电动力学第三章-余飞(完整版)
电动力学第三章习题解答
⎞⎠⎟⎟⎟
=
−μ1
I πa
2
(1)
在导体圆柱外
1 r
∂ ∂r
⎛⎜⎜⎜⎝r
∂A2 ∂r
⎞⎠⎟⎟⎟
=
0
O
A
θr
y
x
P
(2)
解这两个微分方程得
A1
=
−
μ1Ir 2 4πa2
+ b ln
r
+c
- 58 -
华中师大 陈义成
A2 = f ln r + g
边界条件
在 r = 0 处, A1 有限，得到 b = 0 ；在 r = a 处，由式（3-1-13）和（3-1-16），有
B1 = μ0nIe z ， B2 = 0
可以验证上述尝试解满足方程和边值关系，根据唯一性定理，这就是问题的解。
3.4 稳定电流 I 在半径为 a 的无限长圆柱导体中沿轴向流动，设导体的磁导率为
μ1 ，其外充满磁导率为 μ2 的均匀介质。通过矢势 A 求圆柱导体内、外的磁感应强度及
磁化电流分布。
【解】（1）求磁感应强度
华中师大 陈义成
第三章 习题解答
3.1 设在 x < 0 空间充满磁导率为 μ 的均匀介质，x > 0 区域为真空。今有线电流 I
沿 z 轴流动，求磁感应强度 B 和磁化电流分布。
【解】一、选柱坐标系（如图）；
z
B2
二、定解问题：
∫ ∫∫ 1） H ⋅ dl = I ；2） B ⋅ dS = 0 ；
−
B1 μ
⎞ ⎟ ⎠
x=0
=
0
；
y eφ
μ
μ0
φ
x
(完整版)电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)
电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )(，uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。
（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。
4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=V V t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
电动力学第三章
µI 1 ∂Az =− ∂R 2π R
,
∂Az =0 ∂θ
µI ˆ ∴∇× A = eθ 2π R
习题解答
P132/7
半径为 a 的无限长圆柱导体上有恒定电流 J 均匀分 布于截面上，试解矢势 A 的微分方程，设导体的磁 导率为 µ ，导体外的磁导率为 µ 。
0
解:
ˆ ez
∇ A = −µ J
2 0
2 1 2 1 2 1 f
n i( B − B ) = 0
2 1
非铁磁性物质
磁场的边值关系
矢势的边值关系
n
m2
A
2
Dh 0
A
m1
1
∆l
t
A2 t = A1t
∫ ∫
L
Aidl = ( A − A ) ∆l
2t 1t
L
Aidl = ∫ B • dS → 0 若取∇ • A = 0, 可得A2 n = A1n
2
0 1
=0
2 2
1 ∴− µ Ja + d = c lna + d =0 4 1 ∴d = µ Ja ，c2 lna + d2 = 0 4 1 1 1 ∴A = − µ Jr + µ Ja = µ J ( a − r 4 4 4
2 1 0
2 2 2 1 0 0 0
2
)
1 A == µ J ( a − r 4 即 A = c lnr+d 2
µ I z + z 2 + R2 lim A ( P ) − A ( P0 ) = M →∞ ln 4π z + z 2 + R0 2
−M + µ I M + M 2 + R2 = M →∞ lim ln − ln 2 2 4π M + M + R0 −M +
电动力学课件3-2
原因：静电力作功与路径无关，∫L E ⋅ dl = 0 ，引入的电势是
单值的；
静磁场 ∫L H ⋅ dl = I 一般不为零，即静磁场作功与路径有关，
所以，一般情况下标势不是单值Байду номын сангаас。
一、 磁场可以用标势描述的条件 一个空间区域V中的磁场可以用标势描述的条件是在其中
作出的任何一条闭合曲线都不连环着电流。 在区域V中任取一条闭合曲线L，设S是以L为边界的任一
ρP = −∇ ⋅ P
σ P =−n ⋅ ( P2 − P1 )
E = −∇ϕ
∇ 2ϕ
=− ρ f
+
ε0
ρP
ϕ2 = ϕ1
静磁场
∇× H =0
∇ ⋅ B=0
=B µ0 (H + M )
∇⋅
H
=
ρm
µ0
ρm = −µ0∇ ⋅ M
σ m = −µ0n ⋅ ( M2 − M1 )
B1 B2
= =
µ1 H1 µ0 H 2
可得
µ0 H 2n
H2t
= =
µ H1n
H1t ,
式中n和t分别表示法向和切向分量。两式相除得
= H2t µ0 H1t → 0 H2n µ H1n
因此，在该磁性物质外面，H2与表面垂直，而 H = −∇ϕm
故表面为等磁势面。
假想（束缚）磁荷密度可表示为
ρm = −µ0∇ ⋅ M
(3.2.5)
将式(3.2.5)代入式(3.2.4)得
