向量组与矩阵
矩阵和向量
矩阵和向量直接上结论:矩阵就是向量（这是国内官方说法，但我个人更倾向于理解为向量组，比如向量组的秩和矩阵的秩关系），向量就是只含有一个向量的向量组的特殊情况（或看作只有一行或一列的特殊矩阵），而连接他们概念的纽带是“向量组”（仅仅是概念上）1.书本概念角度:1）向量是矩阵的特殊情况，即向量是只有一行或者一列的矩阵，或者说“只有一个向量且该唯一向量只有一行或一列”的向量组（底下有个已注销用户回答的很好，但是说错了，请不要说一阶矩阵，因为“阶”只形容方阵）2）而绝大多数m×n矩阵是多个向量集合（向量集合即向量组）的一般情况，只有当m=1或n=1，又退化到向量2.几何意义:向量仅仅是向量空间即所构成的几何图形空间的某一个有方向的线段，在没有确定的一组基这个前提下，它也可以看做一个基向量而矩阵满秩时（方阵）代表对应的向量空间的“一组基”，不满秩时（高斯消元后将零行全部去掉的非方阵）代表一组基中不完整的基向量2021.6.21更新一处：想起3B1B的教学中提到任何单单看一个矩阵的形式就能发现该矩阵是暗示升维、或者降维的变换操作，这种好处甚至不需要做运算就能发现3.运算时两者代数和几何意义上的关系:矩阵乘法与向量的点积（内积）和向量的叉积的关系，我暂时偷个懒。
看下面那个已注销用户的回答，如果需要我更新，请留言（这提问中的所有回答只有个别答主说的对，其他很多都是答非所问，请谨慎识别）偷个懒，请看g大佬的回答:运算的几何意义（比如矩阵做乘法代表线性变换）暂时先不更了，内容太多，等我有空再写吧当然本人水平不足，如有错误，非常欢迎评论区友好指正和讨论，你们的点赞是我更新的动力！补充一点，底下有位热心的朋友指出线性变换是本质，我个人认为这不太全面，因为线性变换是侧重于描述向量在空间中图像变换的具体形式，如果在微分方程和函数中用到矩阵，很可能就失去了这种几何意义2022.2.15最后一更根据目前所学，纠正底下评论的说法，可以非常肯定"矩阵是一种线性变换才是本质，包括在函数和微分方程运用"这一说法完全错误，在函数和微分方程中（即高代内容中），并非所有变换都是线性的，同理能用到矩阵的时候也并非都是线性，抬杠前，请先弄明白基本概念ps:再回来看自己之前写的东西感觉也很幼稚（目前半退呼状态，所以内容也懒得改），只能说国内的线性代数内容太浅，几乎所有的应试教材和考试题目只考虑线性运算，自然就会有些自以为是的"学霸"会认为线性变换就能代表矩阵的一切，比如这位，而忽略了非线性的问题而我再次强调所谓的"线性变换是矩阵本质"这一言论只不过是某人说的线性代数在计算机的图形学应用分支而已更不要说什么"线性代数的抽象模型完全可以脱离矩阵这个具体工具而存在"这种玄幻文字如果线性代数完全脱离矩阵，那还研究矩阵做什么？我们这是搞数学不是练修仙请不要以为线性代数的作用如此浅薄更不要动不动就扯什么无限维和抽象装出一副学术砖家的派头讲一些无字天书的神仙话先把基础打牢才是学数学的正道最后，给题主和初学者的建议:先把线性和非线性中具体例子搞明白它们分别代表了哪些运算规则哪些思想有哪些应用甚至去了解应用背景我觉得这才是对线性代数的初学者最中肯的建议正如李尚志老师所说:。
矩阵等价与向量组等价的关系
矩阵等价与向量组等价的关系矩阵是指排成n行m列的一个数表。
在线性代数中矩阵是一个重要而有力的工具，应用于线性代数的始末，与线性代数的每一章节内容都有牵连。
向量是一个数组。
如果向量仅有一个分量，它就是通常意义上的数；如果向量的分量有两个或三个，在解析几何中，它表示平面或空间的有向线段。
在几何上与线性代数中向量的运算具有相同或相应的法则。
向量可以作为特殊的矩阵，也可作为矩阵的一部分。
n个m维列向量组成的向量组即可作成一个m×n矩阵。
所以矩阵与向量组之间有着千丝万缕的联系。
