第五章准静态电磁场
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第五章准静态电磁场
电容器两极板间电压
U BA
q 1 idt C C
B B
A
第 五 章
准静态电磁场
有
di 1 (t ) L idt i( Ri r R) uL uC uR dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
表明电路理论是特殊情况下得麦克斯韦电磁理论的近似。 当满足MQS的似稳条件时，研究场的问题时可以采用路 的方法。
(0) J 当 x , Jy 有限，故 C2 0 , C1 J y 0
则
x jx J y ( x) J 0 e e
E 由 J
1 x jx E y ( x) J 0 e e
jH H ( x) j 由 E z
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件 ( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t 解方程，得面电荷密度为
图5.3.2 双层有损介质的平板 电容器
t τ
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
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MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，
在任一时刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。
B 而MQS场的电场按 计算。 E t
以下两种情况可看作磁准静态场来计算：
1 1，对于导体中的时变电磁场，满足： 则位移电流可以忽略，可按磁准静态场来处理。把
满足上述条件的导体称为良导体。
为电导率很大，驰豫时间远小于1，e指数约为0，
一般认为良导体内无自由电荷的积累。电荷分布在
导体表面。
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U BA
q 1 idt C C
B B
A
第 五 章
准静态电磁场
有
di 1 (t ) L idt i( Ri r R) uL uC uR dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
表明电路理论是特殊情况下得麦克斯韦电磁理论的近似。 当满足MQS的似稳条件时，研究场的问题时可以采用路 的方法。
(0) J 当 x , Jy 有限，故 C2 0 , C1 J y 0
则
x jx J y ( x) J 0 e e
E 由 J
1 x jx E y ( x) J 0 e e
jH H ( x) j 由 E z
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件 ( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t 解方程，得面电荷密度为
图5.3.2 双层有损介质的平板 电容器
t τ
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
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MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，
在任一时刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。
B 而MQS场的电场按 计算。 E t
以下两种情况可看作磁准静态场来计算：
1 1，对于导体中的时变电磁场，满足： 则位移电流可以忽略，可按磁准静态场来处理。把
满足上述条件的导体称为良导体。
为电导率很大，驰豫时间远小于1，e指数约为0，
一般认为良导体内无自由电荷的积累。电荷分布在
导体表面。
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电磁场课件12准静态电磁场涡流平面电磁波资料教学文案
HJDJ t
H J
J E
B H
E B t
B0
2H H 0
t
2E E 0
t
J E
2J j J 正弦稳态情况 2J J 0
t
在正弦稳态下，电流密度满足扩散方程。
