信号与线性系统分析第5章精品PPT课件
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信号与线性系统_吴大正_教材课件
s ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t ) P ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t )
第 1 章 信号与系统的基本概念
同样，若有两个离散信号f1(k)和f2(k)，则其和信号s(k)与 积信号p(k)可表示为
s ( k ) f1 ( k ) f 2 ( k ) P ( k ) f1 ( k ) f 2 ( k )
解 一般说来，在t轴尺度保持不变的情况下，信号 f(at+b)(a≠0)的波形可以通过对信号f(t)波形的平移、翻转(若
a<0)和展缩变换得到。根据变换操作顺序不同，可用多种方法
画出f(1-2t)的波形。 (1) 按“翻转-展缩-平移”顺序。 首先将f(t)的波形进行翻 转得到如图1.3-6(b)所示的f(-t)波形。然后，以坐标原点为中心， 将f(-t)波形沿t轴压缩1/2，得到f(-2t)波形如图1.3-6(c)所示。由 于f(1-2t)可以改写为
f(-t+1)波形。最后，将f(-t+1)波形压缩1/2得到f(1-2t)的波形。
信号波形的变换过程如图1.3-7所示。
第 1 章 信号与系统的基本概念
f (t ) f (t ＋ 1)
1 －2 －1 0 －1 1 2 t －1
1
0 －1
1
t
(a )
(b )
f (－ t ＋ 1)
f (1 － 2 ) t
第 1 章 信号与系统的基本概念
f1 (t ) A 1 f2 (t ) A f3 (t )
－2
－1
0
1
2
t
o
t
o
t0
t
－A
(a )
(b )
第五章线性定常系统的设计与综合-课件
ห้องสมุดไป่ตู้
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
2013信号与线性系统分析__课件5
（3） y(t)=x2(0)+2f(t)
解：（1）yzs(t)=2f(t)+1，yzi(t)=3x(0)+1 显然， y (t) ≠ yzs(t) ＋ yzi(t) 不满足可分解性，故为非线性
第 8页
（2） y(t)=2x(0)+|f(t)| （3） y(t)=x2(0)+2f(t) 解： （2）yzs(t)=|f(t)|，yzi(t)=2x(0) y(t)=yzs(t)+yzi(t) 满足可分解性； 由于T[0,af(t)]=|af(t)|≠ayzs(t) 不满足零状态线性。故为非线性系统。 （3）yzi(t)=x2(0)， T[ax(0),0]=[ax(0)]2 ≠ayzi(t) 不满足零输入线性。故为非线性系统。
yzs (k ) ( x)dx
t
是不稳定系统；
t
( x)d x t (t ) 当t →∞时，它也→∞，无界。
第 14 页
LTI系统的微分特性和积分特性
（1）微分特性： 若 f (t) → yzs(t) (2) 积分特性： 若 f (t) → yzs(t)
t
f ’(t) → y’zs (t)
f ( x )dx
t
y zs ( x )dx
第 15 页
第二章 连续系统的时域分析
建立线性微分方程并 LTI连续系统的时域分析： 求出响应与激励关系 时域分析法：函数的变量----t 经典法 时域分析法主要内容：
零输入响应和零状态响应
冲激响应与卷积积分
f(· →y(· ) )
af(· ay(· )→ )
可加性： f1(· y1(· )→ ) f1(· f2(· y1(· y2(· )+ )→ )+ ) f2(· y2(· )→ ) 综合，线性性质： af1(· bf2(· ay1(· by2(· )+ )→ )+ )
信号与线性系统分析第四版第5章.ppt
s
1 s0
> –Re[s0]
s
cos 0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→
s2
2 0
sin
0t
=
(ej0t–
e-j0t
)/2j
←→
0
s2
2 0
信号与系统
(4) 周期信号fT(t)
FT (s)
0
fT
(t) estd t
T 0
fT (t) estd t
2T T
fT (t) estd t
则 F(j)=1/( j+2)
信号与系统
（2）0 =0，即F(s)的收敛边界为j轴，
F(j) lim F(s) 0
如f(t)= (t)←→F(s)=1/s
F(j) lim 1 lim lim j 0 j 0 2 2 0 2 2
= () + 1/j （3）0 >0，F(j)不存在。 例: f(t)=e2t(t) ←→F(s)=1/(s –2) , >2；其傅里叶变
