《电动力学》(郭硕鸿第三版)答案
郭硕鸿电动力学课后答案
（3）计算球外和球内的电势；
（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。
解：（1）
（2）
（3）
（4）
2.在均匀外电场中置入半径为 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差 ；
（2）导体球上带总电荷
解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场 方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。
所以
在两介质交界面上，极化电荷面密度为
由于 ，所以
5.空心导体球壳的内外半径为 和 ，球中心置一偶极子 球壳上带电 ，求空间各点的电势和电荷分布。
解：以球心为原点，以 的方向为极轴方向建立球坐标系。在 及 两均匀区域，电势满足拉普拉斯方程。通解形式均为
当 时，电势趋于零，所以 时,电势可写为
(1)
当 时，电势应趋于偶极子 激发的电势：
(1)
由(1)式可推出稳恒电流条件下的边界条件为:
(2)
设小球内的电势为 ，电解液中的电势为 ，则在交界面上有：
(3)
(4)
将 及 代入(1)，得：
可见 满足拉普拉斯方程
考虑到对称性及 时 ，球外电势的解可写成：
(5)
其中利用了 。
考虑到 时电势为有限值，球内电势的解可写成：
(6)
因为选 处为电势零点，所以 ，将(5) (6)代入(3) (4)得：
在球外，R>R0，由高斯定理得： ，（整个导体球的束缚电荷 ），所以 ，积分后得：
在球内，R<R0，由介质中的高斯定理得： ，所以
，积分后得：
结果相同。
4.均匀介质球（电容率为 ）的中心置一自由电偶极子 ，球外充满了另一种介质（电容率为 ），求空间各点的电势和极化电荷分布。
郭硕鸿电动力学习题解答完全版（1_6章）
郭硕鸿电动力学习题解答完全版（1_6章）1. 根据算符?的微分性与矢量性推导下列公式(Ar ? Br) = Br × (?× Ar) + (Br ??)Ar + Ar ×(?× Br) + (Ar ??)Br Ar × (?× Ar) = 1 ?Ar 2(Ar ??)Ar2 解1 ?(Av ? Bv) = Bv × (?× Av) + (Bv ??)Av+ Av × (?× Bv) + (Av ??)Bv首先算符?是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题 ?将作用于 Av 和Bv又?是一个矢量算符具有矢量的所有性质因此利用公式cv × (av ×bv) = av ?(cv ?bv) ? (cv ?av)bv 可得上式其中右边前两项是 ?作用于 v v A 后两项是?作用于 Bv v2 根据第一个公式令 A B 可得证2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数证明f (u) = dfu duAr(u) = ?u ? dArdur ?× Ar(u) = ?u × .dA du证明 1f (u) = ?f (u) er x + ?f (u) er y + ?f (u) er z = df du ? e x + r ?u er y + df ?ur ?e z = df ?u ?u ?x ?y ?zdu ?y du ?z du 2Ar y (u) ?y dAr y (u) du ?Ar x (u) + ?x + ?Ar z z(u) = dAr x (u) ? ?u + ? ?u + dAr z (u) ? ?u rz = ?u ? du ?? Ar(u) = dAz du ?x ?y dz 3r r r e z ? e e ?Ar y )er x + (?Ar ? ?zAr ?Ar x )er z = ?y r rx y ?× Ar(u) = = (? x ? ? )e y + ( y ? ?xA A r z z ?x ?y A y (u) A z (u) ?z ?y ?z ?x r r r A x(u)= (dAr z ? dAr y ?u r dAr x ?u ? dA r r u ? dA u r dAr)e y + (dA u ? du ?z )e x + ( ?u r ? ? r x y z du ?x du ?y )e z = ?u × dudu ?y du ?z du ?x3. 设r = (x ? x ' ) 2+ (y ? y ' ) 2+ (z ? z' ) 2为源点 x'到场点 x 的距离 r 的方向规定为从源点指向场点r ? ' + er ? '+ er ? 1 证明下列结果并体会对源变数求微商 (?'= e ?z ' )与对场变数求zx ?x y ?y 微商(? = er x ? r ? r+ e z ?z)的关系x + e y ?y r r r r r r 1 r ' 1 r r r r rr = ??'r = ,? = ?? = ? ,?×r 3 = 0,?? r = ??' 3 = 0.(r ≠ 0)r r 3 3 r (最后一式在人 r 0点不成立见第二章第五节) 2 求rr,?×rr,(ar ??)rr,?(ar ?rr),??[Er 0 sin(kr ?rr)]及?×[Er 0 sin(krrr)],其中ar,kr 及Er 0均为常矢量证明 ??rr=(x ? x ?x ') + ?