概率论与数理统计单元测试二
概率论与数理统计第二章习题参考答案]
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(1)设
X
服从二项分布，其分布律为 P{X
=
k}=
C
k n
pk (1−
)p n−k
K=0，1，2，……n，问 K 取何值时 P{X = k}最大？
（2）设 X 服从泊松分布，其分布率为 p{X = k} = λke−λ ，k=0，1，2……
k!
问 K 取何值时 P{X = k}最大？
（1）
解： M
=
N 试确定常数 a
（2）设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = b ⋅ ⎜⎛ 2 ⎟⎞k , k = 1,2.....
⎝3⎠
试确定常数 b
（3）设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = c ⋅ λk , k = 0,1,2......λ > 0 为常数，
k!
试确定常数 c
N
解：（1） ∑ P{X
6、设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = k , k = 1,2,3,4,5
15
其分布函数为 F (x) ，试求：
（1）
P⎨⎧ ⎩
1 2
<
X
<
5 2
⎫ ⎬ ⎭
，
（2） P{1 ≤ X ≤ 2}，
（3） F ⎜⎛ 1 ⎟⎞ ⎝5⎠
解：（1）
P⎨⎧ ⎩
1 2
<
X
<
5⎫
2
⎬ ⎭
=
P{X
= 1}+
0
2
1
x
xdx+
0
1
(2−
x)dx=
2x
−
x2
/
2−1
0< x ≤1 1< x≤2
概率论与数理统计第二章自测题答案与提示
3.一 射 手 对 同 一 目 标地 独进 立行 四 次 设 计 ，少 若命 至中 一 次 的
2 4 . 若随机变量 X 在 ( 1 , 6 ) 上服从均匀分布，则 程 x Xx 1 0
有实根的概率是 ______ .
概率作业第二章自测题
1 1 x 6 答案 0 .8 ： 提 示f ： (x) 5 。设事 A 件 “方程有实根 其它 0 2 2 而 方x 程 Xx 10 有 实 根 的 充 要 条 X 件 是 40 即 A{X2 40 }{X2 4 }{X 2 }{X 2 }
密度函数。 1 a xb 解：设 X“ : 球的直径” X。 ~ U[a, b], f ( x) b a 其它 0 1 1 6v 6v 3 3 3 3 V X , F(v) P(V X v) P( X ) P( X ) 6 6
0 1 1 2
2 x ( 2 ) 0 x 1 时， F ( x ) f ( t ) dt ( 1 t ) dt x . 0 2 x x 2 x 1 x 2 时， F ( x ) f ( t ) dt ( 1 t ) dt ( t 1 ) dt x 1 0 1 2 x 1 x
ln 10 2 . 3025 n n 1 0 . 5 0 . 9 0 . 5 0 . 1 , n 3 . 322 ln 2 0 . 6931 n 4
5.(柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为: F ( x ) A B arctan x , x
概率作业第二章自测题
一、填空题 1k 1 . 设离散型随机变量 X 的分布律为 P (X k ) 5 A ( )( k 1 , 2 , ) 2 则 A _______ . 1 答案与提示： 。 5
概率论与数理统计测试题二
《概率论与数理统计》测试题二第八章 假设检验一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．设总体),(~2σμN X ，2σ未知，X 为样本均值，,)(1122∑=-=ni i nX X n S ,)(11122∑=--=ni i X X n S 检验假设00:μμ=H 时采用的统计量是 ． )(A nX Z /0σμ-=； )(B 1/0--=n S X T n μ； )(C nX T /0σμ-=； )(D nS X T /0μ-=2．设总体),(~2σμN X ，检验假设2020:σσ=H 对2021:σσ>H ．若用-2χ检验法，则在显著性水平α下的拒绝域是 ．3．关于泊松随机质点流的强度 (每分钟出现的随机质点的期望数)λ有两个二者必居其一的假设，0H ：λ和1H ：λ=1．以10ν表示十分钟出现的随机质点数．设检验规则为：当10ν>7时否定0H 接受1H ，则检验的第一类错误概率 α= ；检验的第二类错误概率β = (只要求写出表达式) ． 4．假定总体X~()1,μN ，关于总体X 的数学期望μ的假设0 H 0=μ：；基于来自总体X 的容量为9的简单随机样本，得样本均值X ．则假设H 0的水平的否定域为： ．5．假设总体X 服从正态分布()23,μN ；()2521,,,X X X 是来自总体X 简单随机样本，0μ是已知常数，X 是样本均值．考虑00H μμ=：的形如{}C X V ≥-=0 μ的水平为的否定域，则其中的未知常数=C ．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．检验假设00:μμ=H 时，下述说法中正确的是（ ）)(A 若观测值落入接受域，则μ一定等于0μ )(B 若观测值落入拒绝域，则μ一定不等于0μ)(C 若观测值落入接受域，则接受0H 的决策不一定是对的 )(D 若观测值落入接受域，则接受0H 的决策一定是对的2．