电动力学第9讲24讯变电磁场的矢势和标势
《电动力学》简答题参考答案
《电动力学》简答题参考答案1. 分别写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式,并简单说明它的物理意义。
解答:电流的连续性方程的微分形式为0J t ρ∂∇⋅+=∂K 。
其积分形式为d d d d S J S V t ρΩ⋅=−∫∫∫∫K K v 。
电流的连续性方程实际上就是电荷守恒定律的公式表示形式,它表示:当某区域内电荷减少时,是因为有电荷从该区域表面流出的缘故;相反,当某区域内电荷增加时,是因为有电荷通过该区域的表面流入的缘故。
2. 写出麦克斯韦方程组,并对每一个方程用一句话概括其物理意义。
解答:(1)f D ρ∇⋅=K 电荷是电场的源;(2)B E t∂∇×=−∂K K 变化的磁场产生电场; (3)0B ∇⋅=K 磁场是无源场;(4)f D H J t∂∇×=+∂K K K 传导电流以及变化的电场产生磁场。
3. 麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称?为什么?解答:麦克斯韦方程组中的电场与磁场并不对称,因为电场是有源场,电荷是电场的源,而磁场是无源场,不存在磁荷。
4. 一个空间矢量场A K ,给出哪些条件能把它唯一确定?解答:由矢量场的唯一性定理:(1)位于空间有限区域内的矢量场,当它的散度,旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后,该矢量场就被唯一确定;(2)对于无限大空间,如果矢量在无限远处减少至零,则该矢量由其散度和旋度唯一确定。
5. 写出极化电流与极化强度、磁化电流密度与磁化强度之间的关系式。
解答:极化电流与极化强度之间的关系式为P P J t ∂=∂K K ; 磁化电流密度与磁化强度之间的关系式为M J M =∇×K K 。
6. 简述公式d d d d d V V w V f V S tσ−=⋅+⋅∫∫∫v K K K K v 的物理意义。
解答:d d d Vw V t −∫表示单位时间区域V 内电磁场能量的减少,d V f V ⋅∫v K K 表示单位时间电磁场对该区域的电荷系统所作的功,d S σ⋅∫K K v 表示单位时间流出该区域的能量。
电动力学期末各章复习题选择填空
电动力学期末各章复习题(选择+填空)第一章选择题1. 方程/E B t ∇⨯=-∂∂的建立主要依据哪一个实验定律 ( )A 电荷守恒定律B 安培定律C 电磁感应定律D 库仑定律 2.已知电极化强度，则极化电荷密度为 （ ） A.B.C.D.3.若在某区域已知电位移矢量 ，则该区域的电荷体密度为 （ ）4.下面说法正确的是（ ）A. 空间任一点的场强是由该点的电荷密度决定的;B. 空间任一点的场强的散度是由所有在场的电荷ｑ决定的;C. 空间任一点的场强的散度只与该点的x yD xe ye =+.2D ρ=-.2A ρε=-.2B ρ=.2C ρε=电荷密度有关; D. 空间某点，则该点，可见该点也必为零.5. H Bμ= 是 （ ）A ．普适的 B. 仅适用于铁磁性物质C ．仅适用于线性非铁磁性物质 D. 不适用于非铁磁性物质6、对任意介质，下列方程一定正确的有 （ ） A.极化强度矢量EP)(0εε-= B.极化强度矢量0e P E χε=C.磁化强度矢量Mu B H -=0D.磁化强度矢量01()M H μμμ=-7、对于表达式 (I)dvE D W e•=⎰⎰⎰21和（II ）⎰⎰⎰=dv W eϕρ21,下列说法中正确的有 （ ） A ．表达式I 和II 在任何电场情况下总是等价的B ．I 中的被积函数是电场能量密度，而II 中的被积函数则无此物理意义C ．ϕρ21的单位不是能量密度的单位 D ． I 中的被积函数不代表电场的能量密度，而II 中的被积函数则有此物理意义8、对任意介质，下列方程一定正确的有 （ ）A.极化强度矢量0P D E ε=- B.极化强度矢量0e P E χε=C.磁化强度矢量mM Hχ= D.磁化强度矢量01()M H μμμ=-9、一般情况下电磁场切向分量的边值关系为：< > A: ()210n DD ⋅-=；()210n B B ⋅-=； B: ()21n DD σ⋅-=；()210n B B ⋅-= ；C: ()210n EE ⨯-=；()210n H H ⨯-=； D: ()210n EE ⨯-=；()21n H H α⨯-=。
