第七章准静态电磁场
chap7 准静态静电场
ρ ∇ ϕ =− ε
2
即
取库仑规范 ∇ ⋅ A = 0 有 同理
v
v v ∇ A = −µJ
2
v v v ∂ϕ ∇ A = −µJ + ∇(∇ ⋅ A) + µε∇ 即 ∂t v ∂ϕ 取洛仑兹规范 ∇ ⋅ A = −µε ∂t
2
v v v v ∂A ∂B ∇×E = − → ∇ × (E + )=0 ∂t ∂t v v ∂A → E = −∇ ϕ −
图7.2.2 环路电压
di 1 + ∫ idt = uR + uL + uC dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 ∑u =0 o us = Ri + L
7.3
7.3.1
电准静态场与电荷驰豫
导体中，自由电荷体密度随时间衰减的过程称为电荷驰豫。
电荷在均匀导体中的驰豫过程
均匀，且各向同性，在EQS场中
当 t = 0 时，= 0 。随着 t 的增加，衰减项消失，直流稳态时，分界面 σ 有一层稳定的面电荷。
∂σ =0 ∂t
图7.3.1 导体分界面
当 ∆l → 0 时，有 J2n − J1n +
即
( γ 2 E2n −γ 1E1n ) +
∂ ( ε2 E2n −ε1E1n ) = 0 ∂t
例7.3.1 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过渡过程，写出分界面 上面电荷密度σ 的表达式。 解 EQS： aE1 + bE2 = US
消去E1 ，则E2 满足的微分方程
d ( ε 2 E2 − ε 1 E1 ) = 0 dt
( aε2 +bε1 )
E2 的通解形式 特征根： = − ρ 确定稳态解
工程电磁场 第7章 准静态电磁场
S
H J
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
t
B 0
D
准静态场又称为似稳场 工频正弦稳态电路分析
准静态场分析例题
圆盘形状的平行板电容器，间距 d=0.5cm，中间为云母电介质，
r 5.4 ，现加电压 u(t) 110 2 cos 314t V, 求平板间的电场和磁场。
解：低频，看做EQS
u EH
E(t)
u(t ) d
(ez
)
3.11 104
cos 314t(ez
)
V/m
由安培环路定律可得 H 2 r D r 2 E r 2
H(t
)
2.335104
r
sin314t
t (e
)
t
A/m
讨论：
EB
- H
t
H
E
J B
D t
t
B 0
Jd
f
Jdm Em
1KHz
8.89*105
Jcm Em
1MHz
8.89*102
故 Jc Jd
1GHz 106MHz
0.889 8.89*10—4
与频率密切相关
电准静态场——EQS
若 B 0
t
即可忽略位移电流对磁场的影响
H
J
D
t
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
z
在导体的一个透入深度区间
内分布
导电媒质
也称为集肤效应
透入深度与材料的导电导磁参数
E x (z, t ) 2E0ez cost z
《电磁场与电磁波》准静态电磁场
电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流J=E
存在，同时伴随着电磁能量的损耗
1 导电媒质的复介电常数
D
H E
t
H = E +j E j ( j ) E
c j
H j c E
复介电常数
电磁波的相位速度仅与媒质相关
z 增大，相位滞后变
大，故k 称相位常数
dz
1
vp
dt k
真空中电磁波的相位速度： v0
1
0 0
5）电磁场关系—波阻抗
Ex Ex0 cos t kz
Hy
k
Ex 0 cos t kz
Z
Hy
理想介质
Z
（实数，纯电阻性质）
Ɛ替换为Ɛc
导电媒质 Z c
c
Zc
Z c e j
j
1
1
tan
2
π
0~
4
（呈电阻电感性）
6）相位速度（波速）
1
理想媒质中：v k
损耗媒质中：
媒质损耗使波的传播速度变慢，波长变短
波长 λ：相位差2π的两个相邻空间点的间隔
k 2π
k
2π
=
波数 k：2π距离内的波长数
k ：相移常数
单位距离内相位的变化量
相位变化的快慢: 随时间--频率
