概率论与数理统计课件数学期望EX
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数学期望ExDxPPT学习教案
b
x
1
dx a b
a ba
2
e x x 0 f (x)
0 x0
证：E( X )
xf ( x)dx
e xdx
1
。
0
第9页/共39页
3.随机变量的函数的数学期望
定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)，
(1) X是离散型随机变量，它的分布律为P{X=xk}=pk ， k=1，2，…，
(2)E(X)作为刻划X的某种特性的数值 ，不应 与各项 的排列 次序有 关。所 以，定 义中要 求级数 绝对收 敛。
E( X ) xk pk k 1
第3页/共39页
例1: 设有某种产品投放市场，每件产品投放可能发生三 种情况：按定价销售出去，打折销售出去，销售不出 去而回收。根据市场分析，这三种情况发生的概率分 别为0.6，0.3，0.1。在这三种情况下每件产品的利 润分别为10元，0元，－15元（即亏损15元）。问厂 家对每件产品可期望获利多少？
度为f(θ( x>)0)1 e x/ x 0
0 x 0
若将这5个 电子装 置串联 工作组 成整机 ，求整 机 寿命N的 数学期 望；
解: Xk(k= 1，2， 3，4， 5)的分 布函数 为
1 e x / x 0 F(x)
0 x0
第16页/共39页
(1) 由第三章知N=min(X1,X2,X3,X4,X5)的 分布函 数为
二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)则有
E(Z) E[g(X ,Y )]
g( x, y) f (x, y)dxdy
这里设上式右边 的积分 绝对收 敛，又 若(X，Y )
为离散型 随机变 量。其 分布律 为 P{X=xi,Y=yj}=pij , i,j=1,2,….
天津大学《概率论与数理统计》数学期望.ppt
例如， 1. 假定发生意外的概率是 0.001，则在购买保险的 15,000 人中，平均起来有多少个人需要赔偿？ 2. 统计资料表明强烈地震的间隔服从参数 430 (天) 的指数分布，则平均多长时间发生一次强震？
1.离散型随机变量的数学期望
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 引例 1 设某班40名学生的概率统计成绩及得 分人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即 1 40 660 970 1580 790 2100 76.5(分) 1 6 9 15 7 2
随机变量某一方面的概率特性
都可用数字来描写
本 r.v.的平均取值 —— 数学期望
章 r.v.取值平均偏离均值的情况
内
—— 方差
容 描述两 r.v.间的某种关系的数
—— 协方差与相关系数
或者是：两个随机变量相依的程度。
第一节 数学期望
一. 数学期望(均值) 的定义
直观理解，数学期望就是一个随机变量所有可能 取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。
E(X )
xf (x, y)dxdy, E(Y )
yf (x, y)dxdy
证 关于X、Y的边缘概率密度函数分别为
fX (x) f (x, y)dy
于是有
fY ( y) f (x, y)dx
E(X )
xfX (x)dx
x[
f (x, y)dy]dx
xf (x, y)dxdy
1500x2 x3 15002
/
3
3000 1500
500 2000 1000 1500
例: 由5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为
1.离散型随机变量的数学期望
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 引例 1 设某班40名学生的概率统计成绩及得 分人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即 1 40 660 970 1580 790 2100 76.5(分) 1 6 9 15 7 2
随机变量某一方面的概率特性
都可用数字来描写
本 r.v.的平均取值 —— 数学期望
章 r.v.取值平均偏离均值的情况
内
—— 方差
容 描述两 r.v.间的某种关系的数
—— 协方差与相关系数
或者是：两个随机变量相依的程度。
第一节 数学期望
一. 数学期望(均值) 的定义
直观理解，数学期望就是一个随机变量所有可能 取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。
E(X )
xf (x, y)dxdy, E(Y )
yf (x, y)dxdy
证 关于X、Y的边缘概率密度函数分别为
fX (x) f (x, y)dy
于是有
fY ( y) f (x, y)dx
E(X )
xfX (x)dx
x[
f (x, y)dy]dx
xf (x, y)dxdy
1500x2 x3 15002
/
3
3000 1500
500 2000 1000 1500
例: 由5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为
《数学期望》课件
注意事项
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
CATALOGUE
连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
CATALOGUE
目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
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连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
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目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
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引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
【精品】概率论与数理统计PPT课件第四章 数学期望和方差
8
9
10
P
0.1 0.3 0.6
Y
8
9
10
P
0.2 0.5 0.3
试问哪一个人的射击水平较高？ 9
例1（续）
甲、乙的平均环数可写为
EX 80.1 90.3 100.6 9.5 EY 80.2 90.5 100.3 9.1
10
例2.对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产 品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n件仍未发现 废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽 查到废品的概率是 p，试求平均需抽查的件数。
6
(3)泊松分布 X的所有可能取值为0,1,2,…,且
7
(4)几何分布 X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,….