∇ ⋅ H = ρm µ0 引进磁标势 ϕ m 描述磁场
(3.2.6)
H = −∇ϕm
(3.27)
代入式(3.2.6)中，得磁介质内部磁标势满足的方程
第三章静磁场
ur f
1 r
f z
f z
ur er
fr z
f z r
uur e
1 r
r
rf
1 r
fr
ur ez
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
一些特殊对称情况下的结果：
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
电动力学-第三章 静磁场
本章内容
在给定自由电流分布及介质分布的情况下如何求解 稳恒磁场。由于稳恒磁场的基本方程是矢量方程，求 解很难，并不直接求解的稳恒磁场磁感应强度，一般 是通过磁场的矢势来求解。在一定条件下，可以引入 磁标势及磁标势满足的方程来求解。我们先引入静磁 场的矢势，导出矢势满足的微分方程，然后再讨论磁 标势及其微分方程，最后讨论磁多极展开。
r
4
r3
Idl
r
4 r 3
以上形式正是比奥萨法 尔定律的形式。
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
一些特殊对称情况下的结果：
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
电动力学-第三章 静磁场
目录
§3.1 矢势及其微分方程 一，稳恒电流磁场的矢势 二，矢势满足的方程及方程的解 三，稳恒电流磁场的能量 四，应用举例
电动力学-第三章 静磁场
一，稳恒电流磁场的矢势 （一）稳恒电流磁场的基本方程
基本方程
边值关系
电动力学-第三章 静磁场
一，稳恒电流磁场的矢势 （二）矢势
电动力学高教第三版5精品课件(2024)
康普顿散射与经典电磁理论的差异
经典电磁理论认为光是一种波动现象，而康普顿散射实验表明光具有粒子性。这种差异促进了量子力学 的发展，并推动了现代物理学的进步。
26
电动力学的发展历史及重 要人物
电动力学与经典物理学的 关系
电动力学在现代科技中的 应用
4
电磁场基本概念
2024/1/26
01
电磁场的基本性质
02 电磁场的描述方式：电场强度、磁感应强 度
03
电磁场的源：电荷与电流
04
电磁场的能量与动量
5
矢量分析与场论初步
标量与矢量场
矢量及其运算
01
梯度、散度与旋度的定义及
电场强度的叠加原
理
多个点电荷在空间中某点产生的 电场强度是各个点电荷单独存在 时在该点产生的电场强度的矢量 和。
2024/1/26
8
电势与电势差
电势
描述电场中某点的电势能高低，是标量，具 有相对性。通常选择无穷远处为电势零点。
2024/1/26
电势差
两点间电势的差值，等于将单位正电荷从一点移动 到另一点时电场力所做的功。
黑体辐射的应用
黑体辐射在热力学、光谱学等领域有广泛应用，如测量温度、分析物 质成分等。
2024/1/26
25
康普顿散射实验及意义
2024/1/26
康普顿散射实验
康普顿散射实验是指X射线或伽马射线与物质中的电子发生碰撞，导致射线方向改变并伴随能量损失的过程。该实验 证实了光子的粒子性。
康普顿散射的意义
电动力学三三(磁多极矩)
A(1)可写为
(1) A
0 I ' ' 0 m R ( x d l ) R 3 3 4R 2 4R
9
I ' ' 电流线圈的磁矩 m x dl 2
因
' ' Idl JdV
(R 0)
所以
(1) B
0 R (m ) 3 4 R
13
在电流分布以外的空间中，磁场应可以 用标势描述，因此再把上式化为磁标势 的梯度形式。m为常矢量。
(f g) f ( g) (f )g g f (g )f (1) 0 R B (m ) 3 m为常矢量 4 R
������
前面讨论的都是通过求解微分方程，来
得到磁场的分布;
如果电流分布在一个有限的小区域内，
而感兴趣的是远离源区的磁场分布情况，
则将磁场作多极展开而获得。
1
本节研究空间局部范围内的电流分 布所激发的磁场在远处的展开式。与电 多极矩对应，引入磁多极概念，并讨论 这种电流分布在外磁场中的能量问题。
14
磁矩的磁势
(1) m
mR 4R 3
电偶极子的电势
(1) e
p R 4π 0 R 3
也正是根据这一点，我们把一个载流线圈比作 一对正负磁荷组成的磁偶极子。
15
一个小电流线圈可看作由一对正负磁荷组 成的磁偶极子,磁偶极矩m=IS由决定。 电流分布区域以外的空间用磁标势m 来描述磁场
x R
P
1 ' ' 得磁矩 m x J ( x' )dV 2
刘觉平电动力学第3章答案
第三章电磁相互作用的基本规律目录：习题3.1 带电粒子在电磁场中的运动规律 (2)习题3.2 电磁场在外场作用下的运动规律 (2)习题3.3 电磁场的能动张量定理 (20)习题3.4 电磁场的角动量张量定理 (24)习题3.5 介质中的Maxwell方程组 (25)习题3.6 介质中电磁场能-动量与角动量定理 (39)习题3.8 波动方程 (50)习题3.9 平面电磁波的偏振 (55)习题3.10 电磁场的螺旋度 (58)规范不变性的内容都空了，没有处理。
