工程流体力学22流体平衡微分方程
工程流体力学第2章流体静力学
① 沿任意方向 ② 沿外法线方向
有切向分力 流体受拉力
都将破坏流体平衡。
这与静止前提不符，故假设不成立，则原命题成立。
①
②
4
第2章 流体静力学
特性二、静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用面方位无关。
证明：采用微元体分析法 ① 取微单元体
在静止流体中，在O点附近取出各边长分别 为dx、dy、dz的微小四面体OABC。相应坐标 轴为x、y、z。
第2章 流体静力学
流体静力学：研究流体在静止状态下的平衡规律及其应用。 静止：流体质点相对于参考系没有运动，质点之间也没有相对运动。 静止状态包括两种情况： 1、绝对静止：流体整体对地球没有相对运动。
2、相对静止：流体整体对地球有运动，但流体各质点之间没有相对运动。
举例：
绝对静止
等加速水平直线运动 等角速定轴转动
2
第2章 流体静力学
§2.1 流体静压力及其特性
1、静压力的概念
（1）静压力：静止流体作用在单位面积上的压力，称为静压力，或静压强。记作“p”
一点的静压力表示方法：
设静止流体中某一点m，围绕该点取一微小作用面积A，其上压力为P，则： 平均静压力： p P
A
m点的静压力：p lim P
单位：
A0 A
m
国际单位：Pa
物理单位：dyn/cm2
工程单位：kgf/m2
混合单位：1大气压（工程大气压） = 1kgf/cm2
（2）总压力：作用在某一面积上的总静压力，称为总压力。记作“P”
单位：N
3
第2章 流体静力学
2、静压力的两个重要特性
特性一、静压力方向永远沿着作用面内法线方向。
工程流体力学2
§2-1 流体静压强及其特性
静压强：当流体处于平衡或者相对平衡状态时， 作用在流体单位面积上的力。
p lim Fn
A 0
A
pn
特性一：
流体静压强的作用方向沿着
作用面的内法线方向。
静止流体对容器的作用一定垂直于固体壁面。
§2-1 流体静压强及其特性
特性二：
静止流体中的任一点上，来自任意方向上的静压强都是相等的。
三、流体静压强的测量和液柱式测压计
常见的测压仪器有：液柱式测压计；金属式压强计（利用
金属的变形来测量压强）；电测式仪表（将压强变化转化
为电信号的变化）等。
液柱式测压计的测量原理是以流体静力学基本方程 为依据的。
§2-3 重力场中流体的平衡
1、测压管
p pa
p p a gh
p pa
计。通常采用双U形管或三U形管测压计。
§2-3 重力场中流体的平衡
3. U形管差压计 用于测量两个容器或管 道流体中不同位置两点 的压强差。
p p A p B 2 gh 1 gh 2 1 gh 1 2 1 gh
§2-3 重力场中流体的平衡
§2-3 重力场中流体的平衡
水头：单位重量流体所具有的能量用液柱高度来表示。 静水头：位置水头和压强水头之和。
方程的几何意义：
在重力作用下，静止的不可压缩流体中各点的静水头都相等。
§2-3 重力场中流体的平衡
有自由液面的静压强公式： p0 p z z h g g
p p 0 gh
h 为任意点在自由液面下的深
度，即淹深。
流体内部的静压强包含两部分：
《工程流体力学》PPT课件
本章学习要求:
流体静力学主要研究流体平衡时，其内部的压强分布规律 及流体与其他物体间的相互作用力。它以压强为中心，主要 阐述流体静压强的特性、静压强的分布规律、欧拉平衡微分 方程，作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法，潜体 与浮体的稳定性，并在此基础上解决一些工程实际问题。
无论是静止的流体还是相对静止的流体，流体之间没有相 对运动，因而粘性作用表现不出来，故切应力为零。
• 2.3.3 静止液体中的等压面 • 由于等压面与质量力正交，在静止液体中只有重
力存在，因此，在静止液体中等压面必为水平面。
• 对于不连续的液体或者一个水平面穿过了两种不 同介质连续液体，则位于同一水平面上各点压强 并不一定相同，即水平面不一定是等压面。
2.3 流体静力学的基本方程
2.3.4 绝对压强、相对压强、真空度
(z A (g p A )W ) (z B (g p B )W ) (( (g g ) ) H W g2 1 ) h 1 2 .6 h
2.4 压强单位和测压仪器
2、U形水银测压计
p1=p+ρ1gh1 p2=pa+ρ2gh2 所以 ： p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2
M点的绝对压强为： p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1
具有的压强势能，简称压能（压强水头）。
测压管水头（ z+p/g）：单位重量流体的总势能。
物理意义： 1. 仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面 的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增高，压 头减小。
2. 在均质（g=常数）、连通的液体中，水平面（z1 = z2=常数）
必然是等压面（p1 = p2 =常数）。
工程流体力学知识点
（3）边界上可有力的作用和能量的交换，但不能有质量的交换。
4
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f = 1 p ρ
