电磁场导论准静态电磁场解读
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第五章准静态电磁场
电容器两极板间电压
U BA
q 1 idt C C
B B
A
第 五 章
准静态电磁场
有
di 1 (t ) L idt i( Ri r R) uL uC uR dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
表明电路理论是特殊情况下得麦克斯韦电磁理论的近似。 当满足MQS的似稳条件时，研究场的问题时可以采用路 的方法。
(0) J 当 x , Jy 有限，故 C2 0 , C1 J y 0
则
x jx J y ( x) J 0 e e
E 由 J
1 x jx E y ( x) J 0 e e
jH H ( x) j 由 E z
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件 ( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t 解方程，得面电荷密度为
图5.3.2 双层有损介质的平板 电容器
t τ
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
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MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，
在任一时刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。
B 而MQS场的电场按 计算。 E t
以下两种情况可看作磁准静态场来计算：
1 1，对于导体中的时变电磁场，满足： 则位移电流可以忽略，可按磁准静态场来处理。把
满足上述条件的导体称为良导体。
为电导率很大，驰豫时间远小于1，e指数约为0，
一般认为良导体内无自由电荷的积累。电荷分布在
导体表面。
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U BA
q 1 idt C C
B B
A
第 五 章
准静态电磁场
有
di 1 (t ) L idt i( Ri r R) uL uC uR dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
表明电路理论是特殊情况下得麦克斯韦电磁理论的近似。 当满足MQS的似稳条件时，研究场的问题时可以采用路 的方法。
(0) J 当 x , Jy 有限，故 C2 0 , C1 J y 0
则
x jx J y ( x) J 0 e e
E 由 J
1 x jx E y ( x) J 0 e e
jH H ( x) j 由 E z
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件 ( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t 解方程，得面电荷密度为
图5.3.2 双层有损介质的平板 电容器
t τ
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
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MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，
在任一时刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。
B 而MQS场的电场按 计算。 E t
以下两种情况可看作磁准静态场来计算：
1 1，对于导体中的时变电磁场，满足： 则位移电流可以忽略，可按磁准静态场来处理。把
满足上述条件的导体称为良导体。
为电导率很大，驰豫时间远小于1，e指数约为0，
一般认为良导体内无自由电荷的积累。电荷分布在
导体表面。
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第四章准静态电磁场
第四章 准静态电磁场4．1 准静态电磁场1．电准静态场由麦克斯韦方程组知，时变电场由时变电荷和时变磁场产生的感应电压产生。