最后两节也没有处理，不过本身做的很详细。
其他都好好看了。
习题3.11． 试证作用量 int 0bp p free a S S S m cds eA dx μμ⎡⎤=+=-⎣⎦⎰在()1U 规范变换 ()111A UA U iU U eμμμ--'=+∂ 下不变。
式中()exp U ie χ∈证明：2． 将带电粒子的加速度用它的速度以及电场强度和磁感强度表示出来解：加速度定义：dva dt =由于()03/20002122d m v dp dv d v dv m m v ma m v dt dt dt dt cdt γγγγ--⎛⎫⎛⎫==+=+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以5/25/222dp vv vv ma ma ma I a M dt c c γγ--⎛⎫⎛⎫=+⋅=⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 而dpe E v B dt⎡⎤=-+⨯⎣⎦ 所以1a e E v B M -⎡⎤=-+⨯⋅⎣⎦ 其中5/22vv M m I c γ-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，是一个二阶张量 习题3.21． 证明由式（3.2.2）定义的电荷密度与式（3.2.3）定义的三维电流密度满足连续性方程。
证明：由式（3.2.2）知电荷密度为3()()()()l l lx Q x x ρδ=-∑由式（3.2.3）知三维电流密度为()33()()()()()()()l l l l l l ldx dx dx j x Q x x Q x x dt dt dt ρδδ==-=-∑∑有33()()()()()()3()()()()()()l l l l l l l l l l l lx x x x dx Q Q t t x dt x x dx Q x dt δδρδ∂-∂-∂==⋅∂∂∂∂-=⋅-∂∑∑∑而()3()()(())l l l ldx j Q x x dt δ∇⋅=∇⋅-∑由于()l dx dt 与x 无关,故3()()()()l l l ldx x x j Q dt x δ∂-∇⋅=⋅∂∑所以0j tρ∂+∇⋅=∂2． 试证：直至A μ的一阶导数，除开一个常数因子，电磁场场强张量的对偶张量是在(1)U 规范变换下不变的唯一的一个二阶赝张量。
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(
r J
(xr)
)dV
1
r J
(
xr)dV
4
V
r J
4 (xr)
r3
V
rr
dV
r
4 V r
这正是毕奥-- 萨伐尔定律
第三章 静磁场
17
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
18
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
已经证明上述表达式满足库仑规范：
3-1 矢势及其微分方程
矢势的形式解
J(x)dV
A
4 V
r
通过类比
Ai
1
4
4 V
( x)dV
Vr
Ji (xr)dV r
已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分布
与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。
B的解
r
r
B A
若考虑l >> r, 即是无限长的载流导线，则有
A
0I 4
ln
l r
2
0I 2
ln
l r
第三章 静磁场
32
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
r A
erz
0I 4
ln
l r
2
erz
0I 2
ln
l r
第三章 静磁场
7
电动力学
第三章 静磁场
8
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
9
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
10
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
11
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
r
dS1
B
L
dS2
第三章 静磁场
12
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
13
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
14
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
15
