第五章准静态电磁场
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第五章准静态电磁场
电容器两极板间电压
U BA
q 1 idt C C
B B
A
第 五 章
准静态电磁场
有
di 1 (t ) L idt i( Ri r R) uL uC uR dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
表明电路理论是特殊情况下得麦克斯韦电磁理论的近似。 当满足MQS的似稳条件时，研究场的问题时可以采用路 的方法。
(0) J 当 x , Jy 有限，故 C2 0 , C1 J y 0
则
x jx J y ( x) J 0 e e
E 由 J
1 x jx E y ( x) J 0 e e
jH H ( x) j 由 E z
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件 ( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t 解方程，得面电荷密度为
图5.3.2 双层有损介质的平板 电容器
t τ
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
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MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，
在任一时刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。
B 而MQS场的电场按 计算。 E t
以下两种情况可看作磁准静态场来计算：
1 1，对于导体中的时变电磁场，满足： 则位移电流可以忽略，可按磁准静态场来处理。把
满足上述条件的导体称为良导体。
为电导率很大，驰豫时间远小于1，e指数约为0，
一般认为良导体内无自由电荷的积累。电荷分布在
导体表面。
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U BA
q 1 idt C C
B B
A
第 五 章
准静态电磁场
有
di 1 (t ) L idt i( Ri r R) uL uC uR dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
表明电路理论是特殊情况下得麦克斯韦电磁理论的近似。 当满足MQS的似稳条件时，研究场的问题时可以采用路 的方法。
(0) J 当 x , Jy 有限，故 C2 0 , C1 J y 0
则
x jx J y ( x) J 0 e e
E 由 J
1 x jx E y ( x) J 0 e e
jH H ( x) j 由 E z
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件 ( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t 解方程，得面电荷密度为
图5.3.2 双层有损介质的平板 电容器
t τ
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
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MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，
在任一时刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。
B 而MQS场的电场按 计算。 E t
以下两种情况可看作磁准静态场来计算：
1 1，对于导体中的时变电磁场，满足： 则位移电流可以忽略，可按磁准静态场来处理。把
满足上述条件的导体称为良导体。
为电导率很大，驰豫时间远小于1，e指数约为0，
一般认为良导体内无自由电荷的积累。电荷分布在
导体表面。
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五、准静态电磁场
第五章
准静态电磁场
§5-1 电准静态场和磁准静态场
基 本 内 容
§5-2 磁准静态场与电路 §5-3 电准静态场与电荷驰豫 §5-4 集肤效应 §5-5 涡流及其损耗 §5-6 导体的交流内阻抗 §5-7 邻近效应和电磁屏蔽
基本要求
掌握电准静态场和磁准静态场的基本定义 电准静态场和磁准静态场的基本定义、 1.掌握电准静态场和磁准静态场的基本定义、 判别条件及基本方程。 判别条件及基本方程。 2.了解导体中的驰豫过程、分界面上的积累过 了解导体中的驰豫过程、 程。 3.了解导体中电流流动、涡流和磁扩散过程。 了解导体中电流流动、涡流和磁扩散过程。 4.定性说明集肤效应、邻近效应、电磁屏蔽。 定性说明集肤效应、邻近效应、电磁屏蔽。 5.了解交流内阻抗的概念。 了解交流内阻抗的概念。
J = γ (E + Ee ) ∂A Ee = − E = + + ∇ϕ γ γ ∂t J J
B B
Ee C A B
L
ε
