ＋52C ．y ＝－12x ＋52D ．y ＝－12x －52[答案] B[解析] 解法一：验证排除：点(1,3)不在直线y ＝12x －52，y ＝－12x ＋52，y ＝－12x －52上，故选B.解法二：设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ＋b4＝3k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝52，∴y ＝12x ＋52.3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1,0)、(3,0)，其形状与抛物线y ＝－2x 2相同，则y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5 C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8 D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6[答案] D[解析] ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1，0)、(3,0)，其形状与抛物线y ＝－2x 2相同，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2＋bx ＋c ，将点(－1,0)、(3,0)代入y ＝－2x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＋c ＝0－18＋3b ＋c ＝0，解得b ＝4，c ＝6，∴y ＝－2x 2＋4x ＋6.4．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且顶点为(－2,8)，则f (x )＝( ) A ．－2x 2－8x B ．2x 2－8x C ．2x 2＋8x D ．－2x 2＋8x[答案] A[解析] 由题意设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋8，又∵函数图象过原点， ∴4a ＋8＝0，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2－8x .5．f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc ＝( ) A ．－6 B ．11 C ．－14D ．14[答案] C[解析] ∵f (x )图象过点(0,2)，∴c ＝2.又顶点为(4,0)，∴－b 2a ＝4，8a －b24a＝0.解得：b ＝－1，a ＝18，∴abc ＝－14.6．已知一个二次函数经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)点，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝x 2－1 B ．y ＝1－x 2C ．y ＝12x 2＋1D ．y ＝12x 2－1[答案] A[解析] 设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝04a ＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0c ＝－1.∴所求二次函数的解析式为y ＝x 2－1. 二、填空题7．已知一个二次函数y ＝f (x )，若f (0)＝3，f (－3)＝0，f (－5)＝0，则这个函数的解析式为__________．[答案] y ＝15x 2＋85x ＋3[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点(0,3)、(－3,0)、(－5,0)代入可得a ＝15，b ＝85，c ＝3.8．已知6x 2－x －1＝(2x －1)(ax ＋b )，则a ＝_______，b ＝__________. [答案] 3 1[解析] ∵6x 2－x －1＝(2x －1)(3x ＋1)， ∴ax ＋b ＝3x ＋1，∴a ＝3，b ＝1. 三、解答题9．抛物线经过点(2，－3)，它与x 轴交点的横坐标是－1和3. (1)求抛物线的解析式；(2)用配方法求出抛物线的对称轴方程和顶点坐标； (3)画出草图；(4)观察图象，x 取何值时，函数值小于零？x 取何值时，函数值随x 的增大而减小？ [解析] (1)设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)，把点(2，－3)代入，得 －3＝a (2＋1)(2－3)，∴a ＝1.∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3. (2)y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4.由此可知抛物线的对称轴方程为x ＝1，顶点坐标为(1，－4)． (3)抛物线的草图如图所示．(4)由图象可知，当x ∈(－1,3)时，函数值y 小于零； 当x ∈(－∞，1]时，y 随x 的增大而减小.一、选择题1．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，则|OA |·|OB |等于( )A .c aB ．－c aC ．±c aD ．无法确定[答案] B[解析] 由图象易知a <0，c >0，设A (x 1,0)、B (x 2,0)，∴|OA |·|OB |＝|x 1·x 2|＝－ca，故选B.2．若直线y ＝12x ＋n 与直线y ＝mx －1相交于点(1,2)，则有( )A ．n ＝－52，m ＝12B ．n ＝1，m ＝12C ．n ＝－52，m ＝－1D ．n ＝32，m ＝3[答案] D[解析] 将点(1,2)分别代入可得n ＝32、m ＝3.3．函数y ＝ax 2－ax ＋3x ＋1的图象与x 轴有且只有一个交点，那么a 的值为( ) A ．0 B ．0或1C ．0或1或9D ．0或1或9或12[答案] C[解析] 当a ＝0时，y ＝3x ＋1的图象与x 轴有且只有一个交点； 当a ≠0时，Δ＝(a －3)2－4a ＝a 2－10a ＋9＝0， ∴a ＝1或9.4．已知正比例函数f (x )、反比例函数g (x )的图象均过点(1,5)，则h (x )＝f (x )＋g (x )＝( )A.52⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1xB.52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1xC. 5⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1xD.15⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x[答案] C[解析] 设f (x )＝mx (m ≠0)，g (x )＝n x(n ≠0)， 把点(1,5)分别代入，得m ＝5，n ＝5. ∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝5x ＋5x＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .二、填空题5．已知a 、b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________.[答案] 2[解析] ∵f (x )＝x 2＋4x ＋3，∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝a 2x 2＋2abx ＋b 2＋4ax ＋4b ＋3＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3 又∵f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12ab ＋4a ＝10b 2＋4b ＋3＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－7.当a ＝1，b ＝3时，5a －b ＝2， 当a ＝－1，b ＝－7时，5a －b ＝2.6．