流体的平衡微分方程及其积分
合集下载
流体力学第二版第二章流体静力学
p B p Ba p b a s1.9 0 9 2 4 8 .9 k/m N 2
A点的相对压强为负值，说明A点处于真空状态，真空 值为： p kp ap Aa bp s A 1.7 4 k/N m 2
二、压强的表示方法 1、用应力单位表示 即从压强的定义出发，用单位面积上的力表示。
2、用大气压的倍数表示 在工程上，常用工程大气压为单位来表示压强。
解：1、绝对压强
pabspah 9 8 9 .8 2 1.1 6 k7 Pa
= 117.6 kN/m2
117.6 98
1.2pa
pabs117.612m(水柱）
9.8
2、相对压强
p h9.821.6 9 kN /m 21.6 9kP0 a.2pa
p h 2m(水柱）
三、静压强分布图
用线段长度表示各点压强大小，用箭头表示压强 的方向，如此绘成的几何图形，称为压强分布图。
d p(X dYxd Z y)dz
不可压缩液体在有势的质量力的作用下才能静止。
三、等压面及其特性 1、等压面
液体中由压强相等的各点所构成的面（可以是平面 或曲面）称为等压面。
静止液体的自由表面即为等压面。 2、等压面的特性
由 d p(X dYxd Z y)d及z等压面定义，得：
等压面方程： Xd YxdZ yd 0 z 等压面的特性： 1）压强一定相等；
P0
h1
A
h2
解：1、绝对压强
B
p A ap b 0 s h 1 7 .4 8 9 .8 0 .5 8 .3 k 3 /m N 2 p B a p 0 b s h 2 7 .4 8 9 .8 2 .5 1.9 k 0 /m N 2 2
2、相对压强
流体平衡微分方程式
pz和pn，pn与x、y、z轴的夹角分别为α、β、γ，则作用在
各面上流体的总压力分别为：
Px
px
1 dydz 2
Py
py
1 dxdz 2
2020/3/25
5
作用在ACD面上 的流体静压强
px
pz 作用在BCD面
pn 上的静压强
2020/3/25
作用在ABD和
py 图2－2 微元四面体受力分析
上的静压 强
式，即：
z1
p1
gz2Leabharlann p2g（2-10）
2020/3/25
23
P0
P2 P1 Z1 Z2
图2-5 推导静力学基本方程式用图
2020/3/25
24
为了进一步理解流体静力学基本方程式，现在来讨论 流体静力学基本方程的物理意义和几何意义
1.物理意义
从物理学可知，把质量为m的物体从基准面提升z高度 后，该物体就具有位能mgz，则单位重量物体所具有的位 能为z(mgz/mg=z)。所以式(2-9)中z的物理意义表示为单位
（2-4）
2020/3/25
16
此式称为压强差公式。它表明：在静止流体中，空间点的 坐标增量为dx、dy、dz时，相应的流体静压强增加dp， 压强的增量取决于质量力。
二、流体平衡条件
对于不可压缩均质流体，密度ρ＝常数，可将式（2-4）
写成
d
p
f xdx
f ydy
f z dz
上式的左边是全微分，它的右边也必须是全微分。由数学
2020/3/25
19
式(2-7)左端又表示作用在等压面上A点的单位质量力 f 与通过A点的等压面上的微元线段ds (其分量为dx、dy、
流体力学(2章)
IC y D yC yC A
作用点——解析法
IC y D yC yC A
xD xc
注意:坐标系及原点的选择
I xyc yc A
•
利用解析法解题过程
1）选择坐标系，注意坐标原点在受压面或受 压面的延长面与自由液面的交点 2）求力的大小 P＝受压面形心处的压强×受压面的面积 3）求力的作用点
(11 z 25km)
压强的度量
绝对压强是以没有气体 分子存在的完全真空为 基准起算的压强，以符 号pabs表示。
相对压强是以当地大气 压为基准起算的压强， 以符号p表示。 相对压强和绝对压强的关系
p pabs pa
压强的度量
若绝对压强小于当地大 气压，相对压强便是负 值，又称负压。所谓真 空值（真空度）是指绝 对压强不足当地大气压 的差值，即相对压强的 负值，以符号pv表示。 相对压强和真空值的关系
h
z z B z A
( p )hp pA pB ( z A ) ( zB ) 12.6hp g g
文丘里流量计
pM p N
p1 gx
p2 g ( x z hp ) p ghp
p1 p2 ( p g g )hp gz
z
压力体
实压力体 ——压力体和液面在曲面AB的同侧，Pz方向向下
虚压力体 ——压力体和液面在曲面AB的异侧，Pz方向向上 压力体叠加 ——对于水平投影重叠的曲面，分开界定压力体， 然后相叠加，虚、实压力体重叠的部分相抵消。
问题：如果液面不是自由液面呢？
流体平衡微分方程
p 1 p dx 2 x
所选取的是边长为dx，dy，dz的微元六面体，故各面上 重心处的压强可以看成是这些面的平均压强，则作用于各 个面上的总压力为:
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
2、表面力
m、n点分别为a-b-c-d面及e-f-g-h面的重心点，其位置 坐标均与A点相差1/2dx，由于流体静压强是空间坐标的连 续函数（P=f(x，y，z)），沿x轴方向作用于边界面a-b-c-d 及e-f-g-h中心处的压强，根据泰勒级数展开，并取前两项 分别为：
p 1 p dx 2 x
既有
§2.1静止流体上的作用力
证明:从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC，如图所示取
坐标轴。
由于液体处于平衡状态，则有 为零，则：
，即各向分力投影之和亦
x方向受力分析:
表面力：
§2.1静止流体上的作用力
n为斜面ABC的法线方向
质量力：
当四面体无限地趋于O点时，则dx趋于0，所以有：Px=Pn
质量力
N
MLT 2
单位质量力 N/kg LT 2
重力的大小与流体的质量成正比，所以流体所受的单
位质量力的大小等于重力加，重力在各向的分力为（0，0， mg），单位质量力的轴向分力为（X,Y,Z）=（0，0，-g）
§2.1静止流体上的作用力
问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所
受的单位质量力am水和am水银的大小？
A. am水< am水银；
B. am水> am水银；
(C)
C. am水= am水银；
D.不一定。
问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液
体所受的单位质量力大小（X,Y ,Z）分别为多少？
流体静力学(new!!)
第二章 流体静力学
流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其应用的 科学。 所谓平衡（或者说静止），是指流体宏观质点之间没 有相对运动，达到了相对的平衡。 因此流体处于静止状态包括了两种形式： 一种是流体对地球无相对运动，叫绝对静止，也称为 重力场中的流体平衡。如盛装在固定不动容器中的液体。 另一种是流体整体对地球有相对运动，但流体对运动 容器无相对运动，流体质点之间也无相对运动，这种静止 叫相对静止或叫流体的相对平衡。例如盛装在作等加速直 线运动和作等角速度旋转运动的容器内的液体。
单位重量流体对某一基准面的位势能
p / g
c
单位重量流体的压强势能
位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能
① 静止液体中各点位置水头和测压管高度可以相互转换，但各点测压管水头却 永远相等，即敞口测压管最高液面处于同一水平面——测压管水头面。 ② 静止液体中各位置水头和静压高度亦可以相互转换，但各点静压水头永远相 等，即闭口的玻璃管最高液面处在同一水平面——静压水头面。
平衡状 态，互 不掺混 的两种 液体的 分界面 也是等 压面
加速直线运动时，等压面为斜平面；匀速旋转运动容器中的液体的等 压面为抛物面（在下节中另述）。
③ 等压面的选择。同一液体的等压面可任取；对不同介质的流体取
分界面 ④ 等压面也是等势面
dp=0
dp dW
dW 0
W const
⑤ 等压面与质量力垂直
pa
A p1/g
完全真空
几何意义
p0
A pa/g A' p2/g pe1/g z2
基准面 z1
A'
p0
p2 2
p2
pe2/g
2
z2
流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其应用的 科学。 所谓平衡（或者说静止），是指流体宏观质点之间没 有相对运动，达到了相对的平衡。 因此流体处于静止状态包括了两种形式： 一种是流体对地球无相对运动，叫绝对静止，也称为 重力场中的流体平衡。如盛装在固定不动容器中的液体。 另一种是流体整体对地球有相对运动，但流体对运动 容器无相对运动，流体质点之间也无相对运动，这种静止 叫相对静止或叫流体的相对平衡。例如盛装在作等加速直 线运动和作等角速度旋转运动的容器内的液体。
单位重量流体对某一基准面的位势能
p / g
c
单位重量流体的压强势能
位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能
① 静止液体中各点位置水头和测压管高度可以相互转换，但各点测压管水头却 永远相等，即敞口测压管最高液面处于同一水平面——测压管水头面。 ② 静止液体中各位置水头和静压高度亦可以相互转换，但各点静压水头永远相 等，即闭口的玻璃管最高液面处在同一水平面——静压水头面。
平衡状 态，互 不掺混 的两种 液体的 分界面 也是等 压面