由于
这可以由等式
两边同时对x求导数得到。
8
例1：
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数；
X
p)nm
29
注意到二项分布B(n , p)的数学期望,就有 于是
注: 最后一步用了泊松分布数学期望的结果.
30
例8: 设X ~ U[0,], Y =sinX,求E(Y)。
解: X 的概率密度为 所以
31
例9 设二维随机变量(X ,Y)的密度函数为 求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(XY), E(Y / X) 解:
36
37
最终， 显然，y = 3500 时，E (Y )最大，
E(Y)max =8250万元.
38
例11.假设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm)~
N ( ,1). 已知销售每个零件的利润T (元)与销售零件
概率论与数理统计课件数学期望
二、重要概率分布的方差
1. 两点分布
已知随机变量 X 的分布律为
X1
0
p
p 1 p
则有 E( X ) 1 p 0 q p, D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 12 p 02 (1 p) p2 pq.
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
若Y a.
E(Q) 0 QfY ( y)d y
x[my n(a y)] 1 ey θ d y ma 1ey θ d y
0
θ
x
θ
(m n)θ (m n)θea θ nx,
令 d E(Q) (m n)ea θ n 0, dx
D( X ) D(Y ).
推广 若 X1, X2 ,, Xn 相互独立,则有
D( X1 X2 Xn ) D( X1) D( X2 ) D( Xn ).
(4) D( X ) 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 C ,即
P{X C} 1.
5 k nk 3.37.
k0 n
平均射中环数 5 k nk
随机波动 k0 n
频率随机波动
“平均射中环数”的稳定值 ?
5 k nk
k0 n
n
5
k pk
k0
随机波动
稳定值
“平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加
1. 离散型随机变量的数学期望
则有
E( g( X )) g( xk ) pk .
k 1
例5，P94，6
2. 连续型随机变量函数的数学期望 若 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) , 则
概率论与数理统计4.2连续型随机变量的数学期望
例11 设(X,Y )服从以点 (0, 0), (0, 2), (1, 0)为顶点的三角形区域 A上
的均匀分布,试求函数 Z XY的数学期望.
解 三角形区域 A 如图3-1, 易知 A 的面积为1，故
1 (x, y) D f (x, y) 0 其它
y 2
A O
x y 1 2
1 x
河北农业大学理学院
EX=
xf X (x)dx
而
同理
河北农业大学理学院
二维连续型随机变量数学期望的例题分析
例 1 已知 X,Y的联合密度函数
求，EX,EY 解：
同理
y
y=x
0
1
x
河北农业大学理学院
概率论与数理统计
连续型随机变量函数的数学期望
二维连续型随机变量函数的数学期望
E(g(X )) g(x) f (x)dx
b
a
x [a,b]
0
其它
所以
EX=
xf (x)dx
b a
x
b
1abd1xa21
a
x
2bb 2a
河北农业大学理学院
一维连续型随机变量数学期望的例题分析
例1 设随机变量X服从参数为λ的指数分布,求EX.
解
X的概率密度函数为
ex
f (x)
0
x0 x0
所以,
EX=
xf (x)dx
xexdx xd (ex )
连续型随机变量函数的数学期望例题分析
于是
E(Z) E(XY )
xy f (x, y)dxdy
y 21Biblioteka 2 (1 x )xydxdy 0 dx 0 xydy A
概率论与数理统计-第4章-第2讲-随机变量函数的数学期望
概率论与数理统计
第4章 数字特征与极限定理
第2讲 随机变量函数的数学期望
主讲教师 |
第2讲 随机变量函数的数学期望
上一讲我们介绍了数学期望，如果已知随机变量X的分布，我们 可以求出X的期望.
