第五章准静态电磁场
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电磁场原理(第二版)5章
• 这种感应电势称为变压器电势。若导体线圈匝数 为N，且每匝上通过相等的磁通，有
• 3) 兼有上面两种情况时，导体线圈中的感应电势 由两部分组成
• 5.1.3 时变电场的有散有旋性 • 对于式 (5.1.3) 所示的电磁感应定律，运用斯托克 斯定理，得
• 考虑到回路 l 的任意性，致使它所界定面积 S 也是 任意的，欲使上式成立，必有
• 方程组的微分形式为
• 基本方程组中第一方程全电流定律说明除 运动电荷之外，变化的电场也产生磁场， 为其矢量场源密度，时变磁场是有旋场， H线可以闭合。
• 有几点应说明： • 1) 麦克斯韦方程组适用于相对所选坐标系为静止 媒质的宏观电磁现象。此时，媒质的性能参数ε， μ，γ与时间无关。 • 2) 电荷守恒定律是电磁场理论中的一个基本公理， 在推导出电磁场基本方程的过程中，它起了重要 作用。考虑电磁场基本方程已反映出时变电场和 时变磁场的全部场量与场源之间的关系，充分反 映了变化的磁场伴随一个变化电场，变化的电场
• 相应电流，
为位移电
流密度。称式 (5.2.6) 为全电流定律的积分形式， 式(5.2.7)为该定律的微分形式。
• 必须指出：式 (5.2.6) 以积分形式反映大范围内时 变场的情况，可能同时包含有传导电流和运流电 流，全电流 i=ic+iν+iD 。而式 (5.2.7) 以微分形式反 映时变场中某点处的场源关系，在该点处传导电 流密度 Jc 和运流电流密度 Jν 不可能同时存在。 • 由上的推导也可知，当磁场不随时间变化时，也 就是时变磁场蜕变为恒定磁场时，全电流定律就 蜕变为安培环路定律，所以安培环路定律是全电 流定律的特例。 • 位移电流是麦克斯韦为满足电荷守恒定律，体现 电流的连续性而引入的一个假想概念，它没有通 常电流的意义，也不便于测量。
5.1 5.2 电磁感应定律和全电流定律
Ed l 0
l
Dd s Q
s
H d l I
l
Bd s 0
s
§5.1 电磁感应定律和全电流定律
1、电磁感应定律（法拉第定律）
当与闭合回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势 。 其数值大小与穿过闭合回路的磁通随时间的变化率
（3）考虑运流电流的影响
Jv v
称为运流电流密度 可能有运流电流的存在。
在真空和空气稀薄区域，
全电流定律积分形式:
H d l
l
s
Jcd s
D t
d s
s
v d s
运流电流实例：运动的带电云
s
全电流定律微分形式:
H Jc Jv
位移电流
iD
S
S du du J D dS iC C d dt dt
传导电流与位移电流
图5.1.3
动生电动势
d dt
(v B)d l
l
B t
d S
S
法拉第定律的推广（Maxwell的贡献）：
实验表明：感应电动势 与构成回路的材料性质无关，只要与回路交 链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。
当回路由导体材料构成时，有感应电流。
E ( r ,t ) B ( r ,t )
时变电磁场场源：
时变电场源
时变磁场源
① 时变电荷 q(t)
① 时变电流 i(t)
② 时变磁场
② 时变电场
B t
D t
电磁场理论课件 第五章 第1节 电磁场的矢势和标势
但将
E
t
A
t
t
t
t
中的与此融合也作相应的变换，则仍
可使 E 保持不变
t
A ( ) ( A )
t
t t
( ) A ( )
t
t t
A E
t
即设任意的标量函数 (x,t)，作下述变换式：
A A A
t
于是我们得到了一组新的 A. ，满足
可以引入势的概念。但是，由于电场的旋度不为
零，这里引入的矢势、标势（时间的函数）与静
电场（与时间无关）情况有很大的不同。
D
E
B t
B 0
H
J
D
t
? B A
三．辐射问题的本质也是边值问题
变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又 反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布 就是在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电 荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑 它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下 这种的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确 定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅 讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。
种独立偏振。
洛仑兹规范的优点是：它的标势
和矢势
A
构成的势方程具有对称性。它的矢势 A 的纵向部
分和标势 的选择还可以有任意性，即存在多余
的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变