例如矩阵与其行向量组及列向量组均有相同的秩，方阵可逆的充要条件是其行（列）向量组线性无关等。
但是矩阵的等价与向量组的等价却没有任何必然的联系！矩阵等价的定义：如果矩阵A可以经过有限次初等变换成为矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价。
矩阵等价的两个充要条件：存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ =B；A与B同型，且r(A)=r(B)。
向量组的等价，是指两个向量组能相互线性表示。
矩阵等价与向量组等价有如下关系：1.两矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价！（《2012考研数学复习大全》理工类338页有说明及具体反例）2.两个向量组等价，它们作成的矩阵不一定等价！（向量组等价，两向量组中所含向量个数可以不同，但矩阵等价，两矩阵必定具有相同的行数与列数）在什么情况下矩阵等价其行向量组或列向量组等价呢？1.若矩阵A经初等列变换成为矩阵B，即存在可逆矩阵Q，使AQ=B，也可以写为（α1，α2，…，αn）Q=（β1，β2，…，βn），此时可知B的列向量组可以由A的列向量组线性表示，因为Q为初等矩阵的乘积，所以可逆，对AQ=B两边右乘Q-1，有A=BQ-1，故A的列向量组可以由B的列向量组线性表示。
此时可得A的列向量组与B的列向量组等价。
2.同理可知：若矩阵A经初等行变换成为矩阵B，则A的行向量组与B的行向量组等价。
3.矩阵进行初等行变换后，其列向量组不一定等价！矩阵进行初等列变换后，其行向量组不一定等价！（见《2012考研数学复习大全》理工类312页注）在什么情况下向量组等价其对应的矩阵也等价呢？1.若向量组A与向量组B均有n个列（行）向量，且两个向量组等价，则这两个向量组所作成的矩阵A与B等价！（因向量组A与向量组B等价，则它们有相同的秩，又A与B 作成的矩阵A与B有相同的行与列，且秩相等，故矩阵A与B等价）2.要求两个向量组有相同个数的向量，是因为矩阵等价的首要条件是两矩阵具有相同的行数与列数，故只有对于均有n个向量的两个m维向量组A与B，才有可能讨论其对应的矩阵A与B是否等价。
高等代数 第2章矩阵和向量 2.6 n维向量
例２ 已知
1 0 2 1 1 ， 2 2 ， 3 4 ， 1 5 7 试讨论向量组 1， 2， 3 及 1， 2的线性相关性.
解 分析 对矩阵（ 1， 2， 3），施行初等行变换变
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定向量组A : 1 , 2 ,, m，对于任何一
向量 组实数k1，k2， , km， k1 1 k 2 2 k m m
k1，k 2， , k m 称为这 称为向量组的一个 线性组合， 个线性组合的系数 .
证明 充分性 设 a1 , a2 , , am 中有一个向量（比如 能由其余向量线性表示. 即有
am）
am 1 1 2 2 m1 m1
故
1 1 2 2 m1 m1 1am 0
因 1 , 2 , , m 1 , 1 这 m 个数不全为0，
0 0 2 2 5 5
2 2 2 2 7 5
1 0 2 5 r3 r2 2 0 2 2 ， ~ 0 0 0
可见R( 1 , 2 , 3 ) 2，向量组 1 , 2 , 3线性相关； R( 1 , 2 ) 2,向量组 1 , 2线性无关.
a1 j a1 j a2 j a2 j j , b j , ( j 1,2,, m ), arj a rj a r 1, j
故方程组只有零解 x1 x 2 x 3 0，所以向量组 b1 , b2 , b3线性无关.
