第六章 多元函数微积分课外习题

第六章 多元函数微积分§6.1 空间解析几何简介一、填空题1. )12,4,3(-M 点到坐标轴的距离为_________；2. 以点)3,2,1(--为球心过)0,2,1(--点的球面方程为_________；3. 将xoy 坐标面上的圆2)1(22=-+y x 绕oy 轴旋转一周所生成的球面方程是___________，且球心坐标是_____________，半径为___________；4. 方程2220223x y z +-=表示旋转曲面.，它的旋转轴是_________； 5.方程z y =2在平面解析几何中表示__________，在空间解析几何中表示___________； 6. 点)3,2,1(--到平面042=-+z y x 的距离为_________；7. 过三点)2,0,1(1-M ，)0,0,1(2M ，)0,1,1(3M 的平面方程为_________；8. 在空间直角坐标系中方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0214922x z x 表示_________； 9. 曲面z y x =-22在xoz 坐标面上的截痕是_________；10. 双曲抛物面z y x 2322=-与xoy 坐标面的交线是_________； 11. 由曲面22y x z +=与222y x R z --=所围成的有界区域用不等式组可表示为_________；12. 用平面h x =去截双叶双曲面1222222-=+-cz b y a x ，所得截痕是__________；若用平面)(22b k k y >=截上述曲面所得截痕是_________ . 二、分别画出下列方程在平面和空间上的图形 （1）x y =2（2）3=y（3）1422=+y x三、画出下列各图（1）yoz 坐标面上y z =2绕oy 轴旋转而成的曲面；（2）19422=+-y x ；（1） 由1,122=+=+y x z x 和0=z 所围立体的表面.四、作出下列不等式所确定的空间区域（1）;0),(4,12222≥+-≤≤+z y x z y x (2);2,2422≤≤+z z y x(3);0,0,0,1632222≥≥≥≤++z y x z y x (4)2,44222≤≥+--z z y x .五、指出下列方程所表示的曲线(1) ⎩⎨⎧==++13694222y z y x ；(2) ⎩⎨⎧==+-+48422y x z y .六、画出下列曲线在第一卦限的图形：(1)0z x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ .222222(2) x y ax z a⎧+=⎪⎨+=⎪⎩§6.2 多元函数基本概念一、填空题1.已知z =，则它的定义域是_________；2. 若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f ； 3. 若=++=+),( ,22),(22y x f y xy x xy y x f 则._________；4. 若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==；5. 函数xy xy z 2222-+=的间断点是______________；6. 若=-=+),( ,),(22y x f y x xy y x f 则_________；7. 已知)ln()(),(222y x e y x y x y x f x-+=+-，则=),(y x f _________；8. 函数)arcsin()ln(22y x x y z +++=的定义域是_________； 9. =→→xy xy y x sin lim 00_________； 10. =++∞→+∞→y x y x xy )11(lim _________.二、叙述极限()00lim ,x x y y f x y A →→=的定义.三、求下列极限（包括非正常极限）（1）2200lim x y x y x y →→++; (2) ()332200sin lim x y x y x y →→++;（3）220x y →→; (4) ()22001lim sinx y x y x y →→++;（5）()222200lim ln x y x y x y →→+; (6) 00lim cos sin x yx y e e x y →→+-;（7）3224200lim x y x yx y →→+; (8)1ln y x y x e →→+;（9）()02sin lim x y xy x →→; (10) 44001lim x y xy x y →→++;（11）()()22lim x y x y x ye -+→+∞→+∞+; (12) 222lim x x y xy x y →+∞→+∞⎛⎫⎪+⎝⎭;（13）121lim 2x y x y →→-； （14）1ln yx y x e →→+；四、叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理. 五、证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x .六、证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在.