多元积分例题
（整理）多元函数积分
（整理）多元函数积分多元函数积分1. 利用积分区域的对称性化简多元函数的积分1.1 利用积分区域的对称性化简多元函数的重积分题型一计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分类型（一）计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分常用下述命题简化计算二重积分.命题1 若f(x,y)在积分区域D 上连续，且D 关于y 轴（或x 轴）对称，则（1）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的奇函数时，有??=Ddxdy y x f 0),(；（2）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的偶函数时，有=D D dxdy y x f dxdy y x f 1),(2),(；其中D 1是D 落在y 轴（或x 轴）一侧的那一部分区域.命题2 若D 关于x 轴、y 轴对称，D 1为D 中对应于x ≥0,y ≥0（或x ≤0,y ≤0）的部分，则-=--=-=-=D D y x f y x f y x f y x f y x f y x f dxdy y x f dxdy y x f ).,(),(),(,0),,(),(),(,),(4),(1或命题3 设积分区域D 对称于原点，对称于原点的两部分记为D 1和D 2.（1）;),(2),(),,(),(1==--D D d y x f d y x f y x f y x f σσ则若（2）.0),(),,(),(??=-=--Dd y x f y x f y x f σ则若命题4 积分区域D 关于y x ,具有轮换对称性，则+==DD D d x y f y x f d x y f d y x f σσσ)],(),([21),(),( 记D 位于直线y=x 上半部分区域为D 1,则-===D D y x f x y f y x f x y f dxdy y x f dxdy y x f ),,(),(,0),,(),( ,),(2),(1类型（二）计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的三重积分.常用下述命题简化具有上述性质的三重积分的计算.命题1若Ω关于xOy 平面对称，而Ω1是Ω对应于z ≥0的部分，则Ω∈?=-Ω∈?--=-=ΩΩ;),,(),,,(),,(,),,(2,),,(),,,(),,(,0),,(1z y x z y x f z y x f d z y x f z y x z y x f z y x f d z y x f υυ 若Ω关于yOz 平面（或zOx 平面）对称，f 关于x （或y ）为奇函数或偶函数有类似结论.命题2 若Ω关于xOy 平面和xOz 平面均对称（即关于x 轴对称），而Ω1为Ω对应于z ≥0,y ≥0的部分，则=ΩΩ为奇函数；或关于，当为偶函数，关于当z y f z y f d z y x f d z y x f 0,,),,(4),,(1υυ 若Ω关于xOz 平面和yOz 平面均对称（即关于z 轴对称），或者关于xOy 平面和yOz 平面均对称，那么也有类似结论.命题3 如果积分区域Ω关于三个坐标平面对称，而Ω1是Ω位于第一象限的部分，则=ΩΩ为奇函数；或或关于，当均为偶函数，关于当z y x f z y x f d z y x f d z y x f 0,,,),,(8),,(1υυ 命题4 若积分区域Ω关于原点对称，且被积函数关于x,y,z 为奇函数，即.0),,(),,,(),,(=----=Ωυd z y x f z y x f z y x f 则题型三计算积分区域具有轮换对称性的三重积分命题5 如果积分区域关于变量x,y,z 具有轮换对称性（即x 换成y,y 换成z,z 换成x ，其表达式不变），则ΩΩΩΩ++===υυυυd y x z f x z y f z y x f d y x z f d x z y f d z y xf )],,(),,(),,([31),,(),,(),,(.1.2 利用积分区域的对称性化简第一类曲线积分、曲面积分题型一计算积分曲线（面）具有对称性的第一类曲线（面）积分类型（一）计算积分曲线具有对称性的第一类曲线积分命题1.2.1 设曲线L 关于y 轴对称，则=??，0,),(2),(1L L ds y x f s d y x f 是奇函数，关于是偶函数，关于x y x f x y x f ),(),( 其中L 1是L 在x ≥0的那段曲线，即L 1是L 在y 轴右侧的部分；若曲线L 关于x 轴对称，则有上述类似结论.命题1.2.2 设f(x,y)在分段光滑曲线L 上连续，若L 关于原点对称，则=??