流体平衡微分方程
p 1 p dx 2 x
所选取的是边长为dx，dy，dz的微元六面体，故各面上 重心处的压强可以看成是这些面的平均压强，则作用于各 个面上的总压力为:
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
2、表面力
m、n点分别为a-b-c-d面及e-f-g-h面的重心点，其位置 坐标均与A点相差1/2dx，由于流体静压强是空间坐标的连 续函数（P=f(x，y，z)），沿x轴方向作用于边界面a-b-c-d 及e-f-g-h中心处的压强，根据泰勒级数展开，并取前两项 分别为：
p 1 p dx 2 x
既有
§2.1静止流体上的作用力
证明:从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC，如图所示取
坐标轴。
由于液体处于平衡状态，则有 为零，则：
，即各向分力投影之和亦
x方向受力分析:
表面力：
§2.1静止流体上的作用力
n为斜面ABC的法线方向
质量力：
当四面体无限地趋于O点时，则dx趋于0，所以有：Px=Pn
质量力
N
MLT 2
单位质量力 N/kg LT 2
重力的大小与流体的质量成正比，所以流体所受的单
位质量力的大小等于重力加，重力在各向的分力为（0，0， mg），单位质量力的轴向分力为（X,Y,Z）=（0，0，-g）
§2.1静止流体上的作用力
问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所
受的单位质量力am水和am水银的大小？
A. am水< am水银；
B. am水> am水银；
(C)
C. am水= am水银；
D.不一定。
问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液
体所受的单位质量力大小（X,Y ,Z）分别为多少？
自由落体（X=Y=Z=0）
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
在理想运动流体中任取微元直角六面体abcdefgh，设 形心A（x、y、z）处的压强为p。这个六面体微团在质量 力和表面力的作用下，处于平衡状态。 1、质量力
Fx dxdydzX Fy dxdydzY Fz dxdydzZ
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
如果微团极限缩为一点，即V 0，则 dFm dm am dm(Xi Yj Zk)
质量力: Fm
单位质量力: am
（单位质量的质量力，在数值和单位上均与对应的加速度相同。） 单位质量力分力:X、Y、Z
§2.1静止流体上的作用力
3、常见质量力
重力G=mg、直线运动惯性力、F=ma 、离心惯性力F mr2 4、单位，量纲
加速运动（X=-a,Y=0,Z=-g）
§2.1静止流体上的作用力
二、表面力surface force 1、定义：又称面积力，是毗邻流体或其它物体作用在隔离体表
面上的直接施加的接触力。它的大小与作用面面积成 正比。 表面力是就所研究的流体系统而言的，它可能是周围同 种流体对分离体的作用，也可能是另一种相邻流体对其作用， 或是相邻固壁的作用。 例如，敞开容器内的液体，如把整个液体作为研究系统， 则它仅受自由面上的大气和相接触的容器壁面的作用；若把 和固壁接触的自由面附近的部分液体取作分离体，则上述三 种表面力都存在。
加速直线运动或等加速回转运动） 由于静止流体的流体质点间没有相对运动， 因而流体的粘性显示不出来，可以看作理想流体。
§2.1静止流体上的作用力
研究流体运动规律，首先必须分析作用于流体上的力， 力是使流体运动状态发生变化的外因。 根据物理性质：重力、摩擦力、惯性力、表面张力 根据力作用的方式： 质量力、表面力
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程
本节分析作用在流体微团的质量力和表面力的平衡关系， 这样就会得到流体静止的微分方程。
本节中微分方程，是流体静止时分析的，此时质量力仅 为重力，同样适用于流体的相对平衡，即质量力除重力外， 还有惯性力同时作用下的液体平衡规律，相对平衡运动。
积上，am是质量力在空间中的分布密度；表面力分 布于面积上，应力为作用面上的分布密度。
§2.1静止流体上的作用力
三、静止流体中任一点应力的特性
1、静止流体表面应力只能是压应力或压强（如图B点），且静 水压强方向与作用面的内法线方向重合。
流体不能承受拉力，且具有易流动性(如图A点,必须)。
2、作用于静止流体同一点压强的大小各向相等，与作用面的方 位无关。
§2.1静止流体上的作用力
流体力学中研究流体的运动时，正确地分析作用在所考
虑的流体系统上的表面力是极其重要的。
2、表示：应力（单位面积上的表面力 ）
压强
切应力
3、常见表面力
大气压强、摩擦力
§2.1静止流体上的作用力
4、单位 ，量纲 表面力 N MLT 2
应力 Pa
ML1T 2
质量力与表面力均为分布力，质量力分布于体
第二章 流体静力学
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学 规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的 特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程， 等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力 的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜 体与浮体的稳定性问题等。
第二章 流体静力学
流体的“静止” 绝对静止：流体相对于地球无运动 相对静止：流体质点没有相对运动（容器作匀
在静止流体中取体积 V的流体微团，其表面积A
一、质量力mass force
1、定义:是指作用于隔离体内某一流体质点上的力，它的大 小与质量成正比。对于均质流体（各点密度相同的流体）， 质量力与流体体积成正比，其质量力又称为体积力。
§2.1静止流体上的作用力
2、表示：单位质量力或单位质量力分量 Fm m am m(Xi Yj Zk)
类似地有：
图中的斜面是任意选取的，即n是任意的，所以同一点静 压强大小相等，与作用面的方位无关。也就是说静止流体中 任意一点各个方向受到的压强值大小是相等的。
§2.1静止流体上的作用力
结论： 平衡流体中任意点的压强P只是位置坐标（x,y,z）的函
数，与其作用方向无关。 即P=f(x,y,z)
流体静压强只是空间的函数。
中南大学《流体力学》课件第二章静力学.
