1952年全国高考数学试题及其参考答案
1952全国高考数学试题及答案
1952年全国高考数学试题第一部分1.分解因式:x4-y4=.(x-y)(x+y)(x2+y2).2.若log102x=2log10x,问x=. 2.-1.±3.5.-246.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆通过另一圆的圆心,则这两个圆的公共弦之长是寸.7.三角形△ABC的面积是60平方寸,M是AB的中点,N是AC的中点,则△AMN的面积是平方寸15.8.正十边形的一内角是度.144°9.祖冲之的圆周率π=.10.球的面积等于大圆面积的倍.10.4.11.直圆锥之底之半径为3尺,斜高为5尺,则其体积为立方尺.11.12π.12.正多面体有种,其名称为.5,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体.14.方程式tan2x=1的通解为x=.15.太阳仰角为30°时塔影长5丈,求塔高=.16.三角形△ABC之b边为3寸,c边为4寸,A角为30°,则△ABC的面积为平方寸.3.17.已知一直线经过点(2,-3),其斜率为-１,则此直线之方程式为.x+y+1=0.18.若原点在一圆上,而此圆的圆心为点(3,4),则此圆的方程式为.x2+y2-6x-8y=019.原点至3x+4y+1=0之距离=.20.抛物线y2-8x+6y+17=0之顶点之坐标为.(1,-3)第二部分注意:第二部分共四题,均答在后面白纸上.1.解方程式x4+5x3-7x2-8x-12=0.2,-6,ω,ω2.2.△ABC中,∠A的外分角线与此三角形的外接圆相交于D,求证:BD=CD.3.设三角形的边长为a=4,b=5,c=6,其对角依次为A,B,C.(1)求cosC.(2)求sinC,sinB,sinA.(3)问A,B,C三个角各为锐角或钝角？A,B,C皆为锐角。
4.一椭圆通过(2,3)及(-1,4)两点,中心为原点,长短轴重合于坐标轴,试求其长短轴及焦点.。
1949-1961年普通高等学校招生全国统一考试数学试题
1949年北大清华联合招生数学试题 一、（5分）有连续三自然数，其平方和为50，求此三数．二、（5分）解方程：6640x +=． 三、（15分）求适合sin 2cos 2x x +x =的根（02x π≤≤）． 四、（15分）,,PA PB PC 为过圆周上P 点之三弦，PT 为圆周之切线．设一直线平行于PT ，交,,PA PB PC 于,,A B C '''之三点，证明：PA PA PB PB PC PC '''⋅=⋅=⋅． 五、（10分）已知A ∠及角内部一点P ，求作通过P 点的直线，使其在A ∠之内部分被点P 所平分． 六、（5分）用数学归纳法证明：3333221123(1)4n n n ++++=+． 七、（10分）某人在高处望见正东海面上一船只，其俯角为30︒．当该船向正南航行a 里后，其船只的俯角为15︒．求此人视点高出海平面若干垂足 八、（15分）自ABC ∆之顶点A 至对边作垂线AD ，自垂足D 作边,AB AC 之垂线， 其垂足为,E F ．求证：,,,B E F C 在同一圆上． 九、（10分）一平面内有10点，除其中4点在同一直线上外，其余各点无3点在一直线上．问连接各点之所有直线共若干条． 十、（10分）下列做法对吗？不对的请改正．16==对吗？为什么？2．(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+对吗？为什么？3．log log 1a b b a ⋅=对吗？为什么？1950年全国统一高考数学试题 一、（5分）k 为何值时，二次方程22(1)520x k x k --+-=有等根，并求其根． 二、（20分）有等长两竹杆直立在地上，皆被风吹折．折处距地面两者不同，其差为3尺．顶着地之处与竹杆足相距一个为8尺，另一个为16尺．求竹杆之长． 三、（10分）绳长40丈，围一矩形之地．问其面积最大时，其边长若干？ 四、（5分）求国旗上五角星每一角之度数． 五、（10分）过梯形上底一点作直线，分梯形为两个等面积梯形． 六、（20分）从塔之正南面一点A ，测得塔顶仰角为45︒，又从塔之正东面一点B 测得塔的仰角为30︒．若AB =100尺，求塔高． 七、（10分）试证： 1．22cos()cos()cos sin A B A B A B +-==-． 2．22sin()sin()sin sin A B A B A B +-=-． 八、（20分）分别指出下列正误，并加以改正：1．011,1a a ==．2．,mnmnmnm na a a a a a+⋅=+=．3==． 4．lg11,lg00=-=．5．lg()lg lg ,lg lg lg a b a b ab a b +=+=． 6．11sin sinsin()x y x y --+=+．7．在ABC ∆及A B C '''∆中，若,,AB A B BC B C A A '''''==∠=∠，则两三角形全等．8．若,,,A B C D 在同一个圆上，则恒有ACB ADB ∠=∠．1950年华北高考数学试题甲组 第一部分一、将下列各题正确的答案填入括号内： 1．322240x x x --+=的一个根为2，其他两根为A ．两个0B ．一个0，一个实数C ．两个实数D ．一个实数根，一个虚数根E ．两个虚数根2．已知lgsin 26201.6470'︒=，lgsin 26301.6495'︒=．若 lgsin 1.6486x =，则x 的近似值为A ．2623'︒B ．2624'︒C ．2625'︒D ．2626'︒E ．2627'︒3．若(,)ρθ为一点之极坐标，则20cos ρθ=的图形为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线E ．二平行直线4．22220x xy y x y ++++-=之图形为 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 E ．二平行直线5．展开二项式17()a b +，其第15项为 A ．152238a b B ．314680a bC ．143736a bD ．15()a b +E ．87a b二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．二直线40x y ++=及5210x y -=相交之锐角之正切为 ．2．设,x y 都是实数，且()(84)x yi i +-+()(1)x yi i =++，则x = ．3．555ad a dbe b e cfc f++=+ ． 4．已知x 在第四象限内，而21sin 9x =，则tan x 之值至第二位小数为 ． 5．参数方程12,(1)x t y t t =+⎧⎨=+⎩之直角坐标方程为 ．甲组 第二部分 1．证明21sin (tan sec )1sin xx x x+=+-．2．设t 及s 为实数，已知方程3250x x tx s -++=之一根为23i -，求t及s 之值．3．用数学归纳法证明：122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+++1(1)(2)3n n n =++． 4．设1P 及222(,)P x y 为二定点，过1P 作直线交y 轴于B （如图），过2P 作直线与过1P 之直线垂直，并交轴x 于A ，求AB 中点Q 之轨迹．