矩阵等价和向量组等价的区别和联系
矩阵等价和向量组等价的区别和联系
今晚差点晕在这了，⼩记⼀下。
向量组等价和矩阵等价是两个不同的概念。
前者是从能够互相线性表出的⾓度给出定义；后者是从初等变换的⾓度给出定义。
向量组(必须包含向量个数相同)等价能够推出矩阵等价。
但是矩阵等价不⼀定能（见⽂末视频）推出向量组等价。
1、向量组等价
定义：
这⾥需要注意⼏个⼩点：
等价的两个向量组所含的向量个数可能不同
等价的向量组秩相等，反之不对
三个巨坑：
记忆：
向量组等价＝＞向量组等秩
向量组等秩≠＞向量组等价
向量组等价＝向量组等秩＋其中⼀组向量可由另⼀组向量线性表达
教材上两个向量组等价的充分必要条件证明：
2、矩阵等价
定义： A经过若⼲初等变换后成为B
——— EOF ———。
3向量组与矩阵的秩
s
ki i
i 1
k1a1 p2
k2a2 p2
ksasp2
k1a1 pn k2a2 pn ksaspn
上两式只是各分量的排列顺序不同，因此
k11 k2 2 ks s 0
当且仅当 k11 k2 2 ks s 0
所以1,2 , s和1, 2 , s 有相同的线性相关性。
(8)1
(9)0 0
(10)k0 0
(11)如果k 0且 0,那么k 0
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§2 线性相关与线性无关
矩阵与向量的关系：
通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行
向量组 1,2 , s可以排列成一个s×n分块矩阵
1
2
s
其中 i为由A的第i行形成的子块， 1,2 , s称为A的行向量组。
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定理5 在r维向量组1,2 , s 的各向量添上n-r个分 量变成n维向量组 1, 2 , s 。
(1)如果 1, 2 , s线性相关，
那么
1
,
2
,
也线性相关。
s
(2)如果1,2 , s线性无关，
那么1, 2 , s也线性无关。
证 对列向量来证明定理。
(1,2 , ,s ) A1
(1, 2,
当且仅当k1=k2=…=kn=0
因此 1 , 2 , n 线性无关。
1,2
,
称为基本单位向量。
n
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例 设向量组 1,2 ,3线性无关，1 1 2 ， 2 2 3 ，3 3 1，试证向量组 1, 2 , 3也
线性无关。
证 对任意的常数都有
k11 k22 k33 (k1 k3 )1 (k1 k2 )2 (k2 k3 )
第四章-向量组与矩阵的秩
e n 线性无关. 证毕.
例4
维向量组必定线性相关. 含有零向量的 n 维向量组必定线性相关
证 若向量组 a1, a2, …, as 含有零向量，不妨设 a1= 0， 则有 1⋅a1+0⋅a2+ …+ 0⋅as = 0,
其系数不全为0，按定义此向量组线性相关。证毕。
定理2 定理2 当 s ≥2 时，向量组 a1, a2, …, as 线性相关的 充要条件是其中至少 充要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性 是其中至少有一个向量能由其余向量线性 表2+ …+xn an = b,
⇒
定理 1 对于方程组Ax=b， ， 对于方程组 (1) Ax=b有解 有解 性表示； 性表示 向量b能由向量组 向量 能由向量组a1, a2, …,an 线 能由向量组
(2) Ax=b有唯一解 向量 能由向量组 1, a2, …,an 能由向量组a 有唯一解 向量b能由向量组 并且表示方法唯一. 并且表示方法唯一 线性表， 线性表，
关高( 亦无关； 相关矮( 亦相关. 矮(短)无关高(长)亦无关；高(长)相关矮(短)亦相关.
例6 证明：对于矩阵 满足B=PA, 如果 的列 如果A的列 证明：对于矩阵A, B, P满足 满足 向量组线性相关， 的列向量组也线性相关。 向量组线性相关，则B的列向量组也线性相关。 的列向量组也线性相关 证 由已知，方程Ax=0有非零解， 设u为其一个非零解，则有Au=0. 则Bu=PAu=0, 则u也是Bx=0的非零解， 从而u也是Bx=0的一个非零解， 因此B的列向量组线性相关。证毕。
推论5 推论5 向量组a 线性无关， 向量b不能由 不能由a 向量组 1,…ar 线性无关 ， 向量 不能由 1,…ar 线性表示，则向量组a 线性无关。 线性表示，则向量组 1,…ar , b线性无关。 线性无关
向量组及其线性组合分布图示n维向量的概念向量组与矩阵
第一节 向量组及其线性组合分布图示★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵 ★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9 ★ 向量组间的线性表示 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2内容要点一、n 维向量及其线性运算定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个n m ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211每一列⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a in i i i ==β组成的向量组m βββ,,,21 称为矩阵A 的行向量组.根据上述讨论，矩阵A 记为),,,(21n A ααα = 或 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A βββ 21.这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组 0=⨯X A n m的全体解当n A r <)(时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组.定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a =α与),,,(21n b b b =β的各对应分量之和组成的向量，称为向量α与β的和, 记为βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：)(βαβα-+=-),,,(2211n n b a b a b a ---= .