5.1 电磁场的矢势和标势(2)
A
0
若采用库仑规范
Α
2
Α 0
μ0 J
1 Α
2
c
2
t
2
1 c t
2
2
0
特点：
标势所满足的方程与静电场情形相同，解为库仑势。
解出后代入可解出A，因而可以确定辐射电磁场。
§5.1.3 达朗贝尔(d’Alembert)方程
A A A B
t t A A t
E
A , 和 A , 描述同一电磁场
A和描述电磁场不是唯一的，给定的E和B并不对应于唯一的A和
l 库仑规范 规范条件： A 0
E A t
E A
结论： 在库仑规范下，电磁场的纵场部分完全由描述， 横场部分完全由 A 描述。
t 2 E
在库仑规范下，所满足的方程
/
51变化电磁场的矢势和标势直接解电磁场方程往往比较困难直接解电磁场方程往往比较困难时变电磁场的处理方法给变化电磁场引入势给变化电磁场引入势导出势满足的微分方程导出势满足的微分方程求出势方程的解求出势方程的解利用场与势的关系定量地确定场量利用场与势的关系定量地确定场量51变化电磁场的矢势和标势512规范变换和规范不变性引入势描述时变电磁场问题
辅助条件
研究用于确定势的两种
§5.1.2 规范变换和规范不变性
为什么引入辅助条件？ 使电磁场的解简单，基本方程对称或物理意义明显。 l 库仑规范
规范条件： A 0
A 为无散场
第09讲讯变电磁场的失势和标势
第9讲 讯变电磁场的失势和标势第二章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射(4)§2.4讯变电磁场的失势和标势§2.4.1 讯变电磁场的失势和标势1. 用势描述电磁场 为简单起见，我们只讨论真空中的电磁场，麦克斯韦方程组为0t t μμερε∂∇⨯=-∂∂∇⨯=+∂∇=∇=B E E B J E B 000 (2.4---1)在恒定场中， 由B 的无源性引入矢势A ，使.=∇⨯B A （2.4---2） 在一般情况下，B 仍然保持无源性，所以B 与矢势A 的关系（2.4---2）式普遍成立的。
矢势A 的物理意义是：在任一时刻，A 沿任意闭合回路的线积分等于该时可通过回路的磁通量。
在一般的变化情况中，电场E 的特性与静电场不同。
电场E 一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。
因此在一般情况，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。
在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A 在内。
把（2.4---2）式代入（2.4---1）第一式得()0t∂∇⨯+=∂A E 该式表示矢量E + ∂A /∂t 是无旋场，因此它可以用标势φ描述，.tϕ∂+=-∇∂A E 因此，一般情况下电场的表示式为.tϕ∂=-∇-∂A E （2.4---3） （2.4---2）和（2.4---3）式把电磁场用矢势和标势表示出来。
注意现在电场E 不再是保守力场，一般不存在势能的概念，标势φ失去作为电场中势能的意义。
因此，在高频系统中，电压的概念也失去确切的意义。
在变化场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场。
2. 规范变换和规范不变性 用矢势A 和标势φ描述电磁场不是唯一的，即给定的E 和B 并不对应唯一的A 和φ 。