七、讨论下列函数在()0,0点处的连续性（1）()()sin , 0,,0, 0;xy y f x y yy ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；（2）()2222sin 0,,0, 0;xy x y f x y x y ⎧+≠=+=⎩；（3）()()2222222ln , 0,,0, 0;y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨+=⎪⎩；（4）()()222222, 0,, (0)0, 0,px x y x y f x y p x y ⎧+≠⎪+=>⎨⎪+=⎩八、若(),f x y 在某区域G 内对变量x 连续，对变量y 满足利普希茨条件，即对任意(),'x y G ∈和(),''x y G ∈，有()(),','''''f x y f x y L y y -≤-，其中L 为常数，求证(),f x y 在G 内连续.九、证明：若(),f x y 分别对每一变量x 和y 是连续的，并且对其中的一个是单调的，则(),f x y 是二元连续函数.§6.3 偏导数一、填空题 1. 设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ； 2. 设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ； 3. 设zyxu =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ； 4. 设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zy z x z ；5. 设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ； 6. 函数()cos()z x y xy =+在(0,1)点处的一阶偏导数是_________； 7. arctanxz y=，则它的所有二阶偏导数是_________； 8. yzu x y =+，则此三元函数的所有一阶偏导数是 _________；9．设),(y x f 在点),(b a 处存在偏导数，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x .二、设2222221sin , 0,(,)0, 0.y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩考察函数在(0,0)点的偏导数.三、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000)(222222y x y x yx xy y x f ， , 求)0,0()0,0(y x f f ''.四、 判断函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++= 0 ,00 ,)(222222y x y x y x xy y x f ，, 在(0，0)处是否连续五、证明: 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),( ,0)0,0(),(,3),(22y x y x y x xyy x f 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续.六、证明函数u =在(0,0)点连续但偏导数不存在.七、yxx y e y x f z xy arctan)1-(sin ),(+==π, 求)1,1()1,1(y x f f ''.八、求下列函数的所有二阶偏导数(1) u = (2) y u xy x=+；(3) sin()cos()u x x y y x y =+++； (3) xyu e =.九、求下列函数指定阶的偏导数：(1) 33sin sin u x y y x =+,求633ux y∂∂∂；(2) arctan 1x yu xy+=-，求所有三阶偏导数；(3) 22sin()u x y =+,求33u x ∂∂，33uy∂∂；(4) x y zu xyze ++=,求p q r p q r ux y z++∂∂∂∂；(5) x y u x y +=- ()x y ≠，求m n m n ux y+∂∂∂；(6) ln()u ax by =+,求m n m n ux y+∂∂∂.十、验证下列函数满足22220u ux y ∂∂+=∂∂. (1) 22ln()u x y =+；(2) 22u x y =-；(3) cos x u e y =；(4) arctan y u x=.十一、设函数(())u x y ϕψ=+，证明 222u u u ux x y y x ∂∂∂∂=∂∂∂∂∂.十二、. )11(yx e z +-=，试化简yz y x z x∂∂+∂∂22.§6.4 全微分一、填空题1. 一元函数的可导与可微是_________的.但对多元函数而言，函数连续以及偏导数存在只是全微分存在的_________条件，而非_________条件；2. 多元函数可微的充分条件是_________；3. yzxu xe e y -=++，则它的全微分是_________；4. u =(1,0)和(0,1)处的全微分是_________；5. (u x y =+-0，1）处的全微分是 _________. 