电磁场的矢势和标势
电动力学第9讲24讯变电磁场的矢势和标势
A(x)
0 4
J (x ')dV r
'
• 式中x '是源点，x是场点，r为由x ' 到x的距离。
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矢势的多级展开
• 如果电流分布于小区域V内，而场点x又距离 该区域比较远，我们可以把A(x)作多级展开。 取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式得
A(x)
0 4
E A .
t
• 因此，一般情况下电场的表示式为
E A .
t
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用势描述电磁场
B A
E
A t
• 把电磁场用矢势和标势表示出来。
• 注意现在电场E不再是保守力场，一般不存在势能的概 念，标势φ失去作为静电场中势能的意义。
• 因此，在高频系统中，电压的概念也失去确切的意义。
• 在变化场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须把矢
势和标势作为一个整体来描述电磁场。
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规范变换和规范不变性
• 用矢势A和标势φ描述电磁场不是唯一的，即给定 的E和B并不对应唯一的A和φ 。
• 这是因为对矢势A可以加上一个任意函数的梯度 ▽ψ ，结果不影响B，而这加在A上的梯度部分在 E式中有可以从-∂ψ/∂t中除去，结果亦不影响E。
B 0J
B0
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静磁场的矢势
• 根据矢量分析的定理（附录Ⅰ.17式）, 若
B 0
• 则 B 可表为另一矢量的旋度
B A
• A 称为磁场的矢势。
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2020年清华大学电子工程系957 电子信息科学专业基础(含信号与系统和电磁场理论)考试大纲——盛世清北
2020年清华大学电子工程系957 电子信息科学专业基础（含信号与系统和电磁场理论）考试大纲——盛世清北本文由盛世清北查阅整理，专注清华大学考研信息，为备考清华大学考研学子服务。
以下为2020年清华大学电子工程系957 电子信息科学专业基础（含信号与系统和电磁场理论）考研考试大纲：电磁场理论部分：一、矢量分析与场论1. 矢量概念&运算矢量、位矢、点乘、差乘、导数、梯度、通量、散度、旋度、代数运算公式2. 矢量微分算子及恒等式微分算子、二重微分算子、包含微分算子的恒等式3. 矢量积分定理高斯散度定理、斯托克斯定理4. 正交曲线坐标系直角坐标、柱坐标、球坐标，及梯度、散度、旋度5.场的唯一性定理二、电磁场的基本规律1. 电荷和电场库仑定律、电荷激发的电场、高斯定理（微/积分形式）、静电场旋度2. 电流和磁场电荷守恒定律、毕奥-萨伐尔定律、磁场的散度和旋度（以及积分形式）3. 时变电磁场和麦克斯韦方程组电磁感应定律、位移电流（麦克斯韦-安培定律）、麦克斯韦方程组4. 介质的电磁性质电偶极子、电偶极矩、电极化强度矢量、束缚电荷密度、束缚电荷面密度、介质中的高斯定理、电位移矢量5. 磁偶极矩、磁化强度矢量、磁化电流（密度）、极化电流密度、磁场强度、磁导率、介质中的麦克斯韦-安培定律、介质中的麦克斯韦方程组6. 电磁场的边值关系电场、磁场法向和切向边值关系三、静电场1. 电势电势的定义、点电荷激发的电势、连续电荷激发的电势、均匀电场的电势、电荷、电场、电势的“三角关系”2. 电势的微分方程、电势的边值关系3. 标量位多极展开适用的情形、展开式各项的意义和形式4. 静电场的能量与力5. 唯一性定理6. 分离变量法直角坐标系、球坐标系分离变量法7. 镜像法导体存在情况下镜像法、无限大介质平面的镜像法8. 格林函数法求解相应情况下的格林函数、利用格林公式求解复杂边界情况下的电势分布9. 有限差分方法四、静磁场1. 磁矢势及微分方程磁矢势的定义、磁矢势微分方程、磁矢势边值关系、电流-磁场-矢势的三角关系2. 磁标势及微分方程磁标势的定义、应用条件、磁标势泊松方程、磁标势边值关系、磁荷的定义和意义3. 静磁场的唯一性定理4. 磁多极矩和磁场的能量磁标势的多极展开、磁偶极矩、磁场的储能五、电磁波的传播1. 时谐电磁波和Maxwell方程组时谐电磁波的复数形式、时谐场的Maxwell方程组、时谐场波动方程2. 坡印廷定理坡印廷定理（时域）、坡印廷矢量（瞬时形式和复数形式）、物理含义3. 平面波平面波表达式、平面波的特征、波长、波矢、相速度、群速度、偏振（极化）、波阻抗、能量、能流4．电磁波在介质界面的反射和折射反射/折射定理、振幅关系和相位关系、N波和P波、TE波和TM波、布儒斯特角、半波损失、全反射、快波和慢波、消逝场（全反射时的透射波）5. 有导体存在时的电磁波传播良导体、理想导体、导体内部电磁波、衰减常数、非均匀平面波、穿透深度、趋肤效应、导体表面电磁波反射求解6. 金属波导和谐振腔波导/谐振腔、本征模式及其求解、TE/TM/TEM模式、截止频率/波长7. 介质和导体的色散色散的概念、介电常数实部/虚部的意义六、电磁波的辐射1. 电磁场的矢势、标势和推迟势电磁场矢势和标势、库伦规范、洛伦兹规范、达朗贝尔方程、推迟势2. 电磁辐射电偶极辐射、短天线、半波天线、天线阵、辐射电阻信号与系统部分一、基本概念信号的定义和分类，典型信号的表示方法，系统的定义和分类，线性时不变系统的性质和判别方法，因果性的定义和判别方法。