2J k 2J
式中 k j / 2 (1 j)
1 (1 j) j
d
设半无限大导体中，电流
沿 y 轴流动，则有
定义： d
1
2 称为透入深度（skin depth）或集肤深度
其大小反映电磁场衰减的快慢。
当 x = x0 时， J y (x0 ) J0e x0
当 x=x0+d 时，
J y (x0 d ) J0e (x 0d)
J0ex0 e1
J
y
透入深度
(x0 ) 36.8%
d 表示电磁场衰减到原来值的36.8% 所经过的距离。
用洛仑兹规范 A t ，化简得到泊松方程
2 A J , 2 /
一般低频交流电情况下，平板电容器中的电磁场属于电准静态场。
5.1.2 磁准静态场MQS
若位移电流远小于传导电流，忽略感应项 D 的
作用，即
JD
D t
0
t
条件：场与源近似具有瞬时 对应关系，忽略推迟效应。
麦氏方程： H J , B 0 ,
在 MQS 场中，磁场满足涡流场方程（扩散方程）
2H k 2H
d 2 Hz dx2
jHz
k 2Hz
解方程得到
HZ B0ch(kx) /
Bz B0ch(kx)
利用 (kx)
Bz和 Jy 的幅值分别为
1
Bz
B0
《电磁场与电磁波》准静态电磁场
导电媒质的典型特征是电导率 ≠ 0
电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流J=E
存在，同时伴随着电磁能量的损耗
1 导电媒质的复介电常数
D
H E
t
H = E +j E j ( j ) E
c j
H j c E
复介电常数
电磁波的相位速度仅与媒质相关
z 增大，相位滞后变
大，故k 称相位常数
dz
1
vp
dt k
真空中电磁波的相位速度： v0
1
0 0
5）电磁场关系—波阻抗
Ex Ex0 cos t kz
Hy
k
Ex 0 cos t kz
Z
Hy
理想介质
Z
（实数，纯电阻性质）
Ɛ替换为Ɛc
导电媒质 Z c
c
Zc
Z c e j
j
1
1
tan
2
π
0~
4
（呈电阻电感性）
6）相位速度（波速）
1
理想媒质中：v k
损耗媒质中：
媒质损耗使波的传播速度变慢，波长变短
波长 λ：相位差2π的两个相邻空间点的间隔
k 2π
k
2π
=
波数 k：2π距离内的波长数
k ：相移常数
单位距离内相位的变化量
相位变化的快慢: 随时间--频率
随空间--波数
电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流J=E
存在，同时伴随着电磁能量的损耗
1 导电媒质的复介电常数
D
H E
t
H = E +j E j ( j ) E
c j
H j c E
复介电常数
电磁波的相位速度仅与媒质相关
z 增大，相位滞后变
大，故k 称相位常数
dz
1
vp
dt k
真空中电磁波的相位速度： v0
1
0 0
5）电磁场关系—波阻抗
Ex Ex0 cos t kz
Hy
k
Ex 0 cos t kz
Z
Hy
理想介质
Z
（实数，纯电阻性质）
Ɛ替换为Ɛc
导电媒质 Z c
c
Zc
Z c e j
j
1
1
tan
2
π
0~
4
（呈电阻电感性）
6）相位速度（波速）
1
理想媒质中：v k
损耗媒质中：
媒质损耗使波的传播速度变慢，波长变短
波长 λ：相位差2π的两个相邻空间点的间隔
k 2π
k
2π
=
波数 k：2π距离内的波长数
k ：相移常数
单位距离内相位的变化量
相位变化的快慢: 随时间--频率
随空间--波数
准静态电磁场优秀课件
基本方程组（微分形式）：
E 0 , H J D , D , B 0 t
特点: 与静电场相比，磁场方程发生变化，电场方程无变化。
11.10.2020
2
求解方法：分两步 1）电场的求解采用静电场的公式 2）磁场的求解通过电准静态场的基本方程求解
电荷 静电场公式
分布
Ｅ、Ｄ
HJD,B0 t
5.2 磁准静态场与电路 MQS Filed and Circuit
1 证明基尔霍夫电流定律
在 MQS 场中， H J J 0J dS 0 S
S J dS S 1 J 1 d S S 2J 2d S S 3J 3 d S
i1i2i30
即集总电路的基尔霍夫电流定律
i 0
结点电流
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
E
U
ln(b/
a)
e
H
I
2
e
a
I
b H
S E
SE H *22U lIn*b/(a)ez