随空间--波数
准静态电磁场优秀课件
基本方程组（微分形式）：
E 0 , H J D , D , B 0 t
特点: 与静电场相比，磁场方程发生变化，电场方程无变化。
11.10.2020
2
求解方法：分两步 1）电场的求解采用静电场的公式 2）磁场的求解通过电准静态场的基本方程求解
电荷 静电场公式
分布
Ｅ、Ｄ
HJD,B0 t
5.2 磁准静态场与电路 MQS Filed and Circuit
1 证明基尔霍夫电流定律
在 MQS 场中， H J J 0J dS 0 S
S J dS S 1 J 1 d S S 2J 2d S S 3J 3 d S
i1i2i30
即集总电路的基尔霍夫电流定律
i 0
结点电流
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
E
U
ln(b/
a)
e
H
I
2
e
a
I
b H
S E
SE H *22U lIn*b/(a)ez
P RS 2 e2 U [ l I * b n /a )d (] S Ra be lU I b n [ * /a )d (] R U I * e ] [
荷决定。
11.10.2020
15
例3 一无限大金属平板，其上方的半无限空间内充满了
均匀的不良导体。在t=0瞬时，在该导体中已形成了一球
形自由电荷云，球内电荷密度为ρ0。问电荷驰豫过程中
电位如何分布？
z
解:
'
3a2 r2
5
求解方法：分两步 1）磁场的求解静态场的公式 2）电场的求解通过磁准静态场的基本方程求解
BA, EA
准静态电磁场PPT讲稿
3/48
例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l （>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压 u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的
圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
E
U ln(b /
a)
e
a
H
H 2I e b P
Re[
S
2
UI* 2 ln(b /
a)
dS ]
Re[
b a
UI* ln(b /
a)
d ]
Re[UI* ]
I
S E
S
E
H*
2
UI* 2 ln(b
/
a)
ez
5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation
a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。 b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论
的近似。 c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略，
此时采用磁准静态场定律来研究。
2020/6/30
11/48
例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
E
U0 sint ln(b / a)
e
ρ
JD
D t
E t
U0 cost ln(b / a)
e
iD
sJ D
dS
2l
U0 cost ln(b / a)
第七章 静态场
空间电势为
R b= a
2
Q'
Q
1 Q Q 4 0 r1 r2
r1 r 2 a 2 2ra cos r2 r 2 b 2 2rb cos
此解满足场方程和边界条件，是唯一正确的解。
思考题:
b
b
a
a
作业：习题 2.9；2.10。
z
o
2 0
bn 通解为 (r , ) (an r n 1 ) Pn (cos ) r n 0 边界条件为 1. r E0r cos 0
n
由①得
2. r R 0
为球心对地电势
a r
n n
n
Pn (cos ) E0 r cos 0 a1 E0 an 0(n 0,1)
例1 求均匀电场 E0 的电势。
解：取场中任一点 为坐标原点，并设 来自电势零点。y r
E0
E0 r
o
z
x
P
0
P E dl E0 dl
0
例2 求无限大平行板电容器中的场。设电压为U。 解:建立如图坐标系, 显然电位满足