电动力学课件 5.1 电磁场的矢势和标势
2 1 2 A 1 A ( A ) 0 J c 2 t 2 c 2 t 2 A t 0
标势 φ满足泊松方程，与静电场方程相同，其解为库仑势 标势与矢势的方程不对称 例：以单色平面电磁波为例，讨论两种规范的特点
解： 1. 如果采用洛伦兹规范条件，当单色平面电磁波在没有电荷、 电流分布的自由空间中传播时，势方程变为如下的齐次波动方程：
2 1 2 c 2 A 1 c2 2 0 2 t 2 A 0 2 t
i ( k x t ) e 0 其解为： i ( k x t ) A A e 0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势φ=0，有
14
1 2 A A 2 0 2 c t
2
其解的形式为 A A0 ei ( k x t )
由库仑规范条件 A ik A 0 可知 库仑规范条件已经保证了A 只有横向分量，从而得到电磁场为
B A ik A A A E i A t t
c2 A E ik i A ik ( k A) i A t c2 c2 2 i k (k A) i k (k A) k A
ik
k 0 0
c
k
c2
k B cek BB Biblioteka A A E t
t
注意： 结为静电场的电势；
a) 当 A 与时间无关，即 A 0 时,有 E ，这时 φ就直接归
b) 不要把 E A 中的标势 φ与静电场的电势 ( E ) 混 为一谈。因为在非稳恒情况下，电场不再是保守力场，不存在势能 的概念，这就是说现在的φ ，在数值上不等于把单位正电荷从空间 一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把 这里的 φ称为标势
第1节矢势和标势
取： 势方程：
A 0
2
1 A 1 2 A 2 2 2 0 j C t C t 条件 A 0
2
0
讨论： 1） 的方程与静电势方程相同，有无界解
( R' , t ) ( R, t ) dV ' V ' 4 r 0
Sபைடு நூலகம்S L
对每一时刻，A 沿闭合回路的线积分，与
以此回路为边界的曲面上的磁通量相等。
A 的旋度，没有确定 A 4）由定义只确定了 的散度，因此 A 以至于 都具有不确定性。
2
B 0 j 0 0 E t 2 0 j 0 0 ( 2 A) A ( A) 2 A t t 2 1 1 2 整理得： A C 2 t 2 A ( A C 2 t ) 0 j E 0 ( t A) 0
t 0E 1）真空情况：D B 0 H
2）迅变场是定态波。
因为 B 是无源场： B 0
B A
代入方程2式：
E( R, t ) B( R, t ) ( A) A t t t 改写为： ( E A t ) 0
i ( k R t ) A A0e
i ik A 2 C
代入洛仑兹规范
C2 0 k A0
是平面电磁波情况下的场方程
B A ik A 2 E A ik (C k A) iA t 2 i C k (k A) A(k k ) 2 i i C k (k A) ( A) 0 0 i ( B) 0 0 At A
电磁场的矢势和标势
f (t r c) 1 Q(t r c)
4 0
1 f (t r c) 1 Q(t r c)
r
4 0r
如果电荷不在原点处
Q(t) (r,t) ( r r )
(r, t )
Q(r,
t
R c
)
4 0R
其中 R r r
c2
k•
A横
0
E
A
ik
iA
iA
t
B ik A
由库仑规范，势方程为：
2 0
2 A
1 c2
2A t 2
1 c2
t
0
且：
•
A
ik •
A
0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势为0
t 2
1
0
Q(t) (r)
在原点以外空间
2
1 c2
2
t 2
0
点电荷所产生电场有球对称性
上式的解是一个球面波，考虑到 增大时 减小 令
这个方程是一维空间的波动方程,其通解为 f,g为两个任意函数
此解中第一项表示由场源向外辐射的球面波，第 二项表示向场源汇聚的球面波。 f,g的形式由场源条件而定
b)在时变场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须 把 和 作为一个整体来描述电磁场
思考？当 与时间无关时，电磁场的特点？
已自动成立
规范变换和规范不变性 规范变换
规范不变性 当势作规范变换时，所有物理量和物理规 律都保持不变，这就是规范不变性。
第09讲讯变电磁场的失势和标势