现在提出一个问题：假如需要计算的不是X的期望，而是X的某 个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？
02 典型例题
例 设(X, Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线 x+y+1=0所围成的区域. 求E(X)，E(-3X+2Y)，E(XY).
解
2, (x, y) A f (x, y) 0, 其它；
Байду номын сангаас
E(Z )
g(x, y) f (x, y)dxdy
E(X )
X
0
1
2
3
P
0.1 0.2 0.3 0.4
每台仪器进货价500元，销售价1000，若卖不出去厂家按200元回
购，求利润Y 的数学期望.
解 Y 800X 900 E(Y ) g(xi ) pi i 1
E(Y ) E(800X 900) (900) 0.1 (100) 0.2 700 0.3 1500 0.4 700
01 随机变量函数的数学期望
(1) Y = g(X) 的数学期望
设离散 r.v. X 的概率分布为 P( X xi ) pi , i 1, 2,
若无穷级数 g(xi ) pi 绝对收敛，则 i 1 E(Y ) g(xi ) pi i 1
设连续 r.v. X 的密度为 f (x)
若广义积分 g(x) f (x)dx 绝对收敛, 则
g(xi , y j ) pij
第4章 数字特征与极限定理
第2讲 随机变量函数的数学期望
主讲教师 |
第2讲 随机变量函数的数学期望
上一讲我们介绍了数学期望，如果已知随机变量X的分布，我们 可以求出X的期望.
现在提出一个问题：假如需要计算的不是X的期望，而是X的某 个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？
02 典型例题
例 设(X, Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线 x+y+1=0所围成的区域. 求E(X)，E(-3X+2Y)，E(XY).
解
2, (x, y) A f (x, y) 0, 其它；
Байду номын сангаас
E(Z )
g(x, y) f (x, y)dxdy
E(X )
X
0
1
2
3
P
0.1 0.2 0.3 0.4
每台仪器进货价500元，销售价1000，若卖不出去厂家按200元回
购，求利润Y 的数学期望.
解 Y 800X 900 E(Y ) g(xi ) pi i 1
E(Y ) E(800X 900) (900) 0.1 (100) 0.2 700 0.3 1500 0.4 700
01 随机变量函数的数学期望
(1) Y = g(X) 的数学期望
设离散 r.v. X 的概率分布为 P( X xi ) pi , i 1, 2,
若无穷级数 g(xi ) pi 绝对收敛，则 i 1 E(Y ) g(xi ) pi i 1
设连续 r.v. X 的密度为 f (x)
若广义积分 g(x) f (x)dx 绝对收敛, 则
g(xi , y j ) pij
概率论与数理统计数学期望
X
x1 x2 x3
xn
P
p1 xk pk
p2
p3
pn
k 1
则称 xk pk 为离散型随机变量X的数学期望
k 1
（或均值），记作E（X），即
E( X ) xk pk k 1
例1 已知甲、乙两射手射击中靶概率的
分布如下：
甲得 分 X1
P
012 0 0.2 0.8
乙得 分X 2
P
012 0.6 0.3 0.1
试判定他们成绩的好坏。
例2 投两粒骰子，所得点数之和X是随机变量， 求X的数学期望。
3个常用的离散型随机变量的数学期望
1、（0-1）分布
X
0
1
P
q
p
其中 0 p 1, p q 1,则
E(X ) 0 q 1 p p
2、二项分布
pk P（X =k)=Ckn pkqnk (k=0,1,2, ,n)
n
n
E( X ) kpk kCnk pk qnk
k 0
k 0
*n
= nCnk11 pk qnk k 1
n
=np
C p q k 1 k 1 (n1)(k 1) n1
k=1
=np(p+q)n-1 np
3、泊松分布
pk
P（X
=k)=
ke
k!