本章引入复频率 s = σ+jω,以复指数函数est为基本信 号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分 析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。
信号与系统
5.1 拉普拉斯变换
从傅里叶变换到拉普拉斯变换 收敛域 (单边)拉普拉斯变换 常见函数的拉普拉斯变换 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
jω
仅当>时，其收敛域 为 <Re[s]<的一个带
状区域，如图所示。
0
βσ
信号与系统
例4： 求下列信号的双边拉普拉斯变换。
信号系统-第5章 拉普拉斯变换与系统函数
事实上，由于X(s)是一个复平面上 的函数，将其视为一个数学上的变换而 不强调其物理意义更易理解。
利用复变函数理论中的围线积分、留
数定理和约当（Jordon）引理等知识，反 变换表达式（5-11）中原函数x(t)的计算可 简化为如下所示的留数计算。
x(t)
1 2πj
j∞ j∞
X
(s)est ds
因此，反演公式同样适用于单边拉 普拉斯反变换。
5.3 拉普拉斯变换的进一步讨论
5.3.1 定义与说明
式（5-3）已给出了单边拉普拉斯变 换的定义，这里重写于下：
∞
X (s) x(t)estdt 0
图5-2 3个不同的信号具有相同的单边拉普拉斯变换
【例5-5】 求(t)的拉普拉斯变换。
解 取为“0+”时，
1
j∞
X (s)estds
x(t) 2πj j∞
0
t≥0 t0
（5-11）
从物理意义上讲，式（5-11）也可 理解为将x(t)视为形如 et ejt 的幅度随 指数形式增长或衰减的正弦波的线性组 合。
但与傅里叶变换相比，X(s)不能像 X (j) 一样具有明确的物理意义，因此， X(s)在这个正弦波线性组合中的作用难 以得到物理解释。
变收换 敛与 域单 也边相拉同普，拉均斯 为变Re换s相同，，均即为右F半(s)平 s面1（， 包括大半或小半，视 而定）。
【例5-4】 因果信号 f1(t) et (t) 与非因 果信号 f2 (t) et (t) 具有相同的双边 拉普拉斯变换表达式，但收敛域不同。
F1(s)
∞
et (t)estdt
0
0
令 s j ，即 Res ， Ims，
数字信号处理讲义--第5章线性时不变系统的变换分析
数字信号处理讲义--第5章线性时不变系统的变换分析第５章线性时不变系统的变换分析[教学⽬的]1．了解LTI 系统频率响应的概念；2．掌握线性常系数差分⽅程所表征系数的系统函数的⽅法； 3．掌握有理系统频率响应分析⽅法4．理解线性相位系统、⼴义线性相位系统与因果⼴义线性相位系统的概念，⼏类线性相位系统。
[教学重点与难点] 重点：1．线性常系数差分⽅程所表征系数的系统函数的⽅法； 2．有理系统频率响应分析⽅法； 3．⼏类线性相位系统。
难点：1．有理系统频率响应分析⽅法⼏类线性相位系统5.1 LTI 系统的频率响应前⾯已经讨论过，在时域中，⼀个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应h (n )来表⽰。
对于⼀个给定的输⼊x (n )，其输出y (n )为对等式两端取Z 变换，得则 (5-1)两边做离散傅⽴叶变换有: |Y (e j ω)|=|H (e j ω)|·|X (e j ω)| (5-2)|Y (e j ω)|=|H (e j ω)|·|X (e j ω)|arg ［Y (e j ω)］=arg ［H (e j ω)］+arg ［X (e j ω)］|H (e j ω)| 幅度响应 : 增益/幅频特性调整输⼊信号各频率分量的相对强度(幅度)关系Arg[H (e j ω)] 频率响应的相位响应 : 相移/相频特性调整输⼊信号各频率分量的相对位置(相位)关系H (e j ω) 调整输⼊信号各频率分量的相对⼤⼩(幅度)及位置(相∑∞-∞=-=*=m m n h m x n h n x n y )()()()()()()()(z X z H z Y =)()()(z X z Y z H =位)关系5.1.1 理想低通滤波器的选择性5.1.2相位失真与延时线性相位 : 不会改变信号的相对位置,时延相同线性相位的效应 : 时延⾮线性相位：改变信号的相对位置时延不相同≤<≤=πωωωωω||,0||,1)(c c j H n n n h c F πωsin ][=?→←()()|()|j H j H j H j e ωωω= 0 : ()near Phase H j t ωω=- 0()H j tωω≠-5.2 ⽤线性常系数差分⽅程所表征系统的系统函数⼀个线性时不变系统也可以⽤常系数线性差分⽅程来表⽰，其N 阶常系数线性差分⽅程的⼀般形式为若系统起始状态为零，这样就可以直接对上式两端取Z 变换，利⽤Z 变换的线性特性和移位特性可得这样就得到系统函数为（5-3）由此看出系统函数分⼦、分母多项式的系数分别就是差分⽅程的系数。