已知抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一个点的坐标为(1,4)，则另一个点的坐标为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，14[解析] ∵点(1,4)既在抛物线y ＝ax 2，又在直线y ＝kx ＋1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 4＝k ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4k ＝3，∴抛物线方程为y ＝4x 2，直线方程为y ＝3x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2y ＝3x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14y ＝14.三、解答题7．二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式． [解析] 解法一：设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知函数图象经过点(2,3)和点(3,1)，函数图象的对称轴是－b2a ＝2.得方程组⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝14a ＋2b ＋c ＝3－b 2a ＝2，解这个方程组得a ＝－2、b ＝8、c ＝－5. ∴二次函数解析式为y ＝－2x 2＋8x －5.解法二：二次函数的顶点式是y ＝a (x －h )2＋k ，而顶点坐标是(2,3)，故有y ＝a (x －2)2＋3，这样只需确定a 的值．因为图象经过点(3,1)，所以x ＝3，y ＝1满足关系式y ＝a (x －2)2＋3，从而有1＝a (3－2)2＋3，解得a ＝－2.∴函数解析式为y ＝－2(x －2)2＋3， 即y ＝－2x 2＋8x －5.8．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (12)＝8，试求此二次函数的解析式．[解析] 解法一：设所求函数解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1a －b ＋c ＝－1a 4＋b 2＋c ＝8，解得a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.解法二：∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2＋－12＝12.又f (12)＝8，∴顶点坐标为(12，8)．则可设f (x )＝a (x －12)2＋8，又f (2)＝－1.∴a (2－12)2＋8＝－1，∴a ＝－4，∴f (x )＝－4(x －12)2＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法三：由f (2)＝f (－1)＝－1，知f (x )＋1＝0的两根为2和－1， 可设f (x )＋1＝a (x ＋1)(x －2)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1，∵f (12)＝8，∴14a －12a －2a －1＝8，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.9．已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )的区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值范围．[解析] (1)由f (0)＝f (2)知二次函数f (x )关于x ＝1对称，又f (x )的最小值为1，故可设f (x )＝a (x －1)2＋1，又f (0)＝3得a ＝2，故f (x )＝2x 2－4x ＋3. (2)要使函数在区间[2a ，a ＋1]上不单调， 则2a <1<a ＋1，则0<a <12.(3)由已知，得2x 2－4x ＋3>2x ＋2m ＋1在x ∈[－1,1]时恒成立， 即x 2－3x ＋1－m >0在x ∈[－1,1]时恒成立． 设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ， 则只要g (x )min >0即可，∵x ∈[－1,1]，∴g (x )min ＝g (1)＝－1－m ， ∴－1－m >0，即m <－1.故实数m 的取值范围是{m |m <－1}．。
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2.2.3 待定系数法
课时跟踪检测 [A 组 基础过关]
1．反比例函数图象过点(－2,3)，则它一定经过( ) A ．(－2，－3) B ．(3,2) C ．(3，－2)
D ．(－3，－2)
解析：设f (x )＝k x (k ≠0)，∵f (x )过(－2,3)，∴k －2＝3，∴k ＝－6，f (x )＝－6
x
，过(3，
－2)点．故选C ．
答案：C
2．已知抛物线与x 轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y 轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为( )
A ．y ＝－x 2
＋1 B ．y ＝x 2
＋1 C ．y ＝－x 2－1
D ．y ＝x 2
－1
解析：设f (x )＝a (x －1)(x ＋1)(a ≠0)， ∵过(0,1)点， ∴f (0)＝－a ＝1， ∴a ＝－1，
∴f (x )＝－(x －1)(x ＋1)＝－x 2
＋1，故选A ． 答案：A
3．函数y ＝ax 2
＋bx 与y ＝ax ＋b (ab ≠0)的图象只能是( )
解析：y ＝ax 2
＋bx 的图象过原点，故A 错； 由B ，C ，D 中抛物线的对称轴可知－b
2a >0，
∴a 与b 异号，观察图中的直线，B 错；
两图象的交点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b a
，0，故选D ．
答案：D
4.如图，抛物线y ＝－x 2
＋2(m ＋1)x ＋m ＋3与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝3OB ，则m 等于( )
A ．－53
B ．0
C ．－5
3
或0
D ．1
解析：设A (x 1,0)(x 1＞0)，B (x 2,0)(x 2＜0)， 则x 1，x 2是方程－x 2
＋2(m ＋1)x ＋m ＋3＝0的两根， 即x 2
－2(m ＋1)x －m －3＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝2(m ＋1)＞0，x 1·x 2＝－m －3.∵x 1＝－3x 2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－2x 2＝2(m ＋1)，－3x 2
2＝－m －3，
∴m ＝0，m ＝－5
3(舍)，故选B ．
答案：B
5．已知f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且af (x )＋b ＝9x ＋8，则( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝－3x －4 C ．f (x )＝3x －4
D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 解析：由题可得a (ax ＋b )＋b ＝9x ＋8，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
＝9，ab ＋b ＝8，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝3，
b ＝2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3，
b ＝－4，故选D ．
答案：D
6．已知抛物线y ＝ax 2
与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________．
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，14
7．反比例函数y ＝12
x
的图象和一次函数y ＝kx －7的图象都经过点P (m,2)，则一次函数
的解析式为________．
解析：由P (m,2)在y ＝12x 上，2＝12
m
，∴m ＝6.
将(6,2)代入y ＝kx －7，得6k －7＝2， ∴k ＝32，∴y ＝3
2x －7.
答案：y ＝3
2
x －7
8．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． 解：∵f (x )是二次函数，设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)． 又∵f (0)＝0， ∴c ＝0.
从而f (x )＝ax 2
＋bx (a ≠0)． 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得
a (x ＋1)2＋
b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，
整理得ax 2
＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2
＋(b ＋1)x ＋1，
比较系数得⎩
⎪⎨
⎪⎧
2a ＋b ＝b ＋1，
a ＋
b ＝1，
解得a ＝12，b ＝1
2
.
∴f (x )＝12x 2＋1
2
x 即为所求．
[B 组 技能提升]
1．函数y ＝ax 2
＋bx ＋3在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞) 上是减函数，则( ) A ．b ＞0，且a ＜0 B ．b ＝2a ，且a ＜0 C ．b ＝2a ，且a ＞0 D ．a ，b 的符号不定
解析：由题意知a ＜0，且－b
2a
＝－1，故选B ． 答案：B
2．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到下列文字：“已知二次函数y ＝x 2
＋bx ＋c 的图象过(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．”根据以上信息，题中的二次函数不具有的性质是( )
A ．过点(3,0)
B ．顶点(2,2)
C ．在x 轴上截得的线段长为2
D ．与y 轴交点为(0,3)
解析：由题可设y ＝(x －2)2＋k ，将点(1,0)代入得k ＝－1，∴y ＝x 2
－4x ＋3.∴顶点为(2，－1)，故选B ．
答案：B
3．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2
＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2
＋10x ＋24，则5a －b ＝________. 解析：∵f (x )＝x 2
＋4x ＋3，
∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2
＋4(ax ＋b )＋3＝
a 2x 2＋(4a ＋2a
b )x ＋(b 2＋4b ＋3)＝x 2＋10x ＋24. ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
＝1，4a ＋2ab ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，
∴a ＝－1，b ＝－7或a ＝1，b ＝3，∴5a －b ＝2. 答案：2
4．若直线y ＝1
2x ＋n 与直线y ＝mx －1相交于点(1,2)，则m ＋n ＝________.
解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧
2＝12
＋n ，
2＝m －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3，n ＝3
2
，∴m ＋n ＝9
2
.
答案：9
2
5．设f (x )为定义在R 上的奇函数，如图是函数图象的一部分，当0≤x ≤2时，是线段
OA ；当x ＞2时，图象是顶点为P (3,4)的抛物线的一部分．
(1)在图中的直角坐标系中画出函数f (x )的图象； (2)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式； (3)写出函数f (x )的单调区间． 解：(1)图象如图所示．
(2)当x ≥2时，设f (x )＝a (x －3)2
＋4， ∵f (x )的图象过点A (2,2)，
∴f (2)＝a (2－3)2
＋4＝2，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2(x －3)2＋4. 设x ∈(－∞，－2)，则－x ＞2， ∴f (－x )＝－2(－x －3)2
＋4. 又因为f (x )在R 上为奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(－x －3)2
－4， 即f (x )＝2(x ＋3)2
－4，x ∈(－∞，－2)．
(3)单调减区间为(－∞，－3]和[3，＋∞)，单调增区间为[－3,3]．
6．已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，且f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )＞0的解集为(－2，
c )．
(1)求f (x )的解析式；
(2)将f (x )在区间[m ，m ＋1]的最大值记为h (m )，求h (m )的最大值． 解：(1)由f (2＋x )＝f (2－x )， 知f (x )关于x ＝2对称， ∴－b
2a
＝2.①
由f (x )＞0的解集为(－2，c )． ∴ax 2
＋bx ＋c ＝0的两根为－2，c ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－2c ＝c
a ， ②－2＋c ＝－b
a
， ③
由①②③解得a ＝－1
2，b ＝2，c ＝6.
∴f (x )＝－12
x 2
＋2x ＋6.
(2)由(1)可知f (x )＝－12x 2＋2x ＋6＝－12
(x －2)2
＋8.
当m ＋1<2，即m <1时，
f (x )max ＝f (m ＋1)＝－12m 2＋m ＋152
.
当m ≤2≤m ＋1，即1≤m ≤2时，
f (x )max ＝f (2)＝8.
当m >2时，
f (x )max ＝f (m )＝－12
m 2＋2m ＋6.
∴h (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧
8，1≤m ≤2，
－12
m 2＋m ＋152，m <1，
－12m 2
＋2m ＋6，m >2.
当m ＜1时，h (m )＝－12m 2＋m ＋152＝－12(m －1)2
＋
8＜8；
当m ＞2时，h (m )＝－12(m －2)2
＋8＜8，且当1≤m ≤2时h (m )＝8，∴h (m )的最大值为
8.。