高二数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析

高二数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.如图示，在四棱锥A－BHCD中，AH⊥面BHCD，此棱锥的三视图如下：（1）求二面角B－AC－D的余弦弦值；（2）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成45°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。

【答案】（1）（2）不存在【解析】(1)观察三视图，得到边长以及线面关系，取AC的中点M，过M作MN∥CD交AD于N，则是所求二面角的平面角，（2）假设存在，把“ED与面BCD成45°角”作为条件，进行计算.试题解析：（1）由AH⊥面BHCD及三视图知：AH=BH=HC=1，，取AC的中点M，过M作MN∥CD交AD于N，则是所求二面角的平面角，，，；（2）假设在线段AC上存在点E合题意，令E在HC上的射影为F，设（），则，矛盾。

所以，不存在（注：本题也可用向量法）【考点】二面角，线面角.2.某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为A．B．C．D．【答案】C【解析】设正视图正方形的边长为m，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b=m，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径，得到俯视图中椭圆的长轴长2a=，则椭圆的焦距，根据离心率公式得，；故选：C．【考点】１．三视图；２．椭圆的性质．3.如图，某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图知：四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且高为1，如图：SA⊥平面ABCD，AD=CD=SA=1，AB=2，∴最长的侧棱为SB=;故选：C．【考点】三视图4.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱锥，底面为等腰直角三角形，把三棱锥补成长方体，三棱锥和长方体具有相同的外接球，，因此，.【考点】球的体积.5.如图是多面体和它的三视图．(1)若点是线段上的一点，且,求证：;(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明线面垂直，需证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：解：(1)由题意知AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(－2，0，0)，C(0，－2，0)，C1(－1，－1，2)，则＝(－1，1，2)，＝(－1，－1，0)，＝(0，－2，－2)．(1分)设E(x，y，z)，则＝(x，y＋2，z)，＝(－1－x，－1－y，2－z)．(3分)＝2，得E(=设平面C1A1C的法向量为m＝(x，y，z)，则由，得，取x＝1，则y＝－1，z＝1.故m＝(1，－1，1)，=，BE⊥平面A1CC1.(6分)(2)由（1）知，平面C1A1C的法向量为m＝(1，－1，1)而平面A1CA的一个法向量为n＝(1，0，0)，则cos〈m，n〉＝＝＝，故二面角的余弦值.(12分)【考点】利用空间向量证明垂直和夹角问题.6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．2B．1C．D．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个对角线为2的正方形，高为1，故其底面面积S=×2×=2,则V=•Sh=,故选C.【考点】由三视图求面积、体积．7.右图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于（）A．B．24πC．D．12π【答案】A【解析】由题意可得，直观图为底面直径为4，高为4的圆柱的一半，所以该几何体的表面积是正方形面积+圆柱侧面积的一半+圆的面积，即，故选A．【考点】由三视图求表面积．8.某几何体的三视图如图所示，其中正视图为正三角形，则该几何体的体积为 .【答案】【解析】由空间几何体的三视图可知，该几何体为平放的三棱柱，上下底面为边长是2的正三角形，高为3，所以.【考点】空间几何体的三视图、表面积和体积的计算.9.下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；（2）证明：BD∥面PEC;（3）求该几何体的体积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】由三视图可知底面是边长为4的正方形，，，∥，且。

（1）根据等腰三角形中线即为高线可证得，根据，且为正方形可证得，即可证得，根据线面垂直的判定定理可得。

（2）取的中点, 与的交点为，可证得四边形平行四边形，即可证得∥，根据线面平行的定义即可证得面。

（3）用分割法求体积，即将此几何体分割成以为顶点的一个四棱锥和一个三棱锥。

试题解析：解：（1）由几何体的三视图可知，底面是边长为4的正方形,而且,∥，．取的中点，如图所示.∵,∴，又∵，∴面,∴．又,∴面． 5分（2）如图取的中点,与的交点为，连结、，如图所示.∴，∥，∴，∥，∴四边形为平行四边形，∴∥，又面,∴∥面，∴面． 9分（3）. 13分【考点】1三视图；2线面平行；3线面垂直；4棱锥的体积。

10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球表面积之比为_______.【答案】【解析】根据三视图可知，该空间几何体是由两个全等的正四棱锥倒立相接而成（中间为原正四棱锥的底面），并且正四棱锥的高为，底面边长为1，则可计算出正四棱锥的斜高为，所以该空间几何体的表面积为，而该空间几何体的外接球的半径为原来正四棱锥的高度，所以该空间几何体的外接球的表面积为，所以两表面积之比为：.【考点】1.三视图；2.空间几何体的表面积的计算.11.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体可以是( )A．圆柱B．圆台C．棱柱D．棱台【答案】B【解析】由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，故选B．【考点】由三视图求几何体的形状．12.已知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形，其尺寸如图所示，则其侧视图的周长为________.【答案】.【解析】由正视图中的尺寸可知，底面边长为6，高为3.由此计算出侧棱长：；侧面上的斜高为：，所以周长为：【考点】三视图、正三棱的基本量13.一个四面体的顶点在空间直角坐系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可为A B C D【答案】A【解析】该四面体如下图，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可为A中的图形。