(y ? yy ') + ?(z ? z ') =3 ?zr r r e e e x y z ?×rr == 0 ?x x ? x ?y y ? y ?z z ? z' ' 'v(av ??)rr = [(a x ev x + a y ev y + a z ev z ) ? ( e x + ??y ev y + ??z ev z )][(x ? x')ev x + (y ? y')er y + (z ? z')ev z ]x = (a x ? + a y ? + a z )[(x ? x')ev x + (y ? y')er y +(z ? z')ev z ] ? ?x ?y ?z= a x ev x + a y ev y + a z ev z =av(av ?rv) = av × (?×rv) + (av ??)rv + rr × (?×av) + (rv ??)?av= (av ??)rv + rv ×(?×av)+ (rv ?ar)?av= av + rv × (?×av) + (rv ??)?av[Er 0 sin(kr ?rr)] = [?(sin(kr ?rr)]? Er 0 + sin(kr ?rr)(?? Er 0)= [??x sin(kr ?rr)er x + ??y sin(kr ?rr)er y + ??z sin(kr ?rr)er z ]E 0= cos(kr ?rr)(k x er x + k y er y + k z er z )Er 0 = cos(krrr)(krEr) ?×[Er 0 sin(kr ?rr)] = [?sin(kr ?rr)]×Er 0+sin(kr ?rr)?× Er 0 4. 应用高斯定理证明dV ?× fr = ∫S dSr × fr∫应用斯托克斯 Stokes 定理证明∫S dSr ×?φ =∫Ldlr φ证明 1)由高斯定理dV ?? gr = ∫SdSr ? gr∫ V ?g 即(? g ?x ?g ∫ V x + y + z z )dV = ∫ g x dS x + g y dS y + g z dS zy S而?× frdV = [( f z ? ??z f y )ir + ( f x ? ??x f z )rj + ( f y ? ??y f x )kr]dV ? ? ? ∫ V∫ ?y ?z ?x= ∫ [??x ( f y kr ? f z rj) + ??y ( f z ir ? f x kr)+ ??z ( f x rj ? f y ir)]dVr r [( f z dS y ? f y dS z )ir + ( f x dS z ? f z dS x )rj + ( fy dS x ? f x dS y )kr] ( fy kr ? f z rj)dS x + ( f z ir ? f x kr)dS y + ( f x rj ? f y ir)dS z∫ S dS × f= ∫ 又S = ∫ 若令H x = f y kr ? f z rj,H y = f z ir ? f x kr,HZ= f x rj ? f y ir则上式就是HrdV = ∫S dSr ? Hr ,高斯定理则证毕∫V 2)由斯托克斯公式有fr ?dlr = ∫S ?× fr ?dSr ∫fr ?dlr =l ( f x dl x + f y dl y + fzdl z) ∫ ∫l ∫S× fr ?dSr = ∫Sf zf y)dS x+ ( f xf z)dS y+ ( f yf x)dS zz ?z ?x ?x ?y ? ? ? (?y而∫dlr φ=∫l∫SdSr ×?φ= ∫S(dS z)ir + ( dS x)rj + ( ?y dS y )kr ?φ dS ? ?φ ?φ dS ? ?φ ?φ dSφ ?x yzx ?z ?y x ?z r ?φ rj)dS +(?φ r i ? ??φx kr)dS y +(??φx rj ? ?φ?y ir)dSzφ = ∫ ( k ?x ?y ?zz 若令f x = φi , f y = φ j , f z = φk 则证毕5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为Pr(t) = ρ(x ,t)x dV, r ' r ' '∫ V 利用电荷守恒定律?? Jr +ρr ?t = 0证明 P 的变化率为dPr =dt rr 'J(x ,t)dV '∫ V ?Pr = ?ρ r ' r 't x dV r ∫ V ' =? ∫ V ? ' j 'x dV r '' 证明 ?t rt ) x = ?Pr ' ?'rj 'x 'dV ' = ?∫[?' ?(x ' j ) ? (?'x ')?rj ']dV ' = r '( ∫ V ∫ V ( j x' ??' ?(x ' j )dV ' = ∫ j x dV ' ? ∫S xrj ?dSr 若S → ∞,则( )? xj dSr r ∫ = 0,(rj S= 0)r ?t ) y =r ?ρ ,(?ρ?t ) z = j dV ( ∫ j dV y' ∫' 同理即z dPr = r r '∫ j x ,t)dV '( dt V mr × Rr 的旋度等于标量? = mr ? Rr 的梯 6. 若m 是常矢量证明除 R 0 点以外矢量 Ar =rR3R3度的负值即× Ar =其中 R 为坐标原点到场点的距离方向由原点指向场点证明mv × Rv)1 r 1 r 1 v r1 r ?