P RS 2 e2 U [ l I * b n /a )d (] S Ra be lU I b n [ * /a )d (] R U I * e ] [
荷决定。
11.10.2020
15
例3 一无限大金属平板，其上方的半无限空间内充满了
均匀的不良导体。在t=0瞬时，在该导体中已形成了一球
形自由电荷云，球内电荷密度为ρ0。问电荷驰豫过程中
电位如何分布？
z
解:
'
3a2 r2
5
求解方法：分两步 1）磁场的求解静态场的公式 2）电场的求解通过磁准静态场的基本方程求解
BA, EA
五准静态电磁场
Jy(x)ey,于是得：
d 2 J y dx 2
jJ y
J0
J
令 K 2 j K j 1 j j
则
d 2J y dx 2
K 2J y
2
Jy C1eKx C2eKx
分析：第二项中，由于x 时，Jy是有限值，C2 0
若x＝0时，Jy J0 ， C1 J0
Jy J0eKx J0exe jx
屏蔽的效能用屏蔽系数S来表示，S = E/E0 电磁场的屏蔽往往只需屏蔽一个场量E或B。
二、薄导电板中的涡流
工频、音频（30～3kHz）变压器和交流电路的铁心通常由 相互绝缘的薄钢片叠成，以减小涡流损耗。
如图所示，厚度a很小（0.5mm），a<<l、a<<h
假定：
1）E、H和J近似为x的函数。
2）H = Hz(x,t)，E = Ey(x,t)、J = Jy(x,t)
B
3）H = Hz(x,t)按正弦规律变化，是MQS场。
t
B
A dl
A
B
d
A
(t)
i ( Ri
r
R)
L
di dt
1 C
idt
或 (t) U R U L UC
• 说明：路是场的近似，
• 基尔霍夫第二定律
实际问题中采用场或 路的方法进行计算，
需要根据具体条件。
§5-4 集肤效应
导体内通过交变电流时，周围、内部产生交变的磁场， 而交变的磁场产生感应电场，使导体内部的电流分布不均， 在靠近导体表面处电流密度增加，而内部电密减小，高频时 更趋于只有表面有电流通过，这种现象称为集肤效应。
E y E0exe jx
H z
准静态电磁场PPT讲稿
Ｈ、Ｂ
3/48
例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l （>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压 u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的
圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
E
U ln(b /
a)
e
a
H
H 2I e b P
Re[
S
2
UI* 2 ln(b /
a)
dS ]
Re[
b a
UI* ln(b /
a)
d ]
Re[UI* ]
I
S E
S
E
H*
2
UI* 2 ln(b
/
a)
ez
5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation
a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。 b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论
的近似。 c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略，
此时采用磁准静态场定律来研究。
2020/6/30
11/48
例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
E
U0 sint ln(b / a)
e
ρ
JD
D t
E t
U0 cost ln(b / a)
e
iD
sJ D
dS
2l
U0 cost ln(b / a)
3/48
例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l （>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压 u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的
圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
E
U ln(b /
a)
e
a
H
H 2I e b P
Re[
S
2
