专题强化训练(五) 三角函数

专题强化训练(五) 三角函数(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知角θ的终边上一点P (a ，－1)(a ≠0)，且tan θ＝－a ，则sin θ的值是( )A ．±22 B ．－22 C.22D ．－12B [由题意得tan θ＝－1a ＝－a ， 所以a 2＝1，所以sin θ＝－1a 2＋(－1)2＝－22.] 2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 C [设扇形的半径为r ，中心角为α，根据扇形面积公式S ＝12lr 得6＝12×6×r ，所以r ＝2， 所以α＝l r ＝62＝3.]3．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12x B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C [函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝sin 12x ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.] 4．函数y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数C [y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12⎝⎛cos 2x cos π6＋sin 2x sin π6－cos 2x cos π6⎭⎪⎫＋sin 2x sin π6＝12sin 2x ，∴f (x )是最小正周期为π的奇函数．]5．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z D [由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4， ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.]二、填空题6．已知sin α＝13，且α是第二象限角，那么cos(3π－α)的值为________． 223[cos(3π－α)＝－cos α＝－(－1－sin 2α)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.] 7．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________.4 [观察图象可知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的半个周期为π4， 所以2πω＝π2，ω＝4.]8．若α、β为锐角，且满足cos α＝45，cos(α＋β)＝513，则sin β＝________. 3365 [∵α、β为锐角，∴α＋β∈(0，π)． 由cos α＝45，求得sin α＝35， 由cos(α＋β)＝513求得sin(α＋β)＝1213，∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝1213×45－513×35＝3365.]三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1 (1)求函数f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的值； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)当2x ＋π3＝2k π＋π2，取x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )max ＝3. (2)当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12时，函数f (x )为增函数． 故函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．10．已知函数f (x )＝sin x ·(2cos x －sin x )＋cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若π4＜α＜π2，且f (α)＝－5213，求sin 2α的值． [解] (1)因为f (x )＝sin x ·(2cos x －sin x )＋cos 2x ， 所以f (x )＝sin 2x －sin 2x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以函数f (x )的最小正周期是π.(2)f (α)＝－5213，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－5213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－513. 因为π4＜α＜π2，所以3π4＜2α＋π4＜5π4， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－1213， 所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝7226.[等级过关练]1．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0D ．－12A [∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12. ∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.] 2．已知函数f (x )＝－2tan(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π16＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π16，11π16B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π16，9π16 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16，5π16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π16，5π16 A [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π16＝－2得－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋φ＝－2，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋φ＝1，又|φ|＜π，所以φ＝π8，f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8， 令k π－π2＜2x ＋π8＜k π＋π2，k ∈Z 得k π2－5π16＜x ＜k π2＋3π16，k ∈Z .可得f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－5π16，k π2＋3π16，k ∈Z令k ＝1，可得f (x )的一个单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π16，11π16.]3．函数y ＝2＋cos x2－cos x(x ∈R )的最大值为________．3 [由题意有y ＝42－cos x －1，因为－1≤cos x ≤1，所以1≤2－cos x ≤3，则43≤42－cos x ≤4，由此可得13≤y ≤3，于是函数y ＝2＋cos x 2－cos x (x ∈R )的最大值为3.]4．函数f (x )＝sin 2x cos x1－sin x的值域为________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，4 [f (x )＝2sin x cos 2x 1－sin x ＝2sin x (1－sin 2x )1－sin x ＝2sin x (1＋sin x ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122－12，由1－sin x ≠0得－1≤sin x ＜1， 所以f (x )＝sin 2x cos x 1－sin x的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，4.]5．已知函数f (x )＝a (cos 2x ＋sin x cos x )＋b . (1)当a ＞0时，求f (x )的单调递增区间；(2)当a ＜0且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的值域是[3,4]，求a ，b 的值．[解] f (x )＝a ·1＋cos 2x 2＋a ·12sin 2x ＋b ＝2a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋a 2＋b .(1)2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)0≤x ≤π2，π4≤2x ＋π4≤5π4， －22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，f (x )min ＝1＋22a ＋b ＝3，f (x )max ＝b ＝4， ∴a ＝2－22，b ＝4.。