(k=0,1,2, ,n)
f (x)
0
x0
则
E(X ) + xf (x）dx= xexdx xd(ex )
-
0
0
=-xe-x
|0
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数学期望的引例
Mathematical Expectation 例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60 7 1 2 2 1 1 90 85 80 75 60 7 7 7 7 7 79.3
1 所以 k 2
1 xdx k 4 2k 1 2
3 1
f X ( x)
f ( x , y )dy
1 xydy 2 x 2 1
3
1
所以
2 x f X ( x) 0
x [0,1] 其它
y [1, 3] 时
fY ( y )
连续型随机变量
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x), 则
若广义积分 X 的数学期望
xf ( x )dx 绝对收敛, 则称此积分为
即
E( X )
x f ( x)dx
数学期望的计算
例 已知随机变量X的密度函数为
1 f ( x) 1 x 2 0
1
（３）另解
E( X )
3
xf ( x , y )dxdy
3 1
1
0
1
dx
1
1 x xydy 2
1
无需求 边缘分布密度函数
0
2 x 2 xdx 3
E (Y )
1
yf ( x , y )dxdy
3
1
dy
0
1 y xydx 2
解 E( X )
1
x 1 x 1
求数学期望。
xf ( x)dx
1
x 0 dx x
1
1
1 x2
dx
1
x 0 dx
0
数学期望的意义
E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是X的 可能值以其相应概率的加权平均。 试验次数较大时，X的观测值的算术平均值
pk xk
pk xk
k
数学期望的计算
例 已知随机变量X的分布律： X P 4 5 6 1/4
1/4
1/2
求数学期望E（X）
解
1 1 1 E( X ) 4 5 6 5 4 2 4
E( X ) p1x1 p2 x2 p3 x3
连续型随机变量的数学期望E(X)
3
1
y 13 y dy 4 6
随机变量的函数的数学期望
定理 1：一维情形
设 Y g( X ) 是随机变量 X的函数, 离散型 P{X xk } pk , k 1, 2,
E (Y ) E[ g( X )] g( xk ) pk
k 1
连续型
概率密度为f ( x)
所以
E sin X
2 0
1 sin xdx 0 2
随机变量的函数的数学期望
定理 2：二维情形 设 Z g( X ,Y ) 是随机变量 X， Y的函数, 离散型
P{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1, 2,
E[ g( X , Y )] g( xi , y j ) pij
x
在E(X)附近摆动
x E( X )
数学期望又可以称为期望值(Expected Value)， 均值(Mean)
二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望
E( X ,Y ) (E( X ), E(Y ))
(X,Y)为二维离散型随机变量
E( X ) xi P{X xi } xi pi. xi pij E(Y ) y j P{Y y j } y j p. j y j pij
kxy f ( x, y ) 0
(1) 求k
x [0,1], y [1, 3] 其它
(2) 求X和Y的边缘密度 (3) 求E(X), E(Y).
解
得
(1)由
3
1 0
f ( x , y )dxdy 1
k ydy
1
(2) x [0,1] 时
E (Y ) E[ g( X )]
g( x ) f ( x )dx
例
已知 X 服从 0,2 上的均匀分布，求
Y sin X 的数学期望。
解
E (Y ) E sin X sin x f x dx
因为
1 , 0 x 2 ； f x 2 其它。 0,
f ( x, y )dx
1 1 1 xydx y 2 0 4
y [1, 3] 其它
3
1 1
1
（３）
y f y ( y) 4 0
E( X ) E (Y )
xf X ( x )dx yfY ( y )dy
0 3
2 x 2 xdx 3 y 13 y dy 4 6
以频率为权重的加权平均
数学期望E(X)
Mathematical Expectation 离散型随机变量 定义 设离散型随机变量的概率分布为
若级数 pk xk 绝对收敛， 则称此级数为
k
P( X xk ) pk
k 1, 2,
随机变量X的数学期望，记作E（X），即
E( X ) p1 x1 p2 x2
j j j i i i i j
(X,Y)为二维连续型随机变量
E( X )
x f X ( x)dx
x f ( x, y)dxdy,
E (Y )
y fY ( y)dy
y f ( x, y)dxdy.