时变电荷产生库仑电场，时变磁场产生感应电场。
在低频情况下，一般时变磁场产生的感应电场远小于时变电荷产生的库仑电场，可以忽略。
此时，时变电场满足ρ=∙∇≈⨯∇D 0E 称为电准静态场。
可见，电准静态场与静电场类似，可以定义时变电位函数ϕ ，即ϕ-∇=E且满足泊松方程ερϕ-=∇2 与电准静态场对应的时变磁场满足 0t =∙∇∂∂+=⨯∇B DE H γ 2．磁准静态场由麦克斯韦方程组知，时变磁场由时变传导电流和时变电场产生的位移电流产生。
在低频情况下，一般位移电流密度远小于时变传导电流密度，可以忽略。
此时，时变磁场满足0=∙∇≈⨯∇B J H c称为磁准静态场。
可见，磁准静态场与恒定磁场类似，可以定义时变矢量位函数A ，即A B ⨯∇=且满足矢量泊松方程c J A μ-=∇2与磁准静态场对应的时变电场满足ρ=∙∇∂∂-=⨯∇D B E t例1：图示圆形平板电容器，极板间距d = 0.5 cm ，电容器填充εr =5.4的云母介质。
忽略边缘效应，极板间外施电压t t u 314cos 2110)(=V ，求极板间的电场与磁场。
[解]：极板间的电场由极板上的电荷和时变磁场产生。
在工频情况下，忽略时变磁场的影响，即极板间的电场为电准静态场。
在如示坐标系下，得()()()V/m t 31410113t 31410501102d u z 4z 2z e e e E -⨯=-⨯⨯=-=-cos .cos . 由全电流定律得出，即由()z z 20r 4Sl t 31431410113d t H 2d e e S D l H ∙-π⨯⨯-=∙∂∂=π=∙⎰⎰ρεερφsin . 极板间磁场为φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m也可以由麦克斯韦方程直接求解磁场强度，如下tt 0r ∂∂=∂∂=⨯∇E D H εε 展开，得t 314106694H 14sin .)(-⨯=∂∂φρρρ 解得φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m 讨论：若考虑时变磁场产生的感应电场，则有tt ∂∂-=∂∂-=⨯∇H B E 0μ 展开，得t E z 314cos 103.231440ρμρ-⨯⨯-=∂∂- 解得 t E z 314cos 10537.428ρ-⨯= V/m可见，在工频情况下，由时变磁场产生的感应电场远小于库仑电场。
电磁场课件12准静态电磁场涡流平面电磁波资料教学文案
热效应 涡流是自由电子的定
向运动，与传导电流有相同的热效应。
涡流
工程应用：电磁炉、变压器电机铁心叠片等。
去磁效应 涡流产生的磁场反抗原磁场的变化。
工程应用：电磁闸。
涡流方程
在磁准静态场MQS中，导体中的位移电流远小于传导电流，忽略。
HJDJ t
H J
J E
B H
E B t
B0
2H H 0
7.1 无损耗均匀传输线方程
du
考虑传输线上单位长度电压降和
电流变化：
u z
Ri
L
i t
i z
Gu
C
u t
RL R
di C
上式即是均匀传输线方程或电报方程。 单位长度传输线的电路模型
➢ 对于无损耗均匀传输线情况（忽略电阻）：
u z
L
i t
i z
C
u t
即
u
z
L
i t
0
i
C
u
0
z t
准静态电磁场
时变电磁场
准静态场 （低频）
电准静态场
(B 0) t
磁准静态场
(D 0) t
具有静态电 磁场的特点
动态场 （高频）
似稳场（忽略 推迟效应）
电磁波
• 电准静态场——Electroquasitatic 简写 EQS
磁准静态场—— Magnetoquasistatic 简写 MQS
• 任意两种场之间的空间尺度和时间尺度没有绝对的分界线。
抗电磁干扰的两个主要措施：接地、电磁屏蔽。
接地 1.保护接地
在金属体与大地之间建立低阻抗电路。 如设备外 壳接地，建筑体安装避雷针等，使雷电、过电流、漏 电流等直接引入大地。
电磁场与电磁波：第五章 准静态场
ε
l
Ei
dl
Ei
(
s
Ei
(V
) dS
B)
B t
在静止媒质中 Ei
ε L
B t
(V
B
)
dl
B dt
dS
变化感的应磁电场场是Bt是非产保生守的场Ei涡，旋电源力。线呈闭合 曲线 ，
图5.4 变化的磁场 产生感应电场
若空间同时存在库仑电场, 即
E
B
E EC则 E有i ,
不相同。E
分界面上的衔接条件