二、.求下列函数的全微分（1）t s t s u -+= ； （2）设z yxz y x f 1)(),,(=，求)1,1,1(df ；（3）)1ln(22y x z ++=，求当2.0,1.0,2,1=∆=∆==y x y x 的全增量z ∆和全微分dz .三、考察函数(,)f x y 在(0,0)点的可微性，其中2222221sin , 0,(,)0, 0.xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩四、证明函数2222222, 0,(,) 0, 0.x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微.五、证明函数222222221()sin , 0,(,) 0, 0.x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而f 在原点(0,0)可微.六、设 22()2222221, 0,(,) 0, 0,x x y e x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩证明(,)f x y 在(0,0)点可微，并求(0,0)df ．七、设,x y 很小，利用全微分推出下列各式的近似公式：(1) (1)(1);mnx y ++(2) arctan 1x yxy++.八、.计算33)97.1()02.1(+的近似值.九、设,x y f f 在点00(,)x y 的某邻域内存在且在点00(,)x y 可微，则有 0000(,)(,)xy yx f x y f x y =.§6.5 复合函数微分法一、填空题1. 设v u z ln 2=而y x v y x u 23,-==，则____________________,=∂∂=∂∂yz x z ； 2. 设)sin(y x ar z -=而t x 3=，则_________=dtdz； 3. 设1)(2+-=a z y e u ax ,而xz x a y cos ,sin ==，则________=dxdu； 4. 设)arctan(xy z =,而xe y =，则________=dxdz； 5. 设),(22xye y xf u -=，则___________________,=∂∂=∂∂yux u ； 6. ),,(xyz xy x f u =，则________=∂∂xu. 二、求下列函数的所有二阶偏导数（f 具有二阶连续偏导数）(1) (,)u f ax by =； (2) (,)u f x y x y =+-；(3) 22(,)u f xy x y =； (4) (,)x y u f y z=；(5) 222()u f x y z =++； (6) (,,)x u f x y xy y=+.三、设22()y z f x y =-，其中f 是可微函数，验证211z z zx x y y y∂∂+=∂∂.四、设f e y x f z yx ),,cos ,(sin +=具有二阶连续偏导数，求22xz∂∂.五、设1()rv g t r c=-，c 为常数，函数g 二阶可导，r =.证明：2222222221v v v v x y z c t∂∂∂∂++=∂∂∂∂.六、验证下列各式：(1) 22()u x y ϕ=+, 则0u u y x x y∂∂-=∂∂；(2) 22()u y x y ϕ=-, 则u u xu y x x y y∂∂+=∂∂；(3) ()()u x x y y x y ϕψ=+++, 则2222220u u ux x y y∂∂∂-+=∂∂∂∂；(4) ()()y y u x x xϕψ=+, 则222222220u u u x xy y x x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂.七、设f 与g 有二阶连续导数，且)()(at x g at x f z -++=，证明：22222z z a t x∂∂=∂∂.§6.6 隐函数微分法一、填空题1．设arctan y x=，则________=dx dy ； 2．设022=-++xyz z y x ，则______________,=∂∂=∂∂y z x z ； 3．设y z z x ln =，则___________________,=∂∂=∂∂yz x z ； 4．设z x y z =，则_________________,=∂∂=∂∂yz x z ； 5．.设xyz e z=，求y x z ∂∂∂2=_________. 二、.设333a xyz z =-，求y x z ∂∂∂2.三、.设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，求y z x z ∂∂+∂∂.四、求下列方程所确定的函数(,)z f x y =的一阶和二阶偏导数：(1) 20xy x ez e --+=； (2) x y z x y z e ++++=；(3) xyz x y z =++； (4) 22222450x y z x y z ++-+--=.五、求由下列方程所确定的函数的全微分dz ；(1) (,)z f xz z y =-； (2) (,,)0F x y y z z x ---=；(3) 222(,)0f x y z x y z ++++=； (4) (,)(,)0f x y g y z +=.六、设22z x y =+，其中()y f x =为由方程221x xy y -+=所确定的隐函数，求dz dx 和22d z dx .七、设222u x y z =++，其中(,)z f x y =为由方程3333x y z xyz ++=所确定的隐函数，求u x ∂∂，22u x ∂∂.八、设由方程0),(=++xz y y z x F 确定),(y x z z =，F 具有一阶连续偏导数， 证明：xy z yz y x z x -=∂∂+∂∂.九、设),(),,(),,(y x z x z y y z y x x ===，都是由方程0),,(=z y x F 所确定的有连续偏导数的函数，证明：1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z y y x .§6.7 多元函数的极值一、填空题1．gy x xy y x z +-+-=4222z 驻点为_____________；2．22)(4),(y x y x y x f ---=的极____ _值为_______________；3．)2(),(22y y x e y x f x ++=的极______值为_________________；4．xy z =在约束条件1=+y x 下的极大值为____________________；5．22),(y x x y x f u --==在{}1,22≤+=y x y x D 上的最大值为_____________，最小值为______________.二、下列函数的极大值点和极小值点：(1) 2(,)(1);f x y x y =-+ (2) 33(,)3(0);f x y axy x y a =-->三、求下列函数在指定范围D 内的最大值和最小值：(1) 2222(,),{(,)|4};f x y x y D x y x y =-=+≤(2) 22(,),{(,)|||||1};f x y x xy y D x y x y =-+=+≤四、求证：11(,)f x y xy x y=++在0,x y <<+∞有最小值，无最大值.五、求下列隐函数的极大值和极小值：(1) 222()()()3x y y z z x +++++=；(2) 22290.z xyz x xy +---=六、有一块铁片，宽b =24cm ，要把它的两边折起做成一个槽，使得容积最大，求每边的倾角α和折起的宽度x (见下图).七、求下列函数在所给条件下的极值：(1) f x y =+，若221x y +=； (2) 22f x y =+，若10x y +-=；(3) 22f x y z =-+，若2221x y z ++=； (4) 11f x y =+，若2x y +=；(5) f xyz =，若2221x y z ++=，0x y z ++=.八、求函数1()2n n z x y =+在条件(0,1)x y l l n +=>≥之下的极值，并证明：当0,a ≥0,1b n ≥≥时22nn n a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.九、求体积一定而表面积最小的长方体.十、长为a 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆. 这两段的长各为多少时，它 们所围正方形面积和圆面积之和最小?十一、求0,0,0x y z >>>时函数(,,)ln 2ln 3ln f x y z x y z =++在球面222x y z ++26r =上的极大值. 证明,,a b c 为正实数时，6231086a b c ab c ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.十二、某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x （万尾），乙种鱼放养y （万尾），收获时两种鱼的收获量分别为)0(,)24(,)3(>>----βααββαy y x x y x ，求使产鱼总量最大的放养数.§6.8 多重积分的概念与性质一、填空题1．当函数),(y x f 在闭区域D 上_________时，则其在D 上的二重积分必定存在；2．二重积分⎰⎰Dd y x f δ),(的几何意义是_____________________________________；3．若),(y x f 在有界闭区域D 上可积，且21D D D ⊃⊃，当0),(≥y x f 时，则⎰⎰⎰⎰21),(_____________),(D D d y x f d y x f δδ；当0),(≤y x f 时，则⎰⎰⎰⎰21),(_____________),(D D d y x f d y x f δδ；4．δδ______________)sin(22⎰⎰+Dd y x ，其中δ是圆域2224≤+y x 的面积，πδ16=（注：填比较大小符号）.二、用二重积分定义计算,Dxydxdy ⎰⎰ :01,0 1.D x y ≤≤≤≤三、比较下列积分的大小：(1) ⎰⎰+=D d y x I δ21)(与⎰⎰+=Dd y x I δ32)(其中积分区域D 是由x 轴，y 轴与直线1=+y x 所围成.