这是因为对矢势A 可以加上一个任意函数的梯度，结果不影响B ，而这加在A 上的梯度部分在（2.4---3）式中有可以从▽φ中除去，结果亦不影响E 。
电磁场的矢势和标势
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
矢势和标势（续）
∇
×
E
=
−
∂B ∂t
⇒
∇
×
(E
+
∂A ∂t
)
=
0
★由(E
+
∂A ∂t
)的无旋性引入标势ϕ：
∇ × (E + ∂A ) = 0 ⇒ E + ∂A = −∇ϕ
∂t
∂t
一般而言：
【讨论】
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
★ 电场E不再是保守力场，势能、电压的概念失去原来意义；
矢势和标势（续）
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
ϕ → ϕ = ϕ − ∂ψ ∂t
存
(1) (2)
§ 1.2 规范变换和规范不变性
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两 种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两 种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0 ◆库仑规范纵横分明：库仑场和感应场
A
∇·B =0
⇒
B =∇×A
E ? = −∇ϕ
第一节 电磁场的矢势和标势
§ 1.1 矢势和标势
电动力学判断题
判断题第一章 电磁现象的普遍规律1. 无论是稳恒磁场还是变化的磁场，磁感应强度总是无源的。
(√)2. 无论是静电场还是感应电场，都是无旋的。
(×)3. 在任何情况下电场总是有源无旋场。
(×)4. 在无电荷分布的区域内电场强度的散度总为零。
(√)5. 任何包围电荷的曲面都有电通量，但是散度只存在于有电荷分布的区域内。
(√)6. 电荷只直接激发其临近的场，而远处的场则是通过场本身的内部作用传递出去的。
(√)7. 稳恒传导电流的电流线总是闭合的。
(√)8. 在任何情况下传导电流总是闭合的。
(×)9. 非稳恒电流的电流线起自于正电荷减少的地方。
(√)10. 极化强度矢量p 的矢量线起自于正的极化电荷，终止于负的极化电荷。
(×)11. 均匀介质内部各点极化电荷为零，则该区域中无自由电荷分布。
(√)12. 在两介质的界面处，电场强度的切向分量总是连续的。
(√)13. 在两均匀介质分界面上电场强度的法向分量总是连续的。
(×)14. 在两介质的界面处，磁感应强度的法向分量总是连续的。
(√)15. 无论任何情况下，在两导电介质的界面处，电流线的法向分量总是连续的。
(×)16. 两不同介质表面的面极化电荷密度同时使电场强度和电位移矢量沿界面的法向分量不连续。
(×)17. 电介质中，电位移矢量D 的散度仅由自由电荷密度决定，而电场的散度则由自由电荷密度和束缚电荷密度共同决定。
(√)18. 两不同介质界面的面电流密度不改变磁场强度和磁感应强度的连续性。
(×)19. 关系式P E D +=0ε适用于各种介质。
(√)20. 静电场的能量密度为ρϕ21。
(×) 21. 稳恒电流场中，电流线是闭合的。
（ √ ）22. 电介质中E D ε=的关系是普遍成立的。
（ × ）23. 跨过介质分界面两侧，电场强度E 的切向分量一定连续。
5-1 电磁场的矢势与标势
5
2. 电磁场的标势： 电磁场的标势： 由于 ∇×E ≠ 0 ，所以，不可能用一个单独的 所以， 所以 标势来描述E。 标势来描述 。 虽然 ∇×E ≠ 0 ，但由 ∇×Ε = − ∂Β 可得： 但由 可得：
∂A ∇× Ε = −∇× ∂t ∂A ∂A 所以 ∇× Ε +∇× = ∇×(Ε + ) = 0 ∂t ∂t ∂A 是无旋场， 该式表示 Ε + 是无旋场，可以引入标势ϕ ∂t
8