B i ∂ B ∫AEe ⋅ dl = ∫A γS ⋅ dl + ∂t ∫A A⋅ dl + ∫Adϕ di 1 + ∫ idt (t) = i(R + r + R) + L i dt C 或 (t) =UR +UL +UC • 说明：路是场的近似， 说明：路是场的近似，
ε
• 基尔霍夫第二定律
实际问题中采用场或 路的方法进行计算， 路的方法进行计算， 需要根据具体条件。 需要根据具体条件。
§5-4 集肤效应
导体内通过交变 交变电流时，周围、内部产生交变的磁场， 交变 而交变的磁场产生感应电场，使导体内部的电流分布不均， 在靠近导体表面处电流密度增加，而内部电密减小，高频时 更趋于只有表面有电流通过，这种现象称为集肤效应。
准静态电磁场
§5-1 电准静态场和磁准静态场
基 本 内 容
§5-2 磁准静态场与电路 §5-3 电准静态场与电荷驰豫 §5-4 集肤效应 §5-5 涡流及其损耗 §5-6 导体的交流内阻抗 §5-7 邻近效应和电磁屏蔽
基本要求
掌握电准静态场和磁准静态场的基本定义 电准静态场和磁准静态场的基本定义、 1.掌握电准静态场和磁准静态场的基本定义、 判别条件及基本方程。 判别条件及基本方程。 2.了解导体中的驰豫过程、分界面上的积累过 了解导体中的驰豫过程、 程。 3.了解导体中电流流动、涡流和磁扩散过程。 了解导体中电流流动、涡流和磁扩散过程。 4.定性说明集肤效应、邻近效应、电磁屏蔽。 定性说明集肤效应、邻近效应、电磁屏蔽。 5.了解交流内阻抗的概念。 了解交流内阻抗的概念。
J = γ (E + Ee ) ∂A Ee = − E = + + ∇ϕ γ γ ∂t J J
B B
Ee C A B
L
ε
B i ∂ B ∫AEe ⋅ dl = ∫A γS ⋅ dl + ∂t ∫A A⋅ dl + ∫Adϕ di 1 + ∫ idt (t) = i(R + r + R) + L i dt C 或 (t) =UR +UL +UC • 说明：路是场的近似， 说明：路是场的近似，
ε
• 基尔霍夫第二定律
实际问题中采用场或 路的方法进行计算， 路的方法进行计算， 需要根据具体条件。 需要根据具体条件。
§5-4 集肤效应
导体内通过交变 交变电流时，周围、内部产生交变的磁场， 交变 而交变的磁场产生感应电场，使导体内部的电流分布不均， 在靠近导体表面处电流密度增加，而内部电密减小，高频时 更趋于只有表面有电流通过，这种现象称为集肤效应。
电磁场与电磁波：第五章 准静态场
ε
l
Ei
dl
Ei
(
s
Ei
(V
) dS
B)
B t
在静止媒质中 Ei
ε L
B t
(V
B
)
dl
B dt
dS
变化感的应磁电场场是Bt是非产保生守的场Ei涡，旋电源力。线呈闭合 曲线 ，
图5.4 变化的磁场 产生感应电场
若空间同时存在库仑电场, 即
E
B
E EC则 E有i ,
不相同。E
分界面上的衔接条件
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三 章类同，归纳如下：
磁场：
B1n B2n H 2t H1t k
电场：
D2n D1n
E2t E1t
折射定律
tan1 1 tan2 2 tan 1 1 tan 2 2
例 5.1 试推时变场中导理想导体与理想介质分界面上的衔 接条件。
▪ 电磁感应定律 ▪ 全电流定律
▪ 时变电磁场的基本方程组·准静态场的分类和特点
5-1 电磁感应定律
电磁感应定律 当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动
势，这就是法拉弟电磁感应定律。
d
dt
负号表示感应电流产生的磁场总是阻
碍原磁场的变化
图5.1感生电动势的参考方向
引起磁通变化的原因分为三类：
磁 准
低频时，忽略二次源 D的作用，即
t
H，D 电0 磁场基本方程为
静
H J , B 0, J 0
态
E B/t , D ρ
场
特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准静态场（MQS）。
用库仑规范 A ，0得到动态位满足的微分方程
电磁场课件12准静态电磁场涡流平面电磁波资料教学文案
HJDJ t
H J
J E
B H
E B t
B0
2H H 0
t
2E E 0
t
J E
2J j J 正弦稳态情况 2J J 0
t
在正弦稳态下，电流密度满足扩散方程。
2J k 2J
式中 k j / 2 (1 j)
1 (1 j) j
d
设半无限大导体中，电流
沿 y 轴流动，则有
定义： d
1
2 称为透入深度（skin depth）或集肤深度
其大小反映电磁场衰减的快慢。
当 x = x0 时， J y (x0 ) J0e x0
当 x=x0+d 时，
J y (x0 d ) J0e (x 0d)
J0ex0 e1
J
y
透入深度
(x0 ) 36.8%
d 表示电磁场衰减到原来值的36.8% 所经过的距离。
用洛仑兹规范 A t ，化简得到泊松方程
2 A J , 2 /
一般低频交流电情况下，平板电容器中的电磁场属于电准静态场。
5.1.2 磁准静态场MQS
若位移电流远小于传导电流，忽略感应项 D 的
作用，即
JD
D t
0
t
条件：场与源近似具有瞬时 对应关系，忽略推迟效应。
麦氏方程： H J , B 0 ,
在 MQS 场中，磁场满足涡流场方程（扩散方程）
2H k 2H