UI* 2 ln(b /
a)
dS ]
Re[
b a
UI* ln(b /
a)
d ]
Re[UI* ]
I
S E
S
E
H*
2
UI* 2 ln(b
/
a)
ez
5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation
a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。 b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论
的近似。 c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略，
此时采用磁准静态场定律来研究。
2020/6/30
11/48
例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
E
U0 sint ln(b / a)
e
ρ
JD
D t
E t
U0 cost ln(b / a)
e
iD
sJ D
dS
2l
U0 cost ln(b / a)
电磁场理论优秀课件
第五章 准静态电磁场
麦克斯韦方程组描述了时变电磁场中时变电场与时变磁场相 互依存又相互制约，并以有限速度在空间传播，形成电磁波旳普 遍规律。此时，电磁场量旳鼓励与响应不是同步发生旳，场量旳 时间变量t与空间变量r有关。但在许多工程问题中，尤其在电气 设备、电力传播、生命科学等领域，时变电磁场旳频率教低，因 而在某些特定旳情况下，能够忽视二次源 B 或 D 旳作用，
例5-3 研究具有双层有损介质旳平板电容器接至直流电压 源旳过分过程，如图5-3所示。[书p.195例5-4]
解：设电容器在t≤0-时
处于零状态，极板上没有电
S
荷，即E1(0-)=E2(0-)=0,u(0-)
=0；t≥0+时，电容器旳端电 压被强制跃变，即u(0+)=U。
U
o
根据电容旳伏安关系
ε2 γ2 ε1 γ1
内外导体之间旳坡印亭矢量是
S E H •
•
•
••
U I
2 2 ln
b a
ez
同轴线传播旳平均功率应是坡印亭矢量在内外导体之间旳横截面
S上旳面积分，即
P
Re
S
••
U I
2 2 ln
b
a
dS
• ReUln
•
I
b a
b a
d
•
Re[U
•
I
]
P Re
••
U I
dS
• ReU
•
I
t
旳库仑电场Ec和感应电场Ei。在低频电磁场中，假如感应电场Ei
远不大于旳库仑电场Ec，则能够忽视Bt 现无旋性
旳作用，这时旳电场呈
E （E c E i） E c 0 （5-1）
麦克斯韦方程组描述了时变电磁场中时变电场与时变磁场相 互依存又相互制约，并以有限速度在空间传播，形成电磁波旳普 遍规律。此时，电磁场量旳鼓励与响应不是同步发生旳，场量旳 时间变量t与空间变量r有关。但在许多工程问题中，尤其在电气 设备、电力传播、生命科学等领域，时变电磁场旳频率教低，因 而在某些特定旳情况下，能够忽视二次源 B 或 D 旳作用，
例5-3 研究具有双层有损介质旳平板电容器接至直流电压 源旳过分过程，如图5-3所示。[书p.195例5-4]
解：设电容器在t≤0-时
处于零状态，极板上没有电
S
荷，即E1(0-)=E2(0-)=0,u(0-)
=0；t≥0+时，电容器旳端电 压被强制跃变，即u(0+)=U。
U
o
根据电容旳伏安关系
ε2 γ2 ε1 γ1
内外导体之间旳坡印亭矢量是
S E H •
•
•
••
U I
2 2 ln
b a
ez
同轴线传播旳平均功率应是坡印亭矢量在内外导体之间旳横截面
S上旳面积分，即
P
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S
••
U I
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b
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dS
• ReUln
•
I
b a
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•
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••
U I
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• ReU
•
I
t