证明
质量力 表面力
1 f x dxdydz 6
1 p 0 0 p A cos( n , x ） x dydz n n 2
导出关系式 得出结论
F 0
x
px pn
第一节 平衡流体中的应力特征
第二节 流体平衡微分方程
压强在流体运动、流体与固体相互作用中扮演重要角色，如 机翼升力、高尔夫球及汽车的尾流阻力，龙卷风产生强大的 负压强作用，液压泵和压缩机推动流体做功等都与压强有关。 然而，压强在静止流体、相对静止流体及粘性运动流体中的 分布规律将明显不同。
如图所示的密闭容器中，液面压强 问题1： p0＝9.8kPa，A点压强为49kPa， 则B点压强为多少 ,在液面下的深度为多少? 答案 39.2kPa;
3m
问题2： 露天水池水深5m处的相对压强为：
答案
49kPa
图示容器内 A、B 两点同在一水 问题3：平面上，其压强分别为 pA 及 pB。 因 h1 h 2，所以 pA pB。 答案
• 点压强的定义及特性 • 微元体法推导出流体平衡微分方程 即流体平衡的规律 • 重力作用下流体的平衡
p p ( U U ) 0 0
pp gh 0
等压– 绝对压强p‘ 绝对压强不可为负 – 相对压强（表压强）p 相对压强可正可负 – 真空压强（真空值）pv 真空压强恒为正值
自由面上 p 0 所以 AB 上各点的压强均为 0
[例]试标出如图所示盛液容器内A、B、C三点的位置水头、 测压管高度、测压管水头。以图示0-0为基准面。
pC g pB g
A
pA g
Z
Z
c
ZB
C 因为 ，所以，以A点的测压管水头为依据， g 可以确定B点的位置水头为2m和测压管高度为6m ；C点的 位置水头6m，测压管高度为2m.
第二章.流体静力学09(1)
fz
1
p z
0
（1）式各项依次乘以dx,dy,dz后相加得：
f x dx
f ydy
f z dz
1
p ( x
dx
p y
dy
p z
dz)
∵p = p(x,y,z) ∴压强全微分
dp p dx p dy p dz x y z
dp ( fxdx fydy fzdz)
称流体平衡微分方程的综合式或欧拉平衡微 分方程的全微分表达式或压强微分公式
x
z]
p0——相对平衡容器内任一点 压强分布的一般表达式
可得：等压面方程 acos x z 常数
g asin
tan1( acos )
g asin
自由液面方程
z0
g
acos asin
x
M点压强： p p0 (g a sin )(z0 z) ——线性分布
31
练习：如图所示 ,盛水容器以不变的线加速度a=3m/s 作水平加速运动,容器长3米,静止时水深1.5米 试计算:①水面与水平方向的夹角α?