性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。
总结本次课的内容
1. 用势描述电磁场
B A
E
A t
2. 两种规范
1.库仑规范 A 0
potential)。
c) 在时变场中，磁场和电场是相互作用着的整体，必须把
时变电磁场和准静态电磁场PPT文档40页
灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
时变电磁场和准静态电磁场
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
时变电磁场和准静态电磁场
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
重庆大学电磁场课件第五章
§5.4 动态位 达朗贝尔方程的解答
1、动态位的引入
Maxwell 方程组的微分形式
H J D t
E B t
B 0
D
由 B 0 B A
由
E B t
(E A) 0 t
E A t
E
A t
Ec
Eind
A, 称为动态位（potential of Kinetic State）。
麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是他建 立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的 综合之一。麦克斯韦大约于1855年开始研究电磁学，在潜心研究了法拉第关于电磁学方面的新理论和思想之后， 坚信法拉第的新理论包含着真理。于是他抱着给法拉第的理论“提供数学方法基础”的愿望，决心把法拉第的 天才思想以清晰准确的数学形式表示出来。他在前人成就的基础上，对整个电磁现象作了系统、全面的研究， 凭借他高深的数学造诣和丰富的想象力接连发表了电磁场理论的三篇论文：《论法拉第的力线》（1855年12 月至1856年2月）；《论物理的力线》（1861至1862年）；《电磁场的动力学理论》（1864年12月8日）。 对前人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场理论用简洁、对称、完美数学形式表示出来，经后人整理和 改写，成为经典电动力学主要基础的麦克斯韦方程组。据此，1865年他预言了电磁波的存在，电磁波只可能是 横波，并计算了电磁波的传播速度等于光速，同时得出结论：光是电磁波的一种形式，揭示了光现象和电磁现 象之间的联系。1888年德国物理学家赫兹用实验验证了电磁波的存在。麦克斯韦于1873年出版了科学名著 《电磁理论》系统、全面、完美地阐述了电磁场理论。这一理论成为经典物理学的重要支柱之一。在热力学与 统计物理学方面麦克斯韦也作出了重要贡献。他引入了驰豫时间的概念，发展了一般形式的输运理论，并把它 应用于扩散、热传导和气体内摩擦过程。1867年引入了“统计力学”这个术语。麦克斯韦是运用数学工具分析 物理问题和精确地表述科学思想的大师，他非常重视实验，由他负责建立起来的卡文迪什实验室，在他和以后 几位主任的领导下，发展成为举世闻名的学术中心之一。他善于从实验出发，经过敏锐的观察思考，应用娴熟 的数学技巧，从缜密的分析和推理，大胆地提出有实验基础的假设，建立新的理论，再使理论及其预言的结论 接受实验检验，逐渐完善，形成系统、完整的理论。特别是汤姆孙卓有成效地运用类比的方法使麦克斯韦深受 启示，使他成为建立各种模型来类比研究不同物理现象的能手。在他的电磁场理论的三篇论文中多次使用了类 比研究方法，寻找到了不同现象之间的联系，从而逐步揭示了科学真理。
第5章 静态场的边值问题(1)静态场边值问题的基本概念
2
★三类边值问题 ——对应的三类边界条件
第一类：已知整个边界面上的位函数；
第二类：已知整个边界面上的位函数的法向导数;
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。
3
§5.1 静态场边值问题的基本概念
一、静态电磁场的方程
二、三类边值问题 三、基本计算方法
4
§5.1 静态场边值问题的基本概念
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。（1分）
18
8
★三类边界条件
第一类：
已知位函数在整个边界面上的
亦即：
已知 | f1 (S )，S为边界上的点。
9
第二类：
已知位函数在整个边界面上的法向导数。
（即：已知整个边界面上的位函数的法向导数）
亦即：
f 2 (S ) | n
10
第三类：
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
一、静态电磁场的方程 二、三类边值问题 三、基本计算方法
5
一、静态电磁场的方程
静 电 场：由电 荷（通量源）激发
恒定磁场：由恒定电流（涡旋源）激发
静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 具有相同的基本特性： 数学上满足同一类方程（Poisson方程）
/ 2 A J
★三类边值问题 ——对应的三类边界条件
第一类：已知整个边界面上的位函数；
第二类：已知整个边界面上的位函数的法向导数;