该方程的物理意义：当流体处于平衡状态时，作用在单位质量流体上的质量
力与压力的合力相平衡。 其中： 称为哈密顿算子， i j k ，它本身为一个矢量，同时对
x y z
其右边的量具有求导的作用。
4．静力学基本方程式的适用条件及其意义。
牛顿内摩擦定律中的比例系数 μ 称为流体的动力粘度或粘度，它的大小可以
反映流体粘性的大小，其数值等于单位速度梯度引起的粘性切应力的大小。单位
1
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为 Pa·s，常用单位 mPa·s、泊（P）、厘泊（cP），其换算关系： 1 厘泊(1cP)=1 毫帕斯卡·秒(1mPa.s) 100 厘泊(100cP)=1 泊(1P) 1000 毫帕斯卡·秒(1mPa·s)=1 帕斯卡.秒(1Pa·s)
5．膨胀性
指在压力不变的条件下，流体的体积会随着温度的变化而变化的性质。其大
小用体积膨胀系数 βt 表示，即
βt
=
1 V
dV dt
6．粘性
流体所具有的阻碍流体流动，即阻碍流体质点间相对运动的性质称为粘滞性，
简称粘性。
7．牛顿流体和非牛顿流体
符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，否则称为非牛顿流体。
8．动力粘度
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《工程流体力学》知识点
第一章 流体的物理性质
一、学习引导
1．连续介质假设
流体力学的任务是研究流体的宏观运动规律。在流体力学领域里，一般不考
虑流体的微观结构，而是采用一种简化的模型来代替流体的真实微观结构。按照
工程流体力学复习题
⼯程流体⼒学复习题第⼀章⼩结1、流体的特征与固体的区别：静⽌状态下，只能承受压⼒，⼀般不能承受拉⼒与抵抗拉伸变形。
在任意剪切⼒作⽤下，流体将发⽣连续的剪切变形（流动），剪切⼒⼤⼩正⽐于剪切变形速率。
固体所受剪切⼒⼤⼩则正⽐于剪切变形量。
液体与⽓体的区别：难于压缩；有⼀定的体积，存在⼀个⾃由液⾯；2、连续介质连续介质模型：把流体视为没有间隙地充满它所占据的整个空间的⼀种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的⼀种假设模型。
流体质点：⼏何尺⼨同流动空间相⽐是极⼩量,⼜含有⼤量分⼦的微元体。
3、粘性流体在运动（流动）的状态下，产⽣内摩擦⼒以抵抗流体变形的性质。
粘性是流体的固有属性。
⽜顿内摩擦定律（粘性定律）：液体运动时，相邻液层间所产⽣的切应⼒与剪切变形的速率成正⽐。
动⼒粘性系数：反映流体粘滞性⼤⼩的系数。
国际单位：⽜·秒/⽶2， N.s/m2 或：帕·秒运动粘性系数ν：ν=µ/ρ国际单位：⽶2/秒， m2/s粘度的影响因素：温度是影响粘度的主要因素。
当温度升⾼时，液体的粘度减⼩，⽓体的粘度增加。
粘滞性是流体的主要物理性质，它是流动流体抵抗剪切变形的⼀种性质，不同的流体粘滞性⼤⼩⽤动⼒粘度或运动粘度v来反映。
其中温度是粘度的影响因素：随温度升⾼，⽓体粘度上升、液体粘度下降。
复习题1. 连续介质假设意味着。
(A)流体分⼦互相紧连 (B) 流体的物理量是连续函数(C) 流体分⼦间有空隙 (D) 流体不可压缩2. 流体的体积压缩系数k 是在条件下单位压强变化引起的体积变化率。
(A) 等压 (B) 等温 (C) 等密度3. ⽔的体积弹性模数空⽓的弹性模数。
(A) ⼩于 (B) 近似等于 (C) ⼤于4. 静⽌流体剪切应⼒。
(A) 不能承受 (B) 可以承受 (C) 能承受很⼩的 (D)具有粘性时可承受5. 温度升⾼时，空⽓的粘性系数。
(A) 变⼩ (B) 变⼤ (C) 不变6. 运动粘性系数的单位是。
工程流体力学第二章
pxdydz pnds • sin dz 0
p y dxdz
pnds
•
cos
dz
1 2
dxdydz
g
0
所以：
px pn 0
故
py
pn
1 2
dyg
0
y b
pxdy
o
px pn py pn
pnds
G x a
p y dx
得证
微元体分析法的步骤： 1 取合适的微元体 2 受力分析 3 建立方程
F pcg A ghc A
y D
y C
J cx yA
c
常见几何形状的惯性矩（表2－2）
矩形 圆型
c
l
J cx
1 12
bl 3
b
cR
J cx
1 R4
4
¼圆
xc c yc
xc
yc
4R
3
J cx
(1 4
16
9 2
R4
) 4
例2-5 设矩形闸门的宽为6米，长10米，铰链到低水面的 距离为4米。按图示方式打开该闸门，求所需要的力 R。
z
p0
o
B
z
p0
o
B
R
(a)
pg
2
2r2
R
(b)
pg
2
2(r2
R2)
例2-4 设内装水银的U型管绕过D点的铅垂线等角速度旋 转，求旋转角速度和D点的压强。设水银密度为
13600kg/m3 且不计液面变化带来的影响。
ω
关键：
10cm 5cm
1 写出所有的体积力
20c m
z
12cm 2 根据压力差公式写出压强
流体力学公式总结
工程流体力学公式总结第二章 流体的主要物理性质 流体的可压缩性计算、牛顿内摩擦定律的计算、粘度的三种表示方法。