流体。
绝对平衡（静止）流体:流体相对于地球无相对运动。 相对平衡（静止）流体:流体相对于运动容器无相对运动。
平衡流体的特性：由于平衡流体相互间没有相对运动，
流体粘性在平衡状态下无从显示，故平衡流体内部不存在 内摩擦力或切应力。流体静力学中的一切原理不仅适用于 理想流体也适用于实际流体。
3
第一节 流体静压强特性
等压面方程
而dpdp
(f
xfdxxdx
f ydfyy
dyf
zdzfz df0z)ds
fxdx
f ydy
fzdz 0
等压面重要性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒正交于等
工程流体力学22流体平衡微分方程
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
略去二阶以上无穷小量后，分别等于
p 1 p dx 2 x
p 1 p dx 2 x
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为
第二节 流体平衡微分方程
静压强是空间坐标的连续函数
p p(x, y, z)
求静压强分布规律 研究平衡状态的一般情况 推导平衡微分方程式
流体静力学基本方程
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
在静止流体中任取一平行六面体的流体微团， 边长为 dx，dy，dz的微元，中心点静压强为p(x,y,z)
1 p
f x x 0
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
同理得
fx
1
p x
0
1 p
f y y 0
fz
1
p z
0
写成矢量形式
f
1
p
0
流体平衡微分方程式 欧拉平衡微分方程式
第二节 流体平衡微分方程
f
1
p
0
物理意义
在静止流体中，某点单位质量流体的质量力
与静压强的合力相平衡。
第二节 流体平衡微分方程
四、等压面 1. 定义
在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面
等压面可以用p(x,y,z)＝常数来表示。 dp=0
几点说明 对不同的等压面，其常数值是不同的 流体中任意一点只能有一个等压面通过。
重力场中流体的平衡微分方程
重力场中流体的平衡微分方程
在重力场中，流体的平衡微分方程可以通过质量守恒和动量守恒方程来描述。
1. 质量守恒方程：
质量守恒方程描述了流体质量在空间和时间上的变化。
根据质量守恒原理，流体在单位时间内进入一个控制体的质量应该等于离开该控制体的质量减去在控制体内积累的质量。
在重力场中，质量守恒方程可以表示为：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇是梯度算子，·表示向量的点乘。
2. 动量守恒方程：
动量守恒方程描述了流体运动的力学行为。
根据牛顿第二定律，流体在单位时间内受到的外力等于流体动量的变化率。
在重力场中，动量守恒方程可以表示为：
ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇P + ρg
其中，P是流体的压力，g是重力加速度。
综合以上两个方程，就可以得到重力场中流体的平衡微分方程。
需要注意的是，这是一个非线性偏微分方程组，求解方法较为复杂，通常需要结合适当的边界条件和物质特性方程进行求解。
第三章流体静力学(流体的平衡)
1.流体的平衡：绝对平衡、相对平衡 2.流体平衡时的压强 3.流体平衡的条件 3.1.平衡的微分方程 ∂ p dx ∂ p dx −∂ p dydz − p dydz = dxdydz ∂x 2 ∂x 2 ∂x 表面力： −∇ p dxdydz d 体积力： f b =∇ p 绝对平衡方程： f x 方向表面力： p −
∫ gy sin dA= g sin ∫ y dA= g y c sin A= P c A
A A
设压力中心坐标为
x D , y D = x C f , y C e ,其中 f 和 e 称为纵向和横向偏心矩。
则总合力对形心坐标轴的力矩：
F e =∫ dF = g sin ∫ y dA F f =∫ dF = g sin ∫ y dA∇ p d r =0
d 考虑到绝对平衡方程，得出等压面的微分方程： f b r = 0 ，即在等压面上体力处处与等压面 垂直。
3.3.流体平衡的必要条件
b =∇× 由绝对平衡方程得 ∇× f 1 −1 ∇ p = 2 ∇ ×∇ p
−1 ∇ p⋅∇ ×∇ p =0 3 ⋅∇ × f =0 流体平衡的必要条件 f b b b⋅∇ × f b = 于是 f
均质流体 =constant
≡0 ∇× f b
−∇ =
1 ∇p
=
−p
非均质流体：正压流体 = p ，如等温或绝热气体 定义压力函数 P p ： ∇ P =