信号与线性系统分析课件
04 线性系统的响应
系统的冲激响应
冲激响应定义
01
冲激响应是线性系统对单位冲激函数的响应，反映了系统对瞬
时作用的响应特性。
冲激响应计算
02
通过求解线性系统的微分方程或差分方程，可以得到系统的冲
激响应。
冲激响应的物理意义
03
冲激响应可以理解为系统内部能量的传播和分布，是分析系统
动态特性的重要手段。
卷积积分定义
卷积积分是信号处理中常用的一种运算，用于描述两个函数的相互作用。在线性系统中 ，卷积积分用于描述系统的输出与输入之间的关系。
卷积积分的计算
卷积积分的计算涉及到函数乘积的积分，常用的计算方法包括离散卷积和离散化卷积等 。
卷积积分的物理意义
卷积积分可以理解为系统对输入信号的处理和转换能力，是分析系统动态特性的重要手 段。在信号处理中，卷积积分常用于信号滤波、预测和控制系统设计等领域。
03 信号的傅里叶分析
傅里叶级数
傅里叶级数定义
将周期信号表示为无穷多个正弦和余弦函数 的线性组合。
复指数形式
使用复指数函数来表示周期信号。
三角函数形式
使用正弦和余弦函数来表示周期信号。
傅里叶级数的应用
用于分析信号的频率成分和幅度变化。
傅里叶变换
01
02
03
傅里叶变换定义
将时域信号转换为频域信 号，表示信号的频率分布 。
傅里叶变换的性质
线性、时移、频移、共轭 、对称等性质。
傅里叶变换的应用
用于信号处理、图像处理 、通信等领域。
频域分析
频域分析定义
通过分析信号的频率成分 来理解信号的特征和性质 。
频域分析的应用
用于信号滤波、调制解调 、频谱分析等领域。
信号与线性系统ppt课件
⑸ 深刻理解单位冲激响应h(t)的意义，并会求解。
⑹ 深刻理解卷积积分的定义、运算规律及主要性质，能会求解卷积积分。
⑺ 会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应rzs(t)。
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.1 引 言 §2.2 系统方程的算子表示法 §2.3 系统的零输入响应 § 2.4 奇异函数 §2.5 信号的脉冲分解 §2.6 阶跃响应和冲激响应 §2.7 叠加积分 §2.8 卷积及其性质 §2.9 线性系统响应时域求解
零输入响应和零状态响应分量；
暂态响应分量和稳态响应分量。
2. 变换域法
系统方程为高阶微分方程或激励信号是较为复杂的函数，利 用时域法求解方程十分困难。为求解方程常采用变换域的方法。
即将自变量从时间变量变换为频率变量、复频率变量等. 如：傅氏变换、拉氏变化等
将求系统的微分方程转换求代数方程
零输入响应和零状态响应的求解
§2.1 引 言
系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。
连续时间系统的分析方法: 时域分析法;变换域分析法
连续时间系统的时域分析法：
在系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函 数自变量均为连续时间 t 的一种分析方法。
连续时间系统的变换域分析法：
为便于求解方程而将时间变量变换成其他变量。
绪论 第一章
连续时域 第二章
离散时域 第七章
信号分解 第三章
付氏变换 第四章
拉普拉斯 变换
第五章
系统函数 第六章
状态变量 第十一章
付氏变换 Z变换 第八~九章
基本概念引导
核心内容
应用和拓宽 加深部分
第二章 连续时间系统的时域分析
⑹ 深刻理解卷积积分的定义、运算规律及主要性质，能会求解卷积积分。
⑺ 会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应rzs(t)。
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.1 引 言 §2.2 系统方程的算子表示法 §2.3 系统的零输入响应 § 2.4 奇异函数 §2.5 信号的脉冲分解 §2.6 阶跃响应和冲激响应 §2.7 叠加积分 §2.8 卷积及其性质 §2.9 线性系统响应时域求解
零输入响应和零状态响应分量；
暂态响应分量和稳态响应分量。
2. 变换域法
系统方程为高阶微分方程或激励信号是较为复杂的函数，利 用时域法求解方程十分困难。为求解方程常采用变换域的方法。
即将自变量从时间变量变换为频率变量、复频率变量等. 如：傅氏变换、拉氏变化等
将求系统的微分方程转换求代数方程
零输入响应和零状态响应的求解
§2.1 引 言
系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。
连续时间系统的分析方法: 时域分析法;变换域分析法
连续时间系统的时域分析法：