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三 章类同，归纳如下：
磁场：
B1n B2n H 2t H1t k
电场：
D2n D1n
E2t E1t
折射定律
tan1 1 tan2 2 tan 1 1 tan 2 2
例 5.1 试推时变场中导理想导体与理想介质分界面上的衔 接条件。
▪ 电磁感应定律 ▪ 全电流定律
▪ 时变电磁场的基本方程组·准静态场的分类和特点
5-1 电磁感应定律
电磁感应定律 当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动
势，这就是法拉弟电磁感应定律。
d
dt
负号表示感应电流产生的磁场总是阻
碍原磁场的变化
图5.1感生电动势的参考方向
引起磁通变化的原因分为三类：
磁 准
低频时，忽略二次源 D的作用，即
t
H，D 电0 磁场基本方程为
静
H J , B 0, J 0
态
E B/t , D ρ
场
特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准静态场（MQS）。
用库仑规范 A ，0得到动态位满足的微分方程
工程电磁场 第7章 准静态电磁场
D dS V dV Qnet
S
H J
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
t
B 0
D
准静态场又称为似稳场 工频正弦稳态电路分析
准静态场分析例题
圆盘形状的平行板电容器，间距 d=0.5cm，中间为云母电介质，
r 5.4 ，现加电压 u(t) 110 2 cos 314t V, 求平板间的电场和磁场。
解：低频，看做EQS
u EH
E(t)
u(t ) d
(ez
)
3.11 104
cos 314t(ez
)
V/m
由安培环路定律可得 H 2 r D r 2 E r 2
H(t
)
2.335104
r
sin314t
t (e
)
t
A/m
讨论：
EB
- H
t
H
E
J B
D t
t
B 0
Jd
f
Jdm Em
1KHz
8.89*105
Jcm Em
1MHz
8.89*102
故 Jc Jd
1GHz 106MHz
0.889 8.89*10—4
与频率密切相关
电准静态场——EQS
若 B 0
t
即可忽略位移电流对磁场的影响
H
J
D
t
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
z
在导体的一个透入深度区间
内分布
导电媒质
也称为集肤效应
透入深度与材料的导电导磁参数
E x (z, t ) 2E0ez cost z
S
H J
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
t
B 0
D
准静态场又称为似稳场 工频正弦稳态电路分析
准静态场分析例题
圆盘形状的平行板电容器，间距 d=0.5cm，中间为云母电介质，
r 5.4 ，现加电压 u(t) 110 2 cos 314t V, 求平板间的电场和磁场。
解：低频，看做EQS
u EH
E(t)
u(t ) d
(ez
)
3.11 104
cos 314t(ez
)
V/m
由安培环路定律可得 H 2 r D r 2 E r 2
H(t
)
2.335104
r
sin314t
t (e
)
t
A/m
讨论：
EB
- H
t
H
E
J B
D t
t
B 0
Jd
f
Jdm Em
1KHz
8.89*105
Jcm Em
1MHz
8.89*102
故 Jc Jd
1GHz 106MHz
0.889 8.89*10—4
与频率密切相关
电准静态场——EQS
若 B 0
t
即可忽略位移电流对磁场的影响
H
J
D
t
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
z
在导体的一个透入深度区间
内分布
导电媒质
也称为集肤效应
透入深度与材料的导电导磁参数
E x (z, t ) 2E0ez cost z
电磁场课件12准静态电磁场涡流平面电磁波资料教学文案
HJDJ t
H J
J E
B H
E B t
B0
2H H 0
t
2E E 0
t
J E
2J j J 正弦稳态情况 2J J 0
t
在正弦稳态下，电流密度满足扩散方程。
2J k 2J
式中 k j / 2 (1 j)
1 (1 j) j
d