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。
3
§5.1 静态场边值问题的基本概念
一、静态电磁场的方程
二、三类边值问题 三、基本计算方法
4
§5.1 静态场边值问题的基本概念
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。（1分）
18
8
★三类边界条件
第一类：
已知位函数在整个边界面上的
亦即：
已知 | f1 (S )，S为边界上的点。
9
第二类：
已知位函数在整个边界面上的法向导数。
（即：已知整个边界面上的位函数的法向导数）
亦即：
f 2 (S ) | n
10
第三类：
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
一、静态电磁场的方程 二、三类边值问题 三、基本计算方法
5
一、静态电磁场的方程
静 电 场：由电 荷（通量源）激发
恒定磁场：由恒定电流（涡旋源）激发
静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 具有相同的基本特性： 数学上满足同一类方程（Poisson方程）
/ 2 A J
电磁场原理习题与解答(第5章)
第五章习题答案5-2 如题图所示，一半径为a 的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场B 中以等角速度ω旋转，其轴线与磁场平行。
在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷。
这一装置称为法拉第发电机。
试证明两电刷之间的电压为22ωBa 。
证明：，选圆柱坐标， ρφe vB e B e v B v E z ind=⨯=⨯=其中 φρωe v=22ωρρωρερρa B d B e d e v B l d E aal ind====⎰⎰⎰∙∙∴证毕 5-3解：5-4 一同轴圆柱形电容器，其内、外半径分别为cm r 11=、cm r 42=，长度cm l 5.0=，极板间介质的介电常数为04ε，极板间接交流电源，电压为V t 10026000u πsin =。
求s t 0.1=时极板间任意点的位移电流密度。
解法一：因电源频率较低，为缓变电磁场，可用求静电场方法求解。
忽略边沿效应，电容器中的场为均匀场，选用圆柱坐标，设单位长度上内导体的电荷为τ，外导体电荷为τ-，因题图5-2zvρ此有ρρπετe 2E 0=21r r <<ρ1200222121r r d dl E u r r r r lnπετρρπετ===⎰⎰∙1202r r u ln=∴πετ所以ρρer r u E 12 ln =， ρρεer r u D 12ln=2A/mρρππρερεe t 10010026000r r e tu r r tD J 1212dcos ln ln ⨯=∂∂=∂∂=当s t 1=时2512A/m10816100100260004108584ρρρππρe e J d--⨯=⨯⨯⨯⨯=.cos ln .解法二：用边值问题求解，即⎪⎩⎪⎨⎧=====∇401u 02ρϕρϕϕ 由圆柱坐标系有0)(1=∂∂∂∂ρϕρρρ(1)解式(1)得 21ln c c +=ρϕ由边界条件得： 4u c 1ln -= u c 2=u 4u +-=∴ρϕln ln所以 ρρπϕe 4t10026000Eln sin =-∇=ρρπεεe 4t 100260004E D 0ln sin ==ρπρπεe 1004t 100260004t D J 0D⨯=∂∂=ln cos当s t 1=时)(.25D mAe 10816J ρρ-⨯=5-5由圆形极板构成的平板电容器)(d a >>见题图所示，其中损耗介质的电导率为γ、介电系数为ε、磁导率为μ，外接直流电源并忽略连接线的电阻。
电磁场理论(第五章)
管电磁场的势函数有多种规范，不同 规范有不同的势函数，但不同规范下的势函数可以 通过变换关系
实现相互之间的转换，称为规范变换。
∂ψ (r ,t ) A (r ,t ) = A(r ,t ) + ∇ψ (r ,t )，φ' (r ,t ) = φ(r ,t ) − ' ∂t
不同规范下的势函数描述同一电磁场。势函数作规 范变换时，其所描述的物理量及其遵循的物理规律 应保持不变，称为规范变换的不变性
S(r,t ) ：Poynting 矢量，其表达式说明 电磁场能量是通过电磁场来实现传输的
φ(r ,t ) = ~ φ (r ,ω) =
1
jωt ∫φ (r,ω) e dω ρ(r,t) = 2π −∞ ∞ 1 ~ φ(r ,t ) e−jωt dt ρ(r ,ω) = ∫ 2π −∞
∞
~
1 ~ ρ(r ,ω) e jωt dω ∫ 2π −∞ ∞ 1 ρ(r ,t ) e−jωt dt ∫ 2π −∞
~ 1 ρ(r' ,ω) −jk r−r' φ (r,ω) = ∫∫∫ r − r' e dV′ 4πε V ~
φ(r,t ) =
1 dV' 4πε ∫∫∫ r − r' V 1 ~ dω ρ(r' ,ω) e ∫ 2π −∞
∞ jωt −k r −r'
1 dV' k = ∫∫∫ r − r' ρr'，t − ω r − r' 4πε V
3、势函数的规范