1．密度 ρ = m /V2．重度 γ = G /V3．流体的密度和重度有以下的关系： γ = ρ g 或 ρ = γ/ g 4．密度的倒数称为比体积，以 υ表示 υ = 1/ ρ = V/m 5．流体的相对密度： d = γ流 /γ水 = ρ流 /ρ 水6．热膨胀性1V VT7．压缩性 . 体积压缩率 κ1V Vp8．体积模量9．流体层接触面上的内摩擦力10．单位面积上的内摩擦力（切应力） （牛顿内摩擦定律）dv dn11． .动力粘度μ：dv/dn12．运动粘度 ν ：ν = μ /ρ 13．恩氏粘度° E ：°E = t 1 / t 2第三章 流体静力学 重点：流体静压强特性、欧拉平衡微分方程式、等压面方程及其、流体静力学 基本方程意义及其计算、 压强关系换算、 相对静止状态流体的压强计算、流体 静压力的计算（压力体） 。
1．常见的质量力：重力 ΔW = Δ mg 、 直线运动惯性力 ΔFI = Δm ·a 离心惯性力 ΔFR = Δm ·r ω2 .FAd dn2．质量力为 F 。
：F = m ·am = m(fxi+fyj+fzk) am = F/m = fxi+fyj+ fzk 为单位质量力，在数值上就等于加速度 实例：重力场中的流体只受到地球引力的作用， 取 z 轴铅垂向上， xoy 为水平面， 则单位质量力在 x 、y 、 z 轴上的分量为fx= 0 , fy= 0 , fz= -mg/m = -g 式中负号表示重力加速度 g 与坐标轴 z 方向相反 3流体静压强不是矢量，而是标量，仅是坐标的连续函数 得静压强的全微分为 : p pd p p dxpdyxy4．欧拉平衡微分方程式pf y ρdxd ydz dxd ydz 0y pf z ρdxd ydz dxd ydz 0z单位质量流体的力平衡方程为：1p1pyρy1p0 ρz5．压强差公式(欧拉平衡微分方程式综合形式)ρ(f x dx f y dy f z dz) pdx pdy pdz xyz d p ρ( f x dx f y d y f z dz)6．质量力的势函数dp ρ( f x dx f y dy f z dz)dU7．重力场中平衡流体的质量力势函数UUUdU dx d y dz= f x dx f y dy f z dz xyz gdz。
工程流体力学 第二章 流体静力学201012
z ω
1.等压面方程 1.等压面方程
dp = ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz = 0
⇓ 积分
ω 2 x2
2 +
p0
o
m
h z
zs y
ω 2 y2
2
− gz = C
ω 2r 2
2
− gz = C
等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 自由液面： 自由液面： x=0 z=0 C=0
z g p0
2
⇒
dp = ρ(Xdx +Ydy + Zdz)
dp = −ρgdz
p2
p1
1
⇒
dp dz + =0 ρg
z1
z2
积分得： 积分得：
p z+ =C ρg
o
p p z1 + 1 = z2 + 2 ρg ρg
基准面
x
2.物理意义 2.物理意义
z+ p =C ρg
总 势 能
3.几何意义 3.几何意义
o y
αr
y x ω2y ω2r
⇓
zs =
ω 2r 2
2g
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
2. 静压强分布规律
dp = ρ (ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz )
z ω
⇓ 积分
p = ρ(
ω 2x2
2
+
ω 2 y2
2
− gz ) + C
p = ρg (
ω 2r 2
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2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
略去二阶以上无穷小量后，分别等于
p 1 p dx 2 x
p 1 p dx 2 x
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为
第二节 流体平衡微分方程
静压强是空间坐标的连续函数
p p(x, y, z)
求静压强分布规律 研究平衡状态的一般情况 推导平衡微分方程式
流体静力学基本方程
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
在静止流体中任取一平行六面体的流体微团， 边长为 dx，dy，dz的微元，中心点静压强为p(x,y,z)
1 p
f x x 0
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
同理得
fx
1
p x
0
1 p
f y y 0
fz
1
p z
0
写成矢量形式
f
1
p
0
流体平衡微分方程式 欧拉平衡微分方程式
第二节 流体平衡微分方程
f
1
p
0
物理意义
在静止流体中，某点单位质量流体的质量力
与静压强的合力相平衡。
第二节 流体平衡微分方程
四、等压面 1. 定义
在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面
等压面可以用p(x,y,z)＝常数来表示。 dp=0
几点说明 对不同的等压面，其常数值是不同的 流体中任意一点只能有一个等压面通过。
第二节 流体平衡微分方程
举例说明
液体与气体的分界面，即液体的自由液面就 是等压面，其上各点的压强等于在分界面上各点 气体的压强。
第二节 流体平衡微分方程
3.
