水力学2.2欧拉平衡微分方程
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水力学第二章(1)
实际工程中，p0=pa
p=γh
25
若pabs<pa，p=pabs-pa<0，称存在负压 • 真空压强：负压的绝对值，pv
p v =| p abs − p a |= p a − p abs
hv = pv = p a − p abs (m水柱）
（2.3.5） （2.3.6）
•真空度：真空压强用水柱高度表示，hv
p0（气体）
pA pB (zA + ) − (zB + )=h ρg ρg
40
若所测压强很小，可以倾斜安置压差计.
41
若所测两点压强差很小，也可以采用较 轻液体（煤油、空气等），但此时要将U 形管倒置.
M
Δ ZB ZA
M B 水
ΔZ
水
42
二. 金属压力表（压力表、真空 二. 金属压力表（压力表、真空 表） 表）
液体的平衡微分方程实质上表明了单位质量力和 液体的平衡微分方程实质上表明了单位质量力和 单位表面力之间的平衡。 单位表面力之间的平衡。 • 液体的平衡微分方程对于不可压缩液体和可压缩 液体均适用。
8
二. 液体平衡微分方程的积分 二. 液体平衡微分方程的积分
⎫ 1 ∂p = 0⎪ ρ ∂x ⎪ ⎪ 1 ∂p =0⎬ Y− ρ ∂y ⎪ ⎪ 1 ∂p = 0⎪ Z− ρ ∂z ⎭ X−
26cm
Z
水
水银
19cm
47
解：
26cm
（1）忽略气体密度， 2、3点液面压强相 等。 p1 = p2 + γ m h3
Z
水
水银
19cm
p2 = p1 − γ m h3 = −3.998( KN / m 2 )（源自 ）pAγ=
水力学2-2
∂ X ∂ y ∂ Y ∂ z ∂ Z ∂ x ∂ Y = ∂ x ∂ Z = ∂ y ∂ X = ∂ z
14
由理论力学可知：存在一个与坐标有关的力势函数， 由理论力学可知：存在一个与坐标有关的力势函数， 使对坐标的偏导数等于单位质量力在坐标投影， 使对坐标的偏导数等于单位质量力在坐标投影，即
∂X ∂y ∂Y ∂z ∂Z ∂x ∂Y ∂x ∂Z = ⇒ ∂y ∂X = ∂z =
dp＝ρ dU
19
dp＝ρ dU
积分上式， 积分上式，则
p＝ρU + C
或者
p = p0 + ρ (U −U0 )
式中， 式中， p0 ,U 0 为自由液面上的压强和力势函数
20
Байду номын сангаас
除上式，并化简，得到液体平衡微分方程形式1 以 ρdx d ydz 除上式，并化简，得到液体平衡微分方程形式
∂p = ρX ∂x ∂p = ρY ∂y ∂p = ρZ ∂z
11
• 液体平衡微分方程形式 1
∂p = ρX ∂x ∂p = ρY ∂y ∂p = ρZ ∂z
∂U ∂U ∂U dU( x, y, z ) = dx + dy + dz = Xdx +Ydy + Zdz ∂x ∂x ∂x
表明: 表明
作用在液体上的质量力必须是有势力， 作用在液体上的质量力必须是有势力， 液体才能保持平衡
18
比较两式
∂U ∂U ∂U dp＝ dx + dy + dz = ρ( Xdx +Ydy + Zdz） ρdU = ∂x ∂y ∂z
∂U X = ∂x ∂U Y = ⇒ ∂y ∂U Z = ∂z
14
由理论力学可知：存在一个与坐标有关的力势函数， 由理论力学可知：存在一个与坐标有关的力势函数， 使对坐标的偏导数等于单位质量力在坐标投影， 使对坐标的偏导数等于单位质量力在坐标投影，即
∂X ∂y ∂Y ∂z ∂Z ∂x ∂Y ∂x ∂Z = ⇒ ∂y ∂X = ∂z =
dp＝ρ dU
19
dp＝ρ dU
积分上式， 积分上式，则
p＝ρU + C
或者
p = p0 + ρ (U −U0 )
式中， 式中， p0 ,U 0 为自由液面上的压强和力势函数
20
Байду номын сангаас
除上式，并化简，得到液体平衡微分方程形式1 以 ρdx d ydz 除上式，并化简，得到液体平衡微分方程形式
∂p = ρX ∂x ∂p = ρY ∂y ∂p = ρZ ∂z
11
• 液体平衡微分方程形式 1
∂p = ρX ∂x ∂p = ρY ∂y ∂p = ρZ ∂z
∂U ∂U ∂U dU( x, y, z ) = dx + dy + dz = Xdx +Ydy + Zdz ∂x ∂x ∂x
表明: 表明