根据矢量场的Helmholtz定理，确定区域的矢量 函数只有在该矢量函数的散度和旋度后才能唯一 确定。而磁矢势仅由旋度
实现相互之间的转换，称为规范变换。
∂ψ (r ,t ) A (r ,t ) = A(r ,t ) + ∇ψ (r ,t )，φ' (r ,t ) = φ(r ,t ) − ' ∂t
不同规范下的势函数描述同一电磁场。势函数作规 范变换时，其所描述的物理量及其遵循的物理规律 应保持不变，称为规范变换的不变性
S(r,t ) ：Poynting 矢量，其表达式说明 电磁场能量是通过电磁场来实现传输的
φ(r ,t ) = ~ φ (r ,ω) =
1
jωt ∫φ (r,ω) e dω ρ(r,t) = 2π −∞ ∞ 1 ~ φ(r ,t ) e−jωt dt ρ(r ,ω) = ∫ 2π −∞
∞
~
1 ~ ρ(r ,ω) e jωt dω ∫ 2π −∞ ∞ 1 ρ(r ,t ) e−jωt dt ∫ 2π −∞
~ 1 ρ(r' ,ω) −jk r−r' φ (r,ω) = ∫∫∫ r − r' e dV′ 4πε V ~
φ(r,t ) =
1 dV' 4πε ∫∫∫ r − r' V 1 ~ dω ρ(r' ,ω) e ∫ 2π −∞
∞ jωt −k r −r'
1 dV' k = ∫∫∫ r − r' ρr'，t − ω r − r' 4πε V
3、势函数的规范
根据矢量场的Helmholtz定理，确定区域的矢量 函数只有在该矢量函数的散度和旋度后才能唯一 确定。而磁矢势仅由旋度
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电容器两极板间电压
U BA
q 1 idt C C
B B
A
第 五 章
准静态电磁场
有
di 1 (t ) L idt i( Ri r R) uL uC uR dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
表明电路理论是特殊情况下得麦克斯韦电磁理论的近似。 当满足MQS的似稳条件时，研究场的问题时可以采用路 的方法。
(0) J 当 x , Jy 有限，故 C2 0 , C1 J y 0
则
x jx J y ( x) J 0 e e
E 由 J
1 x jx E y ( x) J 0 e e
jH H ( x) j 由 E z
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件 ( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t 解方程，得面电荷密度为
图5.3.2 双层有损介质的平板 电容器
t τ
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
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MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，
在任一时刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。
B 而MQS场的电场按 计算。 E t
以下两种情况可看作磁准静态场来计算：
1 1，对于导体中的时变电磁场，满足： 则位移电流可以忽略，可按磁准静态场来处理。把
满足上述条件的导体称为良导体。
为电导率很大，驰豫时间远小于1，e指数约为0，
一般认为良导体内无自由电荷的积累。电荷分布在
导体表面。
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第 五 章
准静态电磁场
在 EQS 场中， 2
其解为（假定有体分布电荷）
1 0e
t τe
(r , t )
V
0 e 4π r
t τe
kJ 0
e
x
e
jx
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第 五 章
准静态电磁场
结论: 电流密度,电场强度.和磁场强度的振幅沿导体的纵深
都按指数衰减,而且相位也随之发生改变,它说明当交变
电流通过导体时,靠近导体表面处的电流密度最大,越深 入导体内部,它们越小.当频率很高时,它们几乎只在导体
表面一薄层内存在,场量主要集中在导体表面附近的现
与源之间的瞬间对应关系，称为似稳场。
在 EQS 和 MQS 场中，同时存在着电场与磁场，两者相 互依存。 EQS 场的电场与静电场满足相同的微分方程， 在任一时刻 t ，两种电场分布一致，解题方法相同。
D 而EQS场的磁场按 H J 计算。 t
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第 五 章
准静态电磁场
Jd 0
的 D t
静态场（MQS）。 用库仑规范 A 0 ，得到泊松方程
A J ,
2
/
2
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第 五 章
准静态电磁场
思考 EQS 与 MQS 的共性与个性
EQS 和 MQS 没有波动性(忽 满足静态泊松方程，说明 ,A 略掉了相应的时变项）。认为场与源之间具有类似静态场中的场
象,称为集肤效应.