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程 （2）与静电场中 2 形式相同 （3）矢势为无源有旋场
第三章 静磁场
16
电动力学
解 : 用矢量磁位的叠加计算
取一电流元 Idz/ ，在场点的
矢量磁位
r dA
为
rr dA ezdA
dA 0I dz/ 0I
dz /
4 R 4 r2 (z z/ )2
r
A
erz
l 2
l 2
dA
第三章 静磁场
31
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
A 0I
4
第三章 静磁场
19
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
20
电动力学
3）
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
21
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
例：写出均匀磁场的矢势：
第三章 静磁场
22
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
L
A
r
dl
r
( A2t
r
A1t )l
r
ÑL A dl S B dS 0
A2t A1t
第三章 静磁场
23
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
第三章 静磁场
A2t A1t rr A1 A2
24
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
（b） n (H 2
H1)
n ( 1
特殊情况：
2
A2
1
1
A1 )
z
A
y
① 若分界面为柱面，柱坐标系中当
2） 电流分布在外磁场中的相互作用能
势发；的设场JJ e的为为矢处外势于磁为外场磁A电场。流B总分e中能布的量，电A：e流为分外布磁场，的它矢激
W
1
2
( A Ae ) (J J e
1
2
( Ae
J e )dV
1 2
)dV
(A
Je
l/2 l / 2
dz' [r2 (z z ')2 ]1/2
0I 4
ln
(l (l
/ /
2 2
z) z)
[(l / 2 z)2 r2]1/2 [(l / 2 z)2 r2]1/2
当l >> z 时有
A
0I 4
ln
l / 2 [(l / 2)2 r2]1/2 l / 2 [(l / 2)2 r2]1/2
(A r
H r
)dV r
( A H ) A J ÑS (A H ) dS 0
W1
B
HdV
1
(A
H )dV
1
A JdV
2
1
A
JdV
2
2
2
第三章 静磁场
28
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
电动力学
第三章 静磁场
1
电动力学
稳恒电流及其所激发的电场
第三章 静磁场
2
电动力学
稳恒电流及其所激发的电场
第三章 静磁场
3
电动力学
稳恒电流及其所激发的电场
第三章 静磁场
4
电动力学
稳恒电流及其所激发的电场
第三章 静磁场
5
电动力学
稳恒电流及其所激发的电场
第三章 静磁场
6
电动力学
稳恒电流及其所激发的电场
定理：给V 定内V稳内恒传电导流电磁流场J由和V边2 A界S上的J
At 或 Bt
和边界
条件唯一确定。
第三章 静磁场
26
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
5．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质
W 1
B HdV
中总能量为
2
1）在稳恒场中有
W
1 2
A
JdV
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
x
r A
Aerz
r erz
1 A1 1 A2 1 r 2 r
② 若分界面为球面，当
A Ae
e
1[ 1
r 1
r
(rA1 )
1
2
r
(rA2
)]
z x
A
y
第三章 静磁场
25
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
矢量泊松方程解的唯一性定理
②
1
A
J
不是能量密度。
பைடு நூலகம்
2
第三章 静磁场
27
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
③ 导出过程
(
f
g)
(
f)
g
f
(
g)
B H ( A) H
rr
( A H ) A ( H )
V
1 2
(A J )dV
Ae J )dV
第三章 静磁场
29
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
最后一项称为相互作用能，记为
可以证明： Wi
(A Je )dV
Wi ，
(Ae
J )dV
第三章 静磁场
30
电动力学
3-1 矢势及其微分方程
例1 求长度为l 的载流直导线的磁矢位。