经过显著性检验而被拒绝的假设（ ）．)(A 一定是正确的； )(B 可能正确，但决策错误的概率是显著性水平α；)(C 一定是错误的； )(D 可能不正确，但决策犯错误的概率是显著性水平α；3．检验假设0H 时，（ ）接受0H 的可能性就越大．)(A 样本容量n 越大； )(B 样本容量n 越小； )(C 显著性水平α越大； )(D 显著性水平α越小．4．设总体)1,(~μN X ，检验00:μμ=H ，对01:μμ≠H ，在显著水平 01.0=α下)33.2,58.2(99.0995.0==Z Z ，则拒绝域是（ ）． )(A ),33.2()33.2,(+∞--∞ ； )(B ),58.2()58.2,(+∞--∞ ； )(C )58.2,(-∞； )(D ),58.2(+∞5．下列说法中正确的是（ ）．)(A 若备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第Ⅰ类错误． )(B 若备择假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第Ⅱ类错误． )(C 若零假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第Ⅰ类错误． )(D 若零假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第Ⅱ类错误．三．解答题（本题共10小题，第1至5小题每小题6分，第6至10小题每小题8分，满分70分．） 1．某区进行数学统考，初二年级平均成绩为分，标准差为分，从该区某中学中抽取50位初二学生，测得平均数学统考成绩为78分，试问该中学初二的数学成绩与全区数学成绩有无显著差异？ 2．对7岁儿童作身高调查结果如下所示，能否说明性别对7岁儿童的身高有显著影响？3．某中学从初二年级中各随机抽取若干学生施以两种不同的数学教改实验，一段时间后统一测试结果如下：实验甲：1n =25, 1x =88，11n S =6， 实验乙：2n =27, 2x =82，22n S =9．在测试成绩均服从正态分布的条件下，问两种实验效果差异是否显著(α=0.1)．4．设轴承内环的锻压零件的高度2~(,0.4)N ξμ，现从中抽取20只内环，其平均高度32.3x =mm ，求μ的置信度为95% 的置信区间．5．某市教科所进行初中数学教学实验，实验班是从全市初一新生中抽取的一个n =50的随机样本．初中毕业时该班参加全省毕业会考的平均分为，标准差为，如果全市都进行这种教学实验，并实验后全市毕业生的会考成绩服从正态分布，那么，全市初中毕业会考成绩的平均分不会低于多少(置信度为0.95)？并将其与现在全市初中毕业会考成绩的平均分进行比较．6．某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为, 标准差是, 今从一批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:10.410.610.110.410.510.310.310.210.910.610.810.510.710.210.7问：能否认为该机工作正常？7．某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差为5000 (小时2) 的正态分布, 现有一批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本方差为9200(小时2)．问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化(0.02)α=？ 8．某市对某矿工人进行的肺检查，对矽肺为0期的50例和肺癌病人10例进行X 光拍片，并从X 光片上测量其1R 值（1R 值为肺门横经的右侧距离，单位cm ）结果矽肺为0期的工人1R 的均值为___1 4.34,x cm =，方差为2210.314s cm =；肺癌病人1R 的均值为___2 6.21,x cm =，方差为222 3.204s cm =，问这两类病人1R 值的方差有无显著差别？9．某香烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取容量大小相同的烟叶标本，测量尼古丁含量的毫克数，实验室分别做了六次测定，数据记录如下： 甲 25 28 23 26 29 22 乙 28 23 30 25 21 27试问：这两种香烟的尼古丁含量有无显著差异？给定05.0=α，假定尼古丁含量服从正态分布且具有公共方差．10．据统计，某高校去年大学生中拥有手机的比率为45%，现对400名学生调查其拥有手机情况，发现其中有196名学生拥有手机．试在05.0=α 水平下检验拥有手机的学生比率是否有显著增加（4975.02475.0=）．可能用到的分位点值：645.105.0=Z 96.1025.0=Z ．第三章测验题答案(2010-05-11)班级______ 姓名______ 学号______ 做题时间____分钟******************************************************************************************** 一. 填空(共17分) 1. （5分）设随机变量()X P λ且{2}{4}P X P X ===，则λ= 解：因为()XP λ，属离散型随机变量，故{},0,1,2 0kP X k e k k λλλ-===>.