，LL ds y x f s d y x f ),(2,0),( 为偶函数，关于若为奇函数，关于若),(),(),(),(y x y x f y x y x f 其中L 1为L 的右半平面或上半平面部分.类型（二）计算积分曲面具有对称性的第一类曲面积分第一类曲面积分的奇偶对称性与三重积分类似，可利用下述命题简化计算.命题1.2.3 设积分曲面Σ关于yOz 对称，则=∑∑1),,(2,0),,(dS z y x f dS z y x f 为偶函数，关于当为奇函数，关于当x z y x f x z y x f ),,(),,( 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.若Σ关于另外两坐标面有对称性，则有类似结论.注意不能把Σ向xOy 面上投影，因第一类曲面积分的Σ投影域面积不能为0.题型二计算平面积分曲线关于y=x 对称的第一类曲线积分命题1.2.4 若L 关于直线y=x 对称，则??=L Lds x y f ds y x f ),(),(. 题型三计算空间积分曲线具有轮换对称性的第一类曲线积分命题1.2.5 若曲线Γ方程中的三变量x,y,z 具有轮换对称性，则ΓΓΓΓΓΓ====ds z ds y ds x zds yds xds 222,. 1.3 利用积分区域的对称性化简第二类曲线积分、曲面积分题型一计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反，有下述结论.命题1.3.1 设L 为平面上分段光滑的定向曲线，P(x,y),Q(x,y)连续，（1）L 关于y 轴对称，L 1是L 在y 轴右侧部分，则=??,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为偶函数；关于若为奇函数，关于若x y x P x y x P ),(),( =??,),(2,0),(Q 1L L dy y x Q dy y x .),(),(为奇函数关于若为偶函数，关于若x y x Q x y x Q （2）L 关于x 轴对称，L 1为L 在x 轴上侧部分，则=??,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为奇函数；关于若为偶函数，关于若y y x P y y x P ),(),( =??,),(2,0),(1L L dy y x Q dy y x Q .),(),(为偶函数关于若为奇函数，关于若y y x Q y y x Q （3）L 关于原点对称，L 1是L 在y 轴右侧或x 轴上侧部分，则+=+,2,0),(),(1L L L Qdy Pdx dy y x Q dx y x P .),(),(),,(),(),(),,(为奇函数关于若为偶函数，关于若y x y x Q y x P y x y x Q y x P （4）L 关于y=x 对称，则.),(),(),(),(),(),(+-=+=+-LL L dx x y Q dy x y P dx x y Q dy x y P dy y x Q dx y x P 即若L 关于y=x 对称，将x 与y 对调，则L 关于直线y=x 翻转，即L 化为L —.因而第二类曲线积分没有轮换对称性.题型二计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分命题1.3.2 设Σ关于yOz 面对称，则=∑∑,0,),,(2),,(1dydz z y x P dydz z y x P .),,(),,(为偶函数关于当为奇函数，关于当x z y x P x z y x P 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.这里对坐标y 和z 的第二类曲面积分只能考虑Σ关于yOz 面的对称性，而不能考虑其他面，这一点也与第一类曲面积分不同.2. 交换积分次序及转换二次积分题型一交换二次积分的积分次序※直接例题，无讲解.题型二转换二次积分转换二次积分是指将极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分转换成直角坐标系（或极坐标系）下的二次积分.由极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分的内外层积分限写出相应的二重积分区域D 的极坐标（或直角坐标）表示，再确定该区域D 在直角坐标系（或极坐标系）中的图形，然后配置积分限.3. 计算二重积分题型一计算被积函数分区域给出的二重积分含绝对值符号、最值符号max 或min 及含符号函数、取整函数的被积函数，实际上都是分区域给出的函数，计算其二重积分都需分块计算.