定义3 n 维向量),,,(21n a a a =α的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量α的乘积（又简称为数乘），记为αk ，即),,,(21n ka ka ka k =α.向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律: (1) αββα+=+;(2) )()(γβαγβα++=++; (3) ;αα=+o (4) ;)(o =-+αα (5) ;1αα=(6) ;)()(ααkl l k =(7) ;)(βαβαk k k +=+ (8) .)(αααl k l k +=+二、向量组的线性组合 考察线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (1) 令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m mj j j j b b b n j a a a 2121),,,2,1(βα则线性方程组(1)可表为如下向量形式:βααα=+++n n x x x 2211 (2)于是, 线性方程组(1)是否有解, 就相当于是否存在一组数n k k k ,,,21 使得下列线性关系式成立：.2211n n k k k αααβ+++=定义4 给定向量组s A ααα,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k ααα+++ 2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数.定义5 给定向量组s A ααα,,,:21 和向量β, 若存在一组数,,,,21s k k k 使,2211s s k k k αααβ+++=则称向量β是向量组A 的线性组合, 又称向量β能由向量组A 线性表示(或线性表出).注：(1)β能由向量组s ααα,,,21 唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有唯一解；(2) β能由向量组s ααα,,,21 线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有无穷多个解；(3) β不能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211无解；定理1 设向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 21β，),,,2,1(21s j a a a mj j j j =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α则向量β能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21s A ααα =与矩阵),,,,(~21βαααs A =的秩相等.三、向量组间的线性表示 定义6 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββααα若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性表示, 则称向量组B 能由向量组A 线性表示.若向量组A 与向量组B 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价. 按定义, 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则存在),,2,1(,,,21t j k k k sj j j = 使,),,,(21212211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=sj j j s s sj j j j k k k k k k ααααααβ所以,),,,(),,,(2122221112112121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=st s s t t s t k k k k k k k k k αααβββ其中矩阵t s ij t s k K ⨯⨯=)(称为这一线性表示的系数矩阵.引理 若,n t t s n s B A C ⨯⨯⨯= 则矩阵C 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示, B为这一表示的系数矩阵. 而矩阵C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵.定理2 若向量组A 可由向量组B 线性表示, 向量组B 可由向量组C 线性表示, 则向量组A 可由向量组C 线性表示.例题选讲n 维向量及其线性运算例1 设,)2/5,2,1,3(,)1,1,4,2(21TT ---=--=αα 如果向量满足 ,0)(2321=+-αβα 求β.解 由题设条件,有022321=--αβαβ)32(2112αα--=1223αα+-=T T )1,1,4,2(23)2/5,2,1,3(--+----=.)1,2/1,5,6(T --=例2 (E01) 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T =-=-=γβα(1) 求 γβα32-+; (2) 若有x , 满足,0253=++-x γβα 求.x解（1）γβα32-+T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2--+-=.)1,2,4,5(T =（2）由,0253=++-x γβα得x )53(21γβα-+-=])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[21T T T --+--=.)8,2/7,1,2/5(T --=例3 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21--==-=βαα 由于212ααβ-=, 因此β是21,αα的线性组合.