由题设条件{2}{4}P X P X ===可知242!4!ee λλλλ--=，所以212.λ=又因为0,λ>所以λ= 2. （12分，每空2分）根据定义完成下列各式：()()()(,(11)(,))1;(12)(,)1;(21);(22)(31)(,);(32)(,;()(.))X xxy X X xY Xx dx x dx x f f x y dxdy f F f f x y dx x y dx f dx f x y dy F dy F x y y x +∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞-∞-=-=-=--===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰二. 选择(共20分，每题5分)1. 设随机变量X 的绝对值不大于1，且{1}1,8P X=-=1{1}4P X ==，则{11}P X -<<=[ A ](A) (B) 0.5 (C) (D)0.375解：因为随机变量X 的绝对值不大于1，所以必定有X 的所有取值只可能在-1到1之间，即{||1}1P X ≤=，所以{11}{||1}{1}{1}P X P X P X P X -<<=≤-=--=1151.848=--=2.设X 与Y 相互独立且同分布，1{1}{1}2P X P Y =-==-=，1{1}{1}2P X P Y ====，在下列各式中成立的是 [ A ](A) 1{}2P X Y == (B) {}1P X Y ==(C)1{0}4P X Y +== (D) 1{1}4P XY ==解：因为111,22+=所以X 和Y 的取值只能是1或-1，因此利用X 与Y 的边缘分布律和两者独立性的条件可知(X , Y )的联合分布律，如下因此 {1}{1}P X Y P X Y ===-+== 111442=+=，故选项(A)正确，(B)错误；(){0}{1,1}{1,1}P X Y P X Y X Y +===-=⋃==-{1,1}{1,1}P X Y P X Y ==-=+==- 111442=+=，故选项(C)错误；(){1}{1}{1}P XY P X Y X Y ====⋃==-{1}{1}P X Y P X Y ===+==-111442=+=，故选项(D)错误. 3.已知3{0,0}7P X Y ≥≥=，且4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max(,)0}P X Y ≥=[ C ].(A)37 (B)47 (C)57 (D) 1649解：本题关键是分析max 函数的含义，从而利用概率的加法公式来解. 具体过程如下：{max(,)0}{00}P X Y P X Y ≥=≥≥或者(){0}{0}P X Y =≥⋃≥(){0}{0}{0}{0}P X P Y P X Y =≥+≥-≥⋂≥({0}{0})X Y ≥≥因为事件和事件不互斥，所以只能利用加法公式{0}{0}{0,0}P X P Y P X Y =≥+≥-≥≥ 44357777=+-=4. 设随机变量2(,)X N μσ，则随着σ的增大，{}P X μσ-<[ ].(A)增大 (B)减小 (C)保持不变 (D)增减不定 解：||{||}{1}{11}(1)(1)2(1)1X X P X P P μμμσσσ---<=<=-<<=Φ-Φ-=Φ-，与σ无关，所以选(C).(0,)σσ>因为两边同时除以以后不等号不变号三. 解答题（请写明求解过程，共63分）1. （18分，每小题6分）已知随机变量X 的分布函数为0,0()sin ,0,21,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩求(1) A ; (2){||}6P X π<; (3)()f x .解：(1)利用分布函数的右连续性可知，在2x π=点，右连续性表现为2lim (x))2(x F F ππ→+=，根据(x)F 定义可知，当1x >时，()1F x =，所以 左边=2lim (x)x F π→+=2lim 11x π→+=，右边(si 22)n F A A ππ===，故A =1.所以得到0,0()sin ,02,1,2x F x x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩(2) 注意到这个(x)F 在整个实轴都是连续的，根据第二章的结论：只要分布函数是连续函数，那么随机变量在单点处的概率就为0，因此有{||}{}{}66666X X P X P P πππππ<=-<=≤-<<()()66F F ππ=--0sin 6π=-=12=.(3)已知分布函数求概率密度，只需要在密度函数的连续点处对x 求导即可：因此有cos,0 ().20,x xf xπ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（此题没有()f x无定义的点，否则需要修改相应区间，例如第二章测验解答题第一题.）2.（15分）某元件寿命X服从参数为11000λ=的指数分布，则三个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？