题型二计算圆域或部分圆域上的二重积分当积分区域的边界由圆弧、过原点的射线（段）组成，而且被积函数为)(22y x f y x m n +或)/(x y f y x m n 的形状时，常作坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，利用极坐标系计算比较简单.为此，引进新变量r,θ,得到用极坐标（r ，θ）计算二重积分的公式：=')sin ,cos (),(D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ （其中rd θdr 是极坐标系下的面积元素）. 用极坐标系计算的二重积分，就积分区域来说，常是圆域（或其一部分）、圆环域、扇形域等，可按其圆心所在位置分为下述六个类型（其中a,b,c 均为常数）.类型（一）计算圆域x 2+y 2≤a 上的二重积分. 类型（二）计算圆域x 2+y 2≤2ax 上的二重积分.类型（三）计算圆域x 2+y 2≤-2ax 上的二重积分.类型（四）计算圆域x 2+y 2≤2ay 上的二重积分.类型（五）计算圆域x 2+y 2≤-2ay 上的二重积分.类型（六）计算圆域x 2+y 2≤2ax+2by+c 上的二重积分.4. 计算三重积分题型一计算积分区域的边界方程均为一次的三重积分当积分区域Ω主要由平面围成时，宜用直角坐标系计算，如果积分区域Ω的边界方程中含某个坐标变量的方程只有两个，则可先对该坐标变量积分。
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点一、知识概述《多元函数微积分知识点》①基本定义：多元函数呢，就是一个函数里有好几个变量，不像一元函数只有一个变量。
打个比方，一元函数就像是一个人在一条笔直的跑道上跑步，变量就是他跑的距离。
而多元函数就像是一群人在一个操场上到处跑，每个方向的位置就是不同的变量。
多元函数微积分就是对这种有多个变量的函数进行微分和积分的一套数学方法。
②重要程度：在数学里，多元函数微积分可是相当重要的哦。
在物理学、工程学、经济学等好多学科都要用到它。
比如说，在物理中计算物体在多个力作用下的运动情况，或者经济里分析多个经济因素对某个指标的影响，没有多元函数微积分就很麻烦。
③前置知识：你得先掌握好一元函数微积分的知识，像函数的概念、极限、导数、积分这些。
还有简单的代数知识，像多元方程之类的。
④应用价值：实际中的应用太多了。
比如在建筑设计里，考虑到很多因素影响建筑物的稳定性，像风力、地质条件等，就可以用多元函数微积分来分析和设计；在计算机图形学里，可以用来处理三维模型的各种参数。
二、知识体系①知识图谱：多元函数微积分就坐落在多元函数这一块内容里，它就像是多元函数大厦里的核心支柱，很多关于多元函数性质和变化的研究都离不开它。
②关联知识：和线性代数有联系，因为多元函数里变量之间的关系有时候可以用矩阵等线性代数的知识来表示；还和概率论有关联，在处理多变量的概率分布时，多元函数微积分能派上用场。
③重难点分析：掌握的难度在于要同时处理好几个变量的关系，这很容易让人脑子乱。
关键就是要理解各个变量在函数中的角色和相互影响。
比如说，在求多元函数的偏导数时，要清楚是对哪个变量求导，而把其他变量暂时当作常数。
④考点分析：在数学考试里可是个重点。
考查方式多种多样，可能会让你求多元函数的极限、偏导数、全微分，也可能是多元函数的积分计算等。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：多元函数的核心概念是有多个自变量的函数。
就好比确定一个地点需要经度、纬度和海拔三个因素，这就是三个自变量组成的多元函数，可以表示为z = f(x,y)这种形式（这里假设是两个自变量x、y的情况，实际上可以有更多自变量）。
数学分析华东师大第四版16章_多元函数的极限与连续
lim
f ( x, y )极限存在，
是指当动点 ( x, y )以任意的方式趋向于点 ( x0 , y0 )时, 对应的极限都存在并且 相等.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例题
证明二重极限 x y lim 不存在. 2 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y
证明
取y kx, 则 即当动点( x, y )沿着直线y kx趋向于点(0,0)时, x y kx k lim lim , 2 2 2 2 2 ( x , y )( 0 , 0 ) x y x 0 (1 k ) x 1 k
求二元函数的定义域与值域
1.函数z f ( x, y ) a x b y (a, b是不为0的实数); 2.函数z f ( x, y ) 1 ( x 2 y 2 ) ; 2 xy 3.函数z f ( x, y ) 2 ; 2 x y 4.函数z f ( x, y ) 1 x 1 y .