旳库仑电场Ec和感应电场Ei。在低频电磁场中，假如感应电场Ei
远不大于旳库仑电场Ec，则能够忽视Bt 现无旋性
旳作用，这时旳电场呈
E （E c E i） E c 0 （5-1）
电磁场课件12-准静态电磁场、涡流、平面电磁波
集肤效应-电流扩散方程
在磁准静态场MQS中，导体中的位移电流远小于传导电流，忽略。
D H J J t
H J
J E
B E t
B H
H H 0 t E 2 E 0 t
2
B 0
J E
t
0
对应关系，忽略推迟效应。
麦氏方程： H J , B 0 ,
磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准静态场（MQS）。
B E , D 0 t
1 R
用库仑规范 A 0 ，化简整理得到
A J ,
2
/
热效应 涡流是自由电子的定
向运动，与传导电流有相同的热效应。
工程应用：电磁炉、变压器电机铁心叠片等。
涡流
去磁效应 涡流产生的磁场反抗原磁场的变化。
工程应用：电磁闸。
涡流方程
在磁准静态场MQS中，导体中的位移电流远小于传导电流，忽略。
D H J J t
H J
J E
j J J
2
正弦稳态情况
J J 0 t
2
在正弦稳态下，电流密度满足扩散方程。
2 J k J 2
式中 k
j / 2 (1 j)
1 (1 j) j d 设半无限大导体中，电流 沿 y 轴流动，则有
( x) dJ y
则
x j x J y ( x) J 0e e
k j
E 由 J
1 x jx E y ( x) J 0e e
( x) j H z kJ 0 e x e jx
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• 任意两种场之间的空间尺度和时间尺度没有绝对的分界线。 • 工程应用（电气设备及其运行、生物电磁场等）
5.1 电准静态场和磁准静态场
电
低频时，忽略二次源
B ( 0 ) t
的作用，即 Ei 0, 电磁场基本方程为
准 静
H J D , B 0 , J
t
t
态
E 0 , D
良导体中可以忽略位移电流，场为MQS：
H JC
和 E j H
在导体中，MQS场中同时存在自由电流和感应电流。
靠近轴线处，场量减小；靠近表面处，场量增加，称为
集肤效应（skin effect )。
在正弦稳态下，电流满足扩散方程（热传导方程）
图5.4.1 电流的集肤效应
涡流问题具有实际意义（高频淬火、涡流的热效应电磁屏蔽等）。
5.6 导体的交流内阻抗
直流或低频交流
电流均匀分布 R l / s
高频交流
集肤、去磁效应，电流不均匀分布
Z
1 I2
( E H* )dS
S
例 5.6.1 计算圆柱导体的交流参数（设透入深度 d a ）
解 在MQS场中，设 H dl I H ES~ Z L
频率越高，导体靠得越近，邻近效应愈显著。邻近效应与集肤效应共 存，它会使导体的电流分布更不均匀。
图5.4.5 单根交流汇流排的电流集肤效应
图5.4.6 两根交流汇流排的邻近效应
5.5 涡流及其损耗
5.5.1 涡流 当导体置于交变的磁场中，与磁场正交的曲面上将产
生闭合的感应电流，即涡流 (eddy current)。其特点：
b）E （EQS）和 E A t （MQS），表明 E 不相同。
5.2 磁准静态场与集总电路
在MQS场中， J
0
即
J
s
dS
0
，故有
J dS s
S1 J1 dS
S2 J2dS
S3 J3dS i1 i2 i3 0
即集总电路的基尔霍夫电流定律
i0
图5.2.1 结点电流
一致，解题方法相同。EQS的磁场按 H J D t 计算。
· MQS的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，在任一时刻 t ，两种磁场的分布
一致，解题方法相同，MQS的电场按 E B t 计算。
·
在两种场中满足相同的微分方程，描述不相同的场，为什么？
a）A的散度不同，A 必不相同， B A也不相同；
1 I02
S
(
2
(1
j
)H
H
dS
l ( 1 j ) 2 2a
其中
RX l
2a
2
, L l
2a 2
R l 2a 2
L l 2a 2
·交流电阻 R 随 的增加而增大
R l a 1 a a 2
2
l a2
a 2
2
R直
a 2d
由于 d a ，故 R R直 ，且随 的增加而增大，集肤效应的结果。 · 自感 L 随 的增加而减小
由 J E, 有
Ey (
x
)
1
J0e
xe
j
x
Jy( x ) J0e xe j x