作用在液体上的质量力必须是有势力， 作用在液体上的质量力必须是有势力， 液体才能保持平衡
18
比较两式
∂U ∂U ∂U dp＝ dx + dy + dz = ρ( Xdx +Ydy + Zdz） ρdU = ∂x ∂y ∂z
∂U X = ∂x ∂U Y = ⇒ ∂y ∂U Z = ∂z
河海大学水力学考研讲义（重要知识点总结）
河海大学水力学考研讲义（重要知识点总结）第1章概论内容提要本章主要介绍水力学的定义及研究内容。
同时介绍了连续介质模型、波体的特征及主要物理力学性质和作用在波体上的力。
1.1 液体的连续介质模型液体是由无数没有微观运动的质点组成的没有空隙存在的连续体,并且认为表征液体运动的各物理量在空间和时间上都是连续分布的。
在连续介质模型中,质点是最小单元,具有“宏观小”、“微观大”的特性。
1.2 液体的主要物理性质液体的主要物理性质有质量和重量、易流性、黏滞性、压缩性、表面张力等。
液体单位体积内所具有的质量称为液体的密度,用ρ表示。
一般情况下,可将密度视为常数，水银的密度p=13600 kg/m3。
2.黏滞性易流性: 液体受到切力后发生连续变形的性质。
黏滞性：液体在流动状态之下抵抗剪切变形的性质。
切力、黏性、变形率之间的关系可由牛顿内摩擦定律给出3．压缩性液体受压后体积减小的性质称为液体的压缩性。
用体积压缩系数来衡量压缩性大小，K值越大，液体越难压缩。
4．表面张力表面张力是液体自由表面在分子作用半径一薄层内，由于分子引力大于斥力而在表层沿表面方向产生的拉力。
通常用表面张力系数来度量，其单位为N/m。
1.3 作用于液体的力(1)无论是处于静止或运动状态都受到各种力的作用，这些力可以分为两类。
表面力：作用在液体的表面或截面上且与作用面的面积成正比的力，如压力P、切力F。
表面力又称为面积力。
质量力：作用在脱离体内每个液体质点上的力，其大小与液体的质量成正比。
如重力、惯性力。
对于均质液体，质量力与体积成正比，故又称为体积力。
第2章水静力学内容提要水静力学研究液体平衡（包括静止和相对平衡）规律及其在工程实际中的应用。
其主要任务是根据液体的平衡规律，计算静水中的点压强，确定受压面上静水压强的分布规律和求解作用于平面和曲面上的静水总压力等。
2.1 静水压强及其特性在静止液体中，作用在单位面积上的静水压力定义为静水压强，用字母p表示。
水力学 第二章 流体静力学
解： 在作用下小活塞上产生流体静压
强为
p
1
P1
按帕斯卡定律， p1 将不变地传递到ω 2 上，所以
2 P2 p 2 P1 1
§2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程 13
§2一3 流体静力学基本方程
2-3-1 重力作用下的流体平衡方程
静止重力流体：所受的质量力只有重力的静止流体。
单位质量流体上的质量力在各坐标轴方向的分量 。
f x 0, f y 0, f z g
代入
dp ( f x dx f y dy f z dz )
得：
dp gdz
对于不可压缩均质流体，ρ=常数，积分得 ： p z C p gz C1 g
§2一3 流体静力学基本方程
FP x 0, FP y 0, FP z 0,
现以x轴方向为例：
FPx FPn cos( n, x ) Fx 0
1 FPx p x dydz 2 1 FPn cos( n, x ) pn dAn cos( n, x ) pn dAn cos(n, x) pn dydz 2
§2一3 流体静力学基本方程
15
p1 /
h
(2) (1)
p2 /
Z1
Z2
o
o
2-3-1 重力作用下的流体平衡方程
自由表面上为大气压强 p0 的液体，水静力学基本方程为 说明： 1）静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。 2）静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体 的容 重与该点淹没深度的乘积。后一部分即为单位面积上淹没深度液柱 的重量 。
pv pa p'
hv
流体平衡微分方程
p 1 p dx 2 x
所选取的是边长为dx，dy，dz的微元六面体，故各面上 重心处的压强可以看成是这些面的平均压强，则作用于各 个面上的总压力为:
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
2、表面力