=∇ P 由绝对平衡方程得， f b 4.流体静力学基本方程（静力学规律）
由 P =− gz C 得
∇p p ≡0 ，故 f 有势，势函数 =− P p ∇× f b b
静止流体平衡微分方程
静止流体平衡微分方程1. 介绍在研究流体力学中，平衡是一个重要的概念。
平衡状态下，流体内部的各个点没有运动，即静止流体。
在静止流体平衡的研究中，微分方程起着关键作用。
本文将介绍静止流体平衡微分方程的概念、原理和应用。
2. 静止流体的性质静止流体的性质可以通过一系列基本概念来描述。
首先是流体的密度，表示流体单位体积的质量。
其次是流体的压强，表示单位面积上的力。
还有流体的重力加速度和外力的作用等。
静止流体中的压强分布可以沿着流体的竖直方向进行研究。
对于一根垂直柱状的静止流体，在竖直方向上，压强随深度的增加而增加。
这是由于上方的流体对下方的流体产生了压力，使得下方的压强更高。
3. 静止流体平衡微分方程的原理静止流体平衡微分方程描述了静止流体内部各点的平衡条件。
该方程是基于流体力学和力学平衡原理推导得出的。
首先，根据传统的力学平衡原理，任意一个静止流体内的点所受到的合外力为零。
这个外力可以分为两部分：流体受到的压力和其他可能作用在流体上的力。
因此，静止流体的平衡方程可以写成以下形式：∑F = ∑P + ∑F_other = 0其中，∑F表示所有作用在流体内各点的合外力，∑P表示流体内压力的合力，∑F_other表示其他可能作用在流体上的力的合力。
根据流体力学的原理，压力作用在过流体内某一点的垂直方向，所以∑P可以写成以下形式：∑P = -∇P其中，∇P表示压力梯度，代表压力沿着任意方向的变化率。
通过解析力学的推导，可以得到静止流体平衡微分方程的一般形式为：∇P + ρg = 0其中，ρ表示流体密度，g表示重力加速度。
这个方程表达了静止流体内部各点压强和重力场之间的关系。
4. 应用静止流体平衡微分方程在很多领域中都有重要应用。
以下是几个常见的应用场景：4.1. 液体静力学静止液体的行为可以通过静止流体平衡微分方程来研究。
通过对方程的求解，可以获得液体内部压强分布的信息，进而了解液体在容器中的分布情况。
这对于设计和优化容器的结构和功能具有重要意义。
流体平衡微分方程式
2020/3/25
1
第一节 流体静压强及其特性
在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的 法向作用力称为流体的压强。当流体处于静止状态时，流
体的压强称为流体静压强，用符号p表示，单位为Pa。
流体静压强有两个基本特性。
（1）流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用 面的内法线方向。
这一特性可由反证法给予证明：
ρdxdydz则得
同理得
写成矢量形式
1 p
f x x 0
fy
1
p y
0
fz
1
p z
0
f
1
p
0
（2-3）
这就是流体平衡微分方程式，是在1755年由欧拉
（Euler）首先推导出来的，所以又称欧拉平衡微分方程
式。此方程的物理意义是：在静止流体中，某点单位质量
流体的质量力与静压强的合力相平衡。在推导这个方程中，
2020/3/25
4
其上的力是平衡的
现在来分析作用于微元四面体ABCD上各力的平衡关
系。由于静止流体中没有切应力，所以作用在微元四面体
四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压强。因为所
取微元四面体的各三角形面积都是无限小的，所以可以认
为在无限小表面上的压强是均匀分布的。设作用在ACD、
ABD、ABC和BCD四个面上的流体静压强分别为px、py、
流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态 的规律及其在工程实际中的应用。
这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地 球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时， 称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标 系静止时，称流体处于相对静止状态。
流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性 作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的 结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。
静止流体平衡微分方程
静止流体平衡微分方程静止流体平衡微分方程是描述流体平衡状态的重要方程之一。
在研究流体静力学时，我们常常需要考虑流体在静止状态下所受的各种力的平衡关系，这就引出了静止流体平衡微分方程。
我们来看一下什么是流体静力学。
