5-1电磁波的矢势和标 势
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电磁场的矢势和标势
A
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
经过例子可看到：
库仑规范旳优点是：它旳标势 描述库 仑作 用，可直接由电荷分布 求出，它旳矢势 A 只有
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波旳两种独立
偏振。
洛仑兹规范旳优点是：它旳标势 构成旳势方程具有对称性。它旳矢势
A旳纵和向矢部势A
分和标势 旳选择还能够有任意性，即存在多出
2
2
A
0
1 2A c2 t 2
1 c2
t
( )
0 j
此时b，) 标采势用所洛满仑足兹旳规方范程(与 静A 电1场相 同 0。)
c 2 t
上述方程化为
2
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0
0 j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
4、举例讨论
试求单色平面电磁波旳势
尤其简朴旳对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations
及
B=0H
D 0E
E
A
B A
t
出发推导2 A矢 势c12A和2t 2A标势(
所满足旳方程，得到：
A
1 c2
)
t
0 j
2
A
t
0
a) 采用库仑规范 ( A 0)
上述方程化为
方程旳关系，所以它 们之间旳关系不是一一相应
旳，这是因为矢势 A 能 够加上一种任意标量函数
旳旳将梯梯E度度，在成E果不影A响中B旳A，t而与中这此对个融E 任合要意也发标作生量相影函应响数旳，但
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
经过例子可看到：
库仑规范旳优点是：它旳标势 描述库 仑作 用，可直接由电荷分布 求出，它旳矢势 A 只有
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波旳两种独立
偏振。
洛仑兹规范旳优点是：它旳标势 构成旳势方程具有对称性。它旳矢势
A旳纵和向矢部势A
分和标势 旳选择还能够有任意性，即存在多出
2
2
A
0
1 2A c2 t 2
1 c2
t
( )
0 j
此时b，) 标采势用所洛满仑足兹旳规方范程(与 静A 电1场相 同 0。)
c 2 t
上述方程化为
2
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0
0 j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
4、举例讨论
试求单色平面电磁波旳势
尤其简朴旳对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations
及
B=0H
D 0E
E
A
B A
t
出发推导2 A矢 势c12A和2t 2A标势(
所满足旳方程，得到：
A
1 c2
)
t
0 j
2
A
t
0
a) 采用库仑规范 ( A 0)
上述方程化为
方程旳关系，所以它 们之间旳关系不是一一相应
旳，这是因为矢势 A 能 够加上一种任意标量函数
旳旳将梯梯E度度，在成E果不影A响中B旳A，t而与中这此对个融E 任合要意也发标作生量相影函应响数旳，但
中科大 电动力学 PPT
《等离子体物理导论》
Copyright by Wandong LIU
规范变换与规范不变性
电磁矢势、标势具有相当大的人为选择的余地 两组不同的矢势标势，可以表示相同的电磁场
A
第十一周
A A
变换
t
A A B A A E t t
A A ei k x t 0 i k x t 0e
2
k 2 c2
洛伦兹规范下，描述平面波的
势仍有变换的自由度，可取
k k A 0
2
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第五章 电磁波辐射
§5.1 电磁场的矢势和标势
第十一周
§5.2 推迟势
波动方程的行波解 点源产生的电磁波 推迟势
§5.3 电磁辐射
§5.4 电磁波衍射 §5.5 麦克斯韦张量
《等离子体物理导论》
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达朗贝尔方程
洛伦兹规范下：
1 A 0 2 c t
第十一周
电磁场（电磁势）运动方程：
2 1 A 2 c 2 1 c2
A 0 J 2 t 2 t 2 0
2
d’Alembert方程
《等离子体物理导论》