d 2 Hz dx2
jHz
k 2Hz
解方程得到
HZ B0ch(kx) /
Bz B0ch(kx)
利用 (kx)
Bz和 Jy 的幅值分别为
1
Bz
B0
《电磁场与电磁波》准静态电磁场
导电媒质的典型特征是电导率 ≠ 0
电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流J=E
存在，同时伴随着电磁能量的损耗
1 导电媒质的复介电常数
D
H E
t
H = E +j E j ( j ) E
c j
H j c E
复介电常数
电磁波的相位速度仅与媒质相关
z 增大，相位滞后变
大，故k 称相位常数
dz
1
vp
dt k
真空中电磁波的相位速度： v0
1
0 0
5）电磁场关系—波阻抗
Ex Ex0 cos t kz
Hy
k
Ex 0 cos t kz
Z
Hy
理想介质
Z
（实数，纯电阻性质）
Ɛ替换为Ɛc
导电媒质 Z c
c
Zc
Z c e j
j
1
1
tan
2
π
0~
4
（呈电阻电感性）
6）相位速度（波速）
1
理想媒质中：v k
损耗媒质中：
媒质损耗使波的传播速度变慢，波长变短
波长 λ：相位差2π的两个相邻空间点的间隔
k 2π
k
2π
=
波数 k：2π距离内的波长数
k ：相移常数
单位距离内相位的变化量
相位变化的快慢: 随时间--频率
随空间--波数
电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流J=E
存在，同时伴随着电磁能量的损耗
1 导电媒质的复介电常数
D
H E
t
H = E +j E j ( j ) E
c j
H j c E
复介电常数
电磁波的相位速度仅与媒质相关
z 增大，相位滞后变
大，故k 称相位常数
dz
1
vp
dt k
真空中电磁波的相位速度： v0
1
0 0
5）电磁场关系—波阻抗
Ex Ex0 cos t kz
Hy
k
Ex 0 cos t kz
Z
Hy
理想介质
Z
（实数，纯电阻性质）
Ɛ替换为Ɛc
导电媒质 Z c
c
Zc
Z c e j
j
1
1
tan
2
π
0~
4
（呈电阻电感性）
6）相位速度（波速）
1
理想媒质中：v k
损耗媒质中：
媒质损耗使波的传播速度变慢，波长变短
波长 λ：相位差2π的两个相邻空间点的间隔
k 2π
k
2π
=
波数 k：2π距离内的波长数
k ：相移常数
单位距离内相位的变化量
相位变化的快慢: 随时间--频率
随空间--波数
大学物理第五章
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第 五 章
准静态电磁场
时变电磁场分类总结
准静态电磁场 时变电磁场 动态电磁场
B 0) 电准静态场 ( t D H J t
电准静态场 磁准静态场 磁准静态场
D ( 0) t
判别式
H J
B E t D
E 0
① EQS中忽略感应电场，场量是时间的函数，电 场是无旋场，可以引入电位概念。 ② 电场分布同静电场，利用静电场的方法求解出电 场后，再用Maxwell方程求解与之共存的磁场。 ③ 工程中如两线间的电磁场和电容器中的电磁场可 以看作EQS。
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第 五 章
准静态电磁场
磁准静态场（MQS） 时变电磁场中各处位移电流密度远小于传导电流 密度时（忽略电场变化对磁场分布的影响）称为磁准 静态场。
J C ( E Ee )
A
B
US U C Ri t
di U S L U C Ri dt
即集总电路的基尔霍夫电压定律
u 0
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第 五 章
准静态电磁场
例 解
求缓变场中电容器的等效电路模型。 设 uS (t ) U cos ωt
i (t )
JC
D(r , t ) t
H (r , t )
H J D t B E t
D E
B H
B ( r , t ) t
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E (r , t )
第 五 章
准静态电磁场
er E V dV 2 4 r
结论
D (J C ) er t B V dV 4 r
准静态电磁场
2019/5/21
8/48
2 证明基尔霍夫电压定律
J (E Ee )
.. BA
Ee
J
E
A t
J
环路电压
B
A Ee dl
B A dl
A t
B
dl
A
BJ dl
A
E(t)
us
Ri
L di
L ddit dt
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解方程组
aE1 bE2 u(t)
消去 E1
(
2E2
1E1)
d dt
(
2
E2
1E1)
0
(a 2
b1)
dE2 dt
(a
2
b1)E2
1u(t)
1
d dt
u(t)
（1）
通解
E2 E2 E2
Ae pt
E2
t
Ae
E2
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忽略位移电流的条件（似稳条件）
a. 导体内的时变电磁场
ωε<<γ
D | J | E | J | J | J |
