人教版中考数学压轴题 复习自检题学能测试试卷

一、中考数学压轴题

1．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC

（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；

（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．

①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；

②取BF 的中点G ，连接OG ，判断OG 与AD 的数量关系，并说明理由； （3）若四边形ABCD 的周长为8，直接写出GE 2＋GF 2＝____．

2．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．

如图，将一个矩形纸片ABCD ，放置在平面直角坐标系中，()0,0A ，()4,0B ，

()0,3D ，M 是边CD 上一点，将ADM 沿直线AM 折叠，得到ANM ．

（Ⅰ）当AN 平分MAB ∠时，求DAM ∠的度数和点M 的坐标； （Ⅱ）连接BN ，当1DM =时，求

ABN 的面积；

（Ⅲ）当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．（直接写出答案） 在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：

师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题． 小明：我是这样想的，延长MN 与x 轴交于P 点，于是出现了Rt NAP △． 小雨：我和你想的不一样，我过点N 作y 轴的平行线，出现了两个Rt NAP △．

3．如图1，正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转，连接AF ，点M 是AF 中点．

（1）当点G 在BC 上时，如图2，连接BM 、MG ，求证：BM =MG ； （2）在旋转过程中，当点B 、G 、F 三点在同一直线上，若AB =5，CE =3，则MF = ；

（3）在旋转过程中，当点G 在对角线AC 上时，连接DG 、MG ，请你画出图形，探究DG 、MG 的数量关系，并说明理由．

4．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，ABC ?的三个顶点坐标分别为

()A O m ,，(),B m O -，(),C n O ，5AC =且OBA OAB ∠=∠，其中m ，n 满足7

25m n m n +=??

-=?

．

（1）求点A ，C 的坐标；

（2）点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向运动，设点P 的运动时间为t 秒.连接BP 、CP ，用含有t 的式子表示BPC ?的面积为S （直接写出t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使得ΔΔ3

2

PAB POC S S =

，若存在，请求出t 的值，并直接写出BP 中点Q 的坐标；若不存，请说明理由．

5．如图，在ABC ?中，14AB =，45B ∠=?，4

tan 3

A =

，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．

（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．

（2）设正方形PQMN 与ABC ?重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ?内部时，求S 关于

t 的函数关系式．

（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ?的分为面积相等的两部分时，直接写出

t 的值．

6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A （﹣3，0）、B （2，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）点E （m ，2）是直线AC 上方的抛物线上一点，连接EA 、EB 、EC ，EB 与y 轴交于D ．

①点F 是x 轴上一动点，连接EF ，当以A 、E 、F 为顶点的三角形与△BOD 相似时，求出线段EF 的长；

②点G 为y 轴左侧抛物线上一点，过点G 作直线CE 的垂线，垂足为H ，若∠GCH ＝∠EBA ，请直接写出点H 的坐标．

7．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系

(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(03，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．

①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____；

②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；

(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段

FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；

(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．

8．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点． 已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．

（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；

（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；

（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝1

2

x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．

9．如图1，△ABC 内接于⊙O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使DF ＝2OD ，连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足AG ∥BC ，连接OC ，若cos ∠BAC ＝1

3

，BC ＝8． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径OC ；

（3）如图2，⊙O 的弦AH 经过半径OC 的中点F ，连结BH 交弦CD 于点M ，连结FM ，试求出FM 的长和△AOF 的面积．

10．已知：如图，四边形ABCD ，AB DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，

8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A

开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，

08t <<．

（1）当t 为何值时，PQ

BD ？

（2）设五边形QPBCM 的面积为(

)2

S cm

，求S 与t 之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的11

15

？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出

t 的值；若不存在，请说明理由．

11．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=?，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且

60ECF ∠=?．

（1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=；

（2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求

FM ；

（3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由．

12．如图1，在

O 中，弦AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AD 、BC 、AO ，

AD AB =．

（1）求证：2CAO CDB ∠=∠

（2）如图2，过点O 作OH AD ⊥，垂足为点H ，求证：2OH CE DE +=

（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB 、AC 交于点F ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，交AB 于N ，若12BC =，3AF BF =，求MN 的长．