设半无限大导体中，电流
沿 y 轴流动，则有
定义： d
1
2 称为透入深度（skin depth）或集肤深度
其大小反映电磁场衰减的快慢。
当 x = x0 时， J y (x0 ) J0e x0
当 x=x0+d 时，
J y (x0 d ) J0e (x 0d)
J0ex0 e1
J
y
透入深度
(x0 ) 36.8%
d 表示电磁场衰减到原来值的36.8% 所经过的距离。
用洛仑兹规范 A t ，化简得到泊松方程
2 A J , 2 /
一般低频交流电情况下，平板电容器中的电磁场属于电准静态场。
5.1.2 磁准静态场MQS
若位移电流远小于传导电流，忽略感应项 D 的
作用，即
JD
D t
0
t
条件：场与源近似具有瞬时 对应关系，忽略推迟效应。
麦氏方程： H J , B 0 ,
在 MQS 场中，磁场满足涡流场方程（扩散方程）
2H k 2H
d 2 Hz dx2
jHz
k 2Hz
解方程得到
HZ B0ch(kx) /
Bz B0ch(kx)
利用 (kx)
Bz和 Jy 的幅值分别为
1
Bz
B0
电磁场导论准静态电磁场解读
+ u(间变化缓慢, 近似为电准静态场， 1）仿照静电场求得介质中的电场强度
E (t ) U u (t ) e z m sint e z d d
2）介质中无传导电流，仅有位移电流密度
D E ( E m sint ) e z U m cos t e z t t t d D H d l 由M1方程 l S t dS
l2
S
t
坡印亭矢量 S E H r ( 0 NI 0 e t / ) ( NI 0 e t / ) (e e z ) 2 r 可见，电磁功率由螺线管 2 2 2t / 0 N I 0 e er 线圈内部沿半径向外传输。 2
2018/9/29 第六章准静态电磁场 11
2018/9/29 第六章准静态电磁场
l1 i (t)
H(t)
l2
E(t) 6-5题图
14
6-3 集肤效应与邻近效应
6-3-1 集肤效应
假设 x0的半无限大空间导体， 通有y方向的正弦电流i(t)， 电流扩散方程
y Jy x
jJ k 2J 2 J
简化为 通解
d2 J y dx 2 C ekx C e kx J y 1 2 k 2J y
J、E和H的振幅都沿导体的纵深x按指数规律ex衰减， 而且相位x也随之改变。 频率很高时，电流密度几乎只在导体表面附近一薄层中。
场量主要集中在导体表面附近的这种现象，称为 集肤效应。
2018/9/29 第六章准静态电磁场 16
工程上常用透入深度d表示场量的集肤程度 定义：透入深度d为场量振幅衰减到其表面值的 1/e时所经过的距离。
因此，一般认为良导体内部没有体电荷， = 0
五准静态电磁场
Jy(x)ey,于是得：
d 2 J y dx 2
jJ y
J0
J
令 K 2 j K j 1 j j
则
d 2J y dx 2
K 2J y
2
Jy C1eKx C2eKx
分析：第二项中，由于x 时，Jy是有限值，C2 0
若x＝0时，Jy J0 ， C1 J0
Jy J0eKx J0exe jx
屏蔽的效能用屏蔽系数S来表示，S = E/E0 电磁场的屏蔽往往只需屏蔽一个场量E或B。
二、薄导电板中的涡流
工频、音频（30～3kHz）变压器和交流电路的铁心通常由 相互绝缘的薄钢片叠成，以减小涡流损耗。
如图所示，厚度a很小（0.5mm），a<<l、a<<h
假定：
1）E、H和J近似为x的函数。
2）H = Hz(x,t)，E = Ey(x,t)、J = Jy(x,t)
B
3）H = Hz(x,t)按正弦规律变化，是MQS场。
t
B
A dl
A
B
d
A
(t)
i ( Ri
r
R)
L
di dt
1 C
idt
或 (t) U R U L UC
• 说明：路是场的近似，
• 基尔霍夫第二定律
实际问题中采用场或 路的方法进行计算，
需要根据具体条件。
§5-4 集肤效应
导体内通过交变电流时，周围、内部产生交变的磁场， 而交变的磁场产生感应电场，使导体内部的电流分布不均， 在靠近导体表面处电流密度增加，而内部电密减小，高频时 更趋于只有表面有电流通过，这种现象称为集肤效应。
E y E0exe jx
H z
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0 E
0 t
t/τ (x, y, z) e 一阶微分方程的解 0
可见，导体中自由电荷密度按指数规律衰减，称 为电荷的弛豫。