例4 证明:向量)5,1,1(-=β是向量)6,3,2(),4,1,0(),3,2,1(321===ααα的线性组合并具体将β用321,,ααα表示出来.证 先假定,332211αλαλαλβ++=其中321,,λλλ为待定常数，则)5,1,1(-)6,3,2()4,1,0()3,2,1(321λλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等，因此可得方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+56431321232132131λλλλλλλλ.121321⎪⎩⎪⎨⎧-===λλλ 于是β可以表示为321,,ααα的线性组合，它的表示式为.2321αααβ-+=例5 证明: 向量)5,5,4(可以用多种方式表示成向量),3,2,1()4,1,1(-及)2,3,3(的线性组合. 证 假定321,,λλλ是数，它们使)5,5,4()2,3,3()4,1,1()3,2,1(321λλλ+-+=)2,3,3()4,,()3,2,(333222111λλλλλλλλλ+-+=),243,32,3(321321321λλλλλλλλλ+++++-=这样便可得到一个线性方程组:.524353243321321321⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-λλλλλλλλλ （2） 这个方程组的解不是唯一的，例如以下二组数都是方程组(2)的解:,11=λ,02=λ;13=λ,31=λ,12-=λ.03=λ因此);2,3,3()3,2,1()5,5,4(+=).4,1,1()3,2,1(3)5,5,4(--=即向量)5,5,4(可以用不止一种方式表示成另外3个向量的线性组合.注：本例表明，判断一个向量是否可用多种形式由其它向量组线性表出的问题也可以归结为某一个线性方程组解的个数问题. 解唯一，表示方式也唯一. 解越多，表示方式也越多.这说明线性方程组的解同向量线性关系之间的紧密联系.向量组的线性组合例6 (E02) 任何一个n 维向量T n a a a ),,,(21 =α都是n 维向量单位组T n T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε的线性组合.因为 .2211n n a a a εεεα+++=例7 (E03) 零向量是任何一组向量的线性组合.因为.00021s o ααα⋅++⋅+⋅=例8 (E04) 向量组s ααα,,,21 中的任一向量)1(s j j ≤≤α都是此向量组的线性组合. 因为 .0101s j j αααα⋅++⋅++⋅=例9 (E05) 判断向量T )11,1,3,4(1-=β与T )11,0,3,4(2=β是否各为向量组,)5,1,2,1(1T -=α T )1,1,1,2(2-=α的线性组合. 若是, 写出表示式.解 设,12211βαα=+k k 对矩阵)(121βαα施以初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000110421→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110201 易见，秩=)(121βαα秩.2),(21=αα故1β可由21,αα线性表示，且由上面的初等变换可取,21=k 12=k 使.2211ααβ+= 类似地，对矩阵),,(221βαα施以初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1115011312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990430550421⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00010*******易见, 秩,3)(221=βαα秩.2)(21=αα 故2β不能由21,αα线性表示.课堂练习1.下列向量组中,向量β能否由其余向量线性表示? 若能, 写出线性表示式:.)6,5,4(,)1,2,1(,)2,1,2(,)2,3,3(321T T T T =-=-=-=βααα。
向量组与矩阵
利用矩阵乘法，方程变形为
x1
1,
2
,,
m
x2
0
xm
这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论：
第3页/共16页
定理 1 若列向量组 1,2 , ,所m 构造的矩阵A，则
行向量组 1,2 , ,线m 性相关的充要条件是 线性无关的充要条件是 r( A) m.
推论 m n时, m个n维向量总是线性相关的.
中对应
因此，我们不仅可以利用矩阵的初等行变换求出列向量的秩，还可以进一步确定 其中某个部分组的线性相关性，并求出出它的极大线性无关组。
第11页/共16页
例 4 求下面向量组的秩和一个极大无关组，并把不属于该极大无关 组的向量用该极大无关组线性表示：
T1 (1, 4,1, 0, 2) T2 (2,5, 1, 3,2)
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
设矩阵 A
ai1
ai2
ain
am1 am 2 amn
则矩阵A可以看作由m个n维行向量或n个m维列向量构成，从而可以得到一个行 向量组和列向量组。矩阵A行向量组的秩称为A的行秩，列向量组的秩称为列 秩。
第10页/共16页
定理 5 矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩。
例 3 基本向量组 1, 2 , 是n Rn 的极大无关组。
解 由上一节，基本向量组是线性无关的，且任何一个n维向量都可以由它线性表 示（即坐标表示）。
第7页/共16页
定理 4 如果向量组
能由向量组
线Байду номын сангаас
性表出，且向量组A线性无关，那么
。
证明 不妨设所给向量都是列向量，记矩阵
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反之每个矩阵A
(a
ij)
可以得到n个m维列向量
mn
1 2
i
n
a11 a12 a1 j a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组ห้องสมุดไป่ตู้1, 2, , n 称为矩阵A的列向量组.