13．已知：在平面直角坐标系中，抛物线2

23y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B

在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2． （1）如图1，求此抛物线的解析式；

（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点

D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t

的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若

72

8

CG AG =

，求点P 的坐标．

14．如图，在ABC 中，3

5,7,tan 4

AB BC B ===，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒

5

3

个单位长度的速度向终点B 运动，过P 作PQ BC ，交AC 于点Q ，以PQ PB 、为

邻边作平行四边形PQDB ，同时以PQ 为边向下作正方形PQEF ，设点P 的运动时间为t 秒()0t >．

（1）点A 到直线EF 的距离______________；（用含t 的代数式表示）

（2）当点D 落在落在PF 上时，求t 的值；

（3）设平行四边形PQDB 与正方形PQEF 重叠部分的面积为()0S S >，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值． （4）设:PDE APE S S m =△△，当

1

12

m 时，直接写出t 的取值范围．

15．已知：矩形ABCD 内接于⊙O ，连接 BD ，点E 在⊙O 上，连接 BE 交 AD 于点F ，∠BDC+45°=∠BFD ，连接ED ． （1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB ；

（2）如图2，点G 是 AB 上一点，过点G 作 AB 的垂线分别交BE 和 BD 于点H 和点K ，若HK=BG+AF ，求证：AB=KG ；

（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O 上有一点N ，连接 CN 分别交BD 和 AD 于10点 M 和点 P ，连接 OP ，∠APO=∠CPO ，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB 的长．

16．将一个直角三角形纸片ABO ，放置在平面直角坐标系中，点(3)A ，，点

()0, 3B ，点(0,0)O

(I)过边OB 上的动点D (点D 不与点B ，O 重合)作DE OB ⊥交AB 于点E ，沿着DE 折叠该纸片，点B 落在射线BO 上的点F 处． ①如图，当D 为OB 中点时，求E 点的坐标； ②连接AF ，当AEF ?为直角三角形时，求E 点坐标：

(Ⅱ) P 是AB 边上的动点(点 P 不与点B 重合)，将AOP ?沿OP 所在的直线折叠，得到

'A OP ?，连接'BA ，当'BA 取得最小值时，求P 点坐标(直接写出结果即可)．

17．如图，已知ABF 为等腰直角三角形，90BAF ∠=?，D 、C 为直线AF 上两点，且满足DF AC =，连接BD 、BC ，过点A 作AE BD ⊥于点E ，交BF 于点H ，连接

CH ．

（1）若30BAE ∠=?，1BE =，求DE 的长；

（2）若点M 是线段BF 上的动点，连AM 并延长交BD 于N ，当M 在线段BF 的什么位置上时，AH BN =？请说明理由；

（3）在（2）的结论下，判断线段CH 、AH 、BD 的数量关系．请说明理由． 18．如图，四边形AOBC 是正方形，点C 的坐标是(82,0)．

（1）正方形AOBC 的边长为 ，点A 的坐标是 ；

（2）将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45?，点A ，B ，C 旋转后的对应点为A '，

B '，

C '，求点A '的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；

（3）动点P 从点O 出发，沿折线OACB 方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q 从点O 出发，沿折线OBCA 方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t

秒，当它们相遇时同时停止运动，当OPQ △为等腰三角形时，求出t 的值（直接写出结果即可）．

19．如图，在?ABCD 中，对角线AC ⊥BC ，∠BAC ＝30°，BC ＝3AB 边的下方作射线AG ，使得∠BAG ＝30°，E 为线段DC 上一个动点，在射线AG 上取一点P ，连接BP ，使得∠EBP ＝60°，连接EP 交AC 于点F ，在点E 的运动过程中，当∠BPE ＝60°时，则AF ＝_____．

20．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点D 在△ABC 外，连接AD 、BD ，且∠ADB=90°，AB 、CD 相交于点E ，AB 、CD 的中点分别是点F 、G ，连接FG ．

（1）求AB 的长；

（2）求证：AD+BD=2CD ； （3）若BD=6，求FG 的值．

21．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形AEFG （a>b ），开始时，点E 在AB 上，如图1．将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转．

（1）如图2，小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转，连接BE 、DG ，当点G 恰好落在线段BE 上时，小亮发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG 的长．

（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG ，点E 在DA 的延长线上，连接BF 、DF ．当FG 平分∠BFD 时，请你帮他求a ：b 及∠FBG 的度数．

