理想气体压强公式推倒

本科毕业论文题目：理想气体压强公式的几种推导方法学院：物理与电子信息学院专业：应用物理学年级： 2008级姓名：任广华指导教师：冯立芹完成日期： 2012年5月25日目录中文摘要与关键词 (1)Abstract and Key Words (2)引言 (1)1．理想气体模型与统计假设 (1)1．1理想气体分子模型 (1)1．2理想气体分子统计假设 (1)2．不同容器中理想气体压强的初等推导到方法 (1)2．1球形容器 (2)2．2立方体容器 (5)2．3任意形状容器 (6)3．用速度分布函数推导理想气体的压强公式 (8)3．1速度分布函数 (8)3．2用速度分布函数推导理想气体压强公式 (8)4．用统计物理方法推导理想气体的压强公式 (9)4．1玻尔兹曼统计法 (9)4．2正则系综理论法 (10)5．结束语 (12)参考文献 (13)致谢 (14)简历 (15)摘 要理想气体是热学中一个非常重要的理想模型，而压强是热学中描述气体性质的一个基本物理量。

通过理想气体压强公式的推导，可以加强统计概念、统计规律的学习。

本文根据分子运动论，按照统计规律分别采用不同的推导方法，都得到理想气体的压强公式为εn p 32=关键词:理想气体；统计假设；速度分布函数；波尔兹曼统计；正则系综理论AbstractThe idea gas is a very important idea model in heat. The pressure is described as a basic physical quantity in the gas pressure thermal properties. Through the idea gas pressure formula, it can strengthen the statistical concepts and statistical learning. According to the theory of molecular motion, according to the statistical regularities, we use different derivation method can get the pressure formula of the ideal gas for εn p 32=.Key Words: Ideal gas; Statistical hypothesis; Velocity distribution function; Boltzmann statistics; Canonical ensemble theory.引言压强是描述气体状态的力学量，是宏观量，其本质意义是系统在平衡态下大量气体分子相互碰撞的统计平均效应。

理想气体压强公式是气体分子运动论的一个基本方程。

通过压强公式的推导，可以加强统计概念，统计规律的学习，可以深入认识压强的实质。

因此，对理想气体压强公式有详入探讨的必要。

本文要从压强的实质出发，给予不同的推导方法和过程。

1.理想气体模型与统计假设理想气体分子模型从气动理论来看，理想气体的分子结构必定与微观模型相对应。

由气体分子热运动的基本特征出发，所以提出以下三点假设(1)气体分子的大小与分子间的距离比较，可以忽略不计。

这个假设体现了气体状态的特征，即气态。

(2)气体分子的运动服从经典力学的规律。

在碰撞过程中，每一个分子都可看做是完全弹性的小球。

此假设的实质是，在一般的条件下，对所有分子气体来说，经典描述近似有效，不必要用量子论。

(3)由于气体分子间的距离足够大, 除了碰撞，分子间的作用力可忽略不计. 因分子的动能平均来说要比它在重力场中的势能大，除了在研究气体分子在重力场中的分布情况,，因此分子重力也可忽略不计的。

总之，气体被看做是自由地、无规则地运动着的弹性球分子的集合。

这种模型就是理想那个气体的微观模型。

即理想气体的分子模型。

理想气体分子统计假设在推导理想气体压强公式时，对处于平衡状态下的理想气体作了两条统计假设(1)气体分子在空间均匀分布。

(2)气体的性质与运动方向无关，分子向各个方向运动的几率相等。

2.不同容器中理想气体压强公式的推导方法球形容器如图1，推导气体对球形面积的压强，假设碰撞是光滑表面弹性碰撞。

推导步骤: ⑴速度为i v 的一个分子一次碰撞施于器壁的冲量为i i mv αcos 2。

⑵速度为i v 的一个分子连续两次碰撞器壁所需的时间为ii i v R v lt αcos 2==○1单位时间内分子碰撞器壁的次数为iiR v αυcos 2=○2dt 时间内分子碰撞器壁的次数为dt R v dt iiαυcos 2=○3dt 时间内一个分子碰撞器壁施于器壁的冲量为图1.球型容器推导压强公式of pressure formula in spherical vesseldt Rmv dt R v mv dk i i i i i 2cos 2cos 2==αα ○4 ⑶各种速度的分子在dt 时间内对球面的冲量为dt v R m dt R mv k N i i Ni i ∑∑====1212 ○5 ⑷由统计平均值导出方程N v v Nii∑=22○6 设球的半径为R ，单位体积内分子数为n ,总分子数 N ，所以有n R N •=334π dt v n R R m dt v N R mk 23234••==∴π○7由于计算的是球面上的压强，所以压强式中的24R S π=，所以压强为εππn v nm dt R dtv mn R p 32314342222===○8 kT 23=εΘ○9 nkT p =∴○10 立方体容器如图2，推到立方体一个面的压强。