m、n点分别为a-b-c-d面及e-f-g-h面的重心点，其位置 坐标均与A点相差1/2dx，由于流体静压强是空间坐标的连 续函数（P=f(x，y，z)），沿x轴方向作用于边界面a-b-c-d 及e-f-g-h中心处的压强，根据泰勒级数展开，并取前两项 分别为：
p 1 p dx 2 x
既有
§2.1静止流体上的作用力
证明:从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC，如图所示取
坐标轴。
由于液体处于平衡状态，则有 为零，则：
，即各向分力投影之和亦
x方向受力分析:
表面力：
§2.1静止流体上的作用力
n为斜面ABC的法线方向
质量力：
当四面体无限地趋于O点时，则dx趋于0，所以有：Px=Pn
质量力
N
MLT 2
单位质量力 N/kg LT 2
重力的大小与流体的质量成正比，所以流体所受的单
位质量力的大小等于重力加，重力在各向的分力为（0，0， mg），单位质量力的轴向分力为（X,Y,Z）=（0，0，-g）
§2.1静止流体上的作用力
问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所
受的单位质量力am水和am水银的大小？
A. am水< am水银；
B. am水> am水银；
(C)
C. am水= am水银；
D.不一定。
问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液
体所受的单位质量力大小（X,Y ,Z）分别为多少？
欧拉平衡微分方程
下面从能量和几何的角度分析各项的意义
p
：液柱高度（压强水头）—研究点在自由液面 以下的高度 p
从能量的角度看， 是单位重量液体所具有
的压能—单位压能
z
从p能：量测的压角管度水看头，z（ 测p是管单水位头重）量液体所具
有的势能—单位势能
式中各符号的规定
z
p
相等。
即对液体中的任两点：
z1
p1
z2
p2
（2.9）—静力学的基本方程
一、重力下流体的压强分布规律推导
在自由表面上， z=z0=0, p=p0， 则
z p 0 p0 c 即： c p0
p p0 z （2.10）
若取h的方向与z相反，则：
p p0 h （2.11）—静水压强的基本方程
2.2.1 欧拉平衡微分方程
一、欧拉平衡微分方程的推导 二、欧拉平衡微分方程的综合形式 三、质量力的势函数、有势力、等压面
一、欧拉平衡微分方程的推导
如图2.5，在平衡液体中， 取一微小六面体，为研 究的方便，使其各边分 别平行于坐标轴，边长 分别为：dx, dy, dz,其形 心点为M(x, y, z)，点M 的压强为p(x, y, z)
二、欧拉平衡微分方程的综合形式
将欧拉平衡微分方程分别乘以dx，dy，dz， 后相加得：
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
dp (Xdx Ydy Zdz) （2.4）—综合形式
（压强差公式）
三、质量力的势函数、有势力、等压面
有力势函数存在的力场，叫势场。
x 2
abdc面上的中心点M2 （x+dx/2，y，z），其 压强为：
p p dx x 2
水力学重点
复习总结（标红或划线的需记住）0 绪论一、概念1、水力学：用实验和分析的方法，研究液体机械运动（平衡和运动）规律及其实际应用的一门科学。
2、密度和容重：ρ=V M γ=V Mgγ=ρg 纯净水1个标准大气压下，1atm 4℃时密度最大 ρ水=1000kg /m 3 γ水=9.80kN/m 3ρ水银=13.6×103 kg /m 3（1atm20℃） 1N=1kg m/s 2容重γ的概念一般新教材中多已不引用，但工程中仍采用，本教案中仍采用，3、粘滞性：液体质点抵抗相对运动的性质。
粘滞性是液体内摩擦力存在的表现，是液体运动中能量产生损失的根本原因。
4、理想液体：不考虑粘滞性、压缩性、热涨性、表面张力性质的液体称为理想液体。
τ=ηdydu 或T=ηAdyduη动粘 [ML -1T -1] Pa.s (帕.秒) 1 Pa=1N/m 2 1N=1kg ²m/s 2ν运粘 [L 2T -1] m 2/sν=η/ρ水的经验公式：ν=2000221.00337.0101775.0tt ++公式中ν单位为cm 2/s ，t 为水温℃。
5、连续介质模型：假定液体质点毫无空隙地充满所占空间，描述液体运动物理量（质量、速度、压力等）是时间和空间的连续函数，因而可用连续函数的分析方法来研究，这种假定对解决一般工程实际问题是有足够的精度的。