第 五 章
准静态电磁场
d
1
2 称为透入深度（skin depth），其
大小反映电磁场衰减的快慢。 当 x = x0 ，
J y ( x0 ) J 0e x0
( x 0 d )
当 x=x0+d 时，
J y ( x0 d ) J 0e
J 0e
2 1 1 2 σ U s (1 e ) a 2 b 1
第 五 章
准静态电磁场
5.4 集 and Proximate Effect
5.4.1 集肤效应 ( Skin Effect ) 概念1 时变场中的良导体 J J J E j E C D 在正弦电磁场中，满足 ，的材料称为良导 体，良导体可以忽略位移电流，属于MQS场。
2 J y ( x) k J y ( x) 2
图5.4.2 半无限大导体中 的集肤效应
通解
( x) C e kx C ekx J y 1 2
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第 五 章
准静态电磁场
通解
( x) C e kx C ekx J y 1 2
k j
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第 五 章
准静态电磁场
2. 对于理想介质中的时变电磁场满足：
R
即当场点到源点的距离远小于场的波长时，略去位移 电流才是合理的。
上 上述两种条件称为近似条件或似稳条件 述
第 五 章
准静态电磁场
5.2 磁准静态场与集总电路
MQS Filed and Circuit
1. 证明基尔霍夫电流定律 在 MQS 场中， J H J
作用，即
H J , B 0 , E B / t , D 0
B 0 B A
A B A E ( E ) 0 E t t t 特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准
由动态位求得B.E
0
S2
S J dS 0
J 2 dS
S3
S
J dS J1 dS
S1
J 3 dS
i1 i2 i3 0
即集总电路的基尔霍夫电流定律
i 0
图5.2.1 结点电流
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第 五 章
准静态电磁场
2. 证明基尔霍夫电压定律 考虑磁准静态场中的一个由电阻、电感、和电容串联的 电路。 在 MQS 场中， J H J
0 （传导电流连续）
则电路中任意时刻的传导电流处处相等。电路中任一点的 传导电流密度是：
J ( E Ee )
A 由 E 带入上式得： t A J Ee t
第 五 章
准静态电磁场
A J Ee t
若沿着导线从A到B积分，则有：
dV
0 (r )e
t τe
表明导体中的电位分布也按指数规律衰减，衰 减快慢决定与驰豫时间。 P194例5－3
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第 五 章
准静态电磁场
5.3.2 电荷在分片均匀导体中的驰豫过程
根据 有 当
SJ dS q / t,
（自学）
1 1 J1n S J 2 n S S 1lS 2 lS t 2 2
图 5.4.3 透入深度
x0 1
e J y ( x0 ) 36.8%
d 表示电磁场衰减到原来值的36.8% 所经过的距离。 当材料确定后， (衰减快 电流不 d ) 均匀分布。
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第 五 章
准静态电磁场
5.5 涡流及其损耗
Eddy Current and Loss
计算。 D H J t 注意：电准静态场中的电场方程与静电场中方程相同，
EQS场的磁场则按
但电准静态场中的电场是时变的，这区别于静电场。 在低频交流情况下，平板电容器中的电磁场属于电 准静态场 P187例
第 五 章
准静态电磁场
磁准静态场 （MQS）。
若传导电流远大于位移电流，忽略二次源
中
J t
J D/
D
0 t
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第 五 章
准静态电磁场
0 t
其解为 式中
oe
o 为
t e
， t时的电荷分布 0
τ e ━驰 /
豫时间，说明在导体中，若存在体分布的电荷，因
电准静态场
B ( 0) t
R 1
具有静态电磁场的特点
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第 五 章
准静态电磁场
5.1 电准静态场和磁准静态场
Electroquasistatic and Magnetoquasistatic 电准静态场
EQS
若库仑电场远大于感应电场，忽略二次源
作用，即
D H J , B 0 , t E 0 , D 特点：电场的有源无旋性与静电场相同，称为
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第 五 章