解：随机变量X表示元件寿命，由题意可知其概率密度为1000,01(),.1000xxothe sfeexrwi->⎧⎪=⎨⎪⎩又因为11000100010001{1000}()1000.xP X f x dx e dx e-+∞+∞-≥===⎰⎰即元件能够使用超过1000小时的概率是1e -，又因为三个元件的寿命是相互独立的，所以最后所求概率值即为()313e e--=.3.（10分）已知二维随机向量(X, Y)的联合密度函数为8,01(,)0,xy x yf x y≤≤≤⎧=⎨⎩其它求(X, Y)的关于Y的边缘密度函数.解：通过以下四个步骤求边缘密度：①写定义：()(,)Yf y f x y dx∞-∞+=⎰②定区间：____,01,y<<⎧=⎨⎩其它③化积分：08,0,1yyxydx⎧⎪=⎨⎪⎩<<⎰其它④求积分：34,00,1y y<<⎧=⎨⎩其它.4.（10分）设(1,2),X U求2XY e=的概率密度函数.解：因为(1,2),X U所以有1,12().0,Xxf x<<⎧=⎨⎩其它因为函数2xy e=是严格单调函数，所以可以利用书中第52页定理直接求Y的密度函数.21ln()2xyh y y e==是的原函数，且242412,,,x e y e e e αβ<<<=<=当时则有即定理中的；1ln (2)2(,)1y h y ∈=所以(())1X f h y =.又注意到'()12h y y=， 所以由定理可知·|'((()|)),0,()X Y h y h y f y y f αβ<<⎧=⎨⎩其它241,0,2e y e y⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它（10分）已知(X , Y )的概率密度为1(),0(,,)810x y f x y x y ≤≤⎧≤+⎪=⎨⎪⎩其它求1{}P XY +≤.解：本题所求的是二维随机变量(X , Y )落在某区域中的概率，则{}(,)1GP X Y f x y dxdy ≤+=⎰⎰现要将此二重积分化成累次积分，则要确定这个区域{}(,)|1G x y x y =+≤与0(,)f x y ≠的区域的交集，如下图所示故{}(,)1GP XY f x y dxdy ≤+=⎰⎰11201()8y ydy x y dx -=+⎰⎰1.48= 四. 选做题(10分,100分以外)设(X , Y )的分布函数为(,)(arctan 2)(arctan 3)F x y A B C x y=++,求(1) A,B,C; (2)(,)f x y ; (3)X 和Y 是否相互独立？解：(1)法一：利用二维随机变量的分布函数的性质：(,)0,(,)0,(,)1F y F x F -∞=-∞=+∞+∞=得到()(arctan )0(1)23(arctan )()0(2)22()()1(3)22y A B C x A B C A B C ππππ⎧-+=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪++=⎪⎩式式式.由(3)式可知，0A ≠. 又因为(,)1F +∞+∞=, 所以(,)(arctan )(arctan )023x F x y A B C y=++≠故00.23arctan arctan B y C x ++≠≠并且 则又（１）（２）式可知21,2B C A ππ===． 因此21(,)(arctan )(arctan )2223x yF x y πππ=++．法二：利用一维随机变量的分布函数的性质()0,()1F F -∞=+∞=来做：因为边缘分布()(,)lim (,)(arctan )()22X y x F x F x F x y A B C π→+∞=+∞==++()(,)lim (,)()(arcta )23n Y x F y F y F x y A B C yπ→+∞=+∞==++作为一维随机变量的分布函数是满足上述性质的，故1()lim (,)lim (arctan )(arctan 23)()()22X x x y F F x A B B x C A C y ππ→+∞→+∞→+∞=+∞=+∞=++=++0()lim (,)lim (arctan )(arctan 23)()()22X x x y F F x A B B x C A C y ππ→-∞→-∞→+∞=-∞=+∞=++=-+0()lim (,)lim (arctan )(arctan )3()22()2Y y x y F F y A B B x C A C y ππ→-∞→+∞→-∞=-∞=+∞=++=+-解此方程组得到21,2B C A ππ===.(2)22222222222(,)(,)1(arctan )(arctan )2211(arct 2313an )2111246.(4)(921213119)F x y f x y x yx yyx x y y x x y y πππππππ∂=∂∂⎡⎤∂++⎢⎥⎣⎦=∂∂⎡⎤⎢⎥⎢⎥∂⨯+⨯⨯⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=∂=⨯⨯⨯=+++++(3)要判断独立性，就要先求边缘分布；法一：因为此题给出的条件是分布函数，所以这里我们先求X 和Y 的边缘分布函数. 根据分布函数的定义，我们有1()(,)lim (,)(arctan )()(arctan )2222X y x xF x F x F x y A B C πππ→+∞=+∞==++=+1()(,)lim (,)()(arctan )(arctan )3322Y x F y F y F x y A B C y yπππ→+∞=+∞==++=+所以对任意的x, y , 有(,)()()X Y F x y F x F y =成立，故X 与Y 独立.