则一定存在有限个开区 域1 , 2 , , n , 使得 D k .
k 1 n
n元函数的定义
所有有序实数组 ( x1 , x2 , , xn )的全体称为 n维向量空间 , 记作R n . 每个有序实数组 ( x1 , x2 , , xn )称为R n中的一个点 , n个实数x1 , x2 , , xn 称为这个点的坐标 .
二元函数的定义域
• 一元函数的定义域是实数轴上的点集；
• 二元函数的定义域是坐标平面上的点集.
坐标平面与平面点集
• 在平面上确定了一个直角坐标系之后，所 有有序实数对(x,y)与平面上所有的点之间就 建立了一一对应。确定了直角坐标系的平 面，称为坐标平面； • 在坐标平面上满足某种条件P的点的集合称 为平面点集，记作
2多元函数积分学.docx
2.多元函数积分学K考试内容》（数学一）二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件己知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用K考试要求》（数学一）1 •理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。
2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。
3•理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
4.掌握计算两类曲线积分的方法。
5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。
6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。
会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。
7.了解散度与旋度的概念，并会计算。
8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。
K考试要求』（数学二）1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。
K考试要求》（数学三）1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。
2.了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。
K考试要求》（数学四）同数学三2.多元函数积分学K知识点概述H 2. 1二重积分基本概念：定义、基本性质计算方法：直角坐标法（x型简单区域；y型简单区域）极坐标法（r型简单区域；&型简单区域）一般变换法几何应用：面积、曲顶柱体体积物理应用：质量、质心、转动惯量2. 2三重积分基本概念：定义、基本性质计算方法：直角坐标法：x型简单区域；y型简单区域；z型简单区域投影法（先定积分后二重积分）截面法（先二重积分后定积分）柱坐标法；球坐标法；一般变换法儿何应用：体积物理应用：质量、质心、转动惯量、引力2. 3曲线积分第一类曲线积分基本概念：定义、基本性质计算方法：参数化法儿何应用：弧长物理应用：质量、质心、转动惯量、引力第二类曲线积分基本概念：定义、基本性质计算方法：参数化法曲线积分基本定理（曲线积分与路径无关的条件（平面情形，空间情形）；全微分的原函数；场论基本概念与计算格林公式（平面曲线积分）；斯托克斯公式（空间曲线积分）物理应用：功，环流量，通量第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系2. 4曲而积分第一类曲面积分基本概念：定义、基本性质计算方法：投影法(向xoy 平面投影；向yoz 平面投影；向zox 平面投影)儿何应用：曲面面积 物理应用：质量、质心、转动惯量、引力第二类曲面积分基本概念：定义、基本性质计算方法：有向投影法(各向投影；单向投影)；化成第一类曲面积分；高斯公式；斯托克斯公式物理应用：通量第一类曲面积分与第二类曲面积分的联系K 典型例题一二重积分H例1 (91103)设D 是XOY 平面上以(1,1),(-1,1),(-1,-1)为顶点的三角形区域，®是D 在第 一象限部分，则 jjp (xy + cosxsin y)dxdy =()K 注》二重积分的对称性例2计算力dy,其中D 是由直线兀=-2,y = 0,y = 2以及曲线兀= -(2y- y 2所围成的平而区域K 注》平面区域的重心(质心)变式1计算Jjp(x+刃加/y,其中: 2以+》2 < y +1例3计算血(手+評如)，，其中D ：X 2 + y 2 </?2 (/?