准静态电磁场
5.4.2 邻近效应（ Proximate Effect ） 靠近的导体通交变电流时，所产生的相互影响，称
为邻近效应。 频率越高，导体靠得越近，邻近效应愈显著。邻近
效应与集肤效应共存，它会使导体的电流分布更不均匀。
图5.4.4 单根交流汇流排的 集肤效应
l 时，有 0
J 2 n J1n 0 t
根据
J E 及 D2n D1n
图5.3.1 导体分界面
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( 2 E2 n 1E1n ) ( 2 E2 n 1E1n ) 0 t
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例5.3.1 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压 源的过渡过程，写出分界面上面电荷密度 的表达式。
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5.3 电准静态场与电荷驰豫
EQS Field and Charge Relaxation
5.3.1 电荷在均匀导体中的驰豫过程
（Charge Relaxation Process in Uniform Conductive Medium)
U BA
q 1 idt C C
B B
A
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有
di 1 (t ) L idt i( Ri r R) uL uC uR dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
表明电路理论是特殊情况下得麦克斯韦电磁理论的近似。 当满足MQS的似稳条件时，研究场的问题时可以采用路 的方法。
(0) J 当 x , Jy 有限，故 C2 0 , C1 J y 0
则
x jx J y ( x) J 0 e e
E 由 J
1 x jx E y ( x) J 0 e e
jH H ( x) j 由 E z
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件 ( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t 解方程，得面电荷密度为
图5.3.2 双层有损介质的平板 电容器
t τ
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
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MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，
在任一时刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。
B 而MQS场的电场按 计算。 E t
以下两种情况可看作磁准静态场来计算：
1 1，对于导体中的时变电磁场，满足： 则位移电流可以忽略，可按磁准静态场来处理。把
满足上述条件的导体称为良导体。
为电导率很大，驰豫时间远小于1，e指数约为0，
一般认为良导体内无自由电荷的积累。电荷分布在
导体表面。
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在 EQS 场中， 2
其解为（假定有体分布电荷）
1 0e
t τe
(r , t )
V
0 e 4π r
t τe
kJ 0
e
x
e
jx
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结论: 电流密度,电场强度.和磁场强度的振幅沿导体的纵深
都按指数衰减,而且相位也随之发生改变,它说明当交变
电流通过导体时,靠近导体表面处的电流密度最大,越深 入导体内部,它们越小.当频率很高时,它们几乎只在导体
表面一薄层内存在,场量主要集中在导体表面附近的现
与源之间的瞬间对应关系，称为似稳场。
在 EQS 和 MQS 场中，同时存在着电场与磁场，两者相 互依存。 EQS 场的电场与静电场满足相同的微分方程， 在任一时刻 t ，两种电场分布一致，解题方法相同。
D 而EQS场的磁场按 H J 计算。 t
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Jd 0
的 D t
静态场（MQS）。 用库仑规范 A 0 ，得到泊松方程
A J ,
2
/
2
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思考 EQS 与 MQS 的共性与个性
EQS 和 MQS 没有波动性(忽 满足静态泊松方程，说明 ,A 略掉了相应的时变项）。认为场与源之间具有类似静态场中的场
象,称为集肤效应.