法二：利用第(2)题联合密度求边缘密度后，判断是否独立.()(,)X f x f x y dy +-∞∞=⎰222222222222226(4)(9)61(4)9611(4)91arct 3613|(4)93613(4)924an 22()dyx y dy x y dy x y y x x x ππππππππ+-+-+-∞∞∞∞∞∞+∞-∞=++=++=⨯⨯+⎛⎫+ ⎪⨯⨯⎛⎫⨯⨯+ ⎪⎝⎭=⨯+=⎝⎭⨯+=+⎰⎰⎰ ()(,)Y f y f x y dx +-∞∞=⎰222222222222226(4)(9)61(9)4611(9)41arct 2612|(9)42612(9)439an 22()dxx y dx y xdy y x x y y y ππππππππ+-+-+-∞∞∞∞∞∞+∞-∞=++=++=⨯⨯+⎛⎫+ ⎪⨯⨯⎛⎫⨯⨯+ ⎪⎝⎭=⨯+=⎝⎭⨯+=+⎰⎰⎰ 22222623(,)(),(4)(9)(4)(9)()X Y f x y f y x y x y x f πππ==⨯=++++x y 对任意，均成立， 故X 与Y 独立.。
概率论与数理统计第二章测验题答案
第二章测验题答案一. 填空(共28分，每题4分)1. 投掷一枚均匀对称的硬币，以X 表示正面出现的次数，则随机变量在区间 (0.5, 1.5)取值的概率为0.5 . 解：随机变量X 的分布律为所以{0.5}{1}0.551.P X P X <===≤2. 设随机变量~(1,6)U ξ, 则方程210x x ξ++=, 有实根的概率为 4/5 . 解：方程210x x ξ++=有实根，则判别式240ξ∆=-≥, 则2ξ≥或者2ξ≤-,所以()2{}{40}{2}{2}P P P ξξξ=∆=-≥=≥⋃≤-方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-又因为随机变量ξ服从参数为(1,6)的均匀分布，所以其概率密度函数为11,16,16()6150,0,x x f x ⎧⎧<<<<⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪⎩⎩其它其它所以6222214{2}(),55{2}()00.P f t dt dt P f t dt dt ξξ+∞---∞-∞≥===≤-===⎰⎰⎰⎰故{}P 方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-45=. 3. 设(2,),(3,)X b p Y b p , 若519{}P X ≥=, 则{1}P Y ≥=19/27.解：由题意知随机变量X 和Y 分别服从参数为2和p 、3和p 的二项分布.5{1}1{0}9P X P X =≥=-=, 得到4{0}9P X ==, 即00222(1)(1)C p p p -=-49=,所以2(1)3p -=, 从而33333219{1}1{0}1(1)1(1)1.327P Y P Y C p p p ⎛⎫≥=-==--=--=-= ⎪⎝⎭4. 设X 的概率密度函数为1,[0,1]32(),[3,6]90,x f x x ⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩其它，若k 使得2{}3P X k ≥=, 则k 的取值范围是13k ≤≤.解：此题用画图的方法来解：下图中红线即为()f x 的图像.其中S1表示由红线1()3f x =与x 轴所夹部分的面积，即{01}P X ≤≤13=；S2表示红线2()9f x =与x 轴所夹部分面积，即{36}P X ≤≤22393=⨯=.而{}P X k ≥即表示()f x 图像与x 轴所夹图形在直线x k =右侧的面积(绿色虚线所示范围). 因为2{}3P X k ≥={36}P X =≤≤，所以k 的取值范围只能在1和3之间， 即13k ≤≤.5. 设随机变量(1,4)X N , 则{12}P X <≤= 0.1915 .(已知(0.5)0.6915Φ=.) 解：由(1,4)X N 可知，1,2μσ==. 首先进行正态分布的标准化，在查表计算11211{12}{0}222X X P X P P μμσσ----⎧⎫<≤=<≤=<≤⎨⎬⎩⎭1()(0)2=Φ-Φ0.69150.5=-=0.19156. 设硕士研究生入学数学考试及格率为0.55，则15名考生中数学考试及格人数X 的概率分布是二项分布，参数为15和0.55, 解：15名考生参加考试，可以视为15次伯努利实验。
概率论与数理统计练习册-第二章答案
第二章 随机变量及其分布基础训练Ⅰ一、选择题1、下列表中（ A ）可以作为离散型随机变量的分布律。
A) X 1 －1 0 1 B) X 2 0 1 2P 1/4 1/2 1/4 P －1/4 3/4 1/2C) X 3 0 1 2 D) X 4 1 2 1P 1/5 2/5 3/5 P 1/4 1/4 1/2 2、常数b ＝（ B ）时，),2,1()1( =+=k k k bp k 为离散型随机变量的概率分布。