其中，=/ 称为弛豫时间
2018/9/29 第六章准静态电磁场 5
非理想介质的电导率很小，弛豫时间较长； 聚苯乙烯 =2.550 F/m， =10-16S/m， 弛豫时间 =2.25103秒； 良导体电导率很大，弛豫时间=/远远小于1。 铜 = 0 =8.851012F/m， =5.80107S/m， 弛豫时间 =1.5210-19秒
k j j
2018/9/29
电磁场扩散方程 是研究准静态情 况下集肤效应、 邻近效应和涡流 问题的基础。
/ 2
13
第六章准静态电磁场
作
业
6-2 无限大均匀导电媒质中有一个初始值为q0的 点电荷，试问点电荷的电量q(t)如何随时间变化？ 求媒质中任一点的：1）电场强度和位移电流密度； 2）传导电流密度和磁场强度。 6-5 半径为a 的长直圆柱型导 线为理想导体（1=）。设导 线中通有缓变电流 i(t)= Imsintez 求：导线外的磁场强度H(t)和 感应电场E(t)。
E E t
2
2018/9/29 第六章准静态电磁场 12
上式两边同乘，则得到
J J t
2
以上三式就是在MQS近似下，导体中任一点的E、 H和J所满足的微分方程，称为电磁场的扩散方程。
相应的复数形式 ：
jH k2H H
2
jE k2E 2 E jJ k 2J 2 J
2018/9/29 第六章准静态电磁场 17
6-3-2 邻近效应 邻近效应：通电导体处于其它导体电流产生的电 磁场中时，其电流分布受到邻近导体的影响。 假设一对汇流排 a<<b<<l， y 电导率和磁导率分别为 和 I I 0 。磁场扩散方程简化为 x b ⊙
d H y
2
0
dx 2
k 2H y
例 6-1 平 板 电 容 器 极 板 为 半 径 10cm 的 圆 金 属 片 ， 极 间 距 离 为 R 1cm ，理想介质的介电常数为 20 ， 外接缓变电压 u(t)=220sin314t
求: 1)介质中的时变电场强度E(t) 2)介质中的时变磁场强度H(t)
2018/9/29 第六章准静态电磁场
导电媒质中的电位分布也按指数规律衰减， 其衰减快慢同样决定于弛豫时间。
2018/9/29
第六章准静态电磁场
7
6-2 磁准静态场
6-2-1 磁准静态场（MQS）
当位移电流远远小于传导电流时，D/t可以忽略不计， 则称为磁准静态场。 D B 0 H J J 基本方程： t B D E t
I d J ch k ( a x) z x b sh (ka) 2 H y
Jz
0
d/2
d/2+a
x
由曲线图可见，靠近两块汇流排相对的内侧面 附近电流密度最大，呈现较强的邻近效应。 原因在于导体内部的电流密度与空间电磁波分 布密切相关，两线相对的内侧电磁能量密度大， 传入导线的功率大，故电流密度也较大。
2018/9/29 第六章准静态电磁场 19
6-4 涡流损耗与电磁屏蔽
电气工程中的发电机、变压器的铁心和端盖都是由大 块铁心构成的。在变化的磁场中，这些导体内部都会因电 磁感应产生自行闭合、呈旋涡状流动的电流，因此称之为 涡旋电流，简称涡流。 z
6-4-1 涡流及其损耗
以变压器铁心 为例，在磁准静 态MQS近似下， 分析钢片中的电 磁场分布
a
l
y
h x
B
2018/9/29
第六章准静态电磁场
20
y 设硅钢片外磁场B沿z向， a E J 宽度h≫厚度a，可忽略边缘效 应，认为E和J仅有y分量Ey和Jy。 h≫a 由于磁路长度l和宽度h远远大 一片薄板的横截面 于其厚度a，可近似认为E和H 与y和z无关，仅是x的函数 2
x E J
磁场扩散方程简化为 通解
图 6-4
X方向，C2=0 其中积分常数由边界条件确定 设表面J C =J0 0， 1
2018/9/29 第六章准静态电磁场 15
J ekx J exe jx J y 0 0
E y J y
J0
ex e jx E0ex e jx
jH 得 E 1 jk 由 E y Hz E0exe jx j x
得
磁场强度
2018/9/29
H 2r r
H( t )
2
d
U m cost
r U m cos t e 2d
4
第六章准静态电磁场
6-1-2 电荷在导体中的弛豫过程
对全电流定律两边取散度 由矢量恒等式，得 由于E=/，得
( H ) J D t E t
因此，一般认为良导体内部没有体电荷， = 0
两层非理想介质的平板电容器， 与直流电压源U接通的过渡过程 中，其分界面上将逐渐积累自由 U 电荷 1 2 2 1 U (1 e t / ) b 1 a 2 弛豫时间