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直角坐标下波动方程的解：平面行波
Copyright by Wandong LIU
电磁矢势标势满足的方程
电磁矢势、标势满足的方程 ♨
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规范变换与规范不变性
电磁矢势、标势具有相当大的人为选择的余地 两组不同的矢势标势，可以表示相同的电磁场
A
第十一周
A A
变换
t
A A B A A E t t
A A ei k x t 0 i k x t 0e
2
k 2 c2
洛伦兹规范下，描述平面波的
势仍有变换的自由度，可取
k k A 0
2
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第五章 电磁波辐射
§5.1 电磁场的矢势和标势
第十一周
§5.2 推迟势
波动方程的行波解 点源产生的电磁波 推迟势
§5.3 电磁辐射
§5.4 电磁波衍射 §5.5 麦克斯韦张量
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达朗贝尔方程
洛伦兹规范下：
1 A 0 2 c t
第十一周
电磁场（电磁势）运动方程：
2 1 A 2 c 2 1 c2
A 0 J 2 t 2 t 2 0
2
d’Alembert方程
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直角坐标下波动方程的解：平面行波
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电磁矢势标势满足的方程
电磁矢势、标势满足的方程 ♨
电动力学-选择题填空题判断题问答题复习
《电动力学1》随教材复习题目一、章节容：第0章 矢量分析第一章 电磁现象的普遍规律第二章 静电场第三章 静磁场第四章 电磁波的传播第五章 电磁波的辐射二、题型1. 选择题，填空题，判断题、问答题2. 计算题（见教材例题）2018年5月第0章 矢量分析一、选择题0.1设222)()()(z z y y x x r '-+'-+'-=为源点到场点的距离，r 的方向规定为从源点指向场点，则有 （ B ）A. 0=∇rB. r r r ∇=C. 0=∇'rD. r r r'∇= 0.2位置矢量r 的散度等于 （B ）A ．0 B.3 C.r1 D. r 0.3位置矢量r 的旋度等于 （A ）A.0B.3C.r rD.3rr 0.4位置矢量大小r 的梯度等于 （ C ）A.0 B .r 1 C. r r D.3rr 0.5r 1∇=？ （ B ） A. 0 B.3r r - C.r r D .r 0.6⨯∇3r r =？ （A ） A. 0 B .r r C.r D.r 1 0.7⋅∇3rr =？（其中r ≠0） （ A ） A.0 B.1 C.r D.r1 二、填空题0.1位置矢量r 的散度等于（ 3 ）。
0.2位置矢量r 的旋度等于（ 0 ）。
0.3位置矢量大小r r r 。
0.4无旋矢量场可以引入(标)势来处理，无源矢量场可以引入(矢)势来处理。
0.5(无旋)矢量场可以引入标势来处理，(无源)矢量场可以引入矢势来处理。
三、判断题0.1标量场的梯度必为无旋场。
（√）0.2矢量场的旋度不一定是无源场。
(×) 0.3无旋场必可表示为标量场的梯度。
(√) 0.4无源场必可表示为另一矢量的旋度。
(√)第一章 电磁现象的普遍规律一、选择题1.1对于感应电场下面哪一个说确 （ D ）A 感应电场的旋度为零B 感应电场散度不等于零C 感应电场为无源无旋场D 感应电场由变化磁场激发1.2从麦克斯韦方程组可知变化电场是 ( B )A 有源无旋场B 有源有旋场C 无源无旋场D 无源有旋场1.3从麦克斯韦方程组可知变化磁场是 （ D） A 有源无旋场 B 有源有旋场 C 无源无旋场 D 无源有旋场。
5-1电磁波的矢势和标势
2009/12/3
第五章:电磁波的辐射
——高频交变电流辐射电磁波的规律 高频交变电流辐射电磁波的规律
① 无线电波 无线电波是由发射天线上的高频交变电流辐射 发射天线上的高频交变电流辐射 出来的; 出来 ② 天线上的交变电流和其所辐射的电磁场是相互 作用的——复杂边值问题 ③ 本章的讨论仅限于:给定电流分布 给定电流分布,如何计算 辐射电磁波. 辐射电磁波
r A ( 为无源场) t
3)洛伦兹规范 辅助条件: ① 洛伦兹规范: r 1 A+ 2 =0 c t
r r A E = t
r r B = × A
② 若采用洛伦兹规范,关于势的微分方程可以 简化为简单的,对称形式 简单的,对称形式; ③ 由于其在处理实际问题的方便之处,下面将 要讨论的辐射问题采用的是洛伦兹规范.