第二章 静电场
第一节 静电场的标势及其微分方程
静电场的标势
泊松方程及边值关系 静电场能量
一 静电场的标势
1 电势的引入
静电场基本方程
D E 0
静电场标势
E
( ) 0
2 电势差
d dx dy dz dl x y z
E0
解:建立如图球坐标系
ANSYS电磁场分析指南第七章3-D谐波磁场分析棱边单元法
第七章３-Ｄ谐波磁场分析（棱边单元方法）7.1 用棱边元方法进行谐波分析3-D谐波磁场分析（棱边元方法）与静态分析的特点基本相同，但前者只支持线性材料特性分析。
电阻和相对磁导率可以是正交各向异性，也可以与温度相关。
谐波分析仍使用SOLID117单元。
详见《ANSYS单元手册》和《ANSYS理论手册》。
7.1.1 物理模型区域的设置和特性ANSYS程序提供了几个选择用于处理3-D磁场分析中的不同的终端条件，以下图示导体的不同的终端条件：载流块导体DOFs: AZ, VOLT材料特性：m r(MURX), r(RSVX)特殊特性：耦合VOLT自由度，给单个节点加总电流(F,,amps)。
注：带有净电流的短路条件，净电流不受环境影响。
开路导体DOFs: AZ, VOLT材料特性：m r(MURX), r(RSVX)注：对对称性结构，令一面的VOLT=0，再耦合另一面的节点。
对3-D结构，令一个节点的VOLT=0。
载流绞线圈DOFs: AX, AY, AZ材料特性：m R(MURX)7.1.2 速度效应在交流（AC）激励下，运动导体的某些特殊情况是可以求解电磁场的。
速度效应在静态、谐波和瞬态分析中都有效。
第2章“二维静态磁场分析”中讨论了运动导体分析的应用情况和限制条件。
对于3D问题，设置单元KEYOPT选项和实常数的过程相似于2D谐波分析。
在谐波分析中，所加速度为常数，不作正弦变化（线圈或场激励为正弦变化），且垂直于运动方向的运动体截面应保持常数。
通过设置单元的KEYOPT（2）=1来激活速度效应，带运动导体的3D谐波分析同样需要运动导体区域具有时间积分电势自由度（VOLT），这通过设置单元的KEYOPT（1）=1（AZ和VOLT自由度）来实现。
运动导体分析中能设置的实常数如下表所示：可用谐波分析来仿真静场激励下的运动导体，为了表示静场，需将谐波的频率设置得很低，通常，谐波频率小于0.0001HZ就能产生准静态解，准静态解的结果是存放在实部里的。
工程电磁场导论准静态电磁场和边值问题知识点
工程电磁场导论准静态电磁场和边值问题知识点一、知识概述准静态电磁场和边值问题①基本定义：- 准静态电磁场呢，简单说就是一种近似的电磁场情况。
在一些情况下，电磁场变化不是那么快，就可以把它当作准静态的。
比如说电场或者磁场的变化率相对比较小的时候，就像是大家走路的时候一步一步慢慢走，而不是跑来跑去那种很剧烈的变化。
电场准静态的时候，可以近似用静电场的一些方法去分析，磁场准静态的时候也类似能用上一些静磁场的办法。
边值问题呢，就是在给定的边界条件下，去求解电磁场的问题。
就好比你要在一个限定的区域里，根据这个区域四周的情况来确定里面电磁场是啥样的，这个区域周围的情况就是边界条件。
②重要程度：- 在工程电磁场导论这个学科里，这可是很重要的一部分呢。
因为实际工程中很多电磁场的情况都可以用准静态的概念简化分析，让复杂的问题变得好理解一些。
边值问题相当于把电磁场的理论和实际应用连接起来的一座桥，如果搞不定边值问题，很多实际工程中的电磁场就没法准确计算和设计。
③前置知识：- 得先掌握静电场、静磁场的基本概念和计算方法。
比如说库仑定律得知道吧，安培定律这些也得有个印象。
就像你要学烧复杂的菜，那得先把切菜洗菜、基本的煎炒烹炸先学会。
④应用价值：- 在电气设备的设计里经常用到。
比如电机的电磁场分析，就可以用准静态电磁场的概念简化计算。
还有像变压器的设计，要考虑铁芯周围的磁场分布，这时候就会涉及到边值问题。
如果这些搞不清楚，电机可能性能就不好，变压器效率也上不去。
二、知识体系①知识图谱：- 准静态电磁场和边值问题在工程电磁场导论这个学科里就像是大树的树干分出来的一个大树枝。
它跟之前学的静电场、静磁场有联系，又为后面学习更复杂的时变电磁场打基础。
②关联知识：- 和麦克斯韦方程组里的各个方程关系密切。
像准静态电磁场很多时候就是在麦克斯韦方程组在特殊情况下的一种反映。