>0)注1极坐标法是计算二重积分的重要方法变式 1 计算 JJ^ln(x 2+ y 2 yixdy ,其中 D: x 2 + y 2 < 1 变式2计算吕-和如其中D ：名+着「注2二重积分的轮换对称性变式3计算H (斗+其)必〃y ,其中D:x 2 + y 2<R 2 (/?>0) H D a 2 b 2(B) 2血 xydxdy (A)cosxsin ydxdy (C) (xy + cos x sin y)dxdy (D) 0x » 0, y 2 0上的正值连续函数例 4 (94103)计算 JJ D + xf(x 2 + y 2)]dxdy ,其中 D 由直线 y = x,y = -\,x = \ 围成，f 为连续函数 变式 1 (01306)计算 J.y ［l +兀+〉)］dxdy ,其中 D 由直线 y = x.y =-l,x = 1^成 例 5(02107)计算 JJ 创曲{兀2,护}必労,其中 p = {(X5y )：o<x<l,O<y<l}变式 1 计算^D x 2dxdy ,其中 D: x 4 + y 4 < 1 变式 2 (95305)计算 jj /?2 min{x,y}e-^2^y 2)dxdy ,其中 M 为整个 xoy 平面 例6计算Z = J ■:必产号％‘注将二重积分化成二次积分计算时，确定积分次序是关键变式1计算心恥J 謬字变式2计算I = ff^sin y 2dxdy ,其中D 由y = x, y =五及Y 轴围成变式3计算/二J 診rj ； 了——dy , f\x)在［0, a ］连续u J(d-x)(x- y)例7设/(兀)在［0,1］上连续，证明J ：闵：/(兀)/()曲=*［仃(兀)〃兀］2例 8 求在 D:x 2 + y 2 < y 9x>0上连续的 /(x,刃，使 /(x,y) = Jl-x 2一)2 一却需/仏*)dud\ 例9 (97306)求/(/),使得/⑴在［0,2)上连续，且满足方程 f ⑴=e 伽2 + 几2+严 <4,2 f(yx 2 + y 2)dxdy例］0 (00406)设 f(x,y)=<X "求 /(x, y)dxdy ,其中 D:x 2 + y 2 > 2x 0, 他变式 1 (05111)计算二重积分仏巩1 + %2 + y2］Jxdy ，其中 D :x 2 + y 2 < 72,x> 0, y > 0,［1 +兀2 +y2］表示不超过1 +兀2 + y2的最大整数变式4 (05204)计算血aj/(兀)+bj/(y) z/xdy ,其中 为常数，/(x)为£>:%2 + ^2 <4,变式 2 (05209)计算二重积分血| 兀 2+y2_i/dy,其中 D = {(x,y):O<x<l,O<y<l}K 典型例题一三重积分H例1 (88203)设有空间区域V1 : x 2 + y 2 + z 2 < /?2,z > 0 , V2 :x 2 + y 2 +z 2 < /?2,x>0, y >0,z>0,贝！J ()⑷ JJJy xdxdydz = 4川xdxdydz (B) JJ. ydxdydz = ydxdydz(0 zdxdydz = 4出” zdxdydz (D) xyzdxdydz = xyzdxdydz 注三重积分的对称性 例 2 计算 J%兀,其中 V : x 2 + y 2 + z 2 < /?2,x > 0,>?> 0,z > 0 (/? > 0)解一：投影法解二：截面法解三：柱坐标变换法解四：球坐标变换法,2 n 变式1用截面法计算出“如皿，其中V:^- + -p- + ^-<l,z>0变式 2 利用对称性计算^^x-dxdydz ,其中 V : x 2 + y 2 4- z 2 < /?2,z > 0 (7? > 0)dxdydz (l+|x| + |y| + |z|)3 例 4 计算 (x + y + z)dxdydz ,其中 V : 2以+3y2 + 么2 5 z注空间区域的重心(质心)变式 1 设 /⑴可导，V :以 +『2 + z2 w/2 , = /(x 2 +y2 + z^)dxdydz,求 F'(/) 例 6 (03112)设/(r)为正值连续函数,V(t):x 2 + y 2 + z 2 <t 2 , D(t):x 2 + y 2<r 2, 肛⑴ /X + y 2 + z2 Zdxdydz血初 f(x 2 + y 2)dxdy F ⑴ JJ D(Z) /(x 2 + y 2)dxdy (1)讨论F(f)在(0,+oo)内的单调性(2)证明(>0时，F(r)>-G(r)71 K 典型例题一曲线积分与曲面积分H例1计算#厶(2兀2+3y2)〃$ ,其中厶：兀2 + y2 = 2(兀+y)解一：参数化法 解二：利用曲线积分的对称性变式1计算+ yz + xz)d$ ,其中厶为球面兀2 +y2 +z2 =］与平面乂+y + z 二0的交线例3计算皿 其中 V:|x| + |y| + |z|<l例5设/⑴可导, /(0) = 