故选A。

【考点】三视图点评：由三视图来求出几何体的表面积或体积是常考的类型题，做此类题目关键是将三视图转化为几何体。

14.如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】该几何体为圆柱，底面半径为，所以几何体全面积为，故选A。

【考点】本题主要考查三视图，几何体的全面积计算。

点评：简单题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题。

三视图视图过程中，要注意虚线的出现，意味着有被遮掩的棱。

15.若某几何体的三视图（单位：cm）如右图所示，则该几何体的体积为 cm2．【答案】.【解析】由三视图可知此几何体是一个组合体，上方是一个圆锥，下方是一个圆柱，所以【考点】空间几何体的三视图，圆柱与圆锥的体积公式.点评：本小题用到的圆柱和圆锥公式为：.16.一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为，腰和上底均为1（如图），则平面图形的实际面积为．【答案】【解析】作辅助线D′E′，利用余弦定理12=12+|E′C′|2-2|E′C′|cos45°．可得|E′C′|=，从而在图（2）直角梯形ABCD中，AD=1，BC=1+，AB=2，其面积为2+故填写.所求面积为2+。

【考点】本题主要是考查平面图形的直观图，余弦定理，考查作图能力，计算能力，是基础题．点评：解决该试题的关键是依据题意，画出试画出这个平面图形，根据题意，利用余弦定理求出直角梯形ABCD，底边的长，求出高，然后求出面积．17.（本小题9分）如图是一个空间几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长为4cm的正三角形、俯视图中正方形的边长为4cm，（1）画出这个几何体的直观图（不用写作图步骤）；（2）请写出这个几何体的名称，并指出它的高是多少；（3）求出这个几何体的表面积。

【答案】(1)见解析；(2) 正四棱锥，；(3) 48。

【解析】（1）……………… 3分（2）正四棱锥……………………… 4分高为……………………… 6分（3）表面积为48…………………9分【考点】三视图；棱锥的表面积。

点评：解决本题的关键是得到该几何体的形状，易错的地方是确定四棱锥的底面边长与高的大小．再就是要注意别忘单位。

18.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．B．2C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体为一个圆锥和一个半球的组合体，所以该几何体的体积为：【考点】本小题主要考查三视图及简单几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力和简单的计算能力.点评：以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解.19.如右图所示的直观图，其平面图形的面积为A．3B．C．6D．3【答案】C【解析】设原图形为△AOB，且△AOB的直观图为△A'OB'，如图∵OA'=2，OB'=3，∠A'OB'=45°∴OA=4，OB=3，∠AOB=90°,因此，Rt△AOB的面积为S=×4×3=6,故答案为：C20.一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，且侧棱长等于底面边长,侧棱垂直于底面，它的三视图如下图所示．则这个三棱柱的体积是．【答案】【解析】由三视图可知此几何体是一个正三棱柱，所以其体积为. 21.设某几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积是【答案】32【解析】根据三视图可知该几何体是长方体切割了一部分得到的几何体，那么底面的矩形长和宽分别是2,4，然后高为2，那么可知该几何体的表面积为3222.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为______________．【答案】【解析】解：几何体底面是边长为6的正方形，高是6，其中一条棱与底面垂直的四棱锥，则它的体积为V=×6×6×6=72．故答案为：72．23.如右图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 ( )A B 4 C D【答案】C【解析】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，故其体积故其体积V= ×4× =．故答案为选C24.有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示（单位：cm），则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5则圆锥的底面积S底面=π•r2=9π=π•r•l=15π侧面积S侧面故几何体的表面积S=9π+15π=24πcm2，故答案为：24πcm225.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为26.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位：）为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】解：此几何体为一个三棱锥，其底面是边长为6的等腰直角三角形，顶点在底面的投影是斜边的中点由底面是边长为6的等腰直角三角形知其底面积是1/ 2 ×6×6=18又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是3，棱锥高为4，所以三个侧面中与底面垂直的侧面三角形高是4，底面边长为6 2 ，其余两个侧面的斜高为=5故三个侧面中与底面垂直的三角形的面积为1 /2 ×4×6 =12，另两个侧面三角形的面积都是1 /2 ×6×5=15故此几何体的全面积是18+2×15+12 =48+12故选A27.如图是一个几何体的三视图，它的表面积是【答案】【解析】解：由三视图可知该几何体为三棱柱，并且棱柱的底面为等腰直角三角形，斜边长为2，侧面为矩形，长为3，宽为，以及长为3，宽为2，那么利用表面积公式可知，它的表面积是28.一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为。