和电磁感应原理也有关联，因为磁场变化产生感应电场之类的。
③重难点分析：- 重点是确定不同情况下的准静态电磁场的近似条件，还有就是高效准确地根据边界条件求解边值问题。
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1 2
J ch( kx ) J y 0
和J 的幅值分别为 B y z
1 ( ch2 Kx cos 2 Kx ) Bz B 0 2 1 2 1 ( ch2 Kx cos 2 Kx ) Jy J 0 2
片），提高 （但要考虑磁滞损耗）
Pe a , , , 1 若要减少 Pe ,必须减小 （采用硅钢），减小 a（采用叠
研究涡流问题具有实际意义（高频淬火、涡流的热效应电磁屏蔽等）。
7.6
直流或低频交流 高频交流 例 7.6.1
导体的交流内阻抗
R l / s
电流均匀分布
1 H * ) dS (E 2 S I 计算圆柱导体的交流参数（设透入深度 d a ）
B ds s t
时变场中
Ec dl
Ec dl
E dl ( Ei Ec Ee ) dl
L L
电阻（MQS）
电容（EQS） 电感（MQS） 电源 有
LR
LR
LL
Lc
Lc
l J dl i Ri uR s q( t ) 1 1 dl q( t ) idt uc s c c
7.4 集肤效应与邻近效应
7.4.1 集肤效应
J J E j E ，满足 在正弦电磁场中， J C D 良导体中可以忽略位移电流，场为MQS：
的材料称为良导体，
j H E
J H C
和
在导体中，MQS场中同时存在自由电流和感应电流。 靠近轴线处，场量减小；靠近表面处，场量增加，称为 集肤效应（skin effect )。 在正弦稳态下，电流满足扩散方程（热传导方程）
B 。 · 磁场呈 y 轴对称,且 x 0 时， B z 0
在MQS场中，磁场满足涡流场方程（扩散方程）
图7.5.4 薄导电平板的磁场
H k H
2 2
d 2H z k 2H jH z z 2 dx
解方程，代入假设条件，可以得到
B ch( kx ) / H Z 0
2 A J ,
磁 准 静 态 场
2 /
D 低频时，忽略二次源 的作用，即 H D 0 ，电磁场基本方程为 t
H J , B 0 , J 0 E B / t , D
特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准静态场（MQS）。 用库仑规范 A 0 方程 2 ，得到动态位满足的微分
10000 , 107 s / m , 则
Bz 1 ( ch2 Kx cos2 Kx ) B0 2
) zH ( f )m m (a
5. 0 5. 0 5. 0
aK
0 .7
0
B / zB
1
2 .3
4 .5
K / 2
x a/2
50
500 0002
2 .2
4 .4
注: a 为钢片厚度。
/
( 驰豫时间)，
说明导电媒质在充电瞬间，以体密度分布的电荷随时间迅速衰减。 t 1 EQS场中，导体媒质内的电位满足 2 0 e e
特解之一为
( r ,t ) V
0 e 4r
t
e
dV 0 ( r )e
t
e
说明在EQS场中，导电媒质中自由电荷体密度 产生的电位很快衰减至零。 · 导电媒质中，以 分布的电荷在充电过程中驰豫何方？ · 充电后，导电媒质的电位为零吗？
图7.5.1 涡流
工程应用：叠片铁芯（电机、变压器、电抗器等）、电磁屏蔽、电磁炉等。 7 .5 .2 涡流场分布
以变压器铁芯叠片为例，研究涡流场分布。
图7.5.2 变压器铁芯叠片
图7.5.3 薄导电平板
假设：· l , h a ，场量仅是 x的函数； · B Bz e z ,故 E , J 分布在 xoy 平面，且仅有 y分量；
图7.4.2 半无限大导体中的电流 Jy的分布
通解
( x ) C ekx C ekx J y 1 2
则
(0 ) J , 当 x ，j y 有限，故 C2 0 , C1 J y 0
E , 有 由J
(x) J e x e j x J y 0
( 2 E2 1 E1 ) 0 t
分界面衔接条件
( 2 E2 1 E1 )
图7.3.2 双层有损介质的平板电容器
解方程，得面电荷密度为
t 2 1 1 2 Us( 1 e ) a 2 b 1