——达郎贝尔方程 达郎贝尔方程(非齐次的波动方程)
μ0 J 1 A1 μ J 2 1 2 A2 2 2 = 0 2 μ0 J 3 c t A3 ρ ε 0
波 动 方 程
r r μ0 J 2 1 2 A 2 2 = c t ρ ε 0
辅 助 r 条 A + 1 = 0 件 c 2 t
① 在洛伦兹规范下,电荷产生标势波动 电流 电荷产生标势波动;电流 产生矢势波动; 产生矢势波动 ② 离开电荷和电流分布的区域以后,矢势和标 势都以波动形式在空间传播; ③ 由它们导出的电场和磁场也以波动的形式在 空间传播; ④ 电场和磁场的性质与这里所选的规范无关.
r r A ②可以引入标势 标势描述矢量场: + = E t r r A E = t
r r A ①E + 是无旋场; t
r r A =0 ×E + t
4)电磁场的势描述:
第五章:电磁波的辐射
——高频交变电流辐射电磁波的规律 高频交变电流辐射电磁波的规律
① 无线电波 无线电波是由发射天线上的高频交变电流辐射 发射天线上的高频交变电流辐射 出来的; 出来 ② 天线上的交变电流和其所辐射的电磁场是相互 作用的——复杂边值问题 ③ 本章的讨论仅限于:给定电流分布 给定电流分布,如何计算 辐射电磁波. 辐射电磁波
r A ( 为无源场) t
3)洛伦兹规范 辅助条件: ① 洛伦兹规范: r 1 A+ 2 =0 c t
r r A E = t
r r B = × A
② 若采用洛伦兹规范,关于势的微分方程可以 简化为简单的,对称形式 简单的,对称形式; ③ 由于其在处理实际问题的方便之处,下面将 要讨论的辐射问题采用的是洛伦兹规范.
——达郎贝尔方程 达郎贝尔方程(非齐次的波动方程)
μ0 J 1 A1 μ J 2 1 2 A2 2 2 = 0 2 μ0 J 3 c t A3 ρ ε 0
波 动 方 程
r r μ0 J 2 1 2 A 2 2 = c t ρ ε 0
辅 助 r 条 A + 1 = 0 件 c 2 t
① 在洛伦兹规范下,电荷产生标势波动 电流 电荷产生标势波动;电流 产生矢势波动; 产生矢势波动 ② 离开电荷和电流分布的区域以后,矢势和标 势都以波动形式在空间传播; ③ 由它们导出的电场和磁场也以波动的形式在 空间传播; ④ 电场和磁场的性质与这里所选的规范无关.
r r A ②可以引入标势 标势描述矢量场: + = E t r r A E = t
r r A ①E + 是无旋场; t
r r A =0 ×E + t
4)电磁场的势描述:
第1节矢势和标势
1 库仑规范：
取： 势方程：
A 0
2
1 A 1 2 A 2 2 2 0 j C t C t 条件 A 0
2
0
讨论： 1） 的方程与静电势方程相同，有无界解
( R' , t ) ( R, t ) dV ' V ' 4 r 0
Sபைடு நூலகம்S L
对每一时刻，A 沿闭合回路的线积分，与
以此回路为边界的曲面上的磁通量相等。
A 的旋度，没有确定 A 4）由定义只确定了 的散度，因此 A 以至于 都具有不确定性。
2
B 0 j 0 0 E t 2 0 j 0 0 ( 2 A) A ( A) 2 A t t 2 1 1 2 整理得： A C 2 t 2 A ( A C 2 t ) 0 j E 0 ( t A) 0
t 0E 1）真空情况：D B 0 H
2）迅变场是定态波。
因为 B 是无源场： B 0
B A
代入方程2式：
E( R, t ) B( R, t ) ( A) A t t t 改写为： ( E A t ) 0
i ( k R t ) A A0e
i ik A 2 C
代入洛仑兹规范
C2 0 k A0
是平面电磁波情况下的场方程
B A ik A 2 E A ik (C k A) iA t 2 i C k (k A) A(k k ) 2 i i C k (k A) ( A) 0 0 i ( B) 0 0 At A
取： 势方程：
A 0
2
1 A 1 2 A 2 2 2 0 j C t C t 条件 A 0
2
0
讨论： 1） 的方程与静电势方程相同，有无界解
( R' , t ) ( R, t ) dV ' V ' 4 r 0
Sபைடு நூலகம்S L