× Av = ?× (= ??×[mv × (? R1 )] = (??mv)? + (mv ??)?[??(? )]m ?[(? )??]mv R 31 = (mv ??)? ,(r ≠ 0)r= ?(mvRv 1 r 1 r 1 r 1 r ) = ??[mv ?(? )] = ?mv ×[?× (? )]? (? )× (?×mv) ? (mv ??)? R 3[(? )??]mv = ?(mv ??)? 1 r 1 r ∴?× Av =7 有一内外半径分别为 r 1和 r 2的空心介质球介质的电容率为ε使介质内均匀带静止自由电荷ρ f 求1 空间各点的电场2 极化体电荷和极化面电荷分布∫ 解 1∫S DrdSr =ρ f dV , (r 2>r>r 1)即D ? 4πr 2 = 43π (r 3 ? r 13)ρ f(r 3 ? r 13)ρ f 3εr 3∴Er= rr,(r 2 > r > r 1) r r Q = 4π (r 23 ? r 13)ρ f ,(r > r 2) 3ε 0f 由 E ?dS =∫ 0 ∴Er = (r 23 ? r 13) 3ε 0r 3 rρ f rr,(r > r 2) r < r 1时 E 0r 2) P ε 0χe Er = ε 0 r E = (ε ?ε 0)Er ε ?εε 0∴ρP = Pr = ?(ε ?ε 0)?? Er = ?(ε ?ε 0)??[ (r 3 ? r 13) 3εr 3 ρ f rr] =ε ?ε 0 ρ f ??(rr ? r r 3 r)1 3ε r 3 = ? ε ?ε 0 ρ f (3? 0) = ?(εε 0 )ρ f 3ε εσ P = P 1n ? P 2n考虑外球壳时 r r 2n 从介质 1指向介质 2 介质指向真空 P 2n = 0r 3 ? r 133εr 3) r 23 ? r 13 σ P = P 1n = (ε ?ε 0) ρ f rr r=r 2= (1? ε 0ε ρ f 3 3r 2 考虑到内球壳时 r r 2σ P = ?(ε ?ε 0) r 3 ? r 1 ρ f r r=r 1 = 0 3 r 3εr 38 内外半径分别为 r 1和 r 2的无穷长中空导体圆柱沿轴向流有恒定均匀自由电流 J f 导体的磁导率为μ 求磁感应强度和磁化电流解Hr ?dlr = I f + ddt∫S Dr ?dSr =I f∫ 当r < r 1时,I f = 0,故Hr = Br = 0l H ?dlr = 2πrH = j f ?dSr = j f π(r 2 ? r 12) r r∫ l∫ S当 r 2>r>r 1时μj f (r 2 ? r 12)2rBv = = μ( r 2 ? r 12r 2)rj f ×rr 2 当 r>r 2时2πrH = πj f (r 22 ?r 12)Br = μ0(r 22 2)rj f ×rrr 1 2r 2 J M = ?× Mr = ?× (χM Hr ) = ?× (μ ? μ0) r μ ?1)?× (rjf ×r2r r ? r 12 )μ0 )H = (μ02r 2 = (μμ ?1)?× Hr = ( μ ?1)rj f ,(r 1 < r < r 2) 0 μ0α r M = nr × (Mr 2 ? Mr 1),(n 从介质1指向介质2在内表面上 M1 = 0,M2 = (μμ ?1) r 2 ?r 12 ) r=r = 02r 21故αM = nr × Mr 2 = 0,(r= r 1) r 在上表面 r r 2时r M = nr × (?Mr 1) = ?nr × Mr 1 r=r 2= ? × r r 2 ? r 12 r j f ×rr r=r 2 = ? r 2 ? r 12 r j ( μ ?1) μr α f r 2 r 2 r 2 2r 0 r 22 ? r 12 r 2= ?(μμ1) jf。
(完整版)电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)
电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )(，uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。
（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。
4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=V V t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
郭硕鸿《电动力学》课后答案
( A A) 2 A ( A) 2( A ) A ， 所以 A ( A) 1 2 ( A A) ( A ) A
2 A ( A ) 1 2 A ( A ) A 2. 设 u 是空间坐标 x, y, z 的函数，证明： df dA dA f (u ) u ， A(u ) u ， A(u ) u du du du
电动力学习题解答
电பைடு நூலகம்力学答案
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符 的微分性与向量性，推导下列公式：
( A B) B ( A) ( B ) A A ( B ) ( A ) B A ( A) 1 A 2 ( A ) A 2
3.