在系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函 数自变量均为连续时间 t 的一种分析方法。
连续时间系统的变换域分析法：
为便于求解方程而将时间变量变换成其他变量。
绪论 第一章
连续时域 第二章
离散时域 第七章
信号分解 第三章
付氏变换 第四章
拉普拉斯 变换
第五章
系统函数 第六章
状态变量 第十一章
付氏变换 Z变换 第八~九章
基本概念引导
核心内容
应用和拓宽 加深部分
第二章 连续时间系统的时域分析
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下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。
例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。
解
F 1 b ( s ) 0 e te sd tt e ( s ( s ) t)0 ( s 1) [ 1 l t ie ( m ) te j t]
1
不s 定
Fb(+j)= ℱ[ f(t) e-t]=
f(t)e te jtd t f(t)e ( j )td t
相应的傅里叶逆变换 为
f(t) e-t= 21 Fb(j)ejtd
f(t)2 1 F b( j )e(j)td
令s = + j,d =ds/j，有
Fb(s) f(t)estdt
二、重点
拉普拉斯变换及其性质，LTI连续系统的 s域分析方法。
三、难点
拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别与联系。
第五章 连续系统的s域分析
频域分析：以虚指数信号ejωt为基本信号，所采用 的数学工具为傅里叶变换。不足：有些重要信号不存在 傅里叶变换，如e2tε(t)，对于给定初始状态的线性系 统难于利用频域分析。
无界 , Re[s]
不定
，
jω
1
(s )
，
可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=<时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。
0
βσ
例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
f3(t)f1(t)f2(t) ee tt,,
t0 t0
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
次幻方，这两种幻方性质特殊，变化复杂，至今尚为学者称道；在热学中，他改 良了取暖的炉子，可以节省四分之三燃料，被称为“富兰克林炉”；在光学方面， 他发明了老年人用的双焦距眼镜，戴上这种眼镜既可以看清近处的东西，也可看 清远处的东西。他和剑桥大学的哈特莱共同利用醚的蒸发得到负二十五度（摄氏） 的低温，创造了蒸发致冷的理论。此外，他对气象、地质、声学及海洋航行等方 面都有研究，并取得了不少成就。
富兰克不仅是一位优秀的科学家，而且还是一位杰出的社会活动家。他一生 用了不少时间去从事社会活动，并参加了第二届大陆会议和《独立宣言》的起草 工作。富兰克林特别重视教育，他兴办图书馆、组织和创立多个协会都是为了提 高各阶层人的文化素质。
第五章 连续系统的s域分析
一、基本内容
5.1 拉普拉斯变换 5.2 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯逆变换 5.4 复频域分析 5.5 双边拉普拉斯变换
• 拉斯变换的优点表现在：
• 求解的步骤得到简化，同时可以给出微分方程的特解和 补解，而且初始条件自动的包含在变换式里。
• 拉斯变换分别将“微分”与“积分”运算转换为“乘法” 和“除法”运算。
• 指数函数、超越函数以及具有不连续点的函数，经拉氏 变换可转换为简单的初等函数。
• 拉斯变换把时域中两函数的卷积转换为变换域中两函数 的乘法运算，在此基础上建立了系统函数的概念，这一 重要的概念为研究信号经线性系统传输提供了许多方便。
读书是易事， 思索是难事， 但两者缺一， 便全无用处。
---- 富兰克林（美国）
富兰克林 (1706-1790)
本杰明.富兰克林——资本主义精神最完美的代表，十八 世纪美国最伟大的科学家，著名的政治家和文学家。他一生 最真实的写照是他自己所说过的一句话“诚实和勤勉，应该 成为你永久的伴侣。”
富兰克林通过著名的风筝的实验证明了雷电的本质，并 发明了避雷针。富兰克林对科学的贡献不仅在静电学方面， 他的研究范围极其广泛。在数学方面，他创造了八次和十六
双边拉普拉斯变换对
f(t)21j jj Fb(s)estds
Fb(s)称为ห้องสมุดไป่ตู้(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