对每一时刻，A 沿闭合回路的线积分，与
以此回路为边界的曲面上的磁通量相等。
A 的旋度，没有确定 A 4）由定义只确定了 的散度，因此 A 以至于 都具有不确定性。
2
B 0 j 0 0 E t 2 0 j 0 0 ( 2 A) A ( A) 2 A t t 2 1 1 2 整理得： A C 2 t 2 A ( A C 2 t ) 0 j E 0 ( t A) 0
t 0E 1）真空情况：D B 0 H
2）迅变场是定态波。
因为 B 是无源场： B 0
B A
代入方程2式：
E( R, t ) B( R, t ) ( A) A t t t 改写为： ( E A t ) 0
i ( k R t ) A A0e
i ik A 2 C
代入洛仑兹规范
C2 0 k A0
是平面电磁波情况下的场方程
B A ik A 2 E A ik (C k A) iA t 2 i C k (k A) A(k k ) 2 i i C k (k A) ( A) 0 0 i ( B) 0 0 At A
_推迟势_17p
5-1 矢势 标势
c
7
辐射场某点的势决定于较早时刻的电 荷电流分布， 荷电流分布，称为推迟势 称为推迟势 一个电荷电流系统 t 时刻， 时刻，在空间x 点的势（ 点的势（电磁场） 电磁场）不是决定于某个 时刻的电荷分布 电磁作用传播速度为c，其他一切相互作用都是以有限速 度传播的， 度传播的，不存在瞬时超距作用 推迟势的重要性在于说明了电磁作用是以有限速度 υ = c 向外传播的， 向外传播的，它不是瞬时超距作用。 它不是瞬时超距作用。 1 即: 电荷、 电荷、电流辐射电磁波, 而电磁波以速度 c = µ0ε 0 脱离电荷、 脱离电荷、电流向外传播。 电流向外传播。 这就是推迟势所描写的物理过程。 这就是推迟势所描写的物理过程。
而是需要一个传输时间△ 而是需要一个传输时间△t
源点坐标 r 达朗贝尔方程的解： 达朗贝尔方程的解 ∆t = t − t ′ = t > t′ r r ：r c j ( x ′, t − ) r r µ0 c dτ ′ t 时刻的势晚于场源辐射的时刻 t’, A( x , t ) = ∫ r r r 4π V 因此将此时的势称为推迟势 推迟势 因此将此时的势称为 源点坐标 场点坐标 x ′， x r r r ′ ρ x t − ( , ) 表示t 时刻在 x 点的标势和矢势 r 1 c dτ ′ ϕ x t = ( , ) r r ∫ ′ x πε r 4 ′ t = t − 表示 时刻在 处的值 0 V
5
4πε 0 r
r r r Q ( x ′, t − ) 如果点电荷不在原点处， ，而在 x ′点， r 如果点电荷不在原点处 r r c ϕ ( x, t) = 令r 为 x ′点到场点 x 的距离， 的距离，有
可以证明上述解的形式满足达朗贝尔方程 达朗贝尔方程(略) 可以证明上述解的形式满足 5-1 矢势 标势
c
7
辐射场某点的势决定于较早时刻的电 荷电流分布， 荷电流分布，称为推迟势 称为推迟势 一个电荷电流系统 t 时刻， 时刻，在空间x 点的势（ 点的势（电磁场） 电磁场）不是决定于某个 时刻的电荷分布 电磁作用传播速度为c，其他一切相互作用都是以有限速 度传播的， 度传播的，不存在瞬时超距作用 推迟势的重要性在于说明了电磁作用是以有限速度 υ = c 向外传播的， 向外传播的，它不是瞬时超距作用。 它不是瞬时超距作用。 1 即: 电荷、 电荷、电流辐射电磁波, 而电磁波以速度 c = µ0ε 0 脱离电荷、 脱离电荷、电流向外传播。 电流向外传播。 这就是推迟势所描写的物理过程。 这就是推迟势所描写的物理过程。
而是需要一个传输时间△ 而是需要一个传输时间△t
源点坐标 r 达朗贝尔方程的解： 达朗贝尔方程的解 ∆t = t − t ′ = t > t′ r r ：r c j ( x ′, t − ) r r µ0 c dτ ′ t 时刻的势晚于场源辐射的时刻 t’, A( x , t ) = ∫ r r r 4π V 因此将此时的势称为推迟势 推迟势 因此将此时的势称为 源点坐标 场点坐标 x ′， x r r r ′ ρ x t − ( , ) 表示t 时刻在 x 点的标势和矢势 r 1 c dτ ′ ϕ x t = ( , ) r r ∫ ′ x πε r 4 ′ t = t − 表示 时刻在 处的值 0 V