（3）如图4，BE 的延长线与直线DG 相交于点P ，a=2b ．当正方形AEFG 绕点A 从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P 运动的路线长（用含b 的代数式表示）． 22．如图，二次函数2

3y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)B ，另一个交点为

A ，且与y 轴相交于C 点

（1）则m =_________；C 点坐标为___________；

（2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由． （3）P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q ①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；

②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t =________时，四边形PBQC 的面积最大． 23．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．

(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角： ；所有与∠C 相等的角： ．

(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ． ① 求∠B 的度数；

②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由． 24．综合与探究：

如图1，抛物线24832

999

y x x =-

++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ，P 为对称轴右侧抛物线的一个动点，直线AD 与y 轴于点C ，过点P 作

//PF AD ，交x 轴于点F ．

（1）求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标；

（2）如图2，当//PC x 轴时，将AOC ?以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移，当点C 与点P 重合时停止平移．设平移t 秒时，在平移过程中AOC ?与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）如图3，过点P 作x 轴的平行线，交直线AD 于点E ，直线DF 与PE 交于点M ，设点P 的横坐标为m ．

①当3DM MF =时，求m 的值；

②试探究点P 在运动过程中，是否存在值m ，使四边形AFPE 是菱形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．在平面直角坐标系中，直线4

(0)3

y x b b =-

+>交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，10AB =．

（1）如图1，求b 的值；

（2）如图2，经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ，与

x 轴交于点R ，//CD OA ，交AB 于点D ，设线段CD 长为d ，求d 与n 的函数关系式；

（3）如图3，在（2）的条件下，点F 在第四象限，CF 交OA 于点E ，45AEF ∠=?,点

P 在第一象限，PH OA ⊥，点N 在x 轴上，点M 在PH 上，MN 交PE 于点G ，

PH EN =，过点E 作EQ CF ⊥，交PH 于点Q ， 3==EQ EF ，

∠=∠OBR HNM ，BC CR =，点G 的坐标为1927,55??

???

，连接FN ，求EFN 的面

积．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题 1．A

解析：（1）菱形；（2）①AF =ADAF ⊥AD ；②AD =，理由见解析；（3）4 【解析】 【分析】

（1）由折叠的性质可得AB=AD=BC=CD ，可得四边形ABCD 是菱形；

（2）①由菱形的性质可得AD ∥BC ，且AF ⊥BC ，可得AD ⊥AF ，由等腰三角形的性质和外角的性质可求∠OBE=∠OEB=45°，∠ABE=∠AFB ，可得AF=AB ；

②取AB 中点M ，由三角形中位线定理可得MO ∥AD ，AD=2MO ，AF ∥MG ，AF=2MG ，且

AF=AD ，AD ⊥AF ，可得MO=MG ，MG ⊥MO ，可得OM ，即可得OG 与AD 的数量关系；

（3）连接AG ，由等腰三角形的性质可得AG ⊥BF ，且∠BEO=45°，可得AG=GE ，由勾股定理可求解． 【详解】

解：（1）∵将△ABC 沿y 轴翻折 ∴AB=AD ，BC=CD 又∵AB=CB ∴AB=AD=BC=CD ∴四边形ABCD 是菱形 故答案为：菱形；

（2）①∵四边形ABCD 是菱形 ∴AD ∥BC ，且AF ⊥BC ∴AD ⊥AF ，

∴∠FAC+∠CAD=90°，且∠CAD+∠ADO=90°， ∴∠FAC=∠ADO ，

∴∠ABD=∠ADB，

∴∠ABD=∠FAC

∵OE=OB

∴∠OBE=∠OEB=45°

∴∠ABD+∠OBE=∠FAC+∠OEB

∴∠ABE=∠AFB

∴AF=AB

∴AF=AD，

故答案为：AF=AD，AD⊥AF；

②AD=2OG；

如图，取AB中点M，

∵点M是AB的中点，点G是BF的中点，点O是AC的中点，∴MO∥AD，AD=2MO，AF∥MG，AF=2MG，且AF=AD，AD⊥AF ∴MO=MG，MG⊥MO

∴GO=2OM

∵AD=2MO=2GO；

（3）∵四边形ABCD的周长为8，

∴AB=BC=CD=AD=2=AF

如图，连接AG，

∵AB=AF，点G是BF的中点，

∴AG⊥BF，且∠BEO=45°

∴∠GAE=∠BEO=45°

∵AG 2+GF 2=AF 2=4， ∴GE 2+GF 2=4， 故答案为：4； 【点睛】

本题是四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，折叠的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．

2．A

解析：（I ）30DAM ∠=?，(

)

3,3M ；（II ）

24

5

；（III ）DF 的最大值为47-． 【解析】 【分析】

（Ⅰ）由折叠的性质得：△ANM ≌△ADM ，由角平分线结合得：

∠BAM=∠MAN=∠NAB=30°，由特殊角的三角函数可求DM 的长，写出M 的坐标； （Ⅱ）如图2，作辅助线，构建直角三角形，设NQ=x ，则AQ=MQ=1+x ，在Rt △ANQ 中，由勾股定理列等式可得关于x 的方程：（x+1）2=32+x 2，求出x ，得出AB 是AQ 的4

5

，即可得出△NAQ 和△NAB 的关系，得出结论；

（III ）如图3，过A 作AH ⊥BF 于H ，证明△ABH ∽△BFC ，得

BH CF

AH BC

＝，Rt △AHN 中，AH ≤AN=3，AB=4，可知：当点N 、H 重合（即AH=AN ）时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M 、F 重合，B 、N 、M 三点共线，如图4所示，求此时DF 的长即可． 【详解】 （I ）如图

()0,0A ，()4,0B ，()0,3D ， 3AD ∴=，4AB =， 由折叠得：ANM ADM ≌△△， MAN DAM ∴∠=∠， AN 平分MAB ∠， MAN NAB ∴∠=∠，

BAM MAN NAB ∴∠=∠=∠， 四边形ABCD 是矩形，

90DAB ∴∠=?， 30DAM ∴∠=?，

3

tan 3tan 30333

DM AD DAM ∴=?∠=??=?

=， 30DAM ∴∠=?，(

)

3,3M

；

（II ）延长MN 交AB 的延长线于点Q ，

四边形ABCD 是矩形，

AB CD ∴∥，

DMA MAQ ∴∠=∠，

由折叠得：ANM ADM ≌△△，

DMA AMQ ∴∠=∠，3AN AD ==，1MN MD ==， MAQ AMQ ∴∠=∠， MQ AQ ∴=，

设NQ x =，则1AQ MQ x ==+，

90ANM ∠=?， 90ANQ ∴∠=?，

在Rt ANQ △中，由勾股定理得：2

2

2

AQ AN NQ =+，

()2

2213x x ∴+=+，

解得：4x =，

4NQ ∴=，5AQ =，

4AB =，5AQ =，

441412434552525

NAB NAQ S S AN NQ ∴=

=??=???=△△； （III ）如图3，过A 作AH BF ⊥于H ，

四边形ABCD 是矩形，

AB CD ∴∥，

90AHB BCF ∴∠=∠=?， ABH BFC ∴∽△△， BH

CF AH BC

∴=， Rt AHN 中，3AH AN =≤，4AB =，

∴当点N 、H 重合（即AH AN =）时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M 、F 重合，B 、N 、M 三点共线，如图4所示，

由折叠得：AD AH =，

AD BC =， AH BC ∴=，

在ABH 和BFC △中， HBA BFC ANB BCF AH BC ∠=∠??

∠=∠??=?

， ABH BFC AAS ∴≌（）△△， CF BH ∴=，

由勾股定理得：2222437BH AB AH =-=-=

7CF ∴=，

DF ∴的最大值为47DC CF -=

【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了三角形全等和相似的性质和判定、折叠的性质、勾股定理、图形与坐标特点、特殊的三角函数值，熟练掌握折叠的性质是关键，注意图形与坐标

特点，第II 问构建直角三角形，利用勾股定理列方程是关键．

3．D

解析：（1）证明见解析；（2）29

或5；（3）DG =2MG ，理由见解析． 【解析】 【分析】

(1)连接MG 并延长交AB 于N 点，证明△ANM ≌△FGM 后得到MG=MN ，AN=CG ，进而得到BN=BG ，得到△ANG 为等腰直角三角形，即可证明MG=MB. (2)分两种情况画出图形再利用(1)中的思路结合勾股定理即可求解.

(3)先画出图形，然后证明△ADG ≌△ABG ，得到DG=BG ，又△BMG 为等腰直角三角形，故而得到DG=BG=2MG. 【详解】

解：(1) 连接MG 并延长交AB 于N 点，如下图所示：

∵GF ∥AN ， ∴∠NAM=∠GFM 在△ANM 和△FGM 中

∠∠=??

=??∠=∠?

BAM GFM AM FM

NMA GMF ，∴△ANM ≌△FGM(ASA) ∴MG=MN ，CG=GF=AN ∴AB-AN=BC-CG ∴NB=GB

∴△NBG 为等腰直角三角形 又M 是NG 的中点

∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知： 故有：MG=MB. (2)分类讨论：

情况一：当B 、G 、F 三点在正方形ABCD 外同一直线上时

延长MG 到N 点，并使得MG=MN ，连接AN ，BN

∴∠∠=??

=??=?

MN MG AMN GMF AM FM ，∴△AMN ≌△FMG(SAS) ∴AN=GF=GC ，∠NAM=∠GFM ∴AN ∥GF

∴∠NAB+∠ABG=180° 又∠ABC=90° ∴∠NAB+∠CBG=90°

又在△BCG 中，∠BCG+∠CBG=90° ∴∠NAB=∠BCG

∴在△ABN 中和△CBG 中：∠∠=??

=??=?

AB BC NAB GCB AN CG ，∴△ABN ≌△CBG(SAS)

∴BN=BG ，∠ABN=∠CBG ∴∠ABC=∠NBG=90°

∴△NBG 是等腰直角三角形，且∠BGN=45° 在Rt △BCG 中，2222=534--=BG BC CG 过M 点作MH ⊥BG 于H 点，∴△MHB 为等腰直角三角形 ∴MH=BH=HG=

1

2

BG=2 在Rt △MFH 中，2222MF=2529+=+=MH HF 情况二：当B 、G 、F 三点在正方形ABCD 内同一直线上时 如下图所示，延长MG 到MN ，并使得MG=MN ，连接NA 、NB ，

同情况一中证明思路，

∠∠=??

=??=?

MN MG AMN GMF AM FM ，△AMN ≌△FMG(SAS) ∴AN=GF=GC ，∠NAM=∠GFM ∴AN ∥GF ∴∠NAB=∠ABG 又∠ABG+∠GBC=90° ∠GBC+∠BIF=90° ∴∠BIF=∠ABG

又∠BIF=∠BCG ，∠ABC=∠NAB ∴∠NAB=∠GCB

∴在△ABN 中和△CBG 中：∠∠=??

=??=?

AB BC NAB GCB AN CG ，∴△ABN ≌△CBG(SAS)

∴BN=BG ，∠ABN=∠CBG ∴∠ABC=∠NBG=90°

∴△NBG 是等腰直角三角形，且∠BGN=45° 在△BCG 中，2222=534-=-=BG BC CG 过M 点作MH ⊥BG 于H 点，∴△MHB 为等腰直角三角形 ∴MH=BH=HG=

1

2

BG=2 ∴HF=HG-GF=2-1=1

在Rt △MFH 中，2222MF=215+=+=MH HF 29 5. (3)由题意作出图形如下所示：

DG 、MG 的数量关系为：2，理由如下： ∵G 点在AC 上 ∴∠DAG=∠BAG=45° 在△ADG 和△ABG 中：

∠∠=??

=??=?

AD AB DAG BAG AG AG ，∴△ADG ≌△BAG(SAS) ∴DG=BG

又由(2)中的证明过程可知：△MBG 为等腰直角三角形 ∴2MG ∴2MG 故答案为：2MG. 【点睛】

本题考查了正方形的旋转、三角形的全等、勾股定理等知识，难度很大，关键是要能正确做出图形，利用数形结合的思想，熟练的使用正方形的性质是解题的关键.

4．A

解析：（1）A （0，4），C （3，0）；（2）S=()()5

10042

51042

t t t t ?-+<??；（3）存在，满足条

件的t 的值为3617

或36，点Q 的坐标为162,17??

- ???或()2,16--．

【解析】 【分析】

（1）解方程组求出m ，n 即可解决问题．

（2）分两种情形：如图1中，当0＜t ＜4时，如图2中，当t ＞4时，根据S=1

2

?BC?OP 求解即可．

（3）分两种情形分别构建方程求解即可．