由 E j H有
Hz (
x
)
j
kJ0
e xe
j
x
· 令d 1 2 称为透入深度（Skin depth），d 的大小反映电磁场衰减的快慢。
当 x x0 时，幅值 J y( x0 ) J0ex0
当 x x0 d 时，幅值J y (x0 d) J0e(x0d)
根据
J
s
dS
q
/
t ,
有
J1nS
J2nS
t
S
1 2
1lS
1 2
2
lS
图5.3.1 导体分界面
当 l 0
时，有 J 2 n
J1n
t
0
即
(
2 E2n
1E1n
)
t
(
2 E2 n
1E1n
)
0
例5.3.1 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过渡过程，写出分界面
上面电荷密度 的表达式。
解 EQS： aE1 bE2 US
d a ，无反射，电流不均匀分布I' I0 ek( ar )
安培环路定律H
I 2r
e
I0 2r
ek( ar )e
根据 H Ezez 有
图5.6.1 圆柱导体
交流参数
Ez
1
1 r
r
(
rH
)
k
H
I0k ek( ar ) 2 r
2
(1
j
)H
1
Z R jX I02
( E H
S
) dS
电力传输系统 高压传输线绝缘子的电晕放电； 高压传输线中电流与电压的谐波分量；
电
磁
电牵引系统
干
扰
源 人 气体放电灯
为
干 静电放电
扰
源
高压传输线之间的邻近效应； 电气化铁道、有轨无轨电车上的受电弓与电网线间的放电和 电力电子器件整流后的电流谐波分（0.1~150kHz） ； 荧光灯、高压汞灯、放电管等产生的放电噪音；
分界面衔接条件
图5.3.2 双层有损介质的平板电容器
解方程，得面电荷密度为
(
2 E2
1E1 )
t
(
2
E2
1E1)
0
2 a
1 2
1 2 b 1
Us(1
t
e
)
结论：当导电媒质通电时，电荷的驰豫过程导致分界面有积累的面电荷。
5.4 集肤效应与邻近效应
5.4.1 集肤效应
在正弦电磁场中，J JC JD E j E，满足 的材料称为良导体，
用库仑规范 A 0 ，得到动态位满足的微分
方程 2 A J , 2 /
EQS 与 MQS 的共性与个性
·
满足泊松方程，说明 EQS 和 MQS 忽略了滞后效应和波动性，属于似稳场。
,A
,A
· EQS和MQS 场中，同时存在着电场与磁场，两者相互依存。
· EQS场的电场与静电场满足相同的基本方程，在任一时刻 t ，两种电场的分布
( r ,t
)
V
0 4 r
t
e e dV
0( r
t
)e e
说明在EQS场中，导电媒质中自由电荷体密度 产生的电位很快衰减至零。
· 导电媒质中，以 分布的电荷在充电过程中驰豫何方？ · 充电后，导电媒质的电位为零吗？
5.3.2 电荷在分片均匀导体中的驰豫过程
分界面上 E1t E2t 和 2E2n 1E1n
时变场中
E dl
L
L( Ei
Ec Ee ) dl
B ds s t
电阻（MQS） 电容（EQS）
LR Ec dl
LR
J
dl
li s
Ri
uR
Lc Ec dl
q( t ) dl Lc s
1 q( t ) c
1 c
idt uc
电感（MQS） LL
Ei
dl
B
s t
第五章 准静态电磁场
第 5 章 准静态电磁场
时变电磁场
准静态场 （低频）
电准静态场
( B 0 ) t
磁准静态场
( D 0 ) t
具有静态电 磁场的特点
动态场 （高频）
似稳场 （忽略推迟效应）
电磁波
• 电准静态场——Electroquasitatic 简写 EQS 磁准静态场—— Magnetoquasistatic 简写 MOS
1 ( 1 j ) j
d
以半无限大导体为例，电流沿 y 轴流动，
则有
2 Jy( x ) k 2 Jy( x )
通解形式
Jy( x ) c1ekx c2ekx
图5.4.2 半无限大导体中的电流 Jy的分布
通解
Jy( x ) C1ekx C2ekx
当 x ，jy 有限，故 C2 0 , C1 Jy( 0 ) J0 , 则
设导电媒质 , 均匀，且各向同性，在EQS场中
式中o
J
t
J D / D
0 通解为 t
为t 0 时的电荷分布，e /
( 驰豫时间)，
t
oe e
说明导电媒质在充电瞬间，以体密度分布的电荷随时间迅速衰减。
EQS场中，导体媒质内的电位满足 2
1
t
0e e
特解之一为
接地 工作接地 电磁屏蔽
屏蔽 磁屏蔽
电屏蔽
电流、漏电流等直接引入大地。