A ）2B ）1C ）1/2D ）33、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,2/0,0)(x x x x x F ，则（ D ）A ）是随机变量的密度函数 B) 不是随机变量的分布函数 C ）是离散型随机变量的分布函数 D ）是连续型随机变量的分布函数4、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量21,X X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A ）a ＝3/5，b ＝－2/5 B) a ＝2/3，b ＝2/3 C ）a ＝－1/2，b ＝3/2 D ）a ＝1/2，b ＝－3/25、设随机变量),(~2σμN X ,且}{}{c X P c X P >=≤，则=c （ B ）A) 0 B)μ C) μ- D) σ二、填空题1、连续型随机变量取任何给定值的概率为 0 。
2、设离散型随机变量X 分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛5.03.02.0210，则P (X ≤1.5) = 0.5 。
3、设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F ，则A = 1 ，X 落在（－1,1/2）内的概率为 1 / 4 。
4、设K 在（0, 5）上服从均匀分布，则方程02442=+++K Kx x 有实根的概率为0.6 。
5、随机变量X 的分布函数)(x F 是事件}{x X ≤的概率。
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
概率论与数理统计课程第二章练习题及解答
概率论与数理统计课程第二章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ）1、连续型随机变量X 的概率密度函数)(x f 也一定是连续函数 （×）2、随机变量X 是定义在样本空间S 上的实值单值函数 （√）3、取值是有限个或可列无限多个的随机变量为离散随机变量 （√）4、离散型随机变量X 的分布律就是X 的取值和X 取值的概率 （√）5、随机变量X 的分布函数()F x 表示随机变量X 取值不超过x 的累积概率（√）6、一个随机变量，如果它不是离散型的那一定是连续型的 （×）7、我们将随机变量分成离散型和连续型两类 （×）8、若()()()()P ABC P A P B P C =成立，则,,A B C 相互独立 （×）9、若,,A B C 相互独立，则必有()()()()P ABC P A P B P C = （√） 二、单选题1、设123,,X X X 是随机变量，且22123~(0,1),~(0,2),~(5,3),X N X N X N{22)(1,2,3)i i P P X i =-≤≤=，则（ A ）A ．123P P P >> B. 213P P P >> C. 321P P P >> D. 132P P P >>2、设随机变量~(0,1)X N ，其分布函数为()x Φ，则随机变量min{,0}Y X =的分布函数()F y 为（ D ）A 、1,()(),0y F y y y >⎧=⎨Φ≤⎩ B 、1,()(),0y F y y y ≥⎧=⎨Φ<⎩C 、0,()(),y F y y y ≤⎧=⎨Φ>⎩ D 、0,()(),y F y y y <⎧=⎨Φ≥⎩ 3、设随机变量X 的密度函数为()x ϕ，且()()x x ϕϕ-=，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a ，有（ B ）A 、0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰B 、01()()2a F a x dx ϕ-=-⎰C 、()()F a F a -=D 、()2()1F a F a -=-分析 ()()()()a a aF a x dx x tt dt x dx ϕϕϕ-+∞-∞+∞-==--=⎰⎰⎰令1()()()()()2()aa a aax dx x dx x dx x dx x dxFa a x dxϕϕϕϕϕϕ+∞-+∞-∞-∞-==+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（-）+21()()2a F a x dx ϕ-=-⎰，选B4、设1F x （）与2F x （）分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使12F x aF x bF x（）=（）-（）是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A 、3255a b ==-，B 、2233a b ==，C 、1322a b =-=，D 、1322a b ==-，分析 根据分布函数的性质lim 1x F x →+∞=（），即121lim x F x F aF bF a b →+∞=∞∞∞（）=（+）=（+）-（+）=-在给的四个选项中只有A 满足1a b =-，选A5、设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为1f x （）和2f x （），分布函数分别为1F x（）和2F x （），则（ D ） A 、12f x f x （）+（）必为某一随机变量的概率密度 B 、12f x f x （）（）必为某一随机变量的概率密度C 、12F x F x（）+（）必为某一随机变量的分布密度 D 、12F x F x（）（）必为某一随机变量的分布密度 分析 首先可否定选项A 与C ，因为1212[]21f x f xdx f xdx f xdx +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=≠⎰⎰⎰（）+（）（）（）12F F ∞∞≠（+）+（+）=1+1=21对于选项B ，若112x f x -⎧⎨⎩，〈〈-1（）=0，其它，210x f x ⎧⎨⎩，〈〈1（）=0，其它，则对任何 1212(,),0,01x f x f x f xf x dx +∞-∞∈-∞+∞≡=≠⎰（）（）（）（），也应否定C 。