二、收敛域
只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双 边拉普拉斯变换存在。
使 f(t)拉氏变换存在的的取值范围称为Fb(s)的 收敛域，记为ROC。
仅当>时，其收敛域
jω
为 <Re[s]<的一个带
状区域，如图所示。
α0
βσ
例4 求下列信号的双边拉氏变换。
f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t)
f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t)
s域分析：本章引入复频率 s = σ+jω,以复指数 函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复 指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变 换。
• 19世纪末，英国工程师赫维赛德发明了“运算法”（算 子法）解决电工程运算的一些基本问题。他所进行的工 作成为拉普拉斯变换的先驱。赫维赛德的方法很快地 被许多人采用，但由于缺乏严密的数学论证，曾受到某 些数学家的谴责。而赫维赛德以及另一些追随他的学者 坚信这一些方法的正确性，继续坚持不断的深入研究。 后来，人们终于在法国数学家拉普拉斯的著作中为赫维 赛德运算法找到了可靠的数学依据，重新给与严密的数 学论证，为之取名拉普拉斯变换方法。从此，拉氏变换 方法在电学、力学。。。等众多的工程与科学领域得到 广泛应用。尤其在电路理论的研究中，在相当长的时期 内，人们几乎无法把电路理论和拉普拉斯变换分开来讨 论。
• 利用系统的零点、极点分布可以简明直观的表达系统性 能的许多规律。
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ， 适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅 度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
, Re[s] ，
无界 ，
可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=>时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。
jω 0α
收敛边界
σ 收敛域
例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。
解F 2 b ( s ) 0 e te sd t t e ( s ( s ) t)0 ( s 1 ) [ 1 t l ie m ( ) te j t]
例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。
解
F 1 b ( s ) 0 e te sd tt e ( s ( s ) t)0 ( s 1) [ 1 l t ie ( m ) te j t]
1
不s 定
Fb(+j)= ℱ[ f(t) e-t]=
f(t)e te jtd t f(t)e ( j )td t
相应的傅里叶逆变换 为
f(t) e-t= 21 Fb(j)ejtd
f(t)2 1 F b( j )e(j)td
令s = + j,d =ds/j，有
Fb(s) f(t)estdt
二、重点
拉普拉斯变换及其性质，LTI连续系统的 s域分析方法。
三、难点
拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别与联系。
第五章 连续系统的s域分析
频域分析：以虚指数信号ejωt为基本信号，所采用 的数学工具为傅里叶变换。不足：有些重要信号不存在 傅里叶变换，如e2tε(t)，对于给定初始状态的线性系 统难于利用频域分析。
无界 , Re[s]
不定
，
jω
1
(s )
，
可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=<时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。
0
βσ
例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
f3(t)f1(t)f2(t) ee tt,,
t0 t0
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
次幻方，这两种幻方性质特殊，变化复杂，至今尚为学者称道；在热学中，他改 良了取暖的炉子，可以节省四分之三燃料，被称为“富兰克林炉”；在光学方面， 他发明了老年人用的双焦距眼镜，戴上这种眼镜既可以看清近处的东西，也可看 清远处的东西。他和剑桥大学的哈特莱共同利用醚的蒸发得到负二十五度（摄氏） 的低温，创造了蒸发致冷的理论。此外，他对气象、地质、声学及海洋航行等方 面都有研究，并取得了不少成就。