a1n x1 a2n x2
am1xm 0 am2 xm 0
am1xm 0
利用矩阵乘法，方程变形为
x1
1
,
2
,
,
m
x2
xm
0
这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论：
定理 1 若列向量组 1,2 , ,所m 构造的矩阵A，则
1
1
1
1
t1 t2 t3
tr
t12
t
2 2
t
2 3
t
2 r
t1r1
t
r 2
1
t
r 3
1
,
则其行列式|B|为范德蒙行列式，
t
r r
1
由于t i 互不相等，所以|B|≠0，
所以 1, 2 ,, 线r 性无关， 从而 1 ,2 ,,线r 性无关。
例 3 基本向量组 1, 2 , 是n Rn 的极大无关组。
解 由上一节，基本向量组是线性无关的，且任何一个n维向量都可以由它线性表 示（即坐标表示）。
定理 4 如果向量组
能由向量组
线
性表出，且向量组A线性无关，那么
。
证明 不妨设所给向量都是列向量，记矩阵
由已知可得
记
则
反证法，假设
，则矩阵K 的列向量组线性相关，即有不全为0的数
和
为两向量组，其中
即
是对
各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这
两个向量组有相同的线性相关性。
定理 3 在r维向量组 1,2 , 的s 各向量添上n-r个分量变成n维
向量组 1, 2 , 。s
(1)如果
线性相关， 那么 1,2 , 也线s 性相关。
(2)如果 1,2 , 线s 性无关，那么
设矩阵 A
ai1
ai 2 ain
am1 am 2 amn
则矩阵A可以看作由m个n维行向量或n个m维列向量构成，从而可以得到一个行 向量组和列向量组。矩阵A行向量组的秩称为A的行秩，列向量组的秩称为列 秩。
定理 5 矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩。
解 （1）向量组是3个二维向量，故线性相关。
（2）由矩阵
1
A
3 2 2
0 2 1 3
2 0
初等行变换
1 5
1
0
0 0
0 2 0 0
2
6
0 0
所以r( A) 2 3,故向量组线性相关.
定理 2 设p1,p2, …,pn为1，2，…，n的一个排列，
行向量组 1,2 , ,线m 性相关的充要条件是 线性无关的充要条件是 r( A) m. 推论 m n时, m个n维向量总是线性相关的.
r(A) m.
例 1 讨论下列向量组的线性相关性
(1)1 (2,3),2 (3,1),3 (0, 2) (2)1 (1,3, 2, 2),2 (0, 2, 1,3),3 (2, 0,1,5)
第三章 第二讲
1 向量组与矩阵 2 极大线性无关组与向量组的秩 3 向量组的秩与矩阵秩的关系
一、向量组与矩阵
由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
m个n维的行向量所组成的向量组 1,2 ,构,成m 矩阵：
n个m维的列向量所组成的向量组 1, 2 ,,构成n 矩阵：
B (1, 2 ,, n )
中对
因此，我们不仅可以利用矩阵的初等行变换求出列向量的秩，还可以进一步确定 其中某个部分组的线性相关性，并求出出它的极大线性无关组。
证 设矩阵A的行秩为r1, A的列秩为r2。
那么, A中有r1个行向量线性无关,从而A中有一个r1级子式D不为零,那么A中子式D所
在的r1个列向量也线性无关;
因而
。 同理可证
。
即有
。再由矩阵秩的定义， r1 r2 r( A)
证毕。
定理 6 如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B, 则A的列向量与B 应的列向量有相同的线性关系。
二、极大线性无关组与向量组的秩
定义1 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个 部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任 意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关。
。 极大无关组中向量的个数就称为向量组的秩
易知有如下结论： （1）一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。 （2）向量组线性无关当且仅当其秩等于向量组所含向量的个数。
1
A
2
m
类似地,矩阵A
(aij
)
又有m个n维行向量
mn
a11 a12 a1n
1
a21 a22 a2n
2
A
ai1 ai2 ain
i
am1 am2 amn
m
向量组 1, 2 称m为矩阵A的行向量组．
问题：是否可以利用矩阵来研究向量组的相关问题？
例如研究列向量组 1,2 , ,的m线性相关性，只须考察方程
x11 x22 xmm 0 是否有非零解。
a11x1 a21x2 把分量都写出来得 a12 x1 a22 x2
使得
即
与向量组A 线性无关矛盾，所以 推论 1 等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量 。 推论 2 等价的向量组必有相同的秩 。 推论 3 秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组
都是极大线性无关组。
三、向量组的秩与矩阵的秩的关系
a11 a21
a12 a1n a22 a2n
也线性无关。
例 2 设向量组
i
(1,
t
i
,
t
2 i
,
,
t
n1 i
),
1
i, r 且 tn,互不i相等，
证明
1
,
2
,,
线性无关。
r
证明： 考察向量组 i (1, ti , ti2 ,, tir1 ), 1 i r.
设
B
1 2
r