结论：当导电媒质通电时，电荷的驰豫过程导致分界面有积累的面电荷。
7.1
电 准 静 态 场
电准静态场和磁准静态场
B
低频时，忽略二次源 t ( 0 ) 的作用，即 Ei 0 , 电磁场基本方程为 D H J , B 0 , J t t E 0 , D 特点： 电场的有源无旋性与静电场相同，称为电准静态场（EQS）。 用洛仑兹规范 A t ，得到动态位满足的微分方程
0 t
图7.3.1 导体分界面
当 l 0
时，有 J 2 n J 1n
即
( 2 E2 n 1 E1n )
( 2 E2 n 1 E1n ) 0 t
例7.3.1 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过渡过程，写出分界面 上面电荷密度 的表达式。 解 EQS： aE1 bE2 U S
集肤、去磁效应，电流不均匀分布
Z
解 在MQS场中，设
~ dl I H E S Z H L
I I 安培环路定律H e 0 e k ( a r )e 2r 2r
一致，解题方法相同，MQS的电场按 E B t 计算。
· A , 在两种场中满足相同的微分方程，描述不相同的场，为什么？ a）A的散度不同，A 必不相同， B A 也不相同； b）E （EQS）和 E A t （MQS），表明 E 不相同。
式中 K / 2
k j K( 1 j )
图7.5.5 Bz , J y 模值分布曲线
可见 · 去磁效应，薄板中心处磁场最小；
· 集肤效应，电流密度奇对称于y 轴，表面密度大，中心处 J y 0 。
工程应用： Bz / B0 ~ 2 Kx
曲线表示材料的集肤程度。以电工钢片为例，设
导体中，自由电荷体密度随时间衰减的过程称为电荷驰豫。 7.3.1 电荷在均匀导体中的驰豫过程 均匀，且各向同性，在EQS场中
J D / D
设导电媒质 ,
式中o 为t 0
J t
0 t
通解为 o e
t e
时的电荷分布， e
(x) 1 J e xe j x E y 0
kJ 0 Hz( x ) j e x e j x
jH 有 由 E
· 令d
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
称为透入深度（Skin
depth），d 的大小反映电磁场衰减的快慢。
x0 J ( x ) J e x x 当 时，幅值 y 0 0 0
当 a 0.5 mm ，f 2000Hz 时, 集肤效应严重，若频率不变， 必须减小钢片厚度，如 Ka 0.44 ， a 0.05 mm，得 B / B 1
z 0
7.5.3 涡流损耗 体积V中导体损耗的平均功率为
图7.5.6 电工钢 片的集肤效应
1 2 Ka2 shKa sin Ka 2 P J y dV Bzav lh e V 2 chKa cos Ka
第七章 准静态电磁场
第 7 章
准静态电磁场
电准静态场
( B 0) t
准静态场 （低频） 时变电磁场
磁准静态场
( D 0) t
具有静态电 磁场的特点
动态场 （高频）
似稳场 （忽略推迟效应） 电磁波
• 电准静态场——Electroquasitatic 简写 EQS 磁准静态场—— Magnetoquasistatic 简写 MOS • 任意两种场之间的空间尺度和时间尺度没有绝对的分界线。 • 工程应用（电气设备及其运行、生物电磁场等）
Ei dl s
Ls
d B di L uL dS dt t dt Ee d l us
di 1 idt u R u L uC dt c
图7.2.2 环路电压
us Ri L
即集总电路的基尔霍夫电压定律
u 0
7.3
电准静态场与电荷驰豫
7.2
磁准静态场与集总电路
在MQS场中， J 0 即 J dS 0 ，故有
s
J dS
s
S1
J 1 dS J 2 dS J 3 dS
S2 S3
i1 i2 i3 0
即集总电路的基尔霍夫电流定律
图7.2.1 结点电流
i 0
图7.4.5 单根交流汇流排的电流集肤效应
图7.4.6 两根交流汇流排的邻近效应
7.5 涡流及其损耗
7.5.1 涡流 当导体置于交变的磁场中，与磁场正交的曲面上将产 生闭合的感应电流，即涡流 (eddy current)。其特点： · 热效应 涡流是自由电子的定向运动，有与 传导电流相同的热效应。 · 去磁效应，涡流产生的磁场反对原磁场的变化。