人教备战中考数学锐角三角函数提高练习题压轴题训练及答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题：

（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？

（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形23

15688

t t =-++ ，(05)t <<；（3）52t =时，PEGO S 四边形取得最大值；（4）165

t =

时，OE OQ ⊥. 【解析】

【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题．

（2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．

（4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出

EC GQ OC OG

=，由此构建方程即可解决问题．

【详解】

（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，

∴22108-=6（cm ），

∵OD 垂直平分线段AC ，

∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°，

∵CD ∥AB ，

∴∠BAC=∠DCO ，

∵∠DOC=∠ACB ，

∴△DOC ∽△BCA ， ∴AC AB BC OC CD OD ==， ∴61083CD OD

==， ∴CD=5（cm ），OD=4（cm ），

∵PB=t ，PE ⊥AB ， 易知：PE=34

t ，BE=54t ， 当点E 在∠BAC 的平分线上时，

∵EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，

∴PE=EC ，

∴

34

t=8-54t ， ∴t=4． ∴当t 为4秒时，点E 在∠BAC 的平分线上．

（2）如图，连接OE ，PC ．

S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）

=1414153154338838252

524524t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ =28

1516(05)33

t t t -+

+<<． （3）存在． ∵2

8568(05)323S t t ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭， ∴t=

52

时，四边形OPEG 的面积最大，最大值为683． （4）存在．如图，连接OQ ．

∵OE ⊥OQ ，

∴∠EOC+∠QOC=90°，∵∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG，

∴tan∠EOC=tan∠QOG，∴EC GQ

OC OG

=，

∴

3

5

8

5

4

4

34

5

t

t

t

-

=

-

，

整理得：5t2-66t+160=0，

解得

16

5

t=或10（舍弃）

∴当16

5

t=秒时，OE⊥OQ．

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

2．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A，B两点之间的距离他沿着与直线AB平行的道路EF行走，走到点C处，测得

∠ACF=45°，再向前走300米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为200米，求A，B两点之间的距离（结果保留一位小数）

【答案】215.6米．

【解析】

【分析】

过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点，

根据Rt△ACM和三角函数tan BDF

∠求出CM、DN，然后根据MN MD DN AB

=+=即可求出A、B两点间的距离.

【详解】

解：过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点

在Rt △ACM 中，∵45ACF ∠=︒，

∴AM=CM=200米，

又∵CD=300米，所以100MD CD CM =-=米，

在Rt △BDN 中，∠BDF=60°，BN=200米 ∴115.6tan 60

BN DN =≈米， ∴215.6MN MD DN AB =+=≈米

即A ，B 两点之间的距离约为215.6米． 【点睛】

本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.

3．如图，在△ABC 中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D 从点A 出发，在AB 边上以每秒1个单位的速度向点B 运动，连结CD ，作点A 关于直线CD 的对称点E ，设点D 运动时间为t （s ）．

（1）若△BDE 是以BE 为底的等腰三角形，求t 的值；

（2）若△BDE 为直角三角形，求t 的值；

（3）当S △BCE ≤92

时，所有满足条件的t 的取值范围 （所有数据请保留准确值，参考数据：tan15°=23

【答案】（133；（23秒或3秒；（3）6﹣3 【解析】

【分析】

（1）如图1，先由勾股定理求得AB 的长，根据点A 、E 关于直线CD 的对称，得CD 垂直平分AE ，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE ，所以AD=DE=BD ，由3，可得t 的值；

（2）分两种情况：

①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE ，根据3t 的值；

②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC ≌△EGD ，得AC=DE ，由AC ∥ED ，得四边形CAED 是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；

（3）△BCE 中，由对称得：AC=CE=3，所以点D 在运动过程中，CE 的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE 作底边时，对应高的大小变化，

①当△BCE 在BC 的下方时，

②当△BCE 在BC 的上方时，