f y fz z y
fz f x x z
f x f y y x
理论力学中，上式是 fx、fy、fz 具有力的势函数 ( x, y, z) 的充分必要条件
力的势函数与单位质量力的关系
f x x
fy
y
fz
z
第二节 流体平衡微分方程
3. 既然 f x , f y , fz 能满足下式
适用范围
静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。
它是流体静力学最基本的方程组，流体静力学的其 他计算公式都是从此方程组推导出来的。
第二节 流体平衡微分方程
二、压强差公式
1 p
f x x 0
乘以dx
1 p
f xdx x dx 0
1 p
f y y 0
1 p
fz z 0
乘以dy 乘以dz
第二节 流体平衡微分方程
2. 等压面微分方程式
f xdx f ydy fzdz 0
f ds 0
物理含义: 单位质量流体中的质量力沿等压面移动微 小距离所做的功等于0
dp p dx p dy p dz x y z
所以 dp ( fxdx f ydy fzdz)
在静止流体中，空间点的坐标增 量为dx、dy、dz时，相应的流体
静压强增加dp，压强的增量取决
于质量力。
压强差公式
第二节 流体平衡微分方程
三、流体平衡条件
1. 例：
1 p
f x x 0
1 p
x方向受力分析
质量力—— f x dxdydz
表面力—— 只有静压强
如何求解是关键
p 1 p dxdydz
2 x
A
C
p
p 1 p dxdydz
B
2 x
½ dx
图2-3 微元平行六面体x方向的受力分析
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒级数展开
互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。
p p0
等压面
p p0
油 水
等压面
第二节 流体平衡微分方程
证明
分界面上取两点1和2 点1——点2的压强增量
dp 1( f xdx f ydy fzdz) dp 2( f xdx f ydy fzdz)
p p0
1油2 水
两式相减
dp
1
f y y 0
1 p
fz z 0
f x 1 2 p 0
y xy
f y 1 2 p 0
x yx
对y、对z求导 对x、对z求导 对x、对y求导
相减
f x f y
y x
第二节 流体平衡微分方程
2. f x f y y x f y fz z y fz f x x z
仍然是流体平衡微分方程 平衡时，数学上质量力满足左式 是质量力存在势函数的充要条件
f x x
f y y
fx, fy, fz
就是有势的力
fz z
代入压强差公式，得
dp
f xdx
f ydy
f z dz
x
dx
y
dy
பைடு நூலகம்
z
dz
d
第二节 流体平衡微分方程
4. 有势函数存在的力称为有势的力 流体平衡条件：
只有在有势的质量力作用下，不可压缩均质流体 才能处于平衡状态，这就是流体平衡的条件。
p
1
p
dx dydz
2 x
p 1 p dx dydz 2 x
因为流体平衡
Fx 0
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
将质量力和表面力代入上式，则
p
1 2
p x
dx dydz
p
1 2
p x
dx dydz
f x dxdydz
0
整理上式，并把各项都除以ρdxdydz，则得
1 p
f ydy y dy 0
1 p
fzdz z dz 0
三式相加，整理
(
f xdx
f ydy
fzdz)
p dx x
p dy y
p dz z
第二节 流体平衡微分方程
二、压强差公式
(
f xdx
f ydy
fzdz)
p dx x
p dy y
p dz z
流体静压强是空间坐标的连续函数，它的全微分为
dp
2
1
1
1
2
dp
0
因为 1 2 0
dp=0
等压面
第二节 流体平衡微分方程
2. 等压面微分方程式
由压差公式 dp ( fxdx f ydy fzdz)
在等压面上各处的压强都一样，即dp=0
f xdx f ydy fzdz 0
矢量形式 f ds 0
平衡流体的 等压面微分方程
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
......
f
n ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
在垂直于x轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为
p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2