系统内部带电体接参考点（不一定与大地相连），以保证设备、 系统内部的电磁兼容。 在高频电磁场中，利用电磁波在良导体中很快衰减的原理，选择 d
小且具有一定厚度 (h 2d) 的屏蔽材料。
在低频或恒定磁场中，利用磁通总是走磁阻小的路径的原理，采用有 一定厚度的铁磁材料。 在任何频率下，利用金属感应电荷，且通过接地线流入大地的原理， 采用金属屏蔽材料，且接地。若是静电场，可实现全屏蔽；若允许磁
必须减小钢片厚度，如Ka 0.44 ，a 0.05mm，得 Bz / B0 1 5.5.3 涡流损耗
图5.5.6 电工钢 片的集肤效应
体积V中导体损耗的平均功率为
Pe
V
1
Jy
2
dV
Bz2av
lh Ka2 2
shKa sin Ka chKa cos Ka
Pe a, , , 1 若要减少 Pe ,必须减小 （采用硅钢），减小 a（采用叠 片）， 提高 （但要考虑磁滞损耗）
5.1 电准静态场和磁准静态场
电
低频时，忽略二次源
B ( 0 ) t
的作用，即 Ei 0, 电磁场基本方程为
准 静
H J D , B 0 , J
t
t
态
E 0 , D
良导体中可以忽略位移电流，场为MQS：
H JC
和 E j H
在导体中，MQS场中同时存在自由电流和感应电流。
靠近轴线处，场量减小；靠近表面处，场量增加，称为
集肤效应（skin effect )。
在正弦稳态下，电流满足扩散方程（热传导方程）
图5.4.1 电流的集肤效应
涡流问题具有实际意义（高频淬火、涡流的热效应电磁屏蔽等）。
5.6 导体的交流内阻抗
直流或低频交流
电流均匀分布 R l / s
高频交流
集肤、去磁效应，电流不均匀分布
Z
1 I2
( E H* )dS
S
例 5.6.1 计算圆柱导体的交流参数（设透入深度 d a ）
解 在MQS场中，设 H dl I H ES~ Z L
频率越高，导体靠得越近，邻近效应愈显著。邻近效应与集肤效应共 存，它会使导体的电流分布更不均匀。
图5.4.5 单根交流汇流排的电流集肤效应
图5.4.6 两根交流汇流排的邻近效应
5.5 涡流及其损耗
5.5.1 涡流 当导体置于交变的磁场中，与磁场正交的曲面上将产
生闭合的感应电流，即涡流 (eddy current)。其特点：
b）E （EQS）和 E A t （MQS），表明 E 不相同。
5.2 磁准静态场与集总电路
在MQS场中， J
0
即
J
s
dS
0
，故有
J dS s
S1 J1 dS
S2 J2dS
S3 J3dS i1 i2 i3 0
即集总电路的基尔霍夫电流定律
i0
图5.2.1 结点电流
一致，解题方法相同。EQS的磁场按 H J D t 计算。
· MQS的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，在任一时刻 t ，两种磁场的分布
一致，解题方法相同，MQS的电场按 E B t 计算。
·
在两种场中满足相同的微分方程，描述不相同的场，为什么？
a）A的散度不同，A 必不相同， B A也不相同；
1 I02
S
(
2
(1
j
)H
H
dS
l ( 1 j ) 2 2a
其中
RX l
2a
2
, L l
2a 2
R l 2a 2
L l 2a 2
·交流电阻 R 随 的增加而增大
R l a 1 a a 2
2
l a2
a 2
2
R直
a 2d
由于 d a ，故 R R直 ，且随 的增加而增大，集肤效应的结果。 · 自感 L 随 的增加而减小
由 J E, 有
Ey (
x
)
1
J0e
xe
j
x
Jy( x ) J0e xe j x
由 E j H有
Hz (
x
)
j
kJ0
e xe
j
x
· 令d 1 2 称为透入深度（Skin depth），d 的大小反映电磁场衰减的快慢。
当 x x0 时，幅值 J y( x0 ) J0ex0
当 x x0 d 时，幅值J y (x0 d) J0e(x0d)
根据
J
s
dS
q
/
t ,
有
J1nS
J2nS
t
S
1 2
1lS
1 2
2
lS
图5.3.1 导体分界面
当 l 0
时，有 J 2 n
J1n
t
0
即
(
2 E2n
1E1n
)
t
(
2 E2 n
1E1n
)
0
例5.3.1 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过渡过程，写出分界面
上面电荷密度 的表达式。
解 EQS： aE1 bE2 US
d a ，无反射，电流不均匀分布I' I0 ek( ar )
安培环路定律H