例 设(X,Y)的联合密度为
i j
连续型
联合概率密度为 f ( x, y )
E[ g ( X , Y )]
g ( x, y) f ( x, y)dxdy
例
设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为
2 x, (0 x 1) f1 ( x) 0, 其它
求E（XY） 解
e ( y 5) , ( y 5) f 2 ( y) 其它 0,
Mathematical Expectation 例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60 7 1 2 2 1 1 90 85 80 75 60 7 7 7 7 7 79.3
1 所以 k 2
1 xdx k 4 2k 1 2
3 1
f X ( x)
f ( x , y )dy
1 xydy 2 x 2 1
3
1
所以
2 x f X ( x) 0
x [0,1] 其它
y [1, 3] 时
fY ( y )
连续型随机变量
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x), 则
若广义积分 X 的数学期望
xf ( x )dx 绝对收敛, 则称此积分为
即
E( X )
x f ( x)dx
数学期望的计算
例 已知随机变量X的密度函数为
1 f ( x) 1 x 2 0
1
（３）另解
E( X )
3
xf ( x , y )dxdy
3 1
1
0
1
dx
1
1 x xydy 2
1
无需求 边缘分布密度函数
0
2 x 2 xdx 3
E (Y )
1
yf ( x , y )dxdy
3
1
dy
0
1 y xydx 2
解 E( X )
1
x 1 x 1
求数学期望。
xf ( x)dx
1
x 0 dx x
1
1
1 x2
dx
1
x 0 dx
0
数学期望的意义
E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是X的 可能值以其相应概率的加权平均。 试验次数较大时，X的观测值的算术平均值
pk xk
pk xk
k
数学期望的计算
例 已知随机变量X的分布律： X P 4 5 6 1/4
1/4
1/2
求数学期望E（X）
解
1 1 1 E( X ) 4 5 6 5 4 2 4
E( X ) p1x1 p2 x2 p3 x3
连续型随机变量的数学期望E(X)
3
1
y 13 y dy 4 6
随机变量的函数的数学期望
定理 1：一维情形
设 Y g( X ) 是随机变量 X的函数, 离散型 P{X xk } pk , k 1, 2,
E (Y ) E[ g( X )] g( xk ) pk
k 1
连续型
概率密度为f ( x)
所以
E sin X
2 0
1 sin xdx 0 2
随机变量的函数的数学期望
定理 2：二维情形 设 Z g( X ,Y ) 是随机变量 X， Y的函数, 离散型
P{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1, 2,
E[ g( X , Y )] g( xi , y j ) pij
x
在E(X)附近摆动
x E( X )
数学期望又可以称为期望值(Expected Value)， 均值(Mean)
二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望
E( X ,Y ) (E( X ), E(Y ))
(X,Y)为二维离散型随机变量
E( X ) xi P{X xi } xi pi. xi pij E(Y ) y j P{Y y j } y j p. j y j pij
kxy f ( x, y ) 0
(1) 求k
x [0,1], y [1, 3] 其它
(2) 求X和Y的边缘密度 (3) 求E(X), E(Y).
解
得
(1)由
3
1 0
f ( x , y )dxdy 1
k ydy
1
(2) x [0,1] 时
E (Y ) E[ g( X )]
g( x ) f ( x )dx
例
已知 X 服从 0,2 上的均匀分布，求
Y sin X 的数学期望。
解
E (Y ) E sin X sin x f x dx
因为
1 , 0 x 2 ； f x 2 其它。 0,
f ( x, y )dx
1 1 1 xydx y 2 0 4
y [1, 3] 其它
3
1 1
1
（３）
y f y ( y) 4 0
E( X ) E (Y )
xf X ( x )dx yfY ( y )dy
0 3
2 x 2 xdx 3 y 13 y dy 4 6
以频率为权重的加权平均
数学期望E(X)
Mathematical Expectation 离散型随机变量 定义 设离散型随机变量的概率分布为
若级数 pk xk 绝对收敛， 则称此级数为
k
P( X xk ) pk
k 1, 2,
随机变量X的数学期望，记作E（X），即
E( X ) p1 x1 p2 x2
j j j i i i i j
(X,Y)为二维连续型随机变量
E( X )
x f X ( x)dx
x f ( x, y)dxdy,
E (Y )
y fY ( y)dy
y f ( x, y)dxdy.
例 设(X,Y)的联合密度为
i j
连续型
联合概率密度为 f ( x, y )
E[ g ( X , Y )]
g ( x, y) f ( x, y)dxdy
例
设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为
2 x, (0 x 1) f1 ( x) 0, 其它
求E（XY） 解
e ( y 5) , ( y 5) f 2 ( y) 其它 0,