5
4πε 0 r
r r r Q ( x ′, t − ) 如果点电荷不在原点处， ，而在 x ′点， r 如果点电荷不在原点处 r r c ϕ ( x, t) = 令r 为 x ′点到场点 x 的距离， 的距离，有
可以证明上述解的形式满足达朗贝尔方程 达朗贝尔方程(略) 可以证明上述解的形式满足 5-1 矢势 标势
磁场的矢势与标势
磁场的矢势与标势在物理学中，我们经常听到“磁场”的概念，它是描述磁力作用的一种物理量。
然而，磁场并不是直接可观测的，我们只能通过测量它对其他物体的作用来间接了解磁场的存在。
那么，如何描述磁场的特性呢？这就引出了磁场的矢势与标势的概念。
矢势是用来描述磁场的一种物理量，它与电磁场的矢势有些类似。
我们知道，对于电场，有一个标量量叫做电势，可以通过取负的电场的梯度得到。
类似地，对于磁场，也可以引入一个矢量量叫做磁势，它是磁场的旋度。
磁场的矢势被定义为磁场的旋度。
旋度是一个向量，描述了矢量场在空间中旋转的程度。
在数学上，我们可以通过取磁场的旋度来获得矢势。
矢势的具体计算公式依赖于磁场的具体分布情况，通常需要通过数值计算或者近似解来求得。
与矢势相对应的是磁场的标势，它是一个标量量，描述了磁场的势能分布情况。
标势是磁场的散度，可以通过取磁场的散度来获得。
磁场的标势在很多情况下比矢势更容易计算，因为散度运算相对来说比旋度运算简单。
可以将矢势和标势结合起来，得到一个统一的矢量场，描述了磁场的所有特性。
磁场的矢势与标势在物理学中有重要的应用。
首先，它们可以帮助我们更好地理解磁场的本质。
通过矢势和标势，我们可以对磁场的分布、强度和方向等方面有更深入的了解。
其次，矢势和标势也可以用来解决一些实际问题。
例如，在电磁感应现象中，我们可以利用矢势和标势的计算来描述电磁场的变化，从而分析感应电流的大小和方向。
除了磁场的矢势与标势，我们还可以通过它们来推导出其他一些重要的物理量，例如磁感应强度和磁通量。
磁感应强度是描述磁场强度的量，可以根据矢势和标势的关系推导出来。
磁通量是磁场通过一个封闭曲面的总量，可以通过对矢势和标势积分得到。
磁场的矢势与标势是描述磁场的一种数学工具，通过它们可以更好地理解磁场的特性和作用。
与电磁场的电势一样，矢势和标势可以提供比磁场更直观，更容易计算和解析的量。
矢势和标势的引入丰富了我们对磁场的认识，为解决一些实际问题提供了重要的工具和方法。
电磁场的矢势和标势
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
矢势和标势（续）
∇
×
E
=
−
∂B ∂t
⇒
∇
×
(E
+
∂A ∂t
)
=
0
★由(E
+
∂A ∂t
)的无旋性引入标势ϕ：
∇ × (E + ∂A ) = 0 ⇒ E + ∂A = −∇ϕ
∂t
∂t
一般而言：
【讨论】
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
★ 电场E不再是保守力场，势能、电压的概念失去原来意义；
矢势和标势（续）
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
ϕ → ϕ = ϕ − ∂ψ ∂t
存
(1) (2)
§ 1.2 规范变换和规范不变性
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两 种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两 种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0 ◆库仑规范纵横分明：库仑场和感应场
A
∇·B =0
⇒
B =∇×A
E ? = −∇ϕ
第一节 电磁场的矢势和标势
§ 1.1 矢势和标势
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A d ' t
A d
C
9
2011/12/1