加速直线运动时，等压面为斜平面；匀速旋转运动容器中的液体的等 压面为抛物面（在下节中另述）。
③ 等压面的选择。同一液体的等压面可任取；对不同介质的流体取
分界面 ④ 等压面也是等势面
dp=0
dp dW
dW 0
W const
⑤ 等压面与质量力垂直
pa
A p1/g
完全真空
几何意义
p0
A pa/g A' p2/g pe1/g z2
基准面 z1
A'
p0
p2 2
p2
pe2/g
2
z2
工程流体力学22流体平衡微分方程
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
略去二阶以上无穷小量后，分别等于
p 1 p dx 2 x
p 1 p dx 2 x
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为
第二节 流体平衡微分方程
静压强是空间坐标的连续函数
p p(x, y, z)
求静压强分布规律 研究平衡状态的一般情况 推导平衡微分方程式
流体静力学基本方程
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
在静止流体中任取一平行六面体的流体微团， 边长为 dx，dy，dz的微元，中心点静压强为p(x,y,z)
1 p
f x x 0
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
同理得
fx
1
p x
0
1 p
f y y 0
fz
1
p z
0
写成矢量形式
f
1
p
0
流体平衡微分方程式 欧拉平衡微分方程式
第二节 流体平衡微分方程
f
1
p
0
物理意义
在静止流体中，某点单位质量流体的质量力
与静压强的合力相平衡。
第二节 流体平衡微分方程
四、等压面 1. 定义
在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面
等压面可以用p(x,y,z)＝常数来表示。 dp=0
几点说明 对不同的等压面，其常数值是不同的 流体中任意一点只能有一个等压面通过。
流体平衡微分方程
加速直线运动或等加速回转运动） 由于静止流体的流体质点间没有相对运动， 因而流体的粘性显示不出来，可以看作理想流体。
§2.1静止流体上的作用力
研究流体运动规律，首先必须分析作用于流体上的力， 力是使流体运动状态发生变化的外因。 根据物理性质：重力、摩擦力、惯性力、表面张力 根据力作用的方式： 质量力、表面力
结论： 压强随深度按直线变化的规律，装在同一容器内的同一均质
静止液体，任意位置处的压强是随其所处深度变化而增减。 仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压
强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。 自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下
的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。 推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点
问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所
受的单位质量力am水和am水银的大小？
A. am水< am水银；
B. am水> am水银；
(C)
C. am水= am水银；
D.不一定。
问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液
体所受的单位质量力大小（X,Y ,Z）分别为多少？
自由落体（X=Y=Z=0）
第二章 流体静力学
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学 规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的 特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程， 等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力 的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜 体与浮体的稳定性问题等。
第二章 流体静力学
流体的“静止” 绝对静止：流体相对于地球无运动 相对静止：流体质点没有相对运动（容器作匀
