高考数学专题练习：函数奇偶性

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函数奇偶性：高考数学一轮复习基础必刷题

函数奇偶性：高考数学一轮复习基础必刷题一、单选题1．下列函数是偶函数且在区间(–),0∞上为减函数的是（）A ．2y x =B ．1y x=C ．y x=D ．2y x =-2．下列四个函数中,在(0,)+∞上为增函数且为奇函数的是（）A ．()3f x x=-B ．2()3f x x x=-C ．1()f x x=-D ．()f x x=-3．若函数()55x x f x -=+与()55x x g x -=-的定义域均为R ，则（）A ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数B ．()f x 与()g x 均为奇函数C ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数D ．()f x 与()g x 均为偶函数4．下列函数既是幂函数又是偶函数的是（）A ．2()3f x x =B ．()f x =C ．41()f x x =D ．3()-=f x x 5．函数3()x xx f x e e -=-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数2()af x x x=+（a R ∈）的图像不．可能．．是（）A ．B ．C ．D ．7．已知()2cos f x x x =+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ D ．(]2,003⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，U8．已知函数()(3lg f x x x =+，若当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题9．已知函数()()2,0,xx f x g x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则(2)g =______．10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x <时，()32f x x =-，则当0x >时，()f x =___________.11．已知()1f x +是定义域为R 的偶函数，对于任意1x ，(]2,1x ∈-∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，且()30f =，则()0f x x>的解集为___________.三、解答题12．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-．（1）求函数()f x 在(,0)x ∈-∞的解析式；（2）当0m >时，若|()|1f m =，求实数m 的值．13．已知定义在[]22-,的函数()f x 在[]0,2单调递减，且()()1f m f m -<.(1)若()f x 是奇函数，求m 的取值范围；(2)若()f x 是偶函数，求m 的取值范围.14．设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数；（1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集；（2）若()312f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值．15．已知函数()()()lg 8lg 8f x x x =+--+．（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明；（3）求不等式()1f x >的解集．参考答案：1．C 【解析】根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.【详解】2y x =不是偶函数；1y x=不是偶函数；y x =是偶函数，且函数在(),0∞－上是减函数，所以该项正确；2y x =-是二次函数，是偶函数，且在(–),0∞上是增函数，故选：C.2．C 【解析】【分析】根据函数图象可以对ABC 选项的单调性和奇偶性进行判断，D 选项可以用函数奇偶性判断方法得到是偶函数，故D 选项错误.【详解】()3f x x =-在(0,)+∞单调递减且不是奇函数，故A 错误；2()3f x x x =-在302⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且不是奇函数，故B 错误；1()f x x =-在(0,)+∞上为增函数且为奇函数，C 正确；()==()f x x x f x -=---是偶函数，D 错误.故选：C 3．A 【解析】【分析】因为定义域为R ，所以代入x -利用定义判断()f x 和()g x 的奇偶性即可.【详解】解：因为()f x 和()g x 定义域均为R ，所以有()()55x xf x f x --=+=，()()55x x g x g x --=-=-，所以()f x 为偶函数，()g x 为奇函数.故选：A 4．C 【解析】根据幂函数的定义,形如()f x x α=的函数时幂函数,幂函数过定点(1,1).偶函数定义域关于原点对称,且()()f x f x -=.【详解】解:幂函数的图象都经过点(1,1)，排除A ；()f x =与3()-=f x x 不是偶函数，排除B ，D.故选:C 5．B 【解析】根据解析式求得函数奇偶性，以及()1f 即可容易求得结果.【详解】因为()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()3x x x f x f x e e--==-，故()f x 为偶函数，排除C ，D ，验算特值11(1)=0f e e-<-，排除A,故选：B 【点睛】本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断和指数运算，属基础题.6．A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，分类0a =，0a <和0a >三种情况分类讨论，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数2()()af x x a R x=+∈的定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞关于原点对称，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于原点对称，当0a =时，函数2()f x x =且(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，图象如选项B 中的图象；当0a <时，若0x >时，函数2()a f x x x =+，可得322()0x af x x -'=>，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增，此时选项C 符合题意；当0a >时，若0x >时，可得2()a f x x x =+，则3222()2a x af x x x x -'=-=，令()0f x '=，解得x =当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以选项D 符合题意.故选：A.7．B 【解析】【分析】由奇偶性的定义得出函数()y f x =为偶函数，利用导数知函数()y f x =在区间[)0,+∞上为增函数，由偶函数的性质将不等式()()1120f t f t ---≥变形为()()112f t f t -≥-，利用单调性得出112t t -≥-，从而可解出实数t 的取值范围.【详解】函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=Q ，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x =+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，则112t t -≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选B.【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题的关键在于考查函数的奇偶性与单调性，充分利用偶函数的性质()()f x f x =来求解，可简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．D 【解析】先判断()f x 是奇函数且在R 上为增函数，所以由()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->可得2sin sin 40t t θθ-+>，由当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，得sin [0,1]θ∈，构造函数2()4g x tx x t =-+，[0,1]x ∈，然后分1012t<<，102t <和112t ≥三种情况求解即可【详解】解：()f x 的定义域为R ，因为33()()lg(lg(lg10f x f x x x x x +-=++-+-+==，所以()f x 为奇函数，因为函数3,lg(y x y x ==+在[0,)+∞上均为增函数，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，所以()f x 在R 上为增函数，由()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->得()()2sin 4sin f t f t θθ>--，所以()()2sin 4sin f t f t θθ>-+，所以2sin 4sin t t θθ>-+，即2sin sin 40t t θθ-+>，当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin [0,1]θ∈，令2()4g x tx x t =-+，[0,1]x ∈当0=t 时，()0g x x =-≤，舍去，当0t ≠时，对称轴为12x t=，当1012t <<时，即12t >，则有11()4024g t t t=->，解得14t >，所以12t >，当102t <时，即0t <，有(1)140g t t =-+>，得15t >，所以t ∈∅，当112t ≥时，即102t <≤，有(1)140g t t =-+>，得15t >，所以1152t <≤，综上，1(,)5t ∈+∞，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查奇函数性质的应用，考查函数单调性的应用，考查转化思想和分类思想，解题的关键是利用函数在R 上为增函数且为奇函数，将()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->恒成立转化为2sin sin 40t t θθ-+>恒成立，然后构造函数，利用二次函数的性质讨论求解即可，属于中档题9．14-##0.25-【解析】【分析】利用奇函数的性质进行求解即可.【详解】因为()f x 是奇函数，所以有21(2)(2)(2)24g f f -==--=-=-，故答案为：14-10．32x --【解析】【分析】设0x >，则0x -<，求出()f x -的表达式，再由()()f x f x =-即可求解.【详解】设0x >，则0x -<，所以()32f x x -=--，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()32f x f x x =-=--，所以当0x >时，()32f x x =--故答案为：32x --.11．()(),10,3-∞- 【解析】根据题意推出()f x 在(,1]-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，分类讨论x ,利用函数()f x 的单调性可解得结果.【详解】因为对于任意1x ，(]2,1x ∈-∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在(,1]-∞上单调递增，因为()1f x +是定义域为R 的偶函数，所以(1)f x +的图象关于直线0x =对称，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，因为()f x 的图象关于直线1x =对称，所以(3)(213)(1)f f f =⨯-=-，因为(3)0f =，所以(1)0f -=，当0x <时，()0f x x >可化为()0f x <(1)f =-，因为()f x 在(,0)-∞上递增，所以1x <-，当01x <≤时，()0f x x>可化为()0(1)f x f >=-，因为()f x 在[1,1]-上递增，所以1x >-，又01x <≤，所以01x <≤，当1x >时，()0f x x >可化为()0f x >(3)f =，因为()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以13x <<，综上所述：()0f x x>的解集()(),10,3-∞- .故答案为：()(),10,3-∞- 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性解不等式是关键，根据函数的奇偶性和对称性可得函数的单调性12．（1）2()2f x x x =+；（2）1或1+【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质，令(,0)x ∈-∞，由()()f x f x =-即可得解；（2）0m >，有221m m -=，解方程即可得解.【详解】（1）令(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞，由()()f x f x =-，此时2()2f x x x =+；（2）由0m >，2|()|21f m m m =-=，所以221m m -=±，解得1m =或1m =或1m =（舍）.13．(1)11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭(2)11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数，得到单调性，进而解不等式，求出答案；（2）根据偶函数，对不等式进行变形，进而得到不等式组，求出答案.(1)若()f x 是奇函数，则()f x 在[]22-,上单调递减，故121222m mm m ->⎧⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩，解得：11,2m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故m 的取值范围为11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；(2)若()f x 是偶函数，因为()f x 在[]0,2上单调递减，故在[)2,0-上单调递增，由()()1f m f m -<得：()()1f m f m -<，故121222m m m m ⎧->⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩，解得：11,2m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故m 的取值范围为11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.14．（1）增函数，(1,)+∞；（2）2-．【解析】【分析】（1）由(0)0f =，求得1k =，得到()x x f x a a -=-，根据()10f >，求得1a >，即可求得函数()x x f x a a -=-是增函数，把不等式转化为(2)(4)f x f x +>-，结合函数的单调性，即可求解；（2）由（1）和()312f =，求得2a =，得到()2(22)4(22)2x x x xg x -----+=，令22x x t -=-，得到()2342,2g t t t t =-+≥，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）因为函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数，可得(0)0f =，从而得10k -=，即1k =当1k =时，函数()x x f x a a -=-，满足()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，所以1k =，由()10f >，可得10a a->且0a >，解得1a >，所以()x x f x a a -=-是增函数，又由(2)(4)0f x f x ++->，可得(2)(4)(4)f x f x f x +>--=-，所以24x x +>-，解得1x >，即不等式的解集是(1,)+∞．（2）由（1）知，()x x f x a a -=-，因为()312f =，即132a a -=，解得2a =，故()222(22)2(22)4(22)224x x x x x x x x g x -----=---+-+=，令22x x t -=-，则在[1,)+∞上是增函数，故113222t -≥+=，即()2342,2g t t t t =-+≥，此时函数()g t 的对称轴为322t =>，且开口向上，所以当2t =，函数()g t 取得最小值，最小值为()2224222g =-⨯+=-，即函数()g x 的最小值为2-．15．（1）()8,8-；（2）奇函数；证明见解析；（3）72,811⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）利用对数的性质可得8080x x +>⎧⎨->⎩，解不等式即可得函数的定义域.（2）根据奇偶性的定义证明()f x 的奇偶性即可.（3）由()f x 的解析式判断单调性，利用对数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）要使()f x 有意义，则8080x x +>⎧⎨->⎩，解得：88x -<<．∴()f x 的定义域为()8,8-.（2）()f x 为奇函数，证明如下：由（1）知：()8,8x ∈-且()()()()lg 8lg 8f x x x f x -=--+=-，∴()f x 为奇函数，得证．（3）∵()816lglg(1)88x f x x x +==---在()8,8-内是增函数，由()1f x >，∴8108x x +>-，解得7211x >，∴不等式()1f x >的解集是72,811⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