流体静力学是研究流体在静止状态下的性质和行为的学科。
在流体静力学中，我们通常将流体看作是连续、均匀、不可压缩的介质，忽略流体内部的微观结构，只关注宏观的性质和规律。
在这种情况下，我们可以用一些简化的假设和方程来描述流体的行为。
静止流体平衡微分方程就是在这样的背景下产生的。
它描述了在静止流体中任意一点所受到的压力和重力之间的平衡关系。
根据静态流体力学的基本原理，我们可以得到静止流体平衡微分方程如下：∇p = ρg其中，∇p表示压力梯度，ρ表示流体的密度，g表示重力加速度。
这个方程告诉我们，在静止流体中，压力梯度的方向与重力方向相反，并且大小与密度和重力加速度有关。
通过这个方程，我们可以进一步分析流体在不同位置所受到的压力和重力的平衡情况。
静止流体平衡微分方程在工程学、物理学、地质学等领域都有重要的应用。
在工程学中，我们可以利用这个方程来设计各种液压系统和水力设备，保证其在正常工作状态下的平衡和稳定。
在物理学中，我们可以通过这个方程来研究大气压力、海洋压力等现象，深入理解自然界中的各种现象。
在地质学中，我们可以利用这个方程来探测地下水资源、研究地质构造等问题，为地质勘探和环境保护提供重要依据。
静止流体平衡微分方程是描述流体静力学行为的重要工具，它可以帮助我们更深入地理解流体在静止状态下的性质和规律。
通过对这个方程的研究和应用，我们可以更好地设计工程设备、解释物理现象、探索地质问题，为人类的生产生活和科学研究提供有力支持。
希望在未来的研究中，我们可以进一步挖掘这个方程的潜力，拓展其在各个领域的应用，为人类的发展进步贡献力量。
静止流体平衡微分方程
静止流体平衡微分方程静止流体平衡微分方程是描述静止流体力学的基本方程之一，它可以用来计算流体在静止状态下的压力分布。
以下是关于静止流体平衡微分方程的详细介绍。
1. 什么是静止流体平衡微分方程？静止流体平衡微分方程是一种描述静态流体中压力分布的微分方程，它表达了任意一点处的压力与周围环境的关系。
这个方程是通过对流体运动学和牛顿第二定律进行推导得到的。
2. 静止流体平衡微分方程的公式是什么？静止流体平衡微分方程可以用以下公式表示：∇P = -ρg其中，∇P表示压力梯度，ρ表示密度，g表示重力加速度。
3. 静止流体平衡微分方程有哪些应用？静止流体平衡微分方程在工业、航空航天、建筑等领域都有广泛应用。
例如，在建筑中，设计师需要使用该方程来计算建筑物内部空气的压力和通风系统的效率；在航空航天领域，该方程被用于设计飞机机翼和发动机的气动外形。
4. 如何求解静止流体平衡微分方程？求解静止流体平衡微分方程需要使用数学工具，如微积分和偏微分方程。
通常情况下，需要先确定边界条件，即在哪些点上已知压力值或者压力梯度值。
然后，可以使用数值方法或解析方法来求解该方程。
5. 静止流体平衡微分方程有哪些限制？静止流体平衡微分方程只适用于描述静态流体中的压力分布。
对于动态流体，需要使用不同的方程来描述其运动状态。
此外，在实际应用中，该方程假设了流体是不可压缩的，并且忽略了其他因素对压力梯度的影响，因此其精度可能会受到一定的限制。
综上所述，静止流体平衡微分方程是一种重要的描述静态流体中压力分布的工具，在实际应用中有着广泛的应用。
通过深入理解该方程的原理和应用范围，可以更好地掌握流体力学相关知识，并在工作中更加高效地处理相关问题。
流体力学第3章
相应的流体静压强增加dp，压强的增量取决于质量力。
22.04.2021
12
二、流体平衡条件
对于不可压缩均质流体，有
dpfxdxfydyfzdz
上式的左边是全微分，它的右边也必须是全微分。由数学
分析知：该式右边成为某一个函数全微分的充分必要条
件是
f y f z z y
f z f x x z
f x f y y x
22.04.2021
15
第三节 重力场中流体的平衡帕斯卡原理
一、重力作用下的静力学基本方程式
P0
P2 P1 Z1 Z2
推导静力学基本方程式用图
22.04.2021
16
作用在液体上的质量力只有重力G=mg，其单位质 量力在各坐标轴上的分力为 fx=0，fy=0，fz=-g
代入压强差公式，得
dpgdz
及烟囱的底部等处的绝对压强都低于当地大气压强，这些地
方的计示压强都是负值，称为真空或负压强，用符号pv表示，
则
pv pa p
如以液柱高度表示，则
hv
pv
g
pa p
g
式中hv称为真空高度。
22.04.2021
29
（1）当地大气压强是某地气压表上测得的压强值， 它随着气象条件的变化而变化，所以当地大气压强 线是变动的。
M点的绝对压强为 p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1
M点的计示压强为 pe=p-pa=ρ2gh2-ρ1gh1
于是，可以根据测得的h1和h2以及已知的ρ1和ρ2计 算出被测点的绝对压强和计示压强值。
22.04.2021
37
• (2) 被测容器中的流体压强小于大气压强(即p<pa)：