第二章流体静力学静止流体上的作用力流体的平衡微分方程及其积分流体静力学基本方程流体静压强的测量静止流体对平面壁的作用力静止流体对曲面壁的作用力第二章流体静力学流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律它以压强为中心主要阐述流体静压强的特性静压强的分布规律欧拉平衡微分方程等压面概念作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法以及应用流体静力学原理来解决潜体与浮体的稳定性问题等第二章流体静力学流体的静止绝对静止相对静止由于静止流体的流体质点间没有相对运动因而流体的粘性显示不出来可以看作理想流体静止流体
§2.1静止流体上的作用力
研究流体运动规律，首先必须分析作用于流体上的力， 力是使流体运动状态发生变化的外因。 根据物理性质：重力、摩擦力、惯性力、表面张力 根据力作用的方式： 质量力、表面力
结论： 压强随深度按直线变化的规律，装在同一容器内的同一均质
静止液体，任意位置处的压强是随其所处深度变化而增减。 仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压
强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。 自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下
的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。 推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点
问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所
受的单位质量力am水和am水银的大小？
A. am水< am水银；
B. am水> am水银；
(C)
C. am水= am水银；
D.不一定。
问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液
体所受的单位质量力大小（X,Y ,Z）分别为多少？
自由落体（X=Y=Z=0）
第二章 流体静力学
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学 规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的 特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程， 等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力 的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜 体与浮体的稳定性问题等。
第二章 流体静力学
流体的“静止” 绝对静止：流体相对于地球无运动 相对静止：流体质点没有相对运动（容器作匀
第二章流体静力学静止流体上的作用力流体的平衡微分方程及其积分流体静力学基本方程流体静压强的测量静止流体对平面壁的作用力静止流体对曲面壁的作用力第二章流体静力学流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律它以压强为中心主要阐述流体静压强的特性静压强的分布规律欧拉平衡微分方程等压面概念作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法以及应用流体静力学原理来解决潜体与浮体的稳定性问题等第二章流体静力学流体的静止绝对静止相对静止由于静止流体的流体质点间没有相对运动因而流体的粘性显示不出来可以看作理想流体静止流体
第三章流体静力学(流体的平衡)
第三章 流体静力学（流体的平衡）
1.流体的平衡：绝对平衡、相对平衡 2.流体平衡时的压强 3.流体平衡的条件 3.1.平衡的微分方程 ∂ p dx ∂ p dx −∂ p dydz − p dydz = dxdydz ∂x 2 ∂x 2 ∂x 表面力： −∇ p dxdydz d 体积力： f b =∇ p 绝对平衡方程： f x 方向表面力： p −
∫ gy sin dA= g sin ∫ y dA= g y c sin A= P c A
A A
设压力中心坐标为
x D , y D = x C f , y C e ,其中 f 和 e 称为纵向和横向偏心矩。
则总合力对形心坐标轴的力矩：
F e =∫ dF = g sin ∫ y dA F f =∫ dF = g sin ∫ y dA∇ p d r =0
d 考虑到绝对平衡方程，得出等压面的微分方程： f b r = 0 ，即在等压面上体力处处与等压面 垂直。
3.3.流体平衡的必要条件
b =∇× 由绝对平衡方程得 ∇× f 1 −1 ∇ p = 2 ∇ ×∇ p