0, V ：兀2 + y2 + z2 5/2 求 Ii m+ y2 + z 2)dxdydz f_t f(x 2)dx变式2计算#/2ds ,其中厶为球面兀2 +歹2 + z2 =以与平面兀+ + z = 0的交线例2 计算(x2 + y)dS 9其中S: x2 + y2=a^fi<z< h.a > 0解一：投影法解二：利用曲面积分的对称性例3 (87103)计算(2xy-2y)dx4-(x2 -4x)dy,其中L:x2 + y2 =9取正向(逆时针方向)解一：参数化法解二：格林公式例4 (03110)己知平面区域£)= {(x,y):0<x<^, 0<y<7r},厶为其正向边界，试证(1 )彳厶壮sin yjy _ y^-sin x(}x = #厶壮-sin y dy - ye s^n X dx , ( 2 ) #厶xe sin ydy - >^_sin X dx > 2兀2解一：参数化法解二：格林公式例5 (97105)计算(z - y)dx + (x - z)dy 4- (x - y)dz ,其中L x2 + y2 = 1与平面x-y + z = 2的交线，从Z轴正向往Z轴负向看厶的方向是顺时针正向解-：参数化法解二：斯托克斯公式例6 (00106)计算i r Xdy~ycb",其中厶是以点(1,0)为中心，半径为R(R > 1)的圆周，JL 4兀2 +y2取逆时针方向例7 (98106)确定常数使在右半平面x>0上的向量A(x,y) = 2xy(x4 + y2)a i -x2(x4 + y2)a j为某二元函数u(x9y)的梯度，并求u(x9y)解一：曲线积分法解二：不定积分法变式1(05112)设函数0(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线厶上, 曲线积分£俠鑒身晋的值恒为同一常数。
自考高等数学(一)第六章 多元函数微积分
第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。
二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。
2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。
3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。
（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。
2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。
设D是开集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
用截面法计算三重积分例题
用截面法计算三重积分例题使用截面法计算三重积分可以在简化计算过程中起到积极的作用。
以下是一个简单的例子，使用截面法计算三重积分：假设要计算函数 f(x, y, z) = 2x + 3y + 4z 的立体区域 D 上的三重积分，其中 D 是由平面 x + y + z = 1、x = 0、y = 0 和 z = 0 所围成的空间。
我们可以使用截面法来计算三重积分：1.选择先对 z 进行积分的顺序。
2.固定z，将D 投影到xy 平面上，得到在xy 平面上的投影区域 R。
3.寻找表示 xy 平面上的投影区域 R 的边界曲线方程。
4.对每个固定 z 的截面区域 R，计算对应的积分。
5.将每个截面的积分结果相加，得到最终的三重积分结果。
在这个例子中，我们可以选择先对 z 进行积分，然后对 x 和 y 进行积分。
1.首先，固定 z，将 D 投影到 xy 平面上。
由平面 x + y + z = 1投影到 xy 平面上，可以得到一个等边三角形区域 R。
该等边三角形的边界曲线方程为 y = 1 - x。
2.对于每个固定的z，在区域R 上计算对应的积分。
积分表达式为∫∫(2x + 3y + 4z) dxd y。
3.根据等边三角形区域R 的范围，可以将积分区域变换为直角坐标系下的积分区域。
4.在区域R 上计算积分，并将每个截面的积分结果相加，得到最终的三重积分结果。
请注意，实际应用中，具体的计算过程可能更复杂，而且积分顺序和变换可能会根据具体问题而有所变化。
因此，在具体求解时，请根据问题的要求和条件来确定合适的积分顺序和方法。
三重积分例题分析
方程变为
4
;
球面方程变为r
=
a,
区域变为＊
{(r,, ) | 0 2 ,0 ,0 r a},
4
故
I (x2 y2 z2 )dxdydz
r2 r2 sindrdd
2
d
4 sind
a r 4dr
0
0
0
2 a5
4 sind
1 a5(2
2).