二、 规范变换和规范不变性 1. 规范变换： 规范变换： 用矢势A和标势 描述电磁场不是唯一的， 用矢势 和标势ϕ描述电磁场不是唯一的，即给 定的E和 并不对应于唯一的 并不对应于唯一的A和 定的 和B并不对应于唯一的 和ϕ。 设矢势A和标势 是描述电磁场的一组势， 设矢势 和标势ϕ是描述电磁场的一组势，ψ为 任意时空函数， 任意时空函数，做变换
17
2. 达朗贝尔 达朗贝尔(d’Alembert)方程 方程 当采用洛伦兹规范时， 当采用洛伦兹规范时，所对应的势的方程称为达 朗贝尔方程。 朗贝尔方程。 1 ∂2 A ∇2 A− 2 2 = −µ0J c ∂t
的源， 和 均为有源情况下的波动。 的源，A和 ϕ均为有源情况下的波动。
这说明，在洛伦兹规范下， 是 的源 的源， 这说明，在洛伦兹规范下，J是A的源，ρ 是
ω
ω
=−
c2
ω
k×B = cB×n
此处n为传播方向单位矢量。 此处 为传播方向单位矢量。 为传播方向单位矢量
7
(2) 变化的电磁场中，磁场和电场是相互作用着的 变化的电磁场中， 整体， 整体，必须把矢势和标势作为一个整体来描述 电磁场。 因此我们说， 描述电磁场的势有4个 电磁场 。 因此我们说 ， 描述电磁场的势有 个 分量。 分量。 思考： 思考： 与时间无关， 当A与时间无关，即∂A/∂t=0时，电磁场的特点？ 与时间无关 时 电磁场的特点？ 与时间无关， ϕ 当A与时间无关，即∂A/∂t=0时， E = −∇ 与时间无关 时 就直接归结为电势。 这时ϕ 就直接归结为电势。
最新大学物理第09章变化的电磁场课件讲义说课材料
电磁感应定律的发现，进一步揭示了电与 磁之间的相互联系及转化规律.
麦克斯韦提出了“感生电场”和“位移电 流”两个假说，从而建立了完整的电磁场理 论体系——麦克斯韦方程组
本章主要研究电场和磁场相互激发的规律
-------------------------------------------------------------------------------
d m 2 dt
d mN dt
i
d dt
j
mj
dΨm dt
i
dm dt
-------------------------------------------------------------------------------
i
d m dt
电动势方向的确定： ①根据磁场方向选择闭合回路的绕行方向，使它们 符合右手螺旋关系，则磁通是正值； ②若穿过闭合回路中的磁通量增大，即磁通量的变 化率大于零，则电动势小于零，则电动势的方向与 回路绕行方向相反。
生
电动势
形成
当通过回路的磁通量发生变化时，回路中就会产 生感应电动势。如果线圈闭合，则有感应电流。
-------------------------------------------------------------------------------
当回路1中的电 流发生变化时 在回路2中会出 现感应电流。
设回路有N 匝线圈，每匝线圈的面积均为S
m Nm NSB
当线圈中磁场由0→B时，不考虑Q的正负，则
Q 1 NSB B QR
R
NS
-------------------------------------------------------------------------------
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A(x)
0 4
J (x ')dV r
'
• 式中x '是源点，x是场点，r为由x ' 到x的距离。
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9
矢势的多级展开
• 如果电流分布于小区域V内，而场点x又距离 该区域比较远，我们可以把A(x)作多级展开。 取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式得
A(x)
0 4
E A .
t
• 因此，一般情况下电场的表示式为
E A .
t
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17
用势描述电磁场
B A
E
A t
• 把电磁场用矢势和标势表示出来。
• 注意现在电场E不再是保守力场，一般不存在势能的概 念，标势φ失去作为静电场中势能的意义。
• 因此，在高频系统中，电压的概念也失去确切的意义。
• 在变化场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须把矢
势和标势作为一个整体来描述电磁场。
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18
规范变换和规范不变性
• 用矢势A和标势φ描述电磁场不是唯一的，即给定 的E和B并不对应唯一的A和φ 。
• 这是因为对矢势A可以加上一个任意函数的梯度 ▽ψ ，结果不影响B，而这加在A上的梯度部分在 E式中有可以从-∂ψ/∂t中除去，结果亦不影响E。
B 0J
B0
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7
静磁场的矢势
• 根据矢量分析的定理（附录Ⅰ.17式）, 若
B 0
• 则 B 可表为另一矢量的旋度
B A
• A 称为磁场的矢势。
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8
矢势微分方程
• 对比静电势的解可得矢势方程的特解
（2AA0）0J
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14
用势描述电磁场
• 在一般的变化情况中，电场E的特性与 静电场不同。电场E一方面受到电荷的 激发，另一方面也受到变化磁场的激发， 后者所激发的电场是有旋的。因此在一 般情况，电场是有源和有旋的场，它不 可能单独用一个标势来描述。
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15
用势描述电磁场
A B,
A A
t
E ' A
t
A
t t t
A E.
t
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21
规范变换和规范不变性
• 即(A’ , φ’)与(A , φ )描述同一电磁场。
• 变换
A
A
• 称为势的规范变换。
A A
t
• 每一组(A , φ )称为一种规范。
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22
规范变换和规范不变性
• 在经典电动力学中，由于表示电磁场属性的可测 量的物理量为E和B，而不同规范有对应着同一的 E和B ，因此，如果用势来描述电磁场，客观规 律应该和势的特殊的规范选择无关。
s
E
dS
Q
0
Q dV
B dS 0
s
I J dS
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2
标势 的Poisson方程
E 0
E /0 E
2 0
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3
静电场的标势
• 若电荷连续分布，电
荷密度为ρ ，设r为
'
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11
本讲主要内容
• 用势描述电磁场
• 规范变换和规范不变性
• d’Alembert 达郎贝尔方程
• 推迟势
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12
用势描述电磁场
• 为简单起见，我们只讨论真空中的电磁场，
麦克斯韦方程组为
E B t
B
0
J
0 0
(2) ( x) 1 1 D : 1
40 6
R
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5
Q V dV ' p V x'dV ' D (3x'x' 1r '2)dV '
V
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6
静磁场的矢势
• 在稳恒电流（静磁场）情况下，电场与磁场 无关，麦氏方程组的磁场部分为
J
(x')
1 R
x'
1 R
1 x'x' : 2!
1 R
... dV
'
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10
矢势的多级展开
A(0) (x) 0 J (x')dV '＝０
4 R
A(1) (x)
0 4
mR R3
0 4
m
1 R
m
1 2
x'
J(x')dV
• 在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的
表示式必然包含矢势A在内。
•把
B A.
• 代入 E B , t
• 得 (E A ) 0 t
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16
用势描述电磁场
• 该式表示矢量 E+∂A/∂t 是无旋场，因
此它可以用标势φ描述，
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19
规范变换和规范不变性
• 设ψ为任意时空函数，作变换
A
A
A A
t
则，(A’,φ’)与(A,φ)对应于同一个(E,B)。
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20
规范变换和规范不变性
• 有 B ' A A
由源点x' 到场点x的
距离，则场点x处的
电势为
(x)
1
4 0
( x)dV
r
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4
(x) (0) ( x) (1) ( x) (2) ( x) ...
(0)(x) 1 Q 1 40 R
(1) ( x) 1 p 1 40 R
Maxwell方程组
E B t
B
0
J
0 0
E t来自 E0
B0
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1
Maxwell方程组
B
l
E
dl
s
t
dS
l
B
d l 0I 00
s
E t
dS
E t
E
0
B0
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13
用势描述电磁场
• 在恒定场中， 由B的无源性引入矢势A，使
B A.
• 在一般情况下，B仍然保持无源性，所以B与矢势A的 关系式普遍成立的。
• 矢势A的物理意义是：在任一时刻，A沿任意闭合回 路的线积分等于该时刻通过回路的磁通量。