④ 规范不变性是决定相互作用的基本原理； ⑤ 传递这种相互作用的场称为规范场； ⑥ 传递电磁相互作用的场是人们熟知的一种 一种规 范场； ⑦ 弱相互作用和强相互作用也具有相应的规范 不变性。
1、电磁场的势描述
4
2011/12/1
1）真空中：
D 0E B 0 H
D B E t D H J t B 0
E
B E t B 0 J 0 0 E t B 0
0
2）磁场：
B x, t 0
①无源、有旋场； ②由于其无源性 ，总可以引入另一个矢量来描述
B A
③ 矢势A的物理意义： 在任意时刻，矢势沿任意一闭合回路的线积分 等于该时刻通过该回路的磁通量。
5
2011/12/1
3）电场： 激发电场的源 电荷 变化的磁场
2011/12/1
第五章：电磁波的辐射
电磁波辐射理论
• 1865年，麦克斯韦从理论上预言了电磁波存在； • 1888年，赫兹在实验室 在实验室得到了电磁波（相隔23 年 ！）； • 1895年，马可尼发射了第一个远距离传播 远距离传播的无线信 号（马可尼作为无线电报发明人而获得1909年的诺 贝尔物理奖）； • 20世纪40年代的二次世界大战发展了雷达技术，无 无 线电技术（包括辐射理论）取得了重大的发展。 线电技术（包括辐射理论）
c2 0 k A0
, e A A0 e 0 B A ik A
E , B
A ' , '
A , ——规范变换 t
在规范变换下，所对应的E和B是相同的(规范 规范 变换不变性)。 变换不变性
8
2011/12/1
3、物理量的规范不变性 ① 在规范变换下，所对应的E和B是相同 的——称之为物理量的规范变换不变性 （简称规范不变性） 简称规范不变性）； ② 在经典电动力学中，所有的物理量和物 变 ； 理规律都具有规范不变性； ③ 在量子力学中，所有可测量的（电磁） 物理量仍然具有规范不变性。
2
0 t
A 0
平面波解： A A0 e i k x t
库仑规范要求： k A 0
——矢势只有横向分量振动
A A0 e i k x t B ik A
kA0
A E t
2
B A
1 1 2 A A 2 2 A 2 0 J c t c t
2
2）采用库仑规范： 库仑规范：
2
A 0 t
A 0
2
0
标势所满足的方程与静电场的情 形相同（其解为库仑势的形式）
1 2 A A 2 2 0 J c t
2
1 2 2 2 0 c t
2
自由 空间
2
1 0 c 2 t 2
2
1 A 2 0 c t
i k x i k x t t 平面波解： A A0 e , 0e
2 1 A 1 2 A 2 2 2 0 J c t c t
13
2011/12/1
1 2 A 1 A 2 2 A 2 0 J c t c t 2 A 3）采用洛伦兹规范 洛伦兹规范： 0 t
11
2011/12/1
3）库仑规范条件： ① 库仑规范：
A 0
A E t
B A
② 对于自由空间（j=0,=0），采用库仑规 范条件，会使得势的微分方程变得简单。 ③ 非相对论量子力学（电磁场量子化），以 及量子电动力学中，也采用库仑规范 ④ 采用不同的规范，只是改变运算过程，不 会改变运算结果（场不变）。
B A
E i A
1 B k E
——（全空间）电场和磁场为 横振动
B
E
k
或者
1 B ek E c
——与第四章第一节的结果吻合
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2）采用洛伦兹规范
2 1 A 全空 2 A 2 2 0, c t 间为
5、达郎贝尔方程 ——关于势的基本方程 势的基本方程
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1）势的基本方程
A t 0
A A 0 J 0 0 t t
在量子力学中，E和B不能描述电磁场的所有 物理效应； AB效应不能用磁场B的局域作用描述；需要采 用矢势沿闭合回路的积分 A d 加以描述；
问题： A d 是否具有规范不变性？
C
C
A ' d A d
C
C
本章内容：
§1 描述一般情况 描述一般情况电磁场的矢势和标势 般情 电磁场的矢势和标势 矢势和标势的概念 §2 矢势和标势的解——推迟势 推迟势（有限传播速度） §3 推迟势的应用——小区域电荷电流分布的辐射