6、压缩性 一般不考虑热膨胀性 流动性二、 问题1、 牛顿内摩擦定律简单应用；2、 作用于液体上的力：质量力、表面力；3、 水力学研究方法：理论分析、科学试验、数值模拟4、 水力学应用（水利工程）：1）确定水力荷载2）确定水工建筑物过水能力（管、渠、闸、堰 ） 3）分析水流流动形态4）确定水流能量消耗和利用 5）水工建筑物水力设计1 水静力学一、概念1、静水压强：p =AP A ∆∆→∆0lim=dAdP2、等压面：均质连通液体中，压强各点相等的点构成的面称为等压面。
北航水力学课件s2 第二章流体静力学
水静压力的作用点（压力中心）：
Q p=gh，压强与水深成正比，深度越深，压强 越大
\压力中心D在y轴上的位置必 低于形心c。
力矩平衡原理： 各微小面积dA上水静压力dP对x轴力矩之和 ＝整个受压面上的水静压力P对x轴的力矩 左边
右边＝水静压力P对x轴力矩
yD － 压力中心D至x轴的距离 Q左边＝右边， 即 各分力对某轴的力矩＝合力对同轴力矩之和
表示： 压强在x, y, z三方向都无变化，表示流体空间各点压强 相等
把流体平衡微分方程改写为：
结论：压强递增率的方向，就是 单位质量力在各轴向分力的方向，
即质量力作用的方向就是压强递增的方向。
如，静止液体，压强增加的方向，就是重力作用的垂直向下的方向。
对不可压缩流体，r为常数，将上方程中各式分别乘以dx, dy, dz后相加，得：
过水静压力分布图ABE的形心，并位于对称面上。
流体力学中一般只考虑地球吸引力，惯性力。 单位质量力：单位质量流体受到的质量力。
2. 表面力：作用在所取流体体积表面上的力，与作用的表面积大小成正 比，是其它物体所直接施加的表面接触力
一般分解为两部分：
法向应力：垂直于作用表面的分量
切向应力：平行于作用表面的分量
静止流体中没有切向力，只存在法向力，因此，定义
2-2-2 重力作用下流体的压强分布规律
如图，均匀液体：
容器：开口 液体密度：r
容器和液体：静止
流体所受质量力：重力 单位质量力： X=0, Y=0, Z= -g
代入式 dp =r (Xdx+Ydy+Zdz) = -rgdz = -gdz
积分上式得：p = -gz + c
c：积分常数，由边界条件确定
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等压面的微分方程：
dp 0
即：
Xdx Ydy Zdz 0 （2.6）—等压面的微分方程
dx，dy，dz是单位质量力的微小位移在各坐 标轴方向的投影。（2.6）表明： 单位质量力所做的微功等于零. 由于质量力和位移都不为零，所以在静止液 体中质量力与等压面正交。
三、质量力的势函数、有势力、等压面
dp dU （2.5）
（2.5）表明压强在空间的变化是由质量力引起的. 等压面：在同一种连续液体中，由压强相等的各 点所组成的面。 在等压面上，压强p=常数(const)，于是：
dp dU 0
dU 0
U=常数(const)，所以等压面也是等势面
三、质量力的势函数、有势力、等压面
1.表面力：只有静水压力 由于六面体各面的形心到 点M的距离很小,压强在M 点附近的变化可用泰勒级 数表示,且可忽略二阶以上 的微量,于是： 图2.5
一、欧拉平衡微分方程的推导
a'b'd'c'面上的中心点M1 （x-dx/2，y，z），其压 p dx 强为：
p x 2
M1
M2
abdc面上的中心点M2 （x+dx/2，y，z），其 压强为：
dp ( Xdx Ydy Zdz ) dp [0 dx 0 dy ( g ) dz ] dp gdz dz
一、重力下流体的压强分布规律推导
dp gdz dz
对均质流体，ρ=const，则：
p z c
(2.7) 即：
p Z z
二、欧拉平衡微分方程的综合形式
将欧拉平衡微分方程分别乘以dx，dy，dz， 后相加得：
p p p dx dy dz ( Xdx Ydy Zdz ) x y z
dp ( Xdx Ydy Zdz ) （2.4）—综合形式
（压强差公式）
因此，在质量力只有重力时，等压面为一水 平面。 常见的等压面： 1.液体的自由表面 2.不相混合的两种液体的交界面
图2.6
2.2.2 重力下流体的压强分布规律
一、重力下流体的压强分布规律推导 二、静水压强基本方程的意义
一、重力下流体的压强分布规律推导