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d
1
2 称为透入深度（skin depth），其
大小反映电磁场衰减的快慢。 当 x = x0 ，
J y ( x0 ) J 0e x0
( x 0 d )
当 x=x0+d 时，
J y ( x0 d ) J 0e
J 0e
2 1 1 2 σ U s (1 e ) a 2 b 1
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5.4 集 and Proximate Effect
5.4.1 集肤效应 ( Skin Effect ) 概念1 时变场中的良导体 J J J E j E C D 在正弦电磁场中，满足 ，的材料称为良导 体，良导体可以忽略位移电流，属于MQS场。
2 J y ( x) k J y ( x) 2
图5.4.2 半无限大导体中 的集肤效应
通解
( x) C e kx C ekx J y 1 2
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通解
( x) C e kx C ekx J y 1 2
k j
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2. 对于理想介质中的时变电磁场满足：
R
即当场点到源点的距离远小于场的波长时，略去位移 电流才是合理的。
上 上述两种条件称为近似条件或似稳条件 述
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5.2 磁准静态场与集总电路
MQS Filed and Circuit
1. 证明基尔霍夫电流定律 在 MQS 场中， J H J
作用，即
H J , B 0 , E B / t , D 0
B 0 B A
A B A E ( E ) 0 E t t t 特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准
由动态位求得B.E
0
S2
S J dS 0
J 2 dS
S3
S
J dS J1 dS
S1
J 3 dS
i1 i2 i3 0
即集总电路的基尔霍夫电流定律
i 0
图5.2.1 结点电流
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2. 证明基尔霍夫电压定律 考虑磁准静态场中的一个由电阻、电感、和电容串联的 电路。 在 MQS 场中， J H J
0 （传导电流连续）
则电路中任意时刻的传导电流处处相等。电路中任一点的 传导电流密度是：
J ( E Ee )
A 由 E 带入上式得： t A J Ee t
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A J Ee t
若沿着导线从A到B积分，则有：
dV
0 (r )e
t τe
表明导体中的电位分布也按指数规律衰减，衰 减快慢决定与驰豫时间。 P194例5－3
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5.3.2 电荷在分片均匀导体中的驰豫过程
根据 有 当
SJ dS q / t,
（自学）
1 1 J1n S J 2 n S S 1lS 2 lS t 2 2
图 5.4.3 透入深度
x0 1
e J y ( x0 ) 36.8%
d 表示电磁场衰减到原来值的36.8% 所经过的距离。 当材料确定后， (衰减快 电流不 d ) 均匀分布。
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5.5 涡流及其损耗
Eddy Current and Loss
计算。 D H J t 注意：电准静态场中的电场方程与静电场中方程相同，
EQS场的磁场则按
但电准静态场中的电场是时变的，这区别于静电场。 在低频交流情况下，平板电容器中的电磁场属于电 准静态场 P187例
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磁准静态场 （MQS）。
若传导电流远大于位移电流，忽略二次源
中
J t
J D/
D
0 t
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0 t
其解为 式中
oe
o 为
t e
， t时的电荷分布 0
τ e ━驰 /
豫时间，说明在导体中，若存在体分布的电荷，因
电准静态场
B ( 0) t
R 1
具有静态电磁场的特点
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5.1 电准静态场和磁准静态场
Electroquasistatic and Magnetoquasistatic 电准静态场
EQS
若库仑电场远大于感应电场，忽略二次源
作用，即
D H J , B 0 , t E 0 , D 特点：电场的有源无旋性与静电场相同，称为
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5.4.2 邻近效应（ Proximate Effect ） 靠近的导体通交变电流时，所产生的相互影响，称
为邻近效应。 频率越高，导体靠得越近，邻近效应愈显著。邻近
效应与集肤效应共存，它会使导体的电流分布更不均匀。
图5.4.4 单根交流汇流排的 集肤效应
l 时，有 0
J 2 n J1n 0 t
根据
J E 及 D2n D1n
图5.3.1 导体分界面
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( 2 E2 n 1E1n ) ( 2 E2 n 1E1n ) 0 t
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例5.3.1 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压 源的过渡过程，写出分界面上面电荷密度 的表达式。
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5.3 电准静态场与电荷驰豫
EQS Field and Charge Relaxation
5.3.1 电荷在均匀导体中的驰豫过程
（Charge Relaxation Process in Uniform Conductive Medium)