5．如图，N 第一部分．a c e c eb d f d f +++=+++ ．ac ebd f= 内，若1:2;3:4，则︒︒︒ ︒a = ．1n R-．1n R+lg 2.190.3404=，ABA ．0.5770B ．1.1038C ．6.1038D ．264.06 E．416.745．2sin tan 5AA A ===，1sin tan 2B B B ===，则t a n ()A B +=A ．112-B ．34C ．18-D ．98E ．18二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．sin 330︒之值为 ． 2．32452x x x -+-的因子是 ． 3．书一本，定价元p ．因为有折扣，实价较定价少d 元，则该书实价是定价的百分之 ．4．若一个多边形之每一外角各为45︒，则此多边形有 边． 5．a 年前，弟年龄是兄年龄的1n，今年弟年龄是兄年龄的1m，兄今年 岁． 乙、丙组 第二部分1．设AB 是一圆的直径，过,A B 作AC 及BD 二弦相交于E ，则2AE AC BE BD AB ⋅+⋅=．2．若,,A B C 为ABC ∆之内角，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．3．分解因式：（1）32221x x x +++．（2）22282143x xy y x y +-++-． （3）444222222222x y z x y y z z x ++---．4．设s 为ABC ∆三边和的一半，r 为内切圆半径，又tan2A=求证：r =5．设一调和级数第p 项为a ，第q 项为b ，第r 项为c ，则()()()0q r bc r p ca p q ab -+-+-=．γC /B /A /βαC B A 1951年普通高等学校招生全国统一考试数学 第一部分1．设有方程组8,27x y x y +=-=，求,x y .2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？4．若x y z a b b c c a ==---，而,,a b c 各不相等，则?x y z ++=5．试题10道，选答8道，则选法有几种？ 6．若一点P 的极坐标是(,)x θ，则它的直角坐标如何？7．若方程220x x k ++=的两根相等，则k =？8．列举两种证明两个三角形相似的方法9．当(1)(2)0x x +-<时，x 的值的范围如何？10．若一直线通过原点且垂直于直线0ax by c ++=，求直线的方程．11．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项如何？12．02cos =θ的通解是什么？13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？14．245505543--=？15．2241x y -=的渐近线的方程如何？16．三平行平面与一直线交于,,A B C 三点，又与另一直线交于,,A B C '''三点，已知3,7AB BC ==及9A B ''=，求A C '17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积18．已知lg2=0.3010,求lg5.19．二抛物线212y x =与223x y =的公共弦的长度是多少？20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？第二部分1． ,,P Q R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行．2．设ABC ∆的三边4BC pq =，223CA p q =+，2232AB p pq q =+-,求B ∠，并证明B ∠为A ∠及C ∠的等差中项．3．（1）求证，若方程320x ax bx c +++=的三根可排成等比数列，则33a cb =.（2）已知方程32721270x x x +--=的三根可以排成等比数列，求三根．4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线．1952年普通高等学校招生全国统一考试数学 第一部分 1.因式分解44x y -=？2.若lg(2)21lg x x =，问x =？3.若方程320x bx cx d +++=的三根为1,-1,21,则c =？4.40=，求x ．5. 123450?321=6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？9.祖冲之的圆周率π=？10.球的面积等于大圆面积的多少倍？11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？12.正多面体有几种？其名称是什么？13.已知 1sin 3θ=,求cos 2θ=？14.方程21tg x =的通解x =？15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？ 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？17.已知一直线经过(2,3)，其斜率为-1，则此直线方程如何？18.若原点在一圆上，而此圆的圆心为(3,4)，则此圆的方程如何？19.原点至3410x y ++=的距离是什么？20.抛物线286170y x y -++=的顶点坐标是什么？第二部分 1.解方程432578120x x x x +---=．2.△ABC 中，∠A 的外角平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP CP =．3.设三角形的边长为4,5,6a b c ===，其对角依次为,,A B C ，求cos C ，sin C ，sin B ，sin A ．问,,A B C 三角为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(1,4)-两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点．1953年普通高等学校招生全国统一考试数学1.甲、解1110113x x x x +-+=-+.乙、23120x kx ++=的两根相等，求k 值.丙、求311246?705-=丁、求300700lg lg lg173++.戊、求tg870︒=？已、若1cos2x 2=，求x 之值.庚、三角形相似的条件为何？（把你知道的都写出来）辛、长方体之长、宽、高各为12寸、3寸、4寸，求对角线的长.壬、垂直三棱柱之高为6寸，底面三边之长为3寸、4寸、5寸，求体积.2.解方程组2222239, (1)45630.(2)x xy y x xy y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩3..乙、求123)12(xx +之展开式中的常数项.4.锐角△ABC ∆的三高线为AD ，BE ，CF ，垂心为H ，求证HD 平分EDF ∠.5.已知△ABC ∆的两个角为450，600，而其夹边之长为1尺，求最小边的长及三角形的面积.1954年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简131121373222[()()()]a b ab b ---． 乙、解c b a x lg lg 2lg 31lg 61++=．丙、用二项式定理计算43.02，使误差小于千分之一．丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和． 戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积．己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式．2.描绘2371y x x =--的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围：①0y >； ②0y <．3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切4．试由11sin 21tgxx tgx+=+-，试求x 的通值．5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a '是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．1955年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、以二次方程2310x x --=的两根的平方为两根，作一个二次方程．乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦．丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高．丁、写出二面角的平面角的定义．2．求,,b c d 的值，使多项式32x bx cx d +++适合于下列三条件： （1）被1x -整除， （2）被3x -除时余2，（3）被2x +除时与被2x -除时的余数相等．3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G 求证：EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项． 4．解方程x x x sin cos 2cos +=,求x 的通值．5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形．B C F B C EM A B C DD //1956年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、利用对数性质计算2lg 5lg5lg50+⋅.乙、设m 是实数，求证方程222(41)0x m x m m ----=的两根必定都是实数． 丙、设M 是ABC ∆的边AC 的中点，过M 作直线交AB 于E ，过B 作直线平行于ME 交AC 于F AEF ∆的面积等于ABC ∆的面积的一半．丁、一个三角形三边长分别为3尺，4尺及37尺，求这个三角形的最大角的度数．戊、设tan ,tan αβ是方程2670x x ++=的两根求证：)cos()sin(β+α=β+α．2．解方程组12,(1)136.(2)x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 3．设P 为等边ABC ∆外接圆的点，求证：22PA AB PB PC =+⋅．4．有一个四棱柱，底面是菱形ABCD ，A AB A AD ''∠=∠A ACC''垂直于底面ABCD ．5．若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是600;若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是600，试证明之．1957年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简1223271020.12927--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围.丙、求证cot 22301'︒=丁、在四面体A B C D 中，AC BD =，,,,P Q R S 依次为棱,,,AB BC CD DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形.戊、设b a ,为异面直线，EF 为b a ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分.2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x3．设ABC ∆的内切圆半径为r ，求证BC边上的高.2sin2cos 2cos2A C B r AD ⋅⋅=4．设ABC ∆为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE AD =，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE :AB =AC :AF . （2）ABC ∆的面积=AEF ∆的面积.5．求证：方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1.设这个方程的三个根是ABC ∆的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求,,A B C 的度数以及Q 的值.AC AB1958年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数．乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅丙、设AB ，AC 为一个圆的两弦，D 为 的中点，E 为 的中点，作直线DE 交AB 于M ，交AC 于N ，求证： AM AN =．丁、求证:正四面体ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．戊、求解.cos 3sin x x =2．解方程组4,(1)1229. (2)x y y =⎪++=⎪⎩3．设有二同心圆，半径为,()R r R r >，今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A '，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D ;由A '作直线A E '垂直AD ，并交AD 于E ，已知OAD α∠=，求OE 的长 4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切．5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根043sin 231sin 2=++-x x ．321O G F ED C BA cb a A B CDαO 1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg 20.3010,lg 70.8451==,求lg35乙、求ii +-1)1(3的值.丙、解不等式.3522<-x x丁、求︒165cos 的值 戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，,A B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积2．已知△ABC 中，∠B =600，4AC =，面积为3，求,AB BC .3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数．4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥BC 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF =FG .5．已知,,A B C 为直线l 上三点，且A B B C a ==;P 为l 外一点，且90,APB ∠=︒45BPC ∠=︒，求 （1）PBA ∠的正弦、余弦、正切; （2）PB 的长;（3）P 点到l 的距离.O DC B A 1960年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、解方程.075522=---x x （限定在实数范围内）乙、有5组蓝球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？.丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）.丁、求使等式2cos 2sin12xx =-成立的x 值的范围（x 是00~7200的角）.戊、如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是O ，直径是12mm,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD 是9mm ，求这小孔的直径AB 的长.己、四棱锥P ABCD -的底面是一个正方形，PA 与底面垂直，已知3PA =cm ，P 到BC 的距离是5cm ，求PC 的长.2．有一直圆柱高是20cm ，底面半径是5cm,它的一个内接长方体的体积是80cm 3，求这长方体底面的长与宽.3．从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔，船以30里/小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里）4．要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为６米.（1）求以矩形的一边长x 表示窗户的面积y 的函数;（2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程;（3）画出这函数的图像，并求出x 的允许值范围.5．甲、已知方程0cos 3sin 422=θ+θ⋅-x x 的两个根相等，且θ为锐角，求θ和这个方程的两个根．乙、a 为何值时，下列方程组的解是正数？⎩⎨⎧=+=+8442y x ay x ．O CBA 1961年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式10)2(x -展开式里含7x 项的系数.乙、解方程2lg lg(12)x x =+.丙、求函数51--=x x y 的自变量x 的允许值. 丁、求125sin 12sinπ⋅π的值.戊、一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm ，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含1500（如图），求这个截面上有水部分的面积（取14.3=π）.己、已知△ABC 的一边BC 在平面M 内，从A 作平面M 的垂线，垂足是1A .设 △ABC 的面积是S ，它与平面M 组成的二面角等于)900(︒<α<︒α，求证：1cos A BC S S α∆=.2．一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？ 3．有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面.求这水4．在平地上有,A B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的650南300米的地方，在A 测得山顶的仰角是300，求山高（精确到10米，94.070sin =︒）.5．两题任选一题.甲、k 是什么实数时，方程22(23)310x k x k -+++=有实数根？乙、设方程28(8sin )2cos2x x αα-++0=的两个根相等，求α.。
2018年理科数学试题1952
2018年理科数学试题单选题（共5道）/ I 的最小值为（）A6B8C9D122、复数匚满足•，贝•等于()1 — 1A. - 11B5 :C 1D22/ I 的最小值为（）A6B8C9D12 20121、已知函ke2013)—5()3(“+切,则3、已知函2012若 /(ke20135（）3（松+力），则4、/（x）=cosx^ln |兀|的部分图象为（）5、已知u X + lx?xe(O,l]g（x）= — m在（-1,1 ］内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（）9 1A(B( 2,|U(O,1|一八z? 八/{宀，则"ii 的取值范围是()AH , ..：U1 >> BJ …Ci ■ ,，5】①11 2多选题(共5道)I(0 < JC < J >6、已知函数I 嗨沖兀(^>D_/ (/<) 八一八「)，贝则“ +山斗心的取值范围是()AJ 、川M :" Bi 1、】：w”Ct ■】① D\- •填空题(本大题共4小题，每小题 _______ 分，共—分。
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(完整版)历年高考数学真题(全国卷整理版)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．62．(2013大纲全国，理2)3＝( )．A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43-，则{a n }的前10项和等于( )． A ．－6(1－3－10) B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )．A ．56B ．84C ．112D ．1688．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：22=143x y +的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是( )． A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23 B．3 C．3 D ．1311．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．A ．12 B．2 CD ．212．(2013大纲全国，理12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )．A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f(x)的图像关于直线π=2x 对称C ．f(x)的最大值为2 D ．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝13-，则cot α＝__________. 14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D .若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是__________．16．(2013大纲全国，理16)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝22a ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac . (1)求B ； (2)若sin A sin C＝14，求C .19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：2222=1x ya b(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++，证明：a2n－a n＋14n＞ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2． 答案：A解析：323=13=8-.故选A.3． 答案：B解析：由(m ＋n )⊥(m －n )⇒|m |2－|n |2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B. 4． 答案：B解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 5． 答案：A解析：由题意知11+x＝2y⇒x ＝121y -(y ＞0)，因此f －1(x )＝121x -(x ＞0)．故选A. 6． 答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4. ∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.7．答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D. 8． 答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---.故12314PA PA k k ＝－. ∵2PA k ∈[－2，－1]， ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.9． 答案：D解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10． 答案：A解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BDCH C O BD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ，∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2，则=2AC OC，1C O =由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 12CH ， ∴2=3CH . ∴sin ∠HDC ＝223==13HC DC .故选A.11． 答案：D解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2242k k (+)，x 1x 2＝4.①由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∵0MA MB ⋅=，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0， 即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D. 12． 答案：C解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]， 则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得=t ±. 当t ＝±1时，函数值为0；当t =；当t =.∴g (t )max ，即f (x )的最大值为9.故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：解析：由题意知cos α＝3==-.故cot α＝cos sin αα14．答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种)．15．答案：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示． ∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12BC k =，k AC ＝4，∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点， 则12≤a ≤4. 16．答案：16π解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点， 则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°.又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE ＝2R .又OK ⊥EK ，∴32＝OE ·sin 60°＝22R ⋅∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝22a 得3a 2＝22a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得22S ＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-， 因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C＝11+2242⨯=， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°. 19．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形． 过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .连结OA ，OB ，OD ，OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ， 所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ，故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD .取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ，则FG ∥CD ，FG ⊥PD .连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD .所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角．连结AG ，EG ，则EG ∥PB .又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则AE ＝，EG ＝12PB ＝1，故AG 3.在△AFG 中，FG ＝12CD =，AF =AG ＝3，所以cos ∠AFG ＝22223FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯因此二面角A －PD －C 的大小为π-解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设|AB |＝2，则A (，0,0)，D (0，，0)，C (，0)，P (0,0)．PC ＝(，)，PD ＝(0，，)．AP ＝，0)，AD ＝，，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·PC ＝(x ，y ，z )·(，)＝0，n 1·PD ＝(x ，y ，z )·(0，，)＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．设平面PAD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q )，则n 2·AP ＝(m ，p ，q ，0)＝0，n 2·AD ＝(m ，p ，q ，，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0.取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)．于是cos〈n1，n2〉＝1212||||3=-·n nn n.由于〈n1，n2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为π-20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝14.(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝18，P(X＝2)＝P(1B·B3)＝P(1B)P(B3)＝14，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1151848--=，EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝98.21．(1)解：由题设知ca＝3，即222a ba+＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，求得x=由题设知，=a2＝1.所以a＝1，b＝(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，k(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝2268kk-，x1·x2＝22988kk+-.于是|AF1|＝－(3x1＋1)，|BF1|3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝23 -.故226283kk=--，解得k2＝45，从而x1·x2＝199-.由于|AF2|＝1－3x1，|BF2|3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝22121x xxλλ(-)-(+)，f′(0)＝0.若12λ<，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.若12λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是12.(2)证明：令12λ=.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，即2ln(1) 22x xxx(+)>++．取1xk=，则211>ln21k kk k k++(+).于是212111 422(1)n n n k n a a n k k -=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑ ＝2121211ln 21n n k n k n k k k k k --==++>(+)∑∑ ＝ln 2n －ln n ＝ln 2.所以21ln 24n n a a n-+>. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4 D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+，则{an}的通项公式是an＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C 解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A 解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1 解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1. ∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x ) 即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－2，－2)上为减函数，在(－2，－2)上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－2)2＋8(－2＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=. 故PA＝2. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA＝4. 18． (1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz . 由题设知A (1,0,0)，A 1(0，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－10)，1AC ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝，1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C⋅n n ＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20． 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k＝4±. 当k＝4时，将4y x =代入22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=.当k =时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 21． 解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x－1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝2.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，l β，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．1122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
20世纪的高考——1952年数学高考试卷
1952年数学高考试卷说明：因为年代久远，题目和答案的某些叙述出现错误和不符合现今的数学语言的情况，望见谅！【第一部分】填空题1、因式分解：44x y -= 。
2、若1010log 22log x x =，问x = 。
3、若方程320x bx cx d +++=之三根为1，1-，12，则c = 。
440=，则x = 。
5、123450321= 。
6、两个圆的半径都是4寸，并且一个圆通过另一个圆的圆心，则这两个元的公共弦之长是 寸。
7、△A B C 的面积是60平方寸，M 是A B 中点，N 是A C 中点，则△A M N 的面积是 平方寸。
8、证十边形的一内角是 度。
9、祖冲之的圆周率π= 。
10、球的表面积等于大圆面积的 倍。
11、直圆锥之底面半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为 立方尺。
12、正多面体有 种，其各为 。
13、已知1sin 3θ=，求cos 2θ= 。
14、方程式tan 21x =的通解为x = 。
15、太阳的仰角为30°时塔影长5寸，求塔高= 。
16、△A B C 之b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为30°，则△A B C 的面积为 平方寸。
17、已知乙直线过点(2,3)-，其斜率为1-，则此直线之方程式为 。
18、若原点在一圆上，而此圆的圆心为点(3,4)，则此圆的方程式为 。
19、原点至3410x y ++=之距离= 。
20、抛物线286170y x y -++=之顶点坐标为 。
【第二部分】解答题1、解方程式432578120x x x x +---=。
2、△A B C 中，A ∠的外角平分线与此三角形的外接圆相交于D ，求证：B D C D =。
3、设三角形的边长为4a =，5b =，6c =，其对角依次为A ，B ，C （1）求cos C ；（2）求sin C ，sin B ，sin A（3）问A ，B ，C 为锐角或钝角？4、一椭圆通过(2,3)及(1,4)-两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长短轴长及焦点。
1951～1982高考数学试题及解答
第一辑（1951~1965）1951年..............................3 1959年 (29)1952年..............................7 1960年 (32)1953年...........................11 1961年 (36)1954年...........................13 1962年 (39)1955年...........................16 1963年 (43)1956年...........................18 1964年 (47)1957年...........................21 1965年 (52)1958年 (25)第二辑（1977年）北京市（理科）..................60 河北省 (74)北京市（文科）..................63 福建省（理科） (78)上海市（理科）..................64 福建省（文科） (84)上海市（文科）..................68 黑龙江省 (88)天津市..............................71 江苏省 (91)第三辑（1978~1982）1978年...........................97 1980年（文科） (118)1978年（副题）...............101 1981年（理科） (121)1979年（理科）...............105 1981年（文科） (126)1979年（文科）...............110 1982年（理科） (130)1980年（理科）...............113 1982年（文科） (135)第四辑（1983~1994）1983年（理科）..................140 1987年（理科） (186)1983年（文科）..................147 1987年（文科） (192)1984年（理科）..................151 1988年（理科） (198)1984年（文科）..................160 1988年（文科） (204)1985年（理科）..................165 1989年（理科） (208)1985年（文科）..................171 1989年（文科） (214)1986年（理科）..................176 1990年（理科） (219)1986年（文科）..................182 1990年（文科） (227)1991年（理科）..................234 1993年（新考理） (272)1991年（文科）..................241 1993年（新考文） (279)1992年（理科）..................246 1994年（理科） (286)1992年（文科）..................253 1994年（文科） (293)1993年（理科）..................259 1994年（新考理） (299)1993年（文科）..................266 1994年（新考文） (307)第五辑（1995~1999）1995年（理科）..................314 1997年（文科） (356)1995年（文科）..................324 1998年（理科） (363)1996年（理科）..................332 1998年（文科） (372)1996年（文科）..................341 1999年（理科） (382)1997年（理科）..................348 1999年（文科） (391)制作人：过士功第一部分：1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y 。
1952年全国高考数学试题及其解析
1952年全国高考数学试题及其解析数学试题分两部分第一部分注意:第一部分共二十题,均答在题纸上,每题的中间印着一道横线,将正确的答案就填写在横线上.例题:若2x-1=x+3,则x= 4 .本题的正确答案是4,所以在横线上填写4.1.分解因式:x4-y4= .2.若log102x=2log10x,问x= .5.6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆通过另一圆的圆心,则这两个圆的公共弦之长是寸.7.三角形△ABC的面积是60平方寸,M是AB的中点,N是AC的中点,则△AMN的面积是平方寸.8.正十边形的一内角是度.9.祖冲之的圆周率π= .10.球的面积等于大圆面积的倍.11.直圆锥之底之半径为3尺,斜高为5尺,则其体积为立方尺.12.正多面体有种,其名称为 .14.方程式tan2x=1的通解为x= .15.太阳仰角为30°时塔影长5丈,求塔高= .16.三角形△ABC之b边为3寸,c边为4寸,A角为30°,则△ABC的面积为平方寸.17.已知一直线经过点(2,-3),其斜率为-１,则此直线之方程式为 .18.若原点在一圆上,而此圆的圆心为点(3,4),则此圆的方程式为 .19.原点至3x+4y+1=0之距离= .20.抛物线y2-8x+6y+17=0之顶点之坐标为 .第二部分注意:第二部分共四题,均答在后面白纸上.1.解方程式x4+5x3-7x2-8x-12=0.2.△ABC中,∠A的外分角线与此三角形的外接圆相交于D,求证:BD=CD.3.设三角形的边长为a=4,b=5,c=6,其对角依次为A,B,C.(1)求cosC.(2)求sinC,sinB,sinA.(3)问A,B,C三个角各为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(-1,4)两点,中心为原点,长短轴重合于坐标轴,试求其长短轴及焦点.1952年试题答案第一部分1. (x-y)(x+y)(x2+y2).2. 2.3. -1.4. ±3.5. -247. 15.8. 144°10. 4.11. 12π.12. 5,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体.16. 3.17. x+y+1=0.18. x2+y2-6x-8y=020. (1,-3)第二部分1. 2,-6,ω,ω2.A,B,C皆为锐角。
全国普通高考60年（1952-2012）及历年录取人数一览（史上最全）
全国普通⾼考60年（1952-2012）及历年录取⼈数⼀览（史上最全）全国普通⾼考60年（1952-2012）及历年录取⼈数⼀览（史上最全）⼀、全国普通⾼考60年（1952-2012）历年录取⼈数⼀览1952年，报考⼈数：7.3万⼈，⾼校招⽣数6.64万⼈，录取⽐例 91(%)1953年，报考⼈数：9.0万⼈，⾼校招⽣数7.0万⼈，录取⽐例 77(%)1954年，报考⼈数：13.4万⼈，⾼校招⽣数9.38万⼈，录取⽐例 70(%)1955年，报考⼈数：17.7万⼈，⾼校招⽣数9.8万⼈，录取⽐例 60(%)1956年，报考⼈数：35.0万⼈，⾼校招⽣数18.5万⼈，录取⽐例 48(%)1957年，⾼中毕业⽣⼈数：19.4万⼈，⾼校招⽣数10.6万⼈，录取⽐例54.6(%),报考⼈数：25.2万⼈，录取⽐例 42 (%),1958年，⾼中毕业⽣⼈数：219.9万⼈，⾼校招⽣数26.5万⼈，录取⽐例121.0 (%)1959年，⾼中毕业⽣⼈数：30.0万⼈，⾼校招⽣数27.4万⼈，录取⽐例 91.3 (%),报考⼈数：33.3万⼈，录取⽐例 81(%),1960年，⾼中毕业⽣⼈数：29.0万⼈，⾼校招⽣数32.3万⼈，录取⽐例 111.4 (%)1961年，⾼中毕业⽣⼈数：37.9万⼈，⾼校招⽣数16.9万⼈，录取⽐例 44.6(%),报考⼈数：21.4万⼈，录取⽐例 80(%),1962年，⾼中毕业⽣⼈数：44.1万⼈，⾼校招⽣数10.7万⼈，录取⽐例 24.3 (%)1963年，⾼中毕业⽣⼈数：43.3万⼈，⾼校招⽣数13.3万⼈，录取⽐例 30.7 (%)，报考⼈数：53.1万⼈，录取⽐例 25 (%)1964年，⾼中毕业⽣⼈数：36.7万⼈，⾼校招⽣数14.7万⼈，录取⽐例 40.1 (%)。
报考⼈数：44.9万⼈，录取⽐例 34 (%)1965年，⾼中毕业⽣⼈数：36.0万⼈，⾼校招⽣数16.4万⼈，录取⽐例 45.6(%)1966年⾄1969年，推迟⾼考，⼤专院校没有招⽣。
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1951年全国高考数学试题及其参考答案
数学试题分两部分
第一部分
注意:第一部分共二十题,均答在题纸上,每题的中间印着一道横线,将正确的答案就填写在横线上.
例题:若2x-1=x+3,则x= 4 .
本题的正确答案是4,所以在横线上填写4.
1.分解因式:x4-y4= .
2.若log102x=2log10x,问x= .
5.
6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆通过另一圆的圆心,则这两个圆的公共弦之长是寸.
7.三角形△ABC的面积是60平方寸,M是AB的中点,N是AC的中点,则△AMN的面积是平方寸.
8.正十边形的一内角是度.
9.祖冲之的圆周率π= .
10.球的面积等于大圆面积的倍.
11.直圆锥之底之半径为3尺,斜高为5尺,则其体积为立方尺.
12.正多面体有种,其名称为 .
14.方程式tan2x=1的通解为x= .
15.太阳仰角为30°时塔影长5丈,求塔高= .
16.三角形△ABC之b边为3寸,c边为4寸,A角为30°,则△ABC的面积为平方寸.
17.已知一直线经过点(2,-3),其斜率为-１,则此直线之方程式为 .
18.若原点在一圆上,而此圆的圆心为点(3,4),则此圆的方程式为 .
19.原点至3x+4y+1=0之距离= .
20.抛物线y2-8x+6y+17=0之顶点之坐标为 .
第二部分
注意:第二部分共四题,均答在后面白纸上.
1.解方程式x4+5x3-7x2-8x-12=0.
2.△ABC中,∠A的外分角线与此三角形的外接圆相交于D,求证:BD=CD.
3.设三角形的边长为a=4,b=5,c=6,其对角依次为A,B,C.(1)求cosC.(2)求sinC,sinB,sinA.(3)问A,B,C三个角各为锐角或钝角？
4.一椭圆通过(2,3)及(-1,4)两点,中心为原点,长短轴重合于坐标轴,试求其长短轴及焦点.
1952年试题答案
第一部分
1. (x-y)(x+y)(x2+y2).
2. 2.
3. -1.
4. ±3.
5. -24
7. 15.
8. 144°
10. 4.
11. 12π.
12. 5,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体.
16. 3.
17. x+y+1=0.
18. x2+y2-6x-8y=0
20. (1,-3)
第二部分
1. 2,-6,ω,ω
2. A,B,C皆为锐角。