高考数学函数奇偶性之高考真题48道

函数的奇偶性之高考真题48道一、具体函数的奇偶性1.（2015•福建）下列函数为奇函数的是（D ）A.y =x B.y =e x C.y =cos x D.y =e x -e -x2.（2015•福建）下列函数为奇函数的是（D ）A.y =x B.y =|sin x | C.y =cos xD.y =e x -e -x3.（2014•广东）下列函数为奇函数的是（A ）A.y =2x - 12xB.y =x 3sin xC.y =2cos x +1D.y =x 2+2x4.（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（B ）A.y =x 2sin xB.y =x 2cos xC.y =|lnx |D.y =2-x5.（2019•全国）下列函数中，为偶函数的是（C ）A.y =(x +1)2B.y =2-xC.y =|sin x |D.y =lg (x +1)+lg (x -1)6.（2018•上海）下列函数中，为偶函数的是（A ）A.y =x -2B.y =x13C.y =x -12D.y =x 37.（2012•广东）下列函数为偶函数的是（D ）A.y =sin xB.y =x 3C.y =e xD.y =lnx 2+18.（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（D ）A.y =x +sin2xB.y =x 2-cos xC.y =2x + 12xD.y =x 2+sin x 9.（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（D ）A.y = 1+x 2B.y =x + 1xC.y =2x + 12xD.y =x +e x 二、抽象函数的奇偶性10.（2014•新课标Ⅰ）设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论正确的是（C ）A.f (x )∙g (x )是偶函数B.|f (x )|∙g (x )是奇函数C.f (x )∙|g (x )|是奇函数D.|f (x )∙g (x )|是奇函数三、已知奇偶性求参数11.（2020•上海）若函数y =a ∙3x + 13x为偶函数，则a =1．12.（2009•重庆）若f (x )=a + 12x +1是奇函数，则a =- 12．13.（2019•北京）设函数f (x )=e x +ae -x (a 为常数）．若f (x )为奇函数，则a =-1；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是(-∞，0]．14.（2014•湖南）若f (x )=ln (e 3x+1)+ax 是偶函数，则a =- 32．15.（2015•新课标Ⅰ）若函数f (x )=xln (x +a +x 2)为偶函数，则a =1．16.（2015•上海）已知a 是实数，函数f (x )= x 2+ax +4x是奇函数，求f (x )在(0,+∞)上的最小值及取到最小值时x 的值．四、奇函数性质的应用之中值定理17.（1990•全国）已知f (x )=x 5+ax 3+bx -8，且f (-2)=10，那么f （2）等于（A ）A.-26B.-18C.-10D.1018.（2013•重庆）已知函数f (x )=ax 3+b sin x +4(a ,b ∈R )，f (lg (log 210))=5，则f (lg (lg 2))=（C ）A.-5 B.-1C.3D.419.（2018•新课标Ⅲ）已知函数f (x )=ln (1+x 2-x )+1，f （a ）=4，则f (-a )=-2．20.（2012•上海）已知y =f (x )是奇函数，若g (x )=f (x )+2且g （1）=1，则g (-1)=3．五、奇函数性质的应用之分段函数21.（2019•新课标Ⅱ）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e x -1，则当x <0时，f (x )=（D ）A.e -x -1B.e -x +1C.-e -x -1D.-e -x +122.（2019•新课标Ⅱ）已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )=-e ax ．若f (ln 2)=8，则a =-3．六、偶函数性质应用之比较大小23.（2019•新课标Ⅲ）设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（C ）A.f (log 3 14)>f (2- 32)>f (2- 23)B.f (log 3 14)>f (2- 23)>f (2- 32)C.f (2- 32)>f (2- 23)>f (log 3 14)D.f (2- 23)>f (2- 32)>f (log 3 14)七、函数性质综合24.（2018•新课标Ⅱ）已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f (1-x )=f (1+x )，若f （1）=2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f (50)=（C ）A.-50B.0C.2D.50八、奇偶性与单调性综合判断25.（2020•新课标Ⅱ）设函数f (x )=x 3- 1x 3，则f (x )（A ）A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减26.（2020•新课标Ⅱ）设函数f (x )=ln |2x +1|-ln |2x -1|，则f (x )（D ）A.是偶函数，且在( 12，+∞)单调递增B.是奇函数，且在(- 12， 12)单调递减C.是偶函数，且在(-∞,- 12)单调递增D.是奇函数，且在(-∞,- 12)单调递减27.（2015•湖南）设函数f (x )=ln (1+x )-ln (1-x )，则f (x )是（A ）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数28.（2014•湖南）下列函数中，既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是（A ）A.f (x )= 1x2B.f (x )=x 2+1C.f (x )=x 3D.f (x )=2-x 29.（2017•北京）已知函数f (x )=3x -( 13)x ，则f (x )（A ）A.是奇函数，且在R 上是增函数B.是偶函数，且在R 上是增函数C.是奇函数，且在R 上是减函数D.是偶函数，且在R 上是减函数30.（2005•山东）下列函数既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是（D ）A.f (x )=sin xB.f (x )=-|x +1|C.f (x )= 12(a x -a -x )D.f (x )=ln 2-x 2+x31.（2013•北京）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（D ）A.y =1x B.y =e -x C.y =lg |x | D.y =-x 2+132.（2012•陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（D ）A.y =x +1B.y =-x 2C.y =1xD.y =x |x |33.（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为（B ）A.y =cos2x ，x ∈RB.y =log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C.y = e x -e -x2,x ∈R D.y =x 3+1，x ∈R34.（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是（B ）A.y =2x 3B.y =|x |+1C.y =-x 2+4D.y =2-|x |九、奇偶函数图象的对称性35.（2009•黑龙江）函数y =log 2 2-x 2+x的图象（B ）A.关于直线y =-x 对称B.关于原点对称C.关于y 轴对称D.关于直线y =x 对称36.（2010•重庆）函数f (x )= 4x+12x 的图象（D ）A.关于原点对称B.关于直线y =x 对称C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称37.（2011•上海）f (x )= 4x-12x的图象关于（A ）A.原点对称B.直线y =x 对称C.直线y =-x 对称D.y 轴对称38.（2008•全国卷Ⅱ）函数f (x )= 1x-x 的图象关于（C ）A.y 轴对称B.直线y =-x 对称C.坐标原点对称D.直线y =x 对称十、奇函数性质应用之解不等式39.（2020•山东）若定义在R 的奇函数f (x )在(-∞,0)单调递减，且f （2）=0，则满足xf (x -1)≥0的x 的取值范围是（D ）A.[-1，1]∪ 3，+∞)B.[-3，-1]∪ 0，1]C.[-1，0]∪ 1，+∞)D.[-1，0]∪ 1，3]40.（2015•山东）若函数f (x )= 2x+12x -a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为（C ）A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞)十一、奇函数性质比较大小41.（2017•天津）已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a =-f (log 2 15)，b =f (log 24.1)，c =f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为（C ）A.a <b <cB.b <a <cC.c <b <aD.c <a <b42.（2009•山东）已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x -4)=-f (x )且在区间[0，2]上是增函数，则（A ）A.f (-25)<f (80)<f (11)B.f (80)<f (11)<f (-25)C.f (11)<f (80)<f (-25)D.f (-25)<f (11)<f (80)十二、偶函数性质比较大小43.（2015•天津）已知定义在R 上的函数f (x )=2|x -m |-1(m 为实数）为偶函数，记a =f (log 0.53)，b =f (log 25)，c =f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为（C ）A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a44.（2008•天津）已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上是增函数．令a=f (sin 2π7)，b =f (cos 5π7)，c =f (tan 5π7)，则（A ）A.b <a <cB.c <b <aC.b <c <aD.a <b <c 解：b =f (-cos 5π7)=f (cos 2π7)，c =f (-tan 5π7)=f (tan 2π7)因为 π4< 2π7< π2，又由函数在区间[0，+∞)上是增函数，所以0<cos 2π7<sin 2π7<1<tan 2π7，所以b <a <c ，故选：A ．十三、奇偶性综合之比较大小45.（2008•安徽）若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )-g (x )=e x ，则有（D ）A.f （2）<f （3）<g (0)B.g (0)<f （3）<f （2）C.f （2）<g (0)<f （3）D.g (0)<f （2）<f （3）十四、偶函数性质应用之解不等式46.（2016•天津）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(-∞,0)上单调递增，若实数a满足f (2|a -1|)>f (- 2)，则a 的取值范围是( 12， 32)．47.（2014•新课标Ⅱ）已知偶函数f (x )在[0，+∞)单调递减，f （2）=0，若f (x -1)>0，则x 的取值范围是(-1,3)．48.（2015•新课标Ⅱ）设函数f (x )=ln (1+|x |)- 11+x 2，则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是（B ）A.(-∞， 13)∪(1，+∞)B.( 13，1)C.(- 13, 13)D.(-∞，- 13)∪( 13，+∞)。

6 抽象函数奇偶性高中数学高考

六、奇偶性问题例1 . （1）已知函数f(x)(x ≠0的实数)对任意不等于零的实数x 、y 都有f(x ﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。