50
5
(该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成.)
3x+2y =1Ω2 和 x+y+z z = 6所围成的区域
6
x+y+z=6
y=0 0
.
2 z=0
4
x
6
6
y
计算 I f (x, y,z)dxdydz ：平面y=0 , z=0，3x+y =6,
3x+2y =1Ω2 和 x+y+z z = 6所围成的区域
y
6
6 x y
6
I dxdy0 f ( x, y,z)dz
0
x
zdxdydz zrdrddz
y
*
1
1r 2
rdrd 0 zdz
D
2
1
1r 2
0 d 0 rdr0 zdz
2 1 r (1 r 2 )dr
0
2
4
例例 83. 计算三重积分 z dxdydz。
其中 ：平面 x 1, x 2, y x, z 0,及
2z y 所围成的闭区域.
例1. 计算 xdxdydz, 其中是由平面x+y+z=1
与三个坐标面所围闭区域.
三重积分先一后二例题
三重积分先一后二例题
摘要：
1.三重积分的概念
2.三重积分的一般步骤
3."先一后二"的例题演示
4.总结
正文：
一、三重积分的概念
三重积分是多元函数积分的一种，它是对一个三维空间中的函数值进行积分。
在实际问题中，常常需要对三维空间中的物理量进行积分计算，例如质点在空间中的位移、速度等。
三重积分就是解决这类问题的有力工具。
二、三重积分的一般步骤
1.确定被积函数：首先，要确定需要积分的函数。
2.确定积分区间：然后，要确定积分的区间，也就是x、y、z 的取值范围。
3.确定积分顺序：接下来，要确定积分的顺序，常见的顺序有"先一后二"、"先二后一"、"先三后二"等。
4.进行积分运算：最后，按照确定的积分顺序，逐步进行积分运算。
三、"先一后二"的例题演示
假设有一个被积函数f(x,y,z)，我们需要对它在区间[0,1]×[0,1]×[0,1] 上进行三重积分。
按照"先一后二"的顺序，我们首先对x 进行积分，然后在结果上对y 进行积分，最后在结果上对z 进行积分。
具体的积分过程如下：
1.对x 进行积分，得到一个关于y 和z 的函数F(y,z)。
2.对F(y,z) 关于y 进行积分，得到一个关于z 的函数G(z)。
3.对G(z) 关于z 进行积分，得到最终的结果。
四、总结
三重积分是解决三维空间问题的重要工具，其中"先一后二"是常见的积分顺序。
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1d
即 2I1
故
I1
I2
aI1 bI2 2
例7．(03，三) 计算二重积分
I e(x2y2 ) sin(x2 y2 )dxdy
其中积分区域 DD {(x, y) | x2 y2 }
【解答】作极坐标变换：x r cos y r sin
B. I1 I2 I3 D. I3 I1 I2
【解答】选 A，因为当 0 x2 y2 1 时
x2 y2 x2 y2 x2 y2 2
而余弦函数在0,1 上是单调减少的，故由二重积分
的比较性质，有 I3 I2 I1
例2. (03，三) 设a 0
有
I e
e(x2 y2 ) sin(x2 y2 )dxdy e
2
d
rer2 sin r 2dr
0
0
D
令 t r 2,则 I e et sin tdt 0
记 A et sin tdt 则 I e A 0
A
由此积分区域如图所示，
y
1
D : x2 y x,0 x 1
x
2
2
1 4
因此
0
1
x
2
1
y
1
1
1
x
4 dy
0
y
f (x, y)dx
2 1
dy
2 f (x, y)dx
y
2 dx
0
f (x, y)dy
x2
4
• 解决交换次序题型问题的关键是根据已给出的积
分次序，来画出积分区域示意图，然后确定新的
2
1 y2
D. 2 dy
f (x, y)dx.