2018/9/29
S a b 1 2 1 2
2
标量电位： E (t ) (t )
(t ) 边值问题： (t )
2
2018/9/29
第六章准静态电磁场
电力系统和电气装置中由时变磁场产生的感应电 场，相对于高电压产生的库仑电场很小，可忽略不计， 属于电准静态场问题。
低频电工电子设备中的感应电场相对于库仑电场可 能不小，但其旋度Ei很小时，E=(Ec+Ei） Ec=0成立，也可按电准静态场考虑。
d H 2 z k Hz 2 dx
C ekx C e kx H z 1 2
J、E和H的振幅都沿导体的纵深x按指数规律ex衰减， 而且相位x也随之改变。 频率很高时，电流密度几乎只在导体表面附近一薄层中。
场量主要集中在导体表面附近的这种现象，称为 集肤效应。
2018/9/29 第六章准静态电磁场 16
工程上常用透入深度d表示场量的集肤程度 定义：透入深度d为场量振幅衰减到其表面值的 1/e时所经过的距离。
第六章 准静态电磁场
当电磁场随时间变化较缓慢时，在不影 D B 响工程计算精度的前提下，忽略 或 的 t t 电磁场，称为准静态电磁场。 6-1 电准静态场
6-2 磁准静态场 6-3 集肤效应与邻近效应
6-4 涡流损耗与电磁屏蔽
6-5 电路定律和交流阻抗
2018/9/29 第六章准静态电磁场 1
d 1 / 2 /
可见，频率越高，导电性能越好的导体，透入深 度越小，集肤效应越显著。
例如，铜在f=50Hz时，透入深度d=9.4mm； 当频率f=51010Hz时，透入深度d=0.66m。 应当注意，在大于d的区域内，场量并非为零，而是继 续衰减。经过13.8d距离场强衰减到只有表面值的109。
l2
S
t
坡印亭矢量 S E H r ( 0 NI 0 e t / ) ( NI 0 e t / ) (e e z ) 2 r 可见，电磁功率由螺线管 2 2 2t / 0 N I 0 e er 线圈内部沿半径向外传输。 2
2018/9/29 第六章准静态电磁场 11
电力传输线的长度和电工设备中线圈的尺 寸远远小于工频波长6000km，都可作为磁准 静态场问题处理。
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例6-2 细长空心螺线管半径为a，单位长度N匝， 媒质参数分别为 0 、 0 、 =0 。设线圈中电流 为 i(t ) I 0et / 求螺线管内媒质中的： 1）磁场强度H(t)； i(t) 2）电场强度E(t)； l1 3）坡印亭矢量S。 解：1) 线圈电流变化缓慢,可近似为磁准静态场， 图 6-2 仿照恒定磁场求H
时变磁场：有旋、无散。 （同恒定磁场） B(t ) A(t ) 矢量磁位： 2 A(t ) J (t ) 边值问题：
磁准静态场与恒定磁场的计算方法相同。此时B和H仍 是时间的函数，但与场源J (t)之间具有瞬时对应关系。
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若导体满足条件（/）<< 1，意味着导体 中的位移电流远远小于传导电流，则可看为良 导体，位移电流可以忽略不计，属于磁准静态 场问题。 若理想介质中的场点到源点的距离r远远小 于波长，则处于时变电磁场的近区范围（似稳 场），推迟作用可以忽略不计，也属于磁准静态 场问题。
kx
Ce 通解 H y 1
C2e
kx
a
d
a
d I ( ) 内侧 H y 2 b 根据边界条件
外侧
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d H y ( a) 0 2
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第六章准静态电磁场
磁场强度用双曲函数表示为 I d Hy sh k ( a x) b sh (ka) 2 J ，可得 利用 H
H (t ) N i(t ) ez N I 0et / ez
细长螺线管：管外磁场为零，管内磁场均匀
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H dl i(t )
l1
2）在螺旋管内取同心圆l2 H E dl 0 ds
E 2r 0 N I 0et / r 2 r E 0 NI 0 e t / e 2
+ u(t)
图6-1