解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系：取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1)，取x=y=1有f(1)=0.所以f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。

（2）已知y=f (2x +1)是偶函数，则函数y=f (2x )的图象的对称轴是（ D ） A.x =1B.x =2C.x =－21D.x =21 解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。

F （x ）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。

例2：已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足())()(1)()()(1x f y f y f x f y x f -+=-，（2）存在正常数a ，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。

证明：设t=x-y,则)()()(1)()()()(1)()()()(t f x f y f x f y f y f x f x f y f x y f t f -=-+-=-+=-=-，所以f(x)为奇函数。

例3：设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在)0,(-∞上是增函数，又)123()12(22+-<++a a f a a f 。

求实数a 的取值范围。

解析：又偶函数的性质知道：)(x f 在),0(+∞上减，而0122>++a a ，01232>+-a a ，所以由)123()12(22+-<++a a f a a f 得1231222+->++a a a a ，解得30<<a 。

2023 届高考数学专项(函数的奇偶性与周期性)经典好题练习附答案

2023 届高考数学专项(函数的奇偶性与周期性)经典好题练习-x的图象关于()1.函数f(x)=1xA.y轴对称B.直线y=-x对称C.原点中心对称D.直线y=x对称2.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1)3.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上单调递减,且函数y=f(x+8)为偶函数,则()A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)4.设偶函数f(x)满足当x≥0时,f(x)=x3-8,则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}5.(多选)对于定义在R上的函数f(x),下列判断错误的有()A.若f(-2)>f(2),则函数f(x)在R上是增函数B.若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数C.若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数D.函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,在区间(0,+∞)上也单调递增,则f(x)是R上的增函数6.(多选)(2020山东淄博一模,12)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,对于任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,当x∈[0,2)时,f(x)=2x-1.给出下列结论,其中正确的是()A.f(2)=0B.点(4,0)是函数y=f(x)的图象的一个对称中心C.函数y=f(x)在[-6,-2]上单调递增D.函数y=f(x)在[-6,6]上有3个零点7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)8.(2020山东潍坊临朐模拟一,14)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+4)=f (x ),且当x ∈(0,2)时,f (x )=x 2+1,则f (7)的值为 .9.定义在R 上的函数f (x )满足f (x+6)=f (x ),当x ∈[-3,-1)时,f (x )=-(x+2)2,当x ∈[-1,3)时,f (x )=x ,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 021)= .10.已知f (x )是R 上的奇函数,f (1)=2,且对任意x ∈R 都有f (x+6)=f (x )+f (3)成立,则f (2 017)= . 11.函数f (x )=π2sinx3 |x |的最大值是M ,最小值是m ,则f (M+m )的值等于( )A.0B.2πC.πD.π212.(2020全国2,理9)设函数f (x )=ln |2x+1|-ln |2x-1|,则f (x )( ) A.是偶函数,且在 12, ∞ 上单调递增 B.是奇函数,且在 -12,12 上单调递减 C.是偶函数,且在 -∞,-12 上单调递增 D.是奇函数,且在 -∞,-12 上单调递减13.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x+1)为偶函数,且f (1)=2,则f (4)+f (5)的值为( ) A.2 B.1 C.-1D.-214.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x+2)=f (x ),当x ∈[0,1]时,f (x )=3x ,若12<a<34,关于x 的方程ax+3a-f (x )=0在区间[-3,2]上不相等的实数根的个数为 . 15.在下列函数中,与函数f (x )=2x-1-12x 1的奇偶性、单调性均相同的是()A.y=e xB.y=ln(x+√x 1)C.y=x 2D.y=tan x16.如果存在正实数a ,使得f (x-a )为奇函数,f (x+a )为偶函数,我们称函数f (x )为“和谐函数”.给出下列四个函数:①f (x )=(x-1)2+5;②f (x )=cos 2x-π4;③f (x )=sin x+cos x ;④f (x )=ln |x+1|.其中“和谐函数”的个数为 .参考答案1.C ∵f (-x )=-1x+x=-1x-x =-f (x ),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f (x )为奇函数,故f (x )的图像关于原点中心对称.故选C . 2.C f (x )的图像如图.当x ∈[-1,0)时,由xf (x )>0得x ∈(-1,0); 当x ∈[0,1)时,由xf (x )>0得x ∈⌀; 当x ∈[1,3]时,由xf (x )>0得x ∈(1,3). 故x ∈(-1,0)∪(1,3).故选C .3.D 由y=f (x+8)为偶函数,知函数f (x )的图像关于直线x=8对称.又因为f (x )在(8,+∞)上单调递减,所以f (x )在(-∞,8)上单调递增.可画出f (x )的草图(图略),知f (7)>f (10),故选D .4.B f (x-2)>0等价于f (|x-2|)>0=f (2).又f (x )=x 3-8在[0,+∞)上单调递增,∴|x-2|>2,解得x<0或x>4,故选B .5.ACD 对于A,若f (-2)>f (2),则f (x )在R 上必定不是增函数,故A 错误;对于B,若函数f (x )是偶函数,则f (-2)=f (2),所以若f (-2)≠f (2),则函数f (x )不是偶函数,故B 正确;对于C,f (x )=x 2,满足f (0)=0,但不是奇函数,故C 错误;对于D,该函数为分段函数,在x=0处,有可能会出现右侧比左侧低的情况,故D 错误.故选ACD .6.AB 在f (x+4)=f (x )+f (2)中,令x=-2,得f (-2)=0,又因为函数y=f (x )是R 上的奇函数,所以f (2)=-f (-2)=0,f (x+4)=f (x ),故y=f (x )是一个周期为4的奇函数,因为(0,0)是f (x )的图像的一个对称中心,所以点(4,0)也是函数y=f (x )的图像的一个对称中心,故A,B 正确;作出函数f (x )的部分图像如图所示,易知函数y=f (x )在[-6,-2]上不具单调性,故C 不正确;函数y=f (x )在[-6,6]上有7个零点,故D 不正确.故选AB .7.C ∵f (x )是奇函数,∴当x<0时,f (x )=-x 2+2x.作出函数f (x )的大致图像如图中实线所示,结合图像可知f (x )是R 上的增函数,由f (2-a 2)>f (a ),得2-a 2>a ,解得-2<a<1,故选C .8.-2 因为f (x+4)=f (x ),所以f (x )的周期为4.又因为f (x )是奇函数,所以f (7)=f (8-1)=f (-1)=-f (1),由题意f (1)=12+1=2,所以f (7)=-2,故答案为-2.9.337 由题意得函数的周期为6,f (1)=1,f (2)=2,f (3)=f (-3)=-1,f (4)=f (-2)=0,f (5)=f (-1)=-1,f (6)=f (0)=0,所以数列{f (n )}从第一项起,每连续6项的和为1,则f (1)+f (2)+…+f (2 021)=336×1+f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)=337. 10.2 ∵f (x )是R 上的奇函数,∴f (0)=0.又对任意x ∈R 都有f (x+6)=f (x )+f (3),∴当x=-3时,有f (3)=f (-3)+f (3), ∴f (-3)=0,f (3)=-f (-3)=0, ∴f (x+6)=f (x ),f (x )的周期为6. 故f (2 017)=f (1)=2. 11.D 设h (x )=sinx3 |x |,则h (-x )=-h (x ),所以h (x )是一个奇函数,所以函数h (x )的最大值和最小值的和是0,所以M+m=π,所以f (M+m )=π2,故选D .12.D 由题意可知,f (x )的定义域为 x x 12,关于原点对称.∵f (x )=ln |2x+1|-ln |2x-1|,∴f (-x )=ln |-2x+1|-ln |-2x-1|=ln |2x-1|-ln |2x+1|=-f (x ), ∴f (x )为奇函数.当x ∈ -12,12时,f (x )=ln(2x+1)-ln(1-2x ),∴f'(x )=22x 1 -21-2x4(2x 1)(1-2x )>0,∴f (x )在区间 -12,12上单调递增.同理,f (x )在区间 -∞,-12, 12, ∞ 上单调递减. 故选D .13.A ∵f (x+1)为偶函数,f (x )为奇函数,∴f (-x+1)=f (x+1),f (x )=-f (-x ),f (0)=0,∴f (x+1)=f (-x+1)=-f (x-1),∴f (x+2)=-f (x ),f (x+4)=f (x+2+2)=-f (x+2)=f (x ), 则f (4)=f (0)=0,f (5)=f (1)=2, ∴f (4)+f (5)=0+2=2,故选A .14.5 ∵f (x+2)=f (x ),∴函数f (x )是周期为2的函数,若x ∈[-1,0],则-x ∈[0,1],f (-x )=-3x ,由题意f (-x )=f (x )=-3x.由ax+3a-f (x )=0,得a (x+3)=f (x ),设g (x )=a (x+3),分别作出函数f (x ),g (x )在区间[-3,2]上的图像如图.∵12<a<34,∴当a=12和34时,对应的直线为两条虚线,则由图像知两个函数有5个不同的交点,故方程有5个不相等的实数根. 15.B 由题意,f (-x )=2-x-1-12-x 112x 1-2x-1=-f (x ),所以f (x )为R 上的奇函数.因为2x-1和-12x 1都为R 上的增函数,所以f (x )=2x-1-12x 1为R 上的增函数.对于A,y=e x 不是奇函数,排除A;对于B,由f (-x )=ln(-x+ (-x ) 1)=ln1x x 2 1=-ln(x+√x 1)=-f (x ),所以f (x )为奇函数,由复合函数的单调性知y=ln(x+√x 1)为增函数,故B 正确;对于C,y=x 2不是奇函数,排除C;对于D,y=tan x 在R 上不是单调函数,排除D .故选B .16.1 ①中f (0)=6≠0,无论正数a 取什么值f (x-a )都不是奇函数,故不是“和谐函数”;②中f (x )=cos 2x-π2=sin 2x ,f (x )的图像向左或右平移π4个单位长度后其函数变为偶函数,f (x )的图像向左或右平移π2个单位长度后其函数变为奇函数,故不是“和谐函数”;③中f (x )=sin x+cos x=√2sin x+π4,因为f x-π4=√2sinx 是奇函数,f x+π4=√2cos x 是偶函数,故是“和谐函数”;④因为f (x )=ln |x+1|,所以只有f (x-1)=ln |x|为偶函数,而f (x+1)=ln |x+2|为非奇非偶函数,故不存在正数a 使得函数f (x )是“和谐函数”.综上可知,只有③是“和谐函数”.。

2023年数学高考复习真题演练(全国卷)07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 (含详解)

专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性【考点预测】 1.函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上； ②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <； ③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3．函数的对称性(1)若函数()y f x a =＋为偶函数，则函数()y f x =关于x a =对称． (2)若函数()y f x a =＋为奇函数，则函数()y f x =关于点(0)a ，对称． (3)若()()2f x f a x =-，则函数()f x 关于x a =对称． (4)若2(2)()f x f a x b -=＋，则函数()f x 关于点()a b ，对称． 4.函数的周期性（1）周期函数：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有(()f x T f x +=），那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做()f x 的最小正周期. 【方法技巧与总结】 1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与1的大小关系； ④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；②若()f x 和()g x 均为增(或减)函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增(或减)函数；③若()0f x >且()f x 1()f x 为减函数； ④若()0f x >且()f x1()f x 为增函数．2.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =；偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-． ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+． ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-． ③函数(||)f x 类型的一切函数． ④常数函数3.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数4.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.5.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．【题型归纳目录】题型一：函数的单调性及其应用题型二：复合函数单调性的判断题型三：利用函数单调性求函数最值题型四：利用函数单调性求参数的范围题型五：基本初等函数的单调性题型六：函数的奇偶性的判断与证明题型七：已知函数的奇偶性求参数题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值题型九：已知()f x =奇函数+M 题型十：函数的对称性与周期性题型十一：类周期函数题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性题型十三：函数性质的综合【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有()-()-f a f b a b>0成立，则必有（） A ．f (x )在R 上是增函数 B ．f (x )在R 上是减函数 C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数a ，b 都有()()()0a b f a f b -->⎡⎤⎣⎦，则不等式()()315f x f x ->+的解集为（）． A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞例3．（2022·全国·高三专题练习）()252f x x x =-的单调增区间为（）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()22xxf x =-. （1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x 的不等式2(log )(1)f x f <.例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性. 【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型二：复合函数单调性的判断例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数y = ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-，例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-例8．（2022·全国·高三专题练习）函数2231()()2x x f x --=的单调递减区间是（）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞C ．(3,)+∞D ．(1,)+∞【方法技巧与总结】讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数； 2．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表如下：题型三：利用函数单调性求函数最值例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I 内单调递增且有界的函数()f x ，即0M ∃>，x I ∀∈，()f x M ≤．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①()f x =()21x f x x =+；③()e e e e x xx xf x ---=+；④()11e x f x -=+．例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且()1f e =-．（1）求()1f 的值；（2）判断函数在()0,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0)2axf x a x =≠-. （1）判断函数()f x 在区间()2,2-上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若()33f =，求[]1,1x ∈-时函数()f x 的值域.例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知a b <，函数()f x 的定义域为I ，若存在[,]a b I ⊆，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，我们就说()f x 是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（）①()21f x x =-+；②2()f x x =；③()2f x =；④1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④【方法技巧与总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是增函数，在区间[)b c ，上是减函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最大值()f b ．2．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是减函数，在区间[)b c ，上是增函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最小值()f b ．3．若函数()y f x =在[]a b ，上是严格单调函数，则函数()y f x =在[]a b ，上一定有最大、最小值． 4．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递增函数，则()y f x =的最大值是()f b ，最小值是()f a ． 5．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递减函数，则()y f x =的最大值是()f a ，最小值是()f b ．题型四：利用函数单调性求参数的范围例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“1b ≤”是“函数()()22,0log 2,20bx x f x x b x +>⎧=⎨++-<≤⎩是在()2,-+∞上的单调函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数()()e 4,0,2log 1,10,xm m x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+-<≤⎪⎩若1x ∀，2x ∈R ，()()12120f x f x x x ->-，且()()2g x f x x =--仅有1个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数2()2f x x ax b =-+在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．（-∞，1]C ．[-1，+∞）D ．（-∞，-1]例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（）A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数2axf x a（0a >且1a ≠）在区间[)1,3上单调递增，则实数a 的取值不可能是（）A ．13B ．12C ．23D ．56例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a的范围是_______.例19．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈ ，则θ的取值范围是___________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当0x >时，()1f x >，且()12f =.（1）求()()0,1f f -的值，并判断()f x 的单调性；（2）当[]1,2x ∈时，不等式()()231f ax x f x -+<恒成立，求实数a 的取值范围.【方法技巧与总结】若已知函数的单调性，求参数a 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a 的不等式，利用下面的结论求解．1.若()a f x >在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔>在[]m n ，上的最大值．2.若()a f x <在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔<在[]m n ，上的最小值．题型五：基本初等函数的单调性例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在()1,3上单调递减的是（） A ．24y x x =- B ．12x y -=C ．y =D ．cos 1y x =+例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是 A ．x y e -=B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x =例23．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是奇函数，且()()12120f x f x x x ->-对任意12,x x R ∈且12x x ≠都成立，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()3log 7b f =， ()30.8c f =-，则（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ． a c b <<例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数()232xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()ln3a f =，()5log 2b f =-，c f =（e 为自然对数的底数），则（）． A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>【方法技巧与总结】1.比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.2.求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.题型六：函数的奇偶性的判断与证明例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x= B ．ln y x x =-- C ．3y x x =--D ．3=-+y x x 例27．（2022·广东·二模）存在函数()f x 使得对于x R ∀∈都有()()f g x x =，则函数()g x 可能为（）A ．()sin g x x =B ．()22g x x x =+C ．()3g x x x =-D ．()()x x g x e e -=+例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )（2）f (x )＝(x ＋（3）f (x ) （4）f (x )＝2221,0,21,0;x x x x x x ⎧-++>⎨+-<⎩例29．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②()g x 为奇函数；③()0,x ∀∈+∞，()0>g x ；④任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在0,上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性. 题型七：已知函数的奇偶性求参数例30．（2022·北京海淀·二模）若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-例31．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a （）A ．-1B ．0C ．1D ．±1例32．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数()22x x af x a+=-为奇函数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．±1例33．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数()(1)1x mf x x e=++为偶函数，则m 的值为_________.例34．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数()()22330xxa a af x -+=-⋅≠为奇函数，则=a ______．例35．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数()2221x xa b f x x -+⋅=+为偶函数，则=a ______．例36.（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数)1()e ln e x xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为R 上的偶函数，则实数=a ___________.【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=±，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值例37．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设()f x 为奇函数，且0x >时，()e ln xf x x =+，则()1f -=___________.例38．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5例39．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时，()232f x x x m =-+，则()f x 在[]1,2上的最大值为( )A ．1B ．8C ．5-D ．16-例40．（2022·江西·模拟预测（理））(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2022sin 25+=--x f x g x x x ，则下列说法错误的是（）A ．(0)1g =B ．()g x 在[]0,1上单调递减C ．(1101)-g x 关于直线1101=x 对称D ．()g x 的最小值为1例41．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x f x x =+-，则当0x <时，()f x =（）A ．21x x ---B ．21x x -++C ．121x ----D ．121x --++例42．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当()0,1x ∈时，()241xxf x =+. (1)求()1f 和()1f -的值； (2)求()f x 在[]1,1-上的解析式.例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且其定义域均为{R,1}x x x ∈≠±.若()1()1f xg x x +=-，求()f x ，()g x 的解析式. 【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式.题型九：已知()f x =奇函数+M例44．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =+（a ，b 为实数），()3lglog 102022f =，则()lglg3f =______．例45．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（）A ．2B ．3C ．－2D ．－3例46．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A ．4B ．8C ．12D ．16例47．（2022·上海·高一专题练习）若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是_______A ．4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．28,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．416,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭例48．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数()()113esin 1ex x x f x --⋅--=在区间[]3,5-上的最大值、最小值分别为p 、q ，则p q +的值为（）．A ．2B ．1C ．6D ．3例49．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数()()211()2x x f x x x e e x --=--+在区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（）A ．2-B ．0C ．2D ．4例50．（2022·广东潮阳·高一期末）函数())22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.例51．（2022·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数2222020sin ()2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___. 【方法技巧与总结】已知()f x =奇函数+M ，[,]x a a ∈-，则（1）()()2f x f x M -+= （2）max min ()()2f x f x M += 题型十：函数的对称性与周期性例52．（2022·天津三中二模）设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，且122x x a +=，恒有()()122f x f x b +=，则称函数()f x 具有对称性，其中点(,)a b 为函数()y f x =的对称中心，研究函数1()1tan(1)1f x x x x =+++--的对称中心，求13540432022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．2022B ．4043C ．4044D ．8086例53．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()24f x f x +=+，且()1f x +是奇函数，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的图象关于直线12x =对称 C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称例54．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2220222f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数()2021f x +的图象关于点()2021,0-对称，且()12022f =，则()2021f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例55．（2022·新疆·三模（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()6f x f x +=，且当[]0,3x ∈时，()e x f x x =，则下面结论正确的是（）A ．()()()3ln3e e f f f <<- B ．()()()3e ln3ef f f -<< C ．()()()3e e ln3f f f <-<D ．()()()3ln3e e f f f <-<例56．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f = 则(45)f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例57．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（）A ．4B ．4-C ．0D ．6-例58．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若32f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数且()12f =，则()()()202020212022f f f ++=（）A ．2-B ．4C ．4-D ．6例59．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数()()()222f x x x x ax b =+++满足：对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，则函数()f x 的最小值为（）A ．-20B ．-16C ．-15D ．0例60．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>例61．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数()f x 满足()()f x f x π-=--，且函数()f x 与()cos 2g x x x π=≠-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象的交点为()11,x y ， ()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，则()41i i i x y =+=∑（）A ．－4πB ．－2πC ．2πD ．4π【方法技巧与总结】（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.题型十一：类周期函数例62．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4例63．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18f x t t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．(](],10,3-∞-B．((,0,3⎤-∞⎦C ．[)[)1,03,-+∞D ．))3,⎡⎡+∞⎣⎣例64．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤例65．（2022·湖北·高三月考）已知函数()11,022(2),2x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨->⎩，其中R a ∈，给出以下关于函数()f x 的结论：①922f ⎛⎫= ⎪⎝⎭②当[]0,8x ∈时，函数()f x 值域为[]0,8③当4,15k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时方程()f x kx =恰有四个实根④当[]0,8x ∈时，若()22xf xa +≤恒成立，则1a ≥ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【方法技巧与总结】 1.类周期函数若()y f x =满足：()()f x m kf x +=或()()f x kf x m =-，则()y f x =横坐标每增加m 个单位，则函数值扩大k 倍．此函数称为周期为m 的类周期函数．类周期函数图象倍增函数图象2.倍增函数若函数()y f x =满足()()f mx kf x =或()()xf x kf m=，则()y f x =横坐标每扩大m 倍，则函数值扩大k倍．此函数称为倍增函数．注意当m k =时，构成一系列平行的分段函数，222311()[1)(1)[)()(1)[)(1)[)n n n g x x m g x m x m m f x g x m x m m g x m x m m --∈⎧⎪-+∈⎪⎪=-+∈⎨⎪⎪⎪-+∈⎩，，，，，，，，．题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例66．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（） A ．()3,1- B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞-- D ．()(),31,-∞-⋃+∞例67．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<例68．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()1e 1xf x -=-，则方程()11f x x =-在区间[]3,5-上所有解的和为（）A ．8B ．7C ．6D ．5例69．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足： ①()01f =；xx②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）求()()22f xg x -的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.例70．（2022·上海·高三专题练习）定义在(－1，1)上的函数f (x )满足①对任意x 、y ∈(－1，1)，都有f (x )+f (y )=f (1x y xy ++)；②当x ∈(－1，0)时，有f (x )>0．求证：21111()()()()511312f f f f n n +++>++．【方法技巧与总结】抽象函数的模特函数通常如下：(1)若()()()f x y f x f y +=+，则()(1)f x xf =(正比例函数) (2)若()()()f x y f x f y +=，则()[(1)]x f x f =(指数函数) (3)若()()()f xy f x f y =+，则()log b f x x =(对数函数) (4)若()()()f xy f x f y =，则()a f x x =(幂函数)(5)若()()()f x y f x f y m +=++，则()(1)f x xf m =-(一次函数)(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形. 题型十三：函数性质的综合例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos2f x x x x π=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（）A ．()2,1-B ．(-C ．()0,1D ．(例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增. 若实数a 满足212(log )(lo )g )2(1f a f f a +≤，则a 的最小值是（）A ．32B ．1C ．12D ．2例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数31()224e e x x f x x x =-++-，其中e 是自然对数的底数，若()2(6)8f a f a -+>，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(3,2)-C ．(,3)-∞-D ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数()3112e 33e x x f x x x =-+-+，其中e是自然对数的底数，若()2(23)6f a f a -+≥，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3][1,)-∞-+∞B ．(,3]-∞-C ．[1,)+∞D ．[]3,1-例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1x ≥时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意[]2x a a ∈+，，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．)+∞ B．)+∞C ．()1-∞，D．⎡⎣例77．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数221e e ()312x x xf x --=++，若不等式2(4)(2)1f ax f ax -+≤对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]e,0-B ．[]2,0-C ．[]4,0-D ．2e ,0⎡⎤-⎣⎦例78．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2121xx f x -=+，若()()e 0x f f ax +<有解，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+ B ．(),e -∞- C ．[]e,0- D ．()(),e 0,-∞-⋃+∞例79．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知函数()()1ln e 12x f x x =+-(e 为自然对数的底数)，若()()21f a f a ≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．[1，+∞)C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ 【方法技巧与总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.【过关测试】一、单选题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x =--C ．3y x x =--D ．3=-+y x x2．（2022·河南·模拟预测（文））已知0x >，0y >，且2e e sin 2sin x y x y ->-，则（） A ．2x y <B ．2x y >C ．x y >D ．x y <3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()(),21,-∞-+∞D ．()2,1-4．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足32()(1)62f x x x =-++，且()()8f x m f x +≤在[]1,3x ∈有解，则实数m 的最大值为（）A ．23B ．2C ．53D ．45．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数(()cos ln 4f x x x π=+⋅在区间[5,5]-的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +的值等于( )A ．0B ．10C ．4πD ．2π6．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知()f x 为奇函数，且当0x >时()211e xf x x -=+，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（） A ．240x y ++= B ．240x y -+= C ．220x y -+=D ．220x y ++=7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且()()4f x f x =+，当()0,2x ∈时，()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．-11B ．-8C ．3log 4D ．38log 4-8．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()2ln ,0,0x x f x mx mx x >⎧=⎨--≤⎩的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,1⋃(1,)+∞C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞二、多选题9．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数23()2x f x x -=-的性质，说法正确的是（） A ．()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞ B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在定义域上单调递减D ．点(2,2)是()f x 图象的对称中心10．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-12．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数())lgf x x =，()212xg x =+，()()()F x f x g x =+，则（） A ．()f x 的图象关于()0,1对称 B ．()g x 的图象没有对称中心C ．对任意的[](),0x a a a ∈->，()F x 的最大值与最小值之和为4D ．若()3311F x x x -+-<-，则实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞三、填空题13．（2022·山东临沂·二模）已知函数e ()1xmxf x x =+-是偶函数，则m =__________． 14．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()()ln 0f x x a a a =-+>在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为1，则a 的值为________.15．（2022·广东佛山·三模）已知函数()22x x f x a -=+⋅的图象关于原点对称，若3(21)2f x ->，则x 的取值范围为________．16．（2022·陕西宝鸡·二模（文））若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列①()1f x x=，②()=f x ()1212xx f x -=+，④22,0(),0x x f x x x ⎧-=⎨<⎩四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）四、解答题17．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a ∈R ，函数2()21x x af x +=+；(1)求a 的值，使得f （x ）为奇函数；(2)若3()2a f x +<对任意x ∈R 成立，求a 的取值范围． 18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的函数，()()f x f x -=-恒成立，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)确定函数()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数； (3)解不等式()()10f x f x -+<．19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数()()20,1,R x xf x ka a a a k -=->≠∈，()f x 是定义域为R 的奇函数(1)确定k 的值(2)若()13f =，判断并证明()f x 的单调性；(3)若3a =，使得()()()221f x f x λ≤+对一切[]2,1x ∈--恒成立，求出λ的范围.20．（2022·全国·高三专题练习）定义域均为R 的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()10x f x g x +=． (1)求函数()f x 与()g x 的解析式； (2)证明：1212()()2()2x x g x g x g ++≥； (3)试用1()f x ，2()f x ，1()g x ，2()g x 表示12()f x x -与12()g x x +．21．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的函数()f x ，对任意12,x x R ∈，满足下列条件：①1212()()()2f x x f x f x +=+- ②(2)4f =（1）是否存在一次函数()f x 满足条件①②，若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，说明理由. （2）证明：()()2g x f x =-为奇函数；22．（2022·上海·二模）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.(1)已知函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；(2)设1()423x x f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围；(3)若()22log 2,3()2,3x mx x f x x ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 取值范围.专题07 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性【考点预测】 1.函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上； ②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <； ③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇。

高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解

高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解一、选择题1．(文)以下函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝x ＋x 3(x ∈R) B ．y ＝3x (x ∈R)C ．y ＝－log 2x (x >0，x ∈R)D ．y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)[答案] A[解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C ，假设x ＝0在定义域内，那么应有f (0)＝0，排除B ；又函数在定义域内单调递增，排除D ，应选A.(理)以下函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．应选D.2．(2021·安徽理，4)假设f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，那么f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，应选A.3．(2021·河北唐山)f (x )与g (x )分别是定义在R 上奇函数与偶函数，假设f (x )＋g (x )＝log 2(x 2＋x ＋2)，那么f (1)等于( )A ．－12B.12 C ．1D.32[答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2f (－1)＋g (－1)＝1，∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2g (1)－f (1)＝1，∴f (1)＝12.4．(文)(2021·北京崇文区)f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，那么f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.5[答案] D[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为4，∴f (6.5)＝f (6.5－8)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝1.5－2＝－0.5.(理)(2021·山东日照)函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，假设f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数[答案] A[解析] 由f (x ＋2)＝f (x )得出周期T ＝2， ∵f (x )在[－1,0]上为减函数，又f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数，从而f (x )在[2,3]上为增函数．5．(2021·辽宁锦州)函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a >0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．假设g (x )＝f (x )＋2，那么g (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．2C ．4D ．不能确定[答案] C[解析] ∵f (x )是定义在[－a ，a ]上的奇函数，∴f (x )的最大值与最小值之和为0，又g (x )＝f (x )＋2是将f (x )的图象向上平移2个单位得到的，故g (x )的最大值与最小值比f (x )的最大值与最小值都大2，故其和为4.6．定义两种运算：a ⊗b ＝a 2－b 2，a ⊕b ＝|a －b |，那么函数f (x )＝2⊗x(x ⊕2)－2( )A ．是偶函数B ．是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B[解析] f (x )＝4－x 2|x －2|－2，∵x 2≤4，∴－2≤x ≤2，又∵x ≠0，∴x ∈[－2,0)∪(0,2]．那么f (x )＝4－x 2－x ，f (x )＋f (－x )＝0，应选B.7．f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，那么a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .应选C.8．函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，那么f (2021)等于( )A ．2B ．－3C ．－12D.13[答案] C[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x∈N *)．∴f (x )的周期为4，故f (2021)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下： f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)，9．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，那么使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] A[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1. ∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )<0得0<x ＋11－x<1，∴－1<x <0，应选A. 10．(文)(09·全国Ⅱ)函数y ＝log 22－x2＋x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A[解析] 首先由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，其次令f (x )＝log 22－x 2＋x ，那么f (x )＋f (－x )＝log 22－x2＋x ＋log 22＋x2－x＝log 21＝0.故f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，应选A.(理)函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是以下图象中的( )[答案] C [解析] ∵y ＝xsin x是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D ，当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B ，应选C.二、填空题11．(文)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx (x <0)f (x －1)－1 (x >0)，那么f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． [答案] －2[解析] f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－52， f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin π6＝12，∴原式＝－2. (理)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，那么f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.[答案] 0[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝12对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.12．(2021·深圳中学)函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如下图，那么不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0g (x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0g (x )<0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.13．(文)假设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.那么f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0.(理)函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，当x ≥1时，f (x )＝(x ＋b )2，那么f (－3)＋f (5)＝________.[答案] 12[解析] ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∵－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，∴a ＝0. ∴f (1)＝(1＋b )2＝0，∴b ＝－1.∴当x ≤－1时，－x ≥1，f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－(x ＋1)2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)2 x ≤－10 －1≤x ≤1(x －1)2 x ≥1∴f (－3)＋f (5)＝－(－3＋1)2＋(5－1)2＝12.[点评] 求得b ＝－1后，可直接由奇函数的性质得f (－3)＋f (5)＝－f (3)＋f (5)＝－(3－1)2＋(5－1)2＝12.14．(文)(2021·山东枣庄模拟)假设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a (a ∈R)是奇函数，那么a ＝________.[答案] －1[解析] ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，即lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a ＝lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝0.∴⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝1，∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0， ∵上式对定义内的任意x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0a 2－1＝0，∴a ＝－1. [点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些． ②如果利用奇函数定义域的特点考虑，那么问题变得比拟简单．f (x )＝lg (a ＋2)x ＋a 1＋x 为奇函数，显然x ＝－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－aa ＋2＝1，得a ＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．(理)(2021·吉林长春质检)函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2＋x 为奇函数，那么使不等式f (x )<－1成立的x 的取值范围是________．[答案]1811<x <2 [解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，∴lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ＋lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝0，∴⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝1，∵a ≠0，∴4－ax 2－4＝0，∴a ＝4，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋42＋x ＝lg 2－xx ＋2，由f (x )<－1得，lg 2－x2＋x<－1，∴0<2－x 2＋x <110，由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，由2－x 2＋x <110得，x <－2或x >1811，∴1811<x <2.三、解答题15．(2021·杭州外国语学校)f (x )＝x 2＋bx ＋c 为偶函数，曲线y ＝f (x )过点(2,5)，g (x )＝(x ＋a )f (x )．(1)假设曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；(2)假设当x ＝－1时函数y ＝g (x )取得极值，且方程g (x )＋b ＝0有三个不同的实数解，求实数b 的取值范围．[解析] (1)由f (x )为偶函数知b ＝0，又f (2)＝5，得c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1. ∴g (x )＝(x ＋a )(x 2＋1)＝x 3＋ax 2＋x ＋a ，因为曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，所以g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1＝0有实数解． ∴Δ＝4a 2－12≥0，解得a ≥3或a ≤－ 3. (2)由题意得g ′(－1)＝0，得a ＝2. ∴g (x )＝x 3＋2x 2＋x ＋2，g ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝(3x ＋1)(x ＋1)．令g ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝－13.∵当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )>0，当x ∈(－1，－13)时，g ′(x )<0，当x ∈(－13，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝－13处取得极小值．又∵g (－1)＝2，g (－13)＝5027，且方程g (x )＋b ＝0即g (x )＝－b 有三个不同的实数解，∴5027<－b <2，解得－2<b <－5027.16．(2021·揭阳模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2021)．[分析] 由f (x ＋2)＝－f (x )可得f (x ＋4)与f (x )关系，由f (x )为奇函数及在(0,2]上解析式可求f (x )在[－2,0]上的解析式，进而可得f (x )在[2,4]上的解析式．[解析] (1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由得 f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2， ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 又f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (x )＝f (x －4) ＝x 2－6x ＋8.从而求得x ∈[2,4]时， f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2021)＋f (2021)＋f (2021)＋f (2021)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2021)＝0.17．(文)函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0.即1－42×a 0＋a＝0，解得a ＝2.(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y1－y ，由2x >0知1＋y1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t 2x ＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－(t ＋1)×1＋t －2≤022－(t ＋1)×2＋t －2≤0，解得t ≥0. (理)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0－f (x ) x <0.(1)假设f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0. [解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0，即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .① 因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .② 又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3. 从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ＋1)2 x >03(x ＋1)2 x <0.(2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3，所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3. 由g (x )在[－1,1]上是单调函数知：－k ＋66≤－1或－k ＋66≥1，得k ≤－12或k ≥0. (3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0. 因此f (x )＝ax 2＋c . 又因为mn <0，m ＋n >0，可知m ，n 异号．假设m >0，那么n <0.那么F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c ＝a (m ＋n )(m －n )>0. 假设m <0，那么n >0. 同理可得F (m )＋F (n )>0. 综上可知F (m )＋F (n )>0.。

函数奇偶性之高考真题48道

函数的奇偶性之高考真题48道一、具体函数的奇偶性1.（2015•福建）下列函数为奇函数的是（D ）A.y =x B.y =e x C.y =cos x D.y =e x -e -x2.（2015•福建）下列函数为奇函数的是（D ）A.y =x B.y =|sin x | C.y =cos xD.y =e x -e -x3.（2014•广东）下列函数为奇函数的是（A ）A.y =2x - 12xB.y =x 3sin xC.y =2cos x +1D.y =x 2+2x4.（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（B ）A.y =x 2sin xB.y =x 2cos xC.y =|lnx |D.y =2-x5.（2019•全国）下列函数中，为偶函数的是（C ）A.y =(x +1)2B.y =2-xC.y =|sin x |D.y =lg (x +1)+lg (x -1)6.（2018•上海）下列函数中，为偶函数的是（A ）A.y =x -2B.y =x13C.y =x -12D.y =x 37.（2012•广东）下列函数为偶函数的是（D ）A.y =sin xB.y =x 3C.y =e xD.y =lnx 2+18.（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（D ）A.y =x +sin2xB.y =x 2-cos xC.y =2x + 12xD.y =x 2+sin x 9.（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（D ）A.y = 1+x 2B.y =x + 1xC.y =2x + 12xD.y =x +e x 二、抽象函数的奇偶性10.（2014•新课标Ⅰ）设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论正确的是（C ）A.f (x )∙g (x )是偶函数B.|f (x )|∙g (x )是奇函数C.f (x )∙|g (x )|是奇函数D.|f (x )∙g (x )|是奇函数三、已知奇偶性求参数11.（2020•上海）若函数y =a ∙3x + 13x为偶函数，则a =1．12.（2009•重庆）若f (x )=a + 12x +1是奇函数，则a =- 12．13.（2019•北京）设函数f (x )=e x +ae -x (a 为常数）．若f (x )为奇函数，则a =-1；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是(-∞，0]．14.（2014•湖南）若f (x )=ln (e 3x+1)+ax 是偶函数，则a =- 32．15.（2015•新课标Ⅰ）若函数f (x )=xln (x +a +x 2)为偶函数，则a =1．资料下载来源——高中数学优质资料群群号：114265753916.（2015•上海）已知a 是实数，函数f (x )= x 2+ax +4x是奇函数，求f (x )在(0,+∞)上的最小值及取到最小值时x 的值．四、奇函数性质的应用之中值定理17.（1990•全国）已知f (x )=x 5+ax 3+bx -8，且f (-2)=10，那么f （2）等于（A ）A.-26B.-18C.-10D.1018.（2013•重庆）已知函数f (x )=ax 3+b sin x +4(a ,b ∈R )，f (lg (log 210))=5，则f (lg (lg 2))=（C ）A.-5 B.-1C.3D.419.（2018•新课标Ⅲ）已知函数f (x )=ln (1+x 2-x )+1，f （a ）=4，则f (-a )=-2．20.（2012•上海）已知y =f (x )是奇函数，若g (x )=f (x )+2且g （1）=1，则g (-1)=3．五、奇函数性质的应用之分段函数21.（2019•新课标Ⅱ）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e x -1，则当x <0时，f (x )=（D ）A.e -x -1B.e -x +1C.-e -x -1D.-e -x +122.（2019•新课标Ⅱ）已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )=-e ax ．若f (ln 2)=8，则a =-3．六、偶函数性质应用之比较大小23.（2019•新课标Ⅲ）设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（C ）A.f (log 3 14)>f (2- 32)>f (2- 23)B.f (log 3 14)>f (2- 23)>f (2- 32)C.f (2- 32)>f (2- 23)>f (log 3 14)D.f (2- 23)>f (2- 32)>f (log 3 14)七、函数性质综合24.（2018•新课标Ⅱ）已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f (1-x )=f (1+x )，若f （1）=2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f (50)=（C ）A.-50B.0C.2D.50八、奇偶性与单调性综合判断25.（2020•新课标Ⅱ）设函数f (x )=x 3- 1x 3，则f (x )（A ）A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减26.（2020•新课标Ⅱ）设函数f (x )=ln |2x +1|-ln |2x -1|，则f (x )（D ）A.是偶函数，且在( 12，+∞)单调递增B.是奇函数，且在(- 12， 12)单调递减C.是偶函数，且在(-∞,- 12)单调递增D.是奇函数，且在(-∞,- 12)单调递减27.（2015•湖南）设函数f (x )=ln (1+x )-ln (1-x )，则f (x )是（A ）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数28.（2014•湖南）下列函数中，既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是（A ）A.f (x )= 1x2B.f (x )=x 2+1C.f (x )=x 3D.f (x )=2-x 29.（2017•北京）已知函数f (x )=3x -( 13)x ，则f (x )（A ）A.是奇函数，且在R 上是增函数B.是偶函数，且在R 上是增函数C.是奇函数，且在R 上是减函数D.是偶函数，且在R 上是减函数30.（2005•山东）下列函数既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是（D ）A.f (x )=sin xB.f (x )=-|x +1|C.f (x )= 12(a x -a -x )D.f (x )=ln 2-x 2+x31.（2013•北京）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（D ）A.y =1x B.y =e -x C.y =lg |x | D.y =-x 2+132.（2012•陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（D ）A.y =x +1B.y =-x 2C.y =1xD.y =x |x |33.（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为（B ）A.y =cos2x ，x ∈RB.y =log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C.y = e x -e -x2,x ∈R D.y =x 3+1，x ∈R34.（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是（B ）A.y =2x 3B.y =|x |+1C.y =-x 2+4D.y =2-|x |九、奇偶函数图象的对称性35.（2009•黑龙江）函数y =log 2 2-x 2+x的图象（B ）A.关于直线y =-x 对称B.关于原点对称C.关于y 轴对称D.关于直线y =x 对称36.（2010•重庆）函数f (x )= 4x+12x 的图象（D ）A.关于原点对称B.关于直线y =x 对称C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称37.（2011•上海）f (x )= 4x-12x的图象关于（A ）A.原点对称B.直线y =x 对称C.直线y =-x 对称D.y 轴对称38.（2008•全国卷Ⅱ）函数f (x )= 1x-x 的图象关于（C ）A.y 轴对称B.直线y =-x 对称C.坐标原点对称D.直线y =x 对称十、奇函数性质应用之解不等式39.（2020•山东）若定义在R 的奇函数f (x )在(-∞,0)单调递减，且f （2）=0，则满足xf (x -1)≥0的x 的取值范围是（D ）A.[-1，1]∪ 3，+∞)B.[-3，-1]∪ 0，1]C.[-1，0]∪ 1，+∞)D.[-1，0]∪ 1，3]40.（2015•山东）若函数f (x )= 2x+12x -a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为（C ）A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞)十一、奇函数性质比较大小41.（2017•天津）已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a =-f (log 2 15)，b =f (log 24.1)，c =f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为（C ）A.a <b <cB.b <a <cC.c <b <aD.c <a <b42.（2009•山东）已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x -4)=-f (x )且在区间[0，2]上是增函数，则（A ）A.f (-25)<f (80)<f (11)B.f (80)<f (11)<f (-25)C.f (11)<f (80)<f (-25)D.f (-25)<f (11)<f (80)十二、偶函数性质比较大小43.（2015•天津）已知定义在R 上的函数f (x )=2|x -m |-1(m 为实数）为偶函数，记a =f (log 0.53)，b =f (log 25)，c =f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为（C ）A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a44.（2008•天津）已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上是增函数．令a=f (sin 2π7)，b =f (cos 5π7)，c =f (tan 5π7)，则（A ）A.b <a <cB.c <b <aC.b <c <aD.a <b <c 解：b =f (-cos 5π7)=f (cos 2π7)，c =f (-tan 5π7)=f (tan 2π7)因为 π4< 2π7< π2，又由函数在区间[0，+∞)上是增函数，所以0<cos 2π7<sin 2π7<1<tan 2π7，所以b <a <c ，故选：A ．十三、奇偶性综合之比较大小45.（2008•安徽）若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )-g (x )=e x ，则有（D ）A.f （2）<f （3）<g (0)B.g (0)<f （3）<f （2）C.f （2）<g (0)<f （3）D.g (0)<f （2）<f （3）十四、偶函数性质应用之解不等式46.（2016•天津）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(-∞,0)上单调递增，若实数a满足f (2|a -1|)>f (- 2)，则a 的取值范围是( 12， 32)．47.（2014•新课标Ⅱ）已知偶函数f (x )在[0，+∞)单调递减，f （2）=0，若f (x -1)>0，则x 的取值范围是(-1,3)．48.（2015•新课标Ⅱ）设函数f (x )=ln (1+|x |)- 11+x 2，则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是（B ）A.(-∞， 13)∪(1，+∞)B.( 13，1)C.(- 13, 13)D.(-∞，- 13)∪( 13，+∞)。