设r
( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z ' ) 2 为源点 x ' 到场点 x 的距离， r 的方向规定为
第 1 页
电动力学习题解答
从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r ' r r / r ； (1 / r ) ' (1 / r ) r / r 3 ； (r / r 3 ) 0 ； (r / r 3 ) '(r / r 3 ) 0 ， (r 0) 。 （2）求 r ， r ， (a )r ， (a r ) ， [ E 0 sin( k r )] 及 [ E 0 sin( k r )] ，其中 a 、 k 及 E 0 均为常向量。
所以
c dV f dV [c ( f )] dV ( f c ) ( f c ) dS
郭硕鸿《电动力学》课后答案
取高斯柱面，使其一端在极板A内，另一端在介质1内，由高斯定理得：
同理，在极板B内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：
因此
即 只有切向分量，从而 只有切向分量，电场线与导体表面平行。
14.内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为 ，板间填充电导率为 的非磁性物质。
（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。
（2）求 随时间的衰减规律。
（3）求与轴相距为 的地方的能量耗散功率密度。
在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：
所以有 ，
由于E
所以 E
当介质漏电时，重复上述步骤，可得：
， ，
介质1中电流密度
介质2中电流密度
由于电流恒定， ，
再由E 得
E
E E
E
E
12.证明：
（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足
其中 和 分别为两种介质的介电常数， 和 分别为界面两侧电场线与法线的夹角。
其中 和 为球面的极化面电荷激发的电势，满足拉普拉斯方程。由于对称性， 和 均与 无关。考虑到 时 为有限值； 时 ，故拉普拉斯方程的解为：
由此 （1）
（2）
边界条件为： （3）
（4）
将（1）（2）代入（3）和（4），然后比较 的系数，可得：
于是得到所求的解为：
在均匀介质内部，只在自由电荷不为零的地方，极化电荷才不为零，所以在球体内部，只有球心处存在极化电荷。
电动力学答案(郭硕鸿+第三版) chapter3
(ρ > a)
a ∴ r = xr − xr' = (ρ cosϕ − a cosϕ')2 + (ρ sinϕ − a sinϕ')2 + z'2
d = ρ 2 + a2 + z'2 −2aρ cos(ϕ −ϕ') h rr = xr − xr'= ( ρ cosϕ − a cosϕ')erx (ρ sinϕ − a sinϕ')ery − z'erz k dlr = −adϕ'⋅sinϕ'erx + adϕ'⋅cosϕ'ery . ∴ dlr × rr = −az'cosϕ'dϕ'erx − az'sinϕ'dϕ'ery + [a2 − aρ cos(ϕ'−ϕ)]dϕ'erz
第三章 静磁场
场是均匀强磁场 故只须求出其中轴线上的磁感应强度 即可知道管内磁场 由其无限长的特性 不妨取场点为零点 以柱坐标计算
rr = −a cosϕ 'erx − a sin ϕ 'ery − z'erx
dlr = −adϕ '⋅sinϕ'erx + adϕ'⋅cosϕ 'ery ∴ dlr × rr = (−adϕ '⋅sin ϕ 'erx + adϕ '⋅cosϕ'ery ) × (−a cosϕ'erx − a sin ϕ'ery − z'erx )
erθ
ww ∴ Hr 2 − Hr1 = 0,满足边界条件 nr × (Hr 2 − Hr1) = 0
郭硕鸿《电动力学》课后习题答案
电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇AA A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 AA A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯ 即 AA A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(AA ⨯∇=⨯∇ 证明：（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x z uu f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (Ae e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++= （3）uA u A u A z u y u x u uu z y x zy x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e Azx y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇=3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
《电动力学》郭硕鸿_第三版_答案
又
∫ dS × f = ∫ [( f
S S
r
r
r r r dS y − f y dS z )i + ( f x dS z − f z dS x ) j + ( f y dS x − f x d S y )k ]
r r r r r r = ∫ ( f y k − f z j )dS x + ( f z i − f x k )dS y + ( f x j − f y i )dS z
若令 f x = φ i , f y = φ j , f z = φ k 则证毕 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为
r r r P (t ) = ∫ ρ ( x ' , t ) x ' dV ' ,
V
利用电荷守恒定律 ∇ ⋅ J +
r
r ∂ρ = 0 证明 P 的变化率为 ∂t
r r r dP = ∫ J ( x ' , t )dV ' V dt
l S
r
r r
r
r
∫ f ⋅ dl = ∫ ( f
l l
r
x
dl x + f y dl y + f z dl z )
r r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f f y )dS x + ( f x − f z )dS y + ( f y − f x )dS z ∇ × ⋅ dS = ∫ ( f z − ∫S S ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
电动力学习题解答 1. 根据算符 ∇ 的微分性与矢量性 推导下列公式
第一章
电磁现象的普遍规律
r r r r r r r r r r ∇( A ⋅ B) = B × (∇ × A) + ( B ⋅ ∇) A + A × (∇ × B) + ( A ⋅ ∇) B r r r r 1 r A × (∇ × A) = ∇A 2 − ( A ⋅ ∇) A 2 v v v v v v v v v v 解 1 ∇( A ⋅ B ) = B × (∇ × A) + ( B ⋅ ∇) A + A × (∇ × B ) + ( A ⋅ ∇) B
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