第9讲 讯变电磁场的失势和标势第二章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射(4)§2.4讯变电磁场的失势和标势§2.4.1 讯变电磁场的失势和标势1. 用势描述电磁场 为简单起见，我们只讨论真空中的电磁场，麦克斯韦方程组为0t t μμερε∂∇⨯=-∂∂∇⨯=+∂∇=∇=B E E B J E B 000 (2.4---1)在恒定场中， 由B 的无源性引入矢势A ，使.=∇⨯B A （2.4---2） 在一般情况下，B 仍然保持无源性，所以B 与矢势A 的关系（2.4---2）式普遍成立的。
矢势A 的物理意义是：在任一时刻，A 沿任意闭合回路的线积分等于该时可通过回路的磁通量。
在一般的变化情况中，电场E 的特性与静电场不同。
电场E 一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。
因此在一般情况，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。
在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A 在内。
把（2.4---2）式代入（2.4---1）第一式得()0t∂∇⨯+=∂A E 该式表示矢量E + ∂A /∂t 是无旋场，因此它可以用标势φ描述，.tϕ∂+=-∇∂A E 因此，一般情况下电场的表示式为.tϕ∂=-∇-∂A E （2.4---3） （2.4---2）和（2.4---3）式把电磁场用矢势和标势表示出来。
注意现在电场E 不再是保守力场，一般不存在势能的概念，标势φ失去作为电场中势能的意义。
因此，在高频系统中，电压的概念也失去确切的意义。
在变化场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场。
2. 规范变换和规范不变性 用矢势A 和标势φ描述电磁场不是唯一的，即给定的E 和B 并不对应唯一的A 和φ 。
这是因为对矢势A 可以加上一个任意函数的梯度，结果不影响B ，而这加在A 上的梯度部分在（2.4---3）式中有可以从▽φ中除去，结果亦不影响E 。
5.1电磁场的失势和标势
（2）电磁场一旦从源中辐射出来就独立于源而存在。
当给定 、 J 后，可由（2.12） 、 （2.13）式求出势，再 由 （ 式 （1.2） 、1.3）
B A
求出空间点的电磁场。
A E t
5.3
电偶极辐射
现代物理导论I
电磁波是从变化的电荷、电流系统辐射出来的。 宏观上，主要是利用载有高频交变电流的天线产 生辐射，微观上，一个做变速运动的带电粒子即 可产生辐射。 本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期运动， 且电荷体系线度远远小于电荷到观测点的距离的 情况。
如设?为任意时空函数有????ba????t?t????a?a???????a???a????????????a????????e由此可见?们可以作变换???a与???a描写的是同一电磁场我t?????????????????????aaa14t????????????at?????a现代物理导论i由于1213式中b和e并没有对a的散度作出规定故我们可以取??a为任意值作为辅助条件
其特点参见以下推导结果。 3、达朗贝尔方程
将（1.2） 、 （1.3）式代入（1.1）式中第二、三式，整 理后有
2 2 1 A 1 0 J A 2 2 A 2 c t c t 2 A t 0
必须 E L 0 （无纵场） 。证毕Βιβλιοθήκη .21、标势的达朗贝尔方程
2
推迟势
现代物理导论I
1 （2.1） 2 2 0 c t 设在原点有一电荷 Qt ，其密度 x, t Qt x ，
2
这时（2.1）式为
2 1 1 2 2 2 Qt x （2.2） 0 c t 由于球对称性， 只依赖于 r 、 t ， （2.2）式用球坐
电磁场的矢势和标势
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
矢势和标势（续）
∇
×
E
=
−
∂B ∂t
⇒
∇
×
(E
+
∂A ∂t
)
=
0
★由(E
+
∂A ∂t
)的无旋性引入标势ϕ：
∇ × (E + ∂A ) = 0 ⇒ E + ∂A = −∇ϕ
∂t
∂t
一般而言：
【讨论】
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
★ 电场E不再是保守力场，势能、电压的概念失去原来意义；
矢势和标势（续）
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
ϕ → ϕ = ϕ − ∂ψ ∂t
存
(1) (2)
§ 1.2 规范变换和规范不变性
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两 种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两 种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0 ◆库仑规范纵横分明：库仑场和感应场
A
∇·B =0
⇒
B =∇×A
E ? = −∇ϕ
第一节 电磁场的矢势和标势
§ 1.1 矢势和标势