t
t
t
涡流场：导体中的磁准静态场。
良导体：满足ωε<<γ的导体。
b. 理想介质中的时变电磁场 R <<λ
- j R
e v 1
R 2R 1
t
特点: 与恒定磁场相比，电场方程发生变化，磁场方程无变化
准静态电磁场PPT讲稿
Ｈ、Ｂ
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例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l （>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压 u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的
圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
E
U ln(b /
a)
e
a
H
H 2I e b P
Re[
S
2
UI* 2 ln(b /
a)
dS ]
Re[
b a
UI* ln(b /
a)
d ]
Re[UI* ]
I
S E
S
E
H*
2
UI* 2 ln(b
/
a)
ez
5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation
a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。 b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论
的近似。 c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略，
此时采用磁准静态场定律来研究。
2020/6/30
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例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
E
U0 sint ln(b / a)
e
ρ
JD
D t
E t
U0 cost ln(b / a)
e
iD
sJ D
dS
2l
U0 cost ln(b / a)
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例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l （>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压 u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的
圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
E
U ln(b /
a)
e
a
H
H 2I e b P
Re[
S
2
UI* 2 ln(b /
a)
dS ]
Re[
b a
UI* ln(b /
a)
d ]
Re[UI* ]
I
S E
S
E
H*
2
UI* 2 ln(b
/
a)
ez
5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation
a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。 b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论
的近似。 c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略，
此时采用磁准静态场定律来研究。
2020/6/30
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例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
E
U0 sint ln(b / a)
e
ρ
JD
D t
E t
U0 cost ln(b / a)
e
iD
sJ D
dS
2l
U0 cost ln(b / a)
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作业：p189 5-1-1，5-1-2 p192 5-2-2 p198 5-3-3
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5.4 集肤效应 Skin Effect 1 导体中任一点E、H、Ｊ的微分方程（在MQS近似下） 对 H J 取旋度，
H ( H ) 2 H J
求解方法：分两步
1）电场的求解采用静电场的公式 2）磁场的求解通过电准静态场的基本方程求解 静电场公式
电荷 分布
Ｅ、Ｄ
D H J , B 0 t
Ｈ、Ｂ
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例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l