概率论与数理统计第二章补充题及答案
《概率论与数理统计》第二单元补充题一、 填空题：1、函数()f x 为连续型随机变量X 的概率密度函数的充要条件是12），）2、随机变量X 的分布律为5110321210PX ，则2X 的分布律为__________,2X +1的分布律为__________3、设离散型随机变量X 的分布律为 ,2,1,21}{===k k X P k，则随机变量X Y 2sin π=的分布律为4、设离散型随机变量X 的分布律为 k =1, 2, 3,…，则c= .5、设随机变量X 的概率密度函数为，则P (0<X <3π/4)= .6、随机变量)31,10(~b X ，则{}0P X ==，{}1P X ≥=7、随机变量X 的分布律为{}1,2,3,4,5)5a P X k k ===，（， 则a =，(2.5)F =8、随机变量X 服从(0,)b 上的均匀分布，且{}1133P X <<=，则b =9、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则{}1P X ==，{}1P X ≤=二、选择题：1、下列命题正确的是 。
（ A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数 （ B ）连续型随机变量的密度函数()0()1f x f x ≤≤满足 （ C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数 （ D ）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数2、设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，则为使12()()()F x aF x bF x =-是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是________（ A ） 32,55a b ==- （ B ） 22,33a b ==- ( C ） 13,22a b =-= （ D ） 13,22a b =-=-三、计算题1、已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为cc c c 167,85,43,21, 确定常数c 并计算P{ξ<1|ξ≠0}.2、已知ξ~⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x ϕ, 求P{ξ≤0.5}; P(ξ=0.5);F(x).3、设连续型随机变量ξ的分布函数为:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x Axx x F 求：（1）、系数A; （2）、P (0.3<ξ<0.7); （3）、 概率密度φ(x ).4、设随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=其他0102)(x x x f 用Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≥X 出现的次数，求（1）P {Y =2}；（2）P {Y ≥1}.5、已知离散型随机变量X 的概率分布为 ,2,1,32}{===n n X P n ，求随机变量X Y )1(1-+=的分布律和分布函数.6、（1）、已知随机变量X 的概率密度函数为1(),2xX f x e x -=-∞<<+∞，求X 的分布函数。
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《概率论与数理统计》单元测试二
一、填空题（每题3分，共30分）
1.某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两，则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为 （答案用标准正态分布函数表示）。
2.设521,,X X X 是来自总体)1,0(~N X 的简单随
机
样
本
，
统
计
量
)(~/)(25242321n t X X X X X C +++，则常数
=C ，自由度=n 。
3.设随机变量321,,X X X 相互独立，且
)6,0(~1U X ，)4,0(~2N X ，)3(~3πX ，记
32132X X X Y +-=，则=)(Y D 。
4.设随机变量X,Y 相互独立，2)(-=X E ，
2)(=Y E ，1)(=X D ，4)(=Y D ，根据切比雪
夫不等式，≤≥+}5|{|Y X P 。
5.设由来自总体)81.0,(~μN X 的一个容量为9的简单随机样本计算得样本均值为5，则未知参数
μ的置信水平为0.95的置信区间为 。
6.