静止的液体，所受的质量力只有重力， 取图2.7所示坐标系， 则X=0，Y=0，Z=-g， 代入压强差公式：
除以dxdydz，得： 同理可得：
p X 0 x p Y 0 y p Z 0 z
(2.2)
p X x p Y y p Z z
(2.3)
一、欧拉平衡微分方程的推导
p X x
p Y y
(2.3) 欧拉平衡微分方程：表明，在静 止液体中,静水压强沿某方向的变 化率与该方向单位体积上的质量 力相等。
一、欧拉平衡微分方程的推导
如图2.5，在平衡液体中， 取一微小六面体，为研 究的方便，使其各边分 别平行于坐标轴，边长 分别为：dx, dy, dz,其形 心点为M(x, y, z)，点M 的压强为p(x, y, z)
图2.5
一、欧拉平衡微分方程的推导
分析作用于六面体表面的力：
（为简化，只讨论X方向，Y， Z方向同理可得）
z
p
c
(2.8)
上式表明，在重力作用下，不可压缩的静止 p 液体中各点的 z 相等。 即对液体中的任两点：
z1
p1
z2
p2
（2.9）—静力学的基本方程
一、重力下流体的压强分布规律推导
在自由表面上， z=z0=0, p=p0， 则
z p p0 p0
0
c
一、重力下流体的压强分布规律推导
例2.1 一封闭水箱，如图2.8 液面上压强p0 =120kN/m2,求 h=0.4m处A点的压强。
图2.8
二、静水压强基本方程的意义
下面从能量和几何的角度分析各项的意义
水头和单位势能 p
z
c
式中：z—位置高度（位置水头）是研究点相 对于某一水平面（基准面）的高度 从能量的角度看， z是单位重量液体从某一 基准面算起所具有的位置势能—单位位能
m v dxdydz Fx dxdydzX Fy dxdydzY Fz dxdydzZ
一、欧拉平衡微分方程的推导
根据平衡条件∑Fx=0，则有：
p dx p dx (p )dydz ( p )dydz dxdydzX 0位重量液体所具 有的势能相等。 式中各符号的正负规定如下： z —点在基准面以上为正，以下为负
p
p z —在基准面以上为正，以下为负
—研究点在自由液面以下为“+”，以上为“-”
各符号的规定举例
图2.9
各符号的规定练习
做练习, P24, 2.2
下面从能量和几何的角度分析各项的意义 ：液柱高度（压强水头）—研究点在自由液面 以下的高度 p 从能量的角度看， 是单位重量液体所具有 的压能—单位压能
z
p
：测压管水头（测管水头） p
z
p
从能量的角度看， 是单位重量液体所具 有的势能—单位势能
式中各符号的规定
z p
三、质量力的势函数、有势力、等压面 有力势函数存在的力场，叫势场。
dp ( Xdx Ydy Zdz )
（2.4）
（2.4）式左边是p(x, y, z)的全微分，右边括号 内各项之和也应是某一函数的全微分，这个 函数是U (x, y, z) ，称为质量力的势函数, 简称 力势函数。
三、质量力的势函数、有势力、等压面
dp ( Xdx Ydy Zdz )
当力势函数存在时，有： U U U X ,Y ,Z x y z U U U dU dx dy dz x y z dp dU （2.5） 所以： 只有当质量力是有势力时，液体才处于平衡状态
三、质量力的势函数、有势力、等压面
2.2 欧拉平衡微分方程
讨论在平衡状态下,作用于液体上的 表面力和质量力之间应满足的关系, 建立表示液体平衡的微分方程。 2.2.1欧拉平衡微分方程 2.2.2重力下流体的压强分布规律
2.2.1 欧拉平衡微分方程
一、欧拉平衡微分方程的推导 二、欧拉平衡微分方程的综合形式
三、质量力的势函数、有势力、等压面
p dx p x 2
图2.5
一、欧拉平衡微分方程的推导
作用于a'b'd'c'面上的静 水总压力为： p dx (p )dydz x 2 作用于abdc面上的静 水总压力为：
p dx (p )dydz x 2
图2.5
一、欧拉平衡微分方程的推导
2.质量力F： 单位质量力在各坐标轴方向的分量为：X， Y，Z，六面体的质量为：
即： c
p p0 z
（2.10）
若取h的方向与z相反，则：
p p0 h （2.11）—静水压强的基本方程
h—自由液面以下的淹没深度 p0 —液面压强
一、重力下流体的压强分布规律推导
式（2.11）—静水压强的基本方程表明： 静止液体中的任一点的压强由两部分组成： （1）表面压强 p0 （液面压强）—等值传递到 液体内各点（巴斯卡原理）。 （2）液重压强γh—即从该点到液体自由表面 的单位面积上的液柱重量。