0
0
例6 (05，二) 设区域 D {(x, y) | x2 y2 4, x 0, y 0}
f (x)为 D上的正值连续函数, a, b为常数,则
a
D
f (x) b f ( y)d
f (x) f (y)
等于
A. ab
f
(
x)
g(x)
a, 0,
若o x 1 其他，
而表示全平面，则 I f (x)g(y x)dxdy
D
【分析】本题积分区域为全平面，但只有当
0 x 1 0 y x 1
时，被积函数才不为0，因此实际上只需在满足此不 等式的区域内积分即可。
解因
a, 若0 y x 1
et
0
sin tdet
et
sin t |0
et
0
cos
tdt
cos tdet
0
et
cos t |0
et
0
sin
tdt
e
1
A
因此 A 1 1 e 2
故 I e 1 e 1 e
g( y x) 0,
其它
故 I f (x)g( y x)dxdy a2dxdy
D
0x1,0 yx1
a2
1
dx
0
x1
dy
a2
x
1 0
x
1
xdx
a2
【评注】对于分段函数的二重积分，要利用可加性 分块积分。
例3. (02，三)交换积分次序:
0 x t 1 y x
t
x
t
F (t) 0 dx1 f (x)dy 0 f (x)(x 1)dx
于是，F(t) f (t)(t 1)，所以，F(2) f (2)
例5. (04,) 设函数f (u) 连续,区域 D {(x, y) | x2 y2 2 y}
积分次序和积分限。
例4.
(04，一)
设f
(x)为连续函数, F(t)
t
1
t
dyy
f
(x)dx,
则F ' (2)等于
A. 2 f (2) B. f (2)
C. f (2)
D.0
【解答】选B。先交换积分次序，使被积函数中不
含有变量t
，由y型区域
Dy
：1y
y x
t t
得x型区域 Dx
dx 1
4 dy
y
f (x, y)dx
0
y
1
1
2 1
dy
2 y
f (x, y)
4
【分析】此类问题首先根据原累次积分确定积分域, 并画出积分域的草图，然后交换次序。 【解答】由原累次积分可知
1
Dy1 y x
y,0 y 4
11
1
Dy2 y x 2 , 4 y 2
• (06,一)设 f (x, y)为连续函数，则
等于
1
4 d f (r cos , r sin )rdr
0
0
2
1 x2
A.
2 0
dx x
f (x, y)dy.
2
1 y2
C. 2 dy
f (x, y)dx.
0
y
2
1 x2
B.
2 0
dx 0
f (x, y)dy.
B. ab
2
C. (a b) D. a b
2
【解答】选D。考虑积分
I1 D
f (x) d
f (x) f (y)
I2
D
f ( y) d
f (x) f (y)
因 D关于直线 y x对称,
故由二重积分的对称性：I1 I2
又 I1 I2
则 f (xy)dxdy 等于
D
1
1 x2
A. dx
f (xy)dy
1
1x2
2
2 yy2
B. 20 dy0 f (xy)dx
C.
d
0
2sin 0
f (r2 sin cos )dr
D. d 2sin f (r2 sin cos )rdr
多元积分例题
重积分
例1．(05，三) 设 I1 cos x2 y2 d
D
I2 cos(x2 y2 )d I3 cos(x2 y2)2 d
D
D
其中 D {(x, y) | x2 y2 1} ,则
A. I3 I2 I1 C. I2 I1 I3
0
0
【解答】选D。D为圆心在1,0 ，半径为1的圆域，
排除A,B.
D的边界 x2 y2 2 y 化为极坐标方程为 r 2sin
于是
0 D 0 r 2sin
原式 =
d
2sin f (r2 sin cos )rdr
0
0
C的面积元素缺少 r ，故选D。