（>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压
应，属于似稳场。 2. 在 EQS 和 MQS 场中，同时存在着电场与磁场，两者相互 依存。 3. EQS 场的电场与静电场满足相同的微分方程，在任一时 刻 t ，两种电场分布一致，解题方法相同。
D EQS场的磁场按 H J t
计算。
4. MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，在任一时 刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。 MQS场的电场按
l
0 时，有
J 2 n J 1n 0 t
根据
J E
及 D2 n D1n
( 2 E2n 1E1n ) ( 2 E2n 1E1n ) 0 t 导电媒质分界面上全电流密度法向分量连续 E1t E2t 导体分界面
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a b
H
E
I
S
I H e 2 I * U * S EH ez 2 2 ln( b / a)
b UI * UI * P Re[ dS ] Re[ d ] Re[UI * ] 2 S 2 ln( b / a ) a ln( b / a )
u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的 圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
U 0 sin t E e ln( b / a)
U 0 cos t D E JD e t t ln( b / a)
ρ
U 0 cos t 2l iD J D dS 2l U 0 cos t CU 0 cos t s ln( b / a) ln( b / a)
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2 磁准静态场
定义： 若传导电流远大于位移电流，忽略二次源 D 的 t 作用，即
2013-7-14
19/48
解方程组
消去 E1
aE1 bE2 u(t ) d ( 2 E2 1E1) ( 2 E2 1E1) 0 dt
（1）
dE2 d (a 2 b1 ) (a 2 b 1 ) E2 1u (t ) 1 u (t ) dt dt
在导体中的自由电荷体密度随时间按指数规律衰减，其
衰减快慢取决于驰豫时间。
良导体中 ， τ e <<1 ，故良导体内部无自由电荷的积累。 电荷驰豫过程的电磁场可近似为电准静态场。
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在 EQS 场中， 2 1 0e 其解为
τ
t
e
(r , t )
, 均匀，且各向同性， 由电荷守恒定律
D
及高斯定律
J t
D ( ) D t
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0 t
14/48
0 t
其解为
oe
t e
τ o 为 t 0 时的电荷分布 ， e / －驰豫时间。
利用
B H B 0 H ( E ) t t
2
H H t
a ρ0 h y a h
' ' '
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2 电荷在分片均匀导体中的驰豫过程
根据 有 当
SJ dS q / t,
1 1 J1n S J 2 n S S 1l S 2l S t 2 2
例4 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过渡过程，
写出分界面上面电荷密度的表达式。 解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 u(t )
分界面衔接条件 双层有损介质的平板 电容器
( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t
联立求解方程组可得面电荷密度
2013-7-14
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确定 E2 (0 ), 对式（1）积分，t 从 0 0 ，且 得
U (0 ) 0 E2 (0 ) 0
1 E2 (0 ) U s ＝Α＋Ε"2 a 2 b 1
（4）
式（3）代入式（4）
1 1 A Us ( ) a 2 b1 a 2 b 1
V
0 e 4r
t τe
dV
s
dS 4r
0 ( r )e
t τe
S
dS 4r
说明导体中体电荷 产生的电位很快衰减，导体电位由面电
荷决定。
2013-7-14
16/48
例3 一无限大金属平板，其上方的半无限空间内充满了
均匀的不良导体。在t=0瞬时，在该导体中已形成了一球
涡流场：导体中的磁准静态场。 良导体：满足ωε<<γ的导体。 b. 理想介质中的时变电磁场
e
-j
R <<λ
1 R
R
v
1
R
v
2R
近区或似稳区
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思考 EQS 与 MQS 的共性与个性
1.