(2) 1ln()D I x y d δ=+⎰⎰与22ln()DI x y d δ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰，其中{}10,53),(≤≤≤≤=y x y x D .四、确定下列积分的符号:（1)221ln()x y x y dxdy +<+⎰⎰ （2）2214x y ≤+≤⎰⎰（3)0111arcsin()x x y x x y dxdy ≤≤-≤≤-+⎰⎰.五、估计下列积分的值（1）(1)D I xy x y d δ=++⎰⎰，其中{}20,10),(≤≤≤≤=y x y x D ;（2）22(49)D I x y d δ=++⎰⎰，其中{}4),(22≤+=y x y x D .六、利用中值定理估计积分 2210100cos cos x y dxdy I x y +≤=++⎰⎰之值.七、求二重积分221x y δ+≤⎰⎰.八、若(,)f x y 在D 上可积，那么(,)f x y 在D 上是否可积？考察函数1, (,)1, x y f x y x y ⎧=⎨-⎩若，是有理数,若，至少有一个是无理数,在[0,1]×[0,1]上的积分．§6.9 二重积分的计算法一、填空题1．323(3)______________D xx y y d δ++=⎰⎰ 其中10,10 ≤≤≤≤y x D ：； 2．cos()___________Dx x y d δ+=⎰⎰其中D ：顶点分别为),(),0,(),0,0(πππ（的三角形闭区域；3．将二重积分(,)Df x y d δ⎰⎰，其中D 是由x 轴及上半圆周)0(222≥=+y r y x所围成的闭区域，化为先y 后x 的积分，应为__________________________________； 4．将二重积分(,)Df x y d δ⎰⎰，其中D 是由直线2,==x x y 及双曲线)0(1>=x xy 所围成的闭区域，化为先x 后y 的积分，应为_____________________________； 5．将二次积分dy y x f dx x x x ⎰⎰--222 21 ),( 改换积分次序，应为______________________；6．将二次积分dy y x f dx x⎰⎰sin 2x sin- 0),( π改换积分次序，应为______________________；7．将二次积分22121 2-lny1(1) (,)(,)ey dy f x y dx f x y dx --+⎰⎰⎰⎰改换积分次序，应为_________________； 8．将二次积分dx y x f dy dx y x f dy yy⎰⎰⎰⎰-+3 13 0201),(),( ，改换积分次序，应为________________.9．将下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分①⎰⎰≤+=+xy x dxdy xyy x f 22222_________________)arctan ,(；②{}⎰⎰=>≤+≤=+Dy x dxdy ex y y x y x D ____________,,41),(2222.10．化下列二次积分为极坐标系下的二次积分① 222 0 0()____________,(0)adx f x y dy a +=⎰f ;②11 0________________;dx f dy =⎰⎰③ 2(arctan )________________;xydx f dy x=⎰⎰④21(,)________________.x dx f x y dy =⎰⎰二、设f 在区域D 上连续,将二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为不同顺序的累次积分:(1) D 由不等式222(0)x y a x y a a +≤+≥>与所确定的区域;(2) D 以(0,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形内部.三、在下列积分中改变积分的次序: (1)220(,)xxdx f x y dy ⎰⎰； (2)222614(,)x x dx f x y dy ---⎰⎰；(3)2111(,)x dx f x y dy --⎰⎰(4)1320(,)y dy f x y dx -⎰四、计算下列二重积分： (1) ⎰⎰+Ddxdy y x 221,其中D 是由曲线2x y =与直线x y =所围成的闭区域;(2) Dδ,其中D 是由圆周Rx y x =+22所围成的闭区域;(3) 222Dx y d δ+-⎰⎰,其中(2) 3:22≤+y x D ;(4) D，其中222:.D x y a +≤（5）y x yDedxdy +⎰⎰，其中:0,0, 1.D x y x y ≥≥+≤五、对连续函数(,)f x y 证明:(,)(,)b xb baaaydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰,()a b <..六、计算下列二重积分： 1）2Dxy dxdy ⎰⎰其中D 由抛物线22(0)2py px x p ==>与直线所围成;2）22(){(,)0Dx y dxdy D x y x y +=≤≤≤⎰⎰其中 3）⎰⎰-Ddxdy x y 2,其中}20,11{≤≤≤≤-=y x D .七、交换积分次序，证明：⎰⎰⎰--=ax a m adx x f e x a dx x f 0)(0y 0x)-m(a )()()(e dy .