富兰克不仅是一位优秀的科学家，而且还是一位杰出的社会活动家。他一生 用了不少时间去从事社会活动，并参加了第二届大陆会议和《独立宣言》的起草 工作。富兰克林特别重视教育，他兴办图书馆、组织和创立多个协会都是为了提 高各阶层人的文化素质。
第五章 连续系统的s域分析
一、基本内容
5.1 拉普拉斯变换 5.2 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯逆变换 5.4 复频域分析 5.5 双边拉普拉斯变换
• 拉斯变换的优点表现在：
• 求解的步骤得到简化，同时可以给出微分方程的特解和 补解，而且初始条件自动的包含在变换式里。
• 拉斯变换分别将“微分”与“积分”运算转换为“乘法” 和“除法”运算。
• 指数函数、超越函数以及具有不连续点的函数，经拉氏 变换可转换为简单的初等函数。
• 拉斯变换把时域中两函数的卷积转换为变换域中两函数 的乘法运算，在此基础上建立了系统函数的概念，这一 重要的概念为研究信号经线性系统传输提供了许多方便。
读书是易事， 思索是难事， 但两者缺一， 便全无用处。
---- 富兰克林（美国）
富兰克林 (1706-1790)
本杰明.富兰克林——资本主义精神最完美的代表，十八 世纪美国最伟大的科学家，著名的政治家和文学家。他一生 最真实的写照是他自己所说过的一句话“诚实和勤勉，应该 成为你永久的伴侣。”
富兰克林通过著名的风筝的实验证明了雷电的本质，并 发明了避雷针。富兰克林对科学的贡献不仅在静电学方面， 他的研究范围极其广泛。在数学方面，他创造了八次和十六
双边拉普拉斯变换对
f(t)21j jj Fb(s)estds
Fb(s)称为ห้องสมุดไป่ตู้(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
二、收敛域
只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双 边拉普拉斯变换存在。
使 f(t)拉氏变换存在的的取值范围称为Fb(s)的 收敛域，记为ROC。
仅当>时，其收敛域
jω
为 <Re[s]<的一个带
状区域，如图所示。
α0
βσ
例4 求下列信号的双边拉氏变换。
f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t)
f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t)
s域分析：本章引入复频率 s = σ+jω,以复指数 函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复 指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变 换。
• 19世纪末，英国工程师赫维赛德发明了“运算法”（算 子法）解决电工程运算的一些基本问题。他所进行的工 作成为拉普拉斯变换的先驱。赫维赛德的方法很快地 被许多人采用，但由于缺乏严密的数学论证，曾受到某 些数学家的谴责。而赫维赛德以及另一些追随他的学者 坚信这一些方法的正确性，继续坚持不断的深入研究。 后来，人们终于在法国数学家拉普拉斯的著作中为赫维 赛德运算法找到了可靠的数学依据，重新给与严密的数 学论证，为之取名拉普拉斯变换方法。从此，拉氏变换 方法在电学、力学。。。等众多的工程与科学领域得到 广泛应用。尤其在电路理论的研究中，在相当长的时期 内，人们几乎无法把电路理论和拉普拉斯变换分开来讨 论。
• 利用系统的零点、极点分布可以简明直观的表达系统性 能的许多规律。
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ， 适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅 度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
, Re[s] ，
无界 ，
可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=>时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。
jω 0α
收敛边界
σ 收敛域
例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。
解F 2 b ( s ) 0 e te sd t t e ( s ( s ) t)0 ( s 1 ) [ 1 t l ie m ( ) te j t]