§1 矢势和标势的一般概念
3
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本节主要内容
1 电磁场的势描述 1. 2. 势的非唯一性、势的规范变换 3. 物理量的规范不变性 4. 两种常用的规范辅助条件 5. 达郎贝尔方程——势的基本方程
0 B E t B 0 B 0 J 0 0 E t A E t
E
2 A 0 t
1 2 A 1 A 2 2 A 2 0 J c t c t
B E t B A
A x, t ②可以引入标势 标势描述矢量场： E t A E x, t t
A ①E 是无旋场； t
A E t 0
1
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麦克斯韦方程组
① 描述电磁场的普遍规律 普遍规律； ② 一个具体问题，需要初始条件和边界条件共同 构成电磁场（即所谓初值边值问题 初值边值问题） ）； ③ 对于静电场和稳恒场，不存在初始条件（称为 边值问题）； 边值问题 ④ 边值问题存在唯一性定理；初边值问题 初边值问题也存在 唯一性定理。
1 A 2 0 c t
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1）采用库仑规范： 全空间为自由空间
2 0 ＋ 与 t无关 1 2 A 2 A 2 2 0 c t
1 2 A A 2 2 0 J c t t 2 0
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1）势的规范 规范
A A' A
'
t
① 在这样的变换之下，电磁场(E和B)保持 不变 不变； ② 每组（ A、 ）的选择称为一种规范 规范。
2）势的规范变换
A ,
B A A E t
2
1 A 2 0 c t
1 2 A A 2 2 0 J c t
2
2
1 2 2 2 c t 0
矢势和标势所满足的微分方程具有相同的形式。
2 1 2 A J 0 c 2 t 2
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① 在洛伦兹规范下，电荷产生标势波动；电流 电荷产生标势波动；电流 产生矢势波动； ② 离开电荷和电流分布的区域以后，矢势和标 势都以波动形式在空间传播； ③ 由它们导出的电场和磁场也以波动的形式在 空间传播。
6、自由空间中的平面电磁波
波动方程
辅助条件
0 J 2 1 2 A c 2 t 2 0
4、两种常用的规范辅助条件
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B A
1）规范辅助条件，或规范条件 ① 为了确定 A，减少任意性，我们可以对 对 A 的散度加上一些限制条件，称之为规范辅 的散度 的散度加上一些限制条件 制条件 称之为规范辅 规范辅 助条件，或者简称为规范条件 助条件 规范条件; ; ② 电场和磁场的性质与这里所选的规范条件 无关。 。
4）电磁场的势描述：
B A
A E t
① 对于变化的电磁场，电场不再是保守力势场； ② 相应地， 不具有势能的意义 不具有势能的意义； ③ 对于变化的电磁场，矢势和标势作为一个整体， 共同确定电磁场。
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2、势的规范变换 势的规范变换
辐射电磁波 ① 无线电波 无线电波是由发射天线上的 发射天线上的高频交变电流辐射 高频交变电流辐射 出来的； 出来 ② 天线上的交变电流和其所辐射的电磁场是相互 作用的——复杂边值问题 ③ 本章的讨论仅限于：给定电流分布 本章的讨论仅限于 给定电流分布 给定电流分布，如何计算 辐射电磁波。
2
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2 1 2 2 2 c t 0
——达郎贝尔方程 达郎贝尔方程（非齐次的波动方程 非齐次的波动方程）
0 J 1 A1 J 2 1 2 A2 0 2 c 2 t 2 A J 0 3 3 0