八、求由曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体的体积.九、计算二重积分2()Dy x d δ-⎰⎰，其中D 由不等式0,,222≥≤++≤y R y x x R y 确定 （注意选用适当的坐标）.十、利用二重积分，计算下列曲面所围成的立体体积. （1）0,0,0,6,====+=z y x z y x z ;（2）1222222=++cz b y a x .第六章 复习题一、填空题1．22(,),(,)_______f x y x y x y y f x y +-=+=； 2．函数ln()z x y =-的定义域为__________；3．设cot(),,______________xdzz arc xy y e dx===； 4．设(1)xyz x =+，则_________zx∂=∂，___________z y ∂=∂；5．设arctan2cot y xz arc x y=- ，(1,1)|_________dz =； 6．设1()(),,z f xy y x y f xϕϕ=++具有一阶连续导数， 则_______,__________z zy y∂∂==∂∂； 7．设(,)z z x y =由方程2yz x z ++所确定，则_________dz =； 8．设(,)z f x y =由方程arctan 0xye z xyz -+=确定，则zx∂∂________=. 二、选择题 1．函数1ln()2z y x x=+的定义域是（ ）；A 、0x y +>B 、0x y +>C 、1x y +≠D 、1x y +≠2．若函数(,)f x y 在点(,)p x y 处（ ），则(,)f x y 在该点处可微； A 、连续 B 、偏导数存在C 、连续且偏导数D 、某邻域内存在连续的偏导数 3．设(,)z f x y =()g x ，其中,f g 均为可微函数，则zx∂=∂（ ）； A 、'fg B 、x f gC 、'x f gD 、'x f g fg +4．设lnz x y =，则zx∂=∂（ ）A 、1B 、x eC 、xye D 、y 5．对于函数22(,)f x y x y =-，点(0,0)（ ）；A 、不是驻点B 、是驻点而非极值点C 、是极大值点D 、是极小值点 6．对函数(,)f x y xy =，点(0,0)（ ）；A 、不是驻点B 、是驻点却非极值点C 、是极大值点D 、是极小值点 7．二元函数225z x y =--的极大值点是（ ）；A 、(1,0)B 、(0,1)C 、(0,0)D 、 (1,1) 8．333()u x y x y =+--的极值点是（ ）.A 、(1,1)--B 、(1,2)-C 、(1,2)-D 、(1,2)9．函数 2222224,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在原点间断，是因为该函数（ ）；A 、在原点无定义B 、在原点二重极限不存在C 、在原点有二重极限，但无定义D 、在原点二重极限存在，但不等于函数值10．设 2223z x xy y =+-，则2zx y∂=∂∂（ ）.A 、6B 、3C 、-2D 、2三、计算下列各题 1．设32x yz e +=，3sin ,x t y t ==，求dz dt；2．.设(1)arcsin()yz x xy =-+，求,z z x y∂∂∂∂；3． (,)yz xf xy e =，求dz ；4．.设方程 22230x y z xyz ++-=确定了隐函数(,)z z x y =，求z x∂∂.四、证明下列各题：（1）若)(by ax f z +=, 则 yz a xz b∂∂⋅=∂∂;（2）若)ln(n n y x z +=, 且2≥n , 则ny z y x z x 1=∂∂+∂∂;（3）若22ln y x z += , 则02222=∂∂+∂∂yzx z ;（4）若)tan tan ln(tan z y x u ++=, 则22sin ∂ ∂2sin ∂ ∂2sin ∂ ∂=++z zu y y u x x u .五、求下列复合函数的指定的偏导数：（1）zy x uz y x f u ∂∂∂∂++=3222),(；（3）2222,),,(yzx z x y x f z ∂∂∂∂=.六、（1）求函数22(,)2ln 2ln f x y x y x y =+--的极值.（2）求函数在给定条件下的条件极值：632,),,(222=++=z y x xyz z y x f .七、计算下列积分 （1）⎰⎰xxdy yydx sin 10；（2）⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛D D dxdy x y ,2是由0,,12==-=y x y x y 所围成且x >0；（3）0,0,1: ,)1ln(2222≥≥≤+++⎰⎰y x y x D dxdy y x D.八、利用二重积分计算下列曲线所围成的区域的面积（1）3,3=+=+y x y x ； （2）5sin ,cos ,44y x y x x ππ==≤≤.九、利用二重积分，计算下列曲面所围成的立体体积.（1）0,0,0,132====++z y x z y x ;（2）22212,0,,x y z z y x x y -+====.。