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，(x＋1)，则f(－2012)＋f(2013)＝________________．f(x)＝log2【答案】1【解析】试题分析:∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，又∵对于x≥0都有f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(－2012)＋f(2013)＝f(2012)＋f(2013)＝f(1006×2)＋f(1006×2＋1)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1．故答案为：1．【考点】函数的周期性2.已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则．【答案】．【解析】∵，∴，又∵，分别是定义在上的偶函数和奇函数，∴，，∴，∴．【考点】函数的奇偶性．3.已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和），则( )．A．B．C．D．【答案】C【解析】由定义在上的函数是奇函数且满足知，= = =，所以= = = =，所以的周期为3，由得，，当n≥2时，=，所以=，所以=-3，=-7，=-15，=-31，=-63，所以 ====3，故选C.【考点】函数的奇偶性、周期性，数列的递推公式，转化与化归思想4.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【答案】C【解析】设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，选C．【考点】函数的奇偶性．5.已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】先画出当时，函数的图象，又为偶函数，故将轴右侧的函数图象关于轴对称，得轴左侧的图象，如下图所示，直线与函数的四个交点横坐标从左到右依次为，由图象可知，或，解得，选A．【考点】１、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集．6.若是偶函数，则____________.【答案】【解析】因为函数为偶函数,所以,故填.【考点】奇偶性对数运算7. [2013·重庆高考]已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log10))＝5，则f(lg(lg2))＝2()A．－5B．－1C．3D．4【答案】C【解析】∵f(x)＝ax3＋bsinx＋4，①∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4，即f(－x)＝－ax3－bsinx＋4，②①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③又∵lg(log10)＝lg()＝lg(lg2)－1＝－lg(lg2)，2∴f(lg(log10))＝f(－lg(lg2))＝5，2又由③式知f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝8，∴5＋f(lg(lg2))＝8，∴f(lg(lg2))＝3.故选C.8.已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝ln(x2－x＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为()A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】当x∈时，－x∈，f(x)＝－f(－x)＝－ln(x2＋x＋1)；则f(x)在区间上有3个零点(在区间上有2个零点)．根据函数周期性，可得f(x)在上也有3个零点，在上有2个零点．故函数f(x)在区间[0,6]上一共有7个零点．9.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数【答案】A【解析】由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数．A项，偶＋偶＝偶；B项，偶－偶＝偶，错；C项与D项分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇，均不恒成立．10.设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【答案】A【解析】因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选A．11.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足 (，且)，若，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】由条件，，即，由此解得，，所以选B．12.已知是奇函数，且，若，则= ．【答案】【解析】因为为奇函数，所以．∵，∴，∴．13.设是上的奇函数，且，下面关于的判定：其中正确命题的序号为_______．①;②是以4为周期的函数；③的图象关于对称；④的图象关于对称．【答案】①②③【解析】∵，∴，即的周期为4，②正确．∴(∵为奇函数)，即①正确．又∵，∴的图象关于对称，∴③正确，又∵，当时，显然的图象不关于对称，∴④错误．14.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，都有,当时，，设函数在区间上的反函数为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以函数周期为，所以时，，所以＝，又函数为偶函数，所以时，则＝．令＝＝19，解得＝，从而＝，故选D．【考点】1、反函数；2、函数奇偶性的性质；3、函数的周期性．15.设偶函数满足，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】的解集为,因为是偶函数，关于轴对称，所以的解集为或,那么的解集为或,故解集为或,故选B.【考点】1.函数的奇偶性；2.解不等式.16.已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)【解析】作出f(x)＝x2－4x(x>0)的图象，如图所示．由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出x<0的图象．不等式f(x)>x表示函数y＝f(x)的图象在y＝x的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)17.若函数f(x)=(a+)cosx是奇函数,则常数a的值等于()A．-1B．1C．-D．【答案】D【解析】设g(x)=a+,t(x)=cosx,∵t(x)=cosx为偶函数,而f(x)=(a+)cosx为奇函数,∴g(x)=a+为奇函数,又∵g(-x)=a+=a+,∴a+=-(a+)对定义域内的一切实数都成立,解得:a=.18.设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导数是f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝3xC．y＝－3x D．y＝4x【答案】A【解析】由已知得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2为偶函数，∴a＝0，∴f(x)＝x3－2x，f′(x)＝3x2－2.又f′(0)＝－2，f(0)＝0，∴y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x.19.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．【答案】{x|－7<x<3}【解析】当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5,5)．由于f(x)向左平移两个单位即得f(x＋2)，故f(x＋2)<5的解集为{x|－7<x<3}．20.已知是定义域为R的奇函数，当x≤0时，，则不等式的解集是（）A．(5，5)B．(1，1)C．(5，+)D．(l，+)【答案】C【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以对于任意实数x，都有且.又当时，则当时，，有，所以：，则，解不等式，即或或得，选C.【考点】函数的奇偶性，分段函数，一元二次不等式的解法.21.设函数（）（Ⅰ）若函数是定义在R上的偶函数，求a的值；（Ⅱ）若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）函数是定义在R上的偶函数，则恒成立，代入解析式得：，.即对任意都成立，由此得，．（Ⅱ）不等式对任意，恒成立，则小于等于的最大值，而．所以对任意恒成立，令，这是关于的一次函数，故只需取两个端点的值时不等式成立即可，即，解之即可得实数m的取值范围.试题解析：（Ⅰ）由函数是定义在R上的偶函数，则恒成立，即，所以，所以恒成立，则，故． 4分（Ⅱ）．所以对任意恒成立，令，由解得，故实数m的取值范围是． 12分【考点】1、函数的奇偶性；2、不等式恒成立问题.22.函数f(x)是偶函数，则下列各点中必在y=f(x)图象上的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由于函数上必过点.又因为函数是偶函数所以函数经过点 .又因为.所以函数一定经过和.故选A.本小题关键是考查函数的的奇偶性问题.【考点】1.函数的奇偶性.2.函数的对称性问题.23.已知函数是上的奇函数,且的图象关于直线对称,当时,，则 .【答案】-1【解析】∵的图象关于直线对称,∴，又是上的奇函数，∴，∴，即4为的周期，∴.由时，，得，由，得，∴，故答案为．【考点】函数的奇偶性、周期性24.已知函数.（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；（2）当时，若，求的值；（3）若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）既不是奇函数，也不是偶函数；（2）所以或；（3）当时，的取值范围是，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．【解析】（1）时，为确定的函数，要证明它具有奇偶性，必须按照定义证明，若要说明它没有奇偶性，可举一特例，说明某一对值与不相等（不是偶函数）也不相反（不是奇函数）．（2）当时，为，这是含有绝对值符号的方程，要解这个方程一般是分类讨论绝对值符号里的式子的正负，以根据绝对值定义去掉绝对值符号，变成通常的方程来解．（3）不等式恒成立时要求参数的取值范围，一般要把问题进行转化，例如分离参数法，或者转化为函数的最值问题．即为，可以先把绝对值式子解出来，这时注意首先把分出来，然后讨论时，不等式化为，于是有，即，这个不等式恒成立，说明，这时我们的问题就转化为求函数的最大值，求函数的最小值．试题解析：（1）当时，既不是奇函数也不是偶函数（2分）所以既不是奇函数，也不是偶函数（4分）（2）当时，，由得（1分）即（3分）解得（5分）所以或（6分）（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，故只需考虑，此时原不等式变为（1分）即故又函数在上单调递增，所以；（2分）对于函数①当时，在上单调递减，，又，所以，此时的取值范围是（3分）②当，在上，，当时，，此时要使存在，必须有，此时的取值范围是（4分）综上，当时，的取值范围是当时，的取值范围是；当时，的取值范围是（6分）【考点】（1）函数的奇偶性；（2）含绝对值的方程；（2）含参数的不等式恒成立问题．25.如图,直角坐标平面内的正六边形ABCDEF，中心在原点，边长为a，AB平行于x轴，直线（k为常数）与正六边形交于M、N两点，记的面积为S，则关于函数的奇偶性的判断正确的是（）A．一定是奇函数B．—定是偶函数C．既不是奇函数，也不是偶函数D．奇偶性与k有关【答案】B【解析】：∵当直线与边重合时，，当直线与重合时，，∴，∵正六边形即是中心对称图形又是轴对称图形，∴函数为偶函数.【考点】1.函数的奇偶性；2.数形结合思想.26.设函数是偶函数，则实数的值为___________.【答案】-1.【解析】因是偶函数，则，所以.【考点】函数的奇偶性.27.设是周期为2的奇函数，当时，=，则=．【答案】【解析】由是周期为2的奇函数可知，.【考点】函数的周期性与奇偶性.28.已定义在上的偶函数满足时，成立，若，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】构造函数，由函数是R上的偶函数，函数是R上的奇函数可得是R上的奇函数，又当时，所以函数在时的单调性为单调递减函数；所以在时的单调性为单调递减函数，因为，，，故，即：，故选Ｃ．【考点】函数奇偶性的性质，简单复合函数的导数，函数的单调性与导数的关系．29.已知m为常数，函数为奇函数.（1）求m的值；（2）若，试判断的单调性（不需证明）；（3）若，存在，使，求实数k的最大值．【答案】（1）；（2）在R上单调递增；（3）.【解析】（1）由奇函数的定义得：，将解析式代入化简便可得m的值；（2），结合指数函数与反比例函数的单调性，便可判定的单调性；（3）对不等式：，不宜代入解析式来化简，而应将进行如下变形：，然后利用单调性去掉，从而转化为：.进而变为：.由题设知：.这样只需求出的最大值即可.将配方得：.所以在时,取得最大值，最大值为10.∴，从而.试题解析：（1）由，得,∴，即,∴. 4分（2），在R上单调递增. 7分(3)由，得， 9分即.而在时,最大值为10.∴，从而 12分【考点】1、函数的奇偶性和单调性；2、二次函数的最值；3、不等关系.30.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则=____________.【答案】1【解析】由题意可知函数的周期，于是，又函数是上的偶函数，所以，则.【考点】周期函数、奇偶性.31.若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数为（）A．3B．4C．6D．8【答案】C【解析】由题意知，函数是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期上，图象是两条斜率分别为1和－1的线段，且，同理可得到在其他周期上的图象．函数也是个偶函数，先看在[0，+∞）上的交点个数，则它们总的交点个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍，在（0，+∞）上，，图象过（1，0），和（4，1），是单调增函数，与交与3个不同点，∴函数的图象与函数的图象的交点的个数为6个，故选.【考点】函数的奇偶性、周期性，对数函数的图象和性质.32.若函数f(x) (x∈R)是奇函数，函数g(x) (x∈R)是偶函数，则 ( )A．函数f(x)g(x)是偶函数B．函数f(x)g(x)是奇函数C．函数f(x)＋g(x)是偶函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数【答案】B【解析】令，由于函数为奇函数，，由于函数为偶函数，则，，故函数为奇函数，故选；对于函数，取，，则，此时函数为非奇非偶函数，故、选项均错误.【考点】函数的奇偶性33.已知是定义域为实数集的偶函数，，，若，则．如果，，那么的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，，则,∴定义在实数集上的偶函数在上是减函数.∵, ∴, 即.∴或解得或.∴.故选B．【考点】函数的奇偶性、单调性.34.函数（）【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.35.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为A．B．C．1D．2【答案】C【解析】根据题意，由于函数是上的偶函数，若对于，都有，可知函数的周期为2，且当时，，那么则有，故可知答案为C。

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高考数学专题练习：函数奇偶性
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
(满分100分，测试时间50分钟)
一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当
01x <<时，()8x f x =，则193f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
__________．
【答案】－2 【解析】
试题分析：由题意1
31911
()()()82333
f f f -=-=-=-=-．
2. 【江苏省苏州市高三暑假自主学习测试】定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，
()22x f x x =-，则()(0)1f f +-＝ ▲ ．
【答案】1- 【解析】
3. 【江苏省泰州中学高三摸底考试】函数42
sin 11
x
y x x =-++（x R ∈）的最大值与最小值之和为．【答案】2 【解析】
试题分析：因为
42sin 1x
y x x =
++为奇函数，其最大值与最小值之和为0，因此函数
42sin 11x
y x x =-
++（x R ∈）的最大值与最小值之和为2
4. 【南京市高三年级学情调研】已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且
1()()()2x f x g x +=，若存在01
[,1]2
x ∈，使得等式00()(2)0af x g x +=成立，则实数a 的取
值范围是 . 【答案】5
[22,2]2
【解析】
5. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县高三10月联考】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ．
【答案】2- 【解析】
试题分析：(4)()T 4f x f x +=⇒=,所以(7)(1)(1) 2.f f f =-=-=-
6. 【泰州中学第一学期第一次质量检测】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时
()32x f x x m =-+（m R ∈，m 为常数），则(2)f = ．
【答案】28
9
- 【解析】试
题
分
析
：
由
题
意
得
(0)0101
f m m =⇒+=⇒=-，所以
(2)f =228(2)(341)9
f -=--=-+-=-
7.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ，则f (1)，
g (0)，
g (－1)之间的大小关系是______________．
【答案】f (1)>g (0)>g (－1)
8.已知函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋4)－f (x )＝2f (2)，若y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，且f (1)＝2，则f (2014)等于________. 【答案】2
【解析】由于y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即函数y ＝f (x )是偶函数．在等式f (x ＋4)－f (x )＝2f (2)中令x ＝－2得f (2)－f (－2)＝2f (2)，由此可得f (2)＝0，故f (x ＋4)＝f (x )，所以4是函数y ＝f (x )的一个周期．f (2014)＝f (1)＝2.
9.已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f （x ＋32）＝－f (x )，且函数y ＝f （x －3
4）为奇函
数，给出以下四个命题： (1)函数f (x )是周期函数；
(2)函数f (x )的图象关于点（－3
4，0）对称；
(3)函数f (x )为R 上的偶函数； (4)函数f (x )为R 上的单调函数．
其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 【答案】(1)(2)(3)．
【解析】由f （x ＋3
2）＝－f (x )可得f (x )＝f (x ＋3)⇒f (x )为周期函数，且T ＝3，(1)为真命
题；
又y ＝f （x －34）关于(0,0)对称，y ＝f （x －34）向左平移3
4个单位得y ＝f (x )的图象，则y ＝f (x )
的图象关于点（－3
4，0）对称，(2)为真命题；
又y ＝f （x －3
4）为奇函数，
所以f （x －34）＝－f （－x －3
4
），
f （x －34－34）＝－f （34－x －34
）＝－f (－x )，
∴f （x －3
2
）＝－f (－x )，
f (x )＝f (x －3)＝－f （x －3
2
）＝f (－x )，
∴f (x )为偶函数，不可能为R 上的单调函数，(3)为真命题；(4)为假命题，故真命题为(1)(2)(3)．
10.设a ＞0，f (x )＝e x
a ＋a
e x 是R 上的偶函数，则实数a 等于．
【答案】1
【解析】依题意，对一切x R ，有f (－x )＝f (x )，即1a e x ＋ae x
＝e x
a ＋a e x ，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对一切x R 成立，则a －1a ＝0.∴a ＝±1.
∵a ＞0，∴a ＝1.
二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。

(共4题，每小题10分，共计40分)． 11.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (3)的值；
(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积．【答案】(1) －1. (2) 4.
12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋2x ，x >0，0，x ＝0，
x 2＋mx ，x <0是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】(1) m ＝2. (2) (1,3]．
13. 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32－x 成立.
(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；
(3)若g (x )＝x 2
＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值. 【答案】(1) 3(2) －2(3) a ＝0.
【解析】(1)证明由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，
且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝
－f ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期. (2)解因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
(3)解因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，
且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，
所以|f(x)|为偶函数.
故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，
即g(－x)＝g(x)恒成立，
于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立.
于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.
14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝x(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．
【答案】(1) 详见解析，(2) f(x)＝－－x－4.。