设随机变量
22~()n χχ，则
2
()E χ= ，2
()D χ= 。
7.设随机变量X 的分布律为
则=)(2
X E 。
8.若总体),(~2
σμN X ，从中抽取样本为
n X X X ,,21，则μ的矩估计为 。
9.设),,(~2σa N X 则2
3
-=X Y 服从的分布
为 。
10.从总体)3.6,52(~2
N X 中抽取容量为30的样本，则样本均值落在50.8到53.8之间的概率为 。
二、选择题（每题3分，共30分）
1.已知随机变量X 服从二项分布),(p n b ，且
4.2)(=X E ，44.1)(=X D ，则p n ,的值为
（ ）。
A ．6.0,4==p n B.4.0,6==p n C. 3.0,8==p n D.1.0,24==p n
2.设n X X X ,,21是来自正态总体),(2σμN 的
样本，∑=--=n i i
X X n S 1
22
)(11，则=)(2
S D （ ）。
A ．n /4
σ B. n /24
σ C. )1/(4-n σ D. )1/(24-n σ
3. 设总体X 服从正态),(2σμN 分布，
n X X X ,,21是来自X 的样本，为使
∑=-=n
i i X X A 1||ˆσ
是σ的无偏估计量，则A 的值为（ ）。
A ．
n
1 B.
n 1 C. 1
1-n D. )1(2-n n π
4.对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平0
5.0=α下，接受假设00:μμ=H ，则在显著水平01.0=α下，下列结论中正确的是（ ）。
A ．必接受0H B. 可能接受，也可能拒绝0H C. 必拒绝0H D. 不接受，也不拒绝0H 5.总体X 服从于二项分布),(p n
B ，其中p 是未知参数，n X X X ,,21是来自总体X 的一组样本，则下列不是统计量的为( )
A ．∑=-n i i X X n 12
)(1 B. )
1(1p np np X n
i i --∑=
C. 1X
D.61+X
6.总体均值μ的区间估计中，正确的说法是（ ）
A ．置信度α-1一定时，样本容量增加，置信区间的长度变长
B. 置信度α-1一定时，样本容量增加，置信区间的长度变短
C. 置信度α-1变小，置信区间的长度变短
D. 置信度α-1变大，置信区间的长度变短 7.设n X X ,,1 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，记
∑=--=n
i i X X n S 1
221)(11∑=-=n
i i X X n S 1
2
22
)(1∑=--=n i i X n S 1223
)(11μ∑=-=n i i X n S 1
22
4)(1μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ） A ．1/1--=
n S X T μ B. 1/2--=
n S X T μ
C. n
S X T /3μ-= D. n
S X T /4μ-=
8.现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今从中随机无放回地抽取3张，则得奖金的数学期望是（ ）。
A ．6 B. 12 C.7.8 D. 9
9.设随机变量X 的方差存在，并且满足不等式
9
2
}3|)({|≤
≥-X E X P ，则一定有（ ）。
A ．2)(=X D B. 97
}3|)({|<<-X E X P
C. 2)(≠X D
D. 97
}3|)({|≥<-X E X P
10.将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于（ ）。
A ．-1 B.0 C.1/2 D.1
三、（10分）假定一条生产流水线一天内发生故障的概率为0.1，流水线发生故障时全天停止工作。
若一周5个工作日中无故障这条生产线可产生利润20万元，一周内如果发生一次故障仍可产生利润6万元，发生两次或两次以上故障就要亏损两万元，求一周内这条流水线产生利润的数学期望。
四、（10分）设随机变量X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,
0,0,2
cos 21
)(其它πx x x f
对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于
3/π的次数，求Y 2的数学期望。
五、（10分）设12,,n X X X 是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为
1,(;,)0,x e
x f x μ
θ
μθμθ
--⎧>⎪=⎨⎪⎩
其它
其中,0μθ>是未知参数，12,,,n x x x 是一组样本值，求：
（1）,μθ的矩法估计； （2）,μθ的极大似然估计.
六、（10分）设总体20~(,)
X N μσ分布， 12(,,,)n X X X =X 为一组样本。
欲检验假设00:H μμ=，10:H μμ≠，显著性水平α事先给定，(,)μ∈-∞+∞未知，200σ>已知. 试构造适
当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）。
附加题：
1、设总体X 的概率分布为
θ
θθθθ21)1(23
21022--P X
其中θ(0<θ<1/2)是未知参数,利用总体X 如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3。
求θ的矩估计值和最大似然估计值。
2、测定某种溶液中的水份，设水份含量的总体服从正态分布()
2,σa N ，得到的10个测定值给出
037.0,452.02==s x ，试问可否认为水份含量的
方差04.02
=σ
？（05.0=α）。