−1 ∇ p⋅∇ ×∇ p =0 3 ⋅∇ × f =0 流体平衡的必要条件 f b b b⋅∇ × f b = 于是 f
均质流体 =constant
≡0 ∇× f b
−∇ =
1 ∇p
=
−p
非均质流体：正压流体 = p ，如等温或绝热气体 定义压力函数 P p ： ∇ P =
=∇ P 由绝对平衡方程得， f b 4.流体静力学基本方程（静力学规律）
由 P =− gz C 得
∇p p ≡0 ，故 f 有势，势函数 =− P p ∇× f b b
1.流体的平衡：绝对平衡、相对平衡 2.流体平衡时的压强 3.流体平衡的条件 3.1.平衡的微分方程 ∂ p dx ∂ p dx −∂ p dydz − p dydz = dxdydz ∂x 2 ∂x 2 ∂x 表面力： −∇ p dxdydz d 体积力： f b =∇ p 绝对平衡方程： f x 方向表面力： p −
∫ gy sin dA= g sin ∫ y dA= g y c sin A= P c A
A A
设压力中心坐标为
x D , y D = x C f , y C e ,其中 f 和 e 称为纵向和横向偏心矩。
则总合力对形心坐标轴的力矩：
F e =∫ dF = g sin ∫ y dA F f =∫ dF = g sin ∫ y dA∇ p d r =0
d 考虑到绝对平衡方程，得出等压面的微分方程： f b r = 0 ，即在等压面上体力处处与等压面 垂直。
3.3.流体平衡的必要条件
b =∇× 由绝对平衡方程得 ∇× f 1 −1 ∇ p = 2 ∇ ×∇ p
−1 ∇ p⋅∇ ×∇ p =0 3 ⋅∇ × f =0 流体平衡的必要条件 f b b b⋅∇ × f b = 于是 f
均质流体 =constant
≡0 ∇× f b
−∇ =
1 ∇p
=
−p
非均质流体：正压流体 = p ，如等温或绝热气体 定义压力函数 P p ： ∇ P =
=∇ P 由绝对平衡方程得， f b 4.流体静力学基本方程（静力学规律）
由 P =− gz C 得
∇p p ≡0 ，故 f 有势，势函数 =− P p ∇× f b b
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
流体的平衡微分方程及其积分
一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程
如图所示，在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为d x ，d y ，d z ，设中心点的压强为p (x,y,z )=p ，对其进行受力分析：
根据平衡条件，在x 方向有0F x
＝∑，即： 0zX y z y x
p 21z y ）21＝＋）＋－（（d dxd d d dx p d d dx x p p ρ∂∂∂∂- 01X ＝－x
p ∂∂ρ 式中：X ——单位质量力在x 轴的投影
流体平衡微分方程（即欧拉平衡微分方程）： ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂-=∂∂-=∂∂-
010101z p Z y p Y x p X ρρρ 物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。
压强沿轴向的变化率（z
p y p x p ∂∂∂∂∂∂，，）等于轴向单位体积上的质量力的分量（ρX ，ρY ，
ρZ ）。
二、平衡微分方程的积分
将欧拉平衡微分方程中各式，分别乘以dx 、dy 、dz ，整理： Zdz)Ydy (Xdx dz z
p dy y p x ++=∂∂+∂∂+∂∂ρdx p 因为p = p (x,y,z )
∴ Zdz)Ydy (Xdx dp ++=ρ ρ为常量； Xdx ＋Ydy ＋Zdz 应为某函数W ＝F （x ，y ，z ）的全微分： dz z W dy y W dx x W dz dy dx d ∂∂+∂∂+∂∂=++=)Z Y (X W dW dp ＝ρ 平衡流体中压强p 的全微分方程 积分得：p=ρW ＋c
假定平衡液体自由面上某点（x 0，y 0，z 0）处的压强p 0及W 0为已知，则： c ＝p 0-ρW 0 ∴ p=p 0+ρ（W-W 0） 欧拉平衡微分方程的积分
三、帕斯卡定律
处于平衡状态下的不可压缩流体中，任意点M 处的压强变化值△p 0，将等值地传递到此平衡流体的其它各点上去。
说明：只适用于不可压缩的平衡流体；
盛装液体的容器是密封的、开口的均可。
四、等压面
平衡流体中压强相等的各点所组成的面。
等压面：dp =ρ（Xdx ＋Ydy ＋Zdz ）＝0
ρ为常量，则：Xdx ＋Ydy ＋Zdz ＝0
即：质量力在等压面内移动微元长度所作的功