, A 满足泊松方程，说明 EQS 和 MQS 忽略了滞后效
6 导体交流内阻抗
7 电磁屏蔽
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本章要求
1 了解EQS和MQS的共性和个性， 2 掌握工程计算中简化为准静态场的条件； 3 掌握准静态场的计算方法。
2013-7-14
2/48
5.1 电准静态场和磁准静态场 Electroquasistatic and Magnetoquasistatic 1 电准静态场 定义： 若库仑电场Ec远大于感应电场Ei，电场呈无旋时， 即
通解
E2 E2 E2 Ae pt E2
t Ae
E2
（2）
a 2 b 1 1 a 2 b1 p , 特征根： a 2 b1 a 2 b 1 （驰豫时间） t 时，E , u(t ) 均不随 t 变化 1 从式(1)得稳态解 E2 Us （3） a 2 b 1
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面电荷密度
2 1 1 2 σ 2 E2 (t ) 1E1 (t ) U s (1 e a 2 b 1
当 t 0 时，
t τ)
0
= 常数
t ，
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。 多层有损介质，在低频交流电压作用下，若位移电流 大于介质中的传导电流，电场按介电常数分布，属静 电场问题；在直流电压作用下，稳态仅有传导电流， 电场按电导率分布，属恒定电流场问题。
b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论 的近似。
c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略， 此时采用磁准静态场定律来研究。
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例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解： E
U e ln( b / a)
第五章 准静态电磁场 主要内容
Quasistatic Electromagnetic Field
1 电准静态场与磁准静态场 （Electroquasistatic） 简写 EQS 2 磁准静态场与集总电路 （Magnetoquasistatic ）简写 MQS 3 电准静态场与电荷驰豫 4 集肤效应与邻近效应 5 涡流及其损耗
i1 i2 i3 0
即集总电路的基尔霍夫电流定律
i 0
结点电流
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2 证明基尔霍夫电压定律
J ( E Ee )
. . B A
J A J Ee E 环路电压 t B B A B BJ A Ee dl A t dl A dl A dl
E (t )
di 1 us Ri L idt u R u L uC dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
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di L dt
1 1 q(t ) idt C C
l
S
i Ri
3 磁准静态场与电路 a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。
E ( E c Ei ) E c 0
此时的电磁场称为电准静态场。 基本方程组（微分形式）：
D E 0 , H J , D , B 0 t
特点: 与静电场相比，磁场方程发生变化，电场方程无变化。
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5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation
作业：p189 5-1-1，5-1-2 p192 5-2-2 p198 5-3-3
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5.4 集肤效应 Skin Effect 1 导体中任一点E、H、Ｊ的微分方程（在MQS近似下） 对 H J 取旋度，
H ( H ) 2 H J
求解方法：分两步
1）电场的求解采用静电场的公式 2）磁场的求解通过电准静态场的基本方程求解 静电场公式
电荷 分布
Ｅ、Ｄ
D H J , B 0 t
Ｈ、Ｂ
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例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l
（>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压
应，属于似稳场。 2. 在 EQS 和 MQS 场中，同时存在着电场与磁场，两者相互 依存。 3. EQS 场的电场与静电场满足相同的微分方程，在任一时 刻 t ，两种电场分布一致，解题方法相同。
D EQS场的磁场按 H J t
计算。
4. MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，在任一时 刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。 MQS场的电场按
l
0 时，有
J 2 n J 1n 0 t
根据
J E
及 D2 n D1n
( 2 E2n 1E1n ) ( 2 E2n 1E1n ) 0 t 导电媒质分界面上全电流密度法向分量连续 E1t E2t 导体分界面
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a b
H
E
I
S
I H e 2 I * U * S EH ez 2 2 ln( b / a)
b UI * UI * P Re[ dS ] Re[ d ] Re[UI * ] 2 S 2 ln( b / a ) a ln( b / a )
u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的 圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
U 0 sin t E e ln( b / a)
U 0 cos t D E JD e t t ln( b / a)
ρ
U 0 cos t 2l iD J D dS 2l U 0 cos t CU 0 cos t s ln( b / a) ln( b / a)
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2 磁准静态场
定义： 若传导电流远大于位移电流，忽略二次源 D 的 t 作用，即
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解方程组
消去 E1
aE1 bE2 u(t ) d ( 2 E2 1E1) ( 2 E2 1E1) 0 dt
（1）