I 2r
e
I0 2r
ek( ar )e
根据 H Ezez 有
图5.6.1 圆柱导体
交流参数
Ez
1
1 r
r
(
rH
)
k
H
I0k ek( ar ) 2 r
2
(1
j
)H
1
Z R jX I02
( E H
S
) dS
电力传输系统 高压传输线绝缘子的电晕放电； 高压传输线中电流与电压的谐波分量；
电
磁
电牵引系统
干
扰
源 人 气体放电灯
为
干 静电放电
扰
源
高压传输线之间的邻近效应； 电气化铁道、有轨无轨电车上的受电弓与电网线间的放电和 电力电子器件整流后的电流谐波分（0.1~150kHz） ； 荧光灯、高压汞灯、放电管等产生的放电噪音；
分界面衔接条件
图5.3.2 双层有损介质的平板电容器
解方程，得面电荷密度为
(
2 E2
1E1 )
t
(
2
E2
1E1)
0
2 a
1 2
1 2 b 1
Us(1
t
e
)
结论：当导电媒质通电时，电荷的驰豫过程导致分界面有积累的面电荷。
5.4 集肤效应与邻近效应
5.4.1 集肤效应
在正弦电磁场中，J JC JD E j E，满足 的材料称为良导体，
用库仑规范 A 0 ，得到动态位满足的微分
方程 2 A J , 2 /
EQS 与 MQS 的共性与个性
·
满足泊松方程，说明 EQS 和 MQS 忽略了滞后效应和波动性，属于似稳场。
,A
,A
· EQS和MQS 场中，同时存在着电场与磁场，两者相互依存。
· EQS场的电场与静电场满足相同的基本方程，在任一时刻 t ，两种电场的分布
( r ,t
)
V
0 4 r
t
e e dV
0( r
t
)e e
说明在EQS场中，导电媒质中自由电荷体密度 产生的电位很快衰减至零。
· 导电媒质中，以 分布的电荷在充电过程中驰豫何方？ · 充电后，导电媒质的电位为零吗？
5.3.2 电荷在分片均匀导体中的驰豫过程
分界面上 E1t E2t 和 2E2n 1E1n
时变场中
E dl
L
L( Ei
Ec Ee ) dl
B ds s t
电阻（MQS） 电容（EQS）
LR Ec dl
LR
J
dl
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q( t ) dl Lc s
1 q( t ) c
1 c
idt uc
电感（MQS） LL
Ei
dl
B
s t
第五章 准静态电磁场
第 5 章 准静态电磁场
时变电磁场
准静态场 （低频）
电准静态场
( B 0 ) t
磁准静态场
( D 0 ) t
具有静态电 磁场的特点
动态场 （高频）
似稳场 （忽略推迟效应）
电磁波
• 电准静态场——Electroquasitatic 简写 EQS 磁准静态场—— Magnetoquasistatic 简写 MOS
1 ( 1 j ) j
d
以半无限大导体为例，电流沿 y 轴流动，
则有
2 Jy( x ) k 2 Jy( x )
通解形式
Jy( x ) c1ekx c2ekx
图5.4.2 半无限大导体中的电流 Jy的分布
通解
Jy( x ) C1ekx C2ekx
当 x ，jy 有限，故 C2 0 , C1 Jy( 0 ) J0 , 则
设导电媒质 , 均匀，且各向同性，在EQS场中
式中o
J
t
J D / D
0 通解为 t
为t 0 时的电荷分布，e /
( 驰豫时间)，
t
oe e
说明导电媒质在充电瞬间，以体密度分布的电荷随时间迅速衰减。
EQS场中，导体媒质内的电位满足 2
1
t
0e e
特解之一为
接地 工作接地 电磁屏蔽
屏蔽 磁屏蔽
电屏蔽
电流、漏电流等直接引入大地。
系统内部带电体接参考点（不一定与大地相连），以保证设备、 系统内部的电磁兼容。 在高频电磁场中，利用电磁波在良导体中很快衰减的原理，选择 d
小且具有一定厚度 (h 2d) 的屏蔽材料。
在低频或恒定磁场中，利用磁通总是走磁阻小的路径的原理，采用有 一定厚度的铁磁材料。 在任何频率下，利用金属感应电荷，且通过接地线流入大地的原理， 采用金属屏蔽材料，且接地。若是静电场，可实现全屏蔽；若允许磁
必须减小钢片厚度，如Ka 0.44 ，a 0.05mm，得 Bz / B0 1 5.5.3 涡流损耗
图5.5.6 电工钢 片的集肤效应
体积V中导体损耗的平均功率为
Pe
V
1
Jy
2
dV
Bz2av
lh Ka2 2
shKa sin Ka chKa cos Ka
Pe a, , , 1 若要减少 Pe ,必须减小 （采用硅钢），减小 a（采用叠 片）， 提高 （但要考虑磁滞损耗）