假设碰撞是光滑平面弹性碰撞。

图2.立方体容器推导压强公式Pressure formula is deduced in Cube container ll推导步骤:⑴速度为i v 的一个分子与器壁A 面一次碰撞施于器壁的冲量为i mv 2。

⑵速度为i v 的一个分子在dt 时间内施于器壁一个面的冲量。

dt 时间内分子碰撞器壁A 面的次数为dt lv ix 2，dt 时间内分子碰撞器壁，施于器壁A 面的冲量为 dt v l m dt l mv dk N i ix N i ix ∑∑====1212 ○11 ⑶各种速度的分子在dt 时间内对器壁一个面的冲量为 dt v l m dt l mv k N i ix Ni ix ∑∑====1212 ○12 ⑷由统计平均值导出方程N v v N i ixx ∑==122 ○13 dt v N l m dt v N l m k x x 223==∴ ○14 因为计算的是一个面上的压强所以2l S =，故压强为εn v nm v m l N dt l dt v N l m p 323131322322==== ○15 任意形状的容器如图3,推导气体对任意形状容器器壁上的任一面积元dS 的压强。

假设碰撞为光滑平面弹性碰撞，根据速度大小将分子分成很多组，每个组内的部分速度的大小和方向都一样。

推导步骤: ⑴速度为i v 的一个分子一次碰撞施于器壁的冲量为ix mv 2。

⑵速度为i v 的分子在dt 时间内施于dS 面的冲量。

dt 时间内与dS 面相碰的分子处图3的斜柱体内，分子数为dtdS v n ix i 。

速度为i v 的分子在dt 时间内施于dS 面的冲量为dSdt v mn dtdS v n mv dk ix i ix i ix 222== ○16⑶各种速度的分子在dt 时间内施于dS 面的冲量为∑∑==>iix i v i ix i dSdt v n m dSdt v n m k ix 2)0(22 ○17 式中求和的限制是表示只沿x 轴正方向运动()0>ix v 的分子才能碰撞到dS 面上，由于气体整体无运动，根据等几率性知各方向的几率相等，所以0>ix v 与0<ix v 的分子数各占沿x 轴运动的分子数的一半。

所以取消求和限制后，数值增大一倍，所以等式要除2才能成立。

⑷由统计平均值导出方程n v n v i ixi x ∑=22 ○18又由几率性知222231v v v v z y x === ○19 dSdt v nm dSdt v mn k x 2231==∴ ○20 所以压强为εn v nm dSdt dk p 32312=== ○21 3.用速度分布函数推导理想气体的压强公式速率度分布函数假设有一定量的气体它的体积为总V ，分子数为N ，所以得出分子数密度为VN n = ○22 设dN 为速度在某一间隔d +~内的分子数，它的大小与间隔的大小d 成正比，所以N dN 表示分布在这一间隔内内的分子数占总分子数的百分率。

则N dN 与v d 成正比。

在不同的速度v 附近取相等的间隔时，可以看出百分率N dN 的数值一般不相等。

N dN 还与v 有关。

所以有()d f N dN = ○23 式中的()v Nd f =，表示速度分布在v 附近单位速度间隔内的分子数占总分子数的百分比，称为速度分布函数。

显然，()1=⎰+∞∞-v d v f 。

下面就用速度分布函数来导出理想气体的压强公式。

用速度分布函数推导理想气体压强公式由速度分布函数可得，体积V 内，速度分布在v d v v +~范围内的，单位时间内与器壁面积发生碰撞的分子数为()()d f n d f V N x x υυ= ○24 单位面积所受的力为()v d v f m n dp x 22υ•= ○25 所以压强为()()()()εευυυυn d f n d m f n vd m v nf v d m v nf p x x x 323221322222=====⎰⎰⎰⎰+∞≤≤∞- ○26 上式就是由速度分布函数得出的理想气体的压强公式。

4.用统计物理方法推导理想气体的压强公式玻尔兹曼统计法一般气体满足经典极限条件，应遵从玻尔兹曼分布。

为了方便起见，我们考虑单原子分子理想气体，分子间的作用力可忽略不计。

在没有其他外场的作用时，可把单原子分子理想气体中分子的运动看作是粒子在容器中的自由运动。

根据三维自由例子的能量可能值()22221z y x p p p m ++=ε ○27 其中x p ,y p ,z p 是可能值。

不过在宏观大小的容器内，动量值和能量值都是准连续的。

又根据自由粒子的量子态数为z y x z y x z y x dp dp dp h V dp dp dp L dn dn dn 332=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηπ ○28 在z y x dp dp dxdydzdp 的范围内，配分函数为 ()z y x p p p m dp dp dxdydzdp e h Z z y x ⎰⎰++-=222231βΛ ○29 将上式积分可求得2322⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βπh m V Z ○30 气体的体积⎰⎰⎰=dxdydz V 。