dE2 d (a 2 b1 ) (a 2 b 1 ) E2 1u (t ) 1 u (t ) dt dt
在导体中的自由电荷体密度随时间按指数规律衰减，其
衰减快慢取决于驰豫时间。
良导体中 ， τ e <<1 ，故良导体内部无自由电荷的积累。 电荷驰豫过程的电磁场可近似为电准静态场。
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在 EQS 场中， 2 1 0e 其解为
τ
t
e
(r , t )
, 均匀，且各向同性， 由电荷守恒定律
D
及高斯定律
J t
D ( ) D t
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0 t
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0 t
其解为
oe
t e
τ o 为 t 0 时的电荷分布 ， e / －驰豫时间。
利用
B H B 0 H ( E ) t t
2
H H t
a ρ0 h y a h
' ' '
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2 电荷在分片均匀导体中的驰豫过程
根据 有 当
SJ dS q / t,
1 1 J1n S J 2 n S S 1l S 2l S t 2 2
例4 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过渡过程，
写出分界面上面电荷密度的表达式。 解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 u(t )
分界面衔接条件 双层有损介质的平板 电容器
( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t
联立求解方程组可得面电荷密度
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确定 E2 (0 ), 对式（1）积分，t 从 0 0 ，且 得
U (0 ) 0 E2 (0 ) 0
1 E2 (0 ) U s ＝Α＋Ε"2 a 2 b 1
（4）
式（3）代入式（4）
1 1 A Us ( ) a 2 b1 a 2 b 1
V
0 e 4r
t τe
dV
s
dS 4r
0 ( r )e
t τe
S
dS 4r
说明导体中体电荷 产生的电位很快衰减，导体电位由面电
荷决定。
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例3 一无限大金属平板，其上方的半无限空间内充满了
均匀的不良导体。在t=0瞬时，在该导体中已形成了一球
涡流场：导体中的磁准静态场。 良导体：满足ωε<<γ的导体。 b. 理想介质中的时变电磁场
e
-j
R <<λ
1 R
R
v
1
R
v
2R
近区或似稳区
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思考 EQS 与 MQS 的共性与个性
1.
, A 满足泊松方程，说明 EQS 和 MQS 忽略了滞后效
6 导体交流内阻抗
7 电磁屏蔽
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本章要求
1 了解EQS和MQS的共性和个性， 2 掌握工程计算中简化为准静态场的条件； 3 掌握准静态场的计算方法。
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5.1 电准静态场和磁准静态场 Electroquasistatic and Magnetoquasistatic 1 电准静态场 定义： 若库仑电场Ec远大于感应电场Ei，电场呈无旋时， 即
通解
E2 E2 E2 Ae pt E2
t Ae
E2
（2）
a 2 b 1 1 a 2 b1 p , 特征根： a 2 b1 a 2 b 1 （驰豫时间） t 时，E , u(t ) 均不随 t 变化 1 从式(1)得稳态解 E2 Us （3） a 2 b 1
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面电荷密度
2 1 1 2 σ 2 E2 (t ) 1E1 (t ) U s (1 e a 2 b 1
当 t 0 时，
t τ)
0
= 常数
t ，
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。 多层有损介质，在低频交流电压作用下，若位移电流 大于介质中的传导电流，电场按介电常数分布，属静 电场问题；在直流电压作用下，稳态仅有传导电流， 电场按电导率分布，属恒定电流场问题。
b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论 的近似。
c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略， 此时采用磁准静态场定律来研究。
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例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解： E
U e ln( b / a)
第五章 准静态电磁场 主要内容
Quasistatic Electromagnetic Field
1 电准静态场与磁准静态场 （Electroquasistatic） 简写 EQS 2 磁准静态场与集总电路 （Magnetoquasistatic ）简写 MQS 3 电准静态场与电荷驰豫 4 集肤效应与邻近效应 5 涡流及其损耗
i1 i2 i3 0
即集总电路的基尔霍夫电流定律
i 0
结点电流
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2 证明基尔霍夫电压定律
J ( E Ee )
. . B A
J A J Ee E 环路电压 t B B A B BJ A Ee dl A t dl A dl A dl
E (t )
di 1 us Ri L idt u R u L uC dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
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di L dt
1 1 q(t ) idt C C
l
S
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3 磁准静态场与电路 a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。
E ( E c Ei ) E c 0
此时的电磁场称为电准静态场。 基本方程组（微分形式）：
D E 0 , H J , D , B 0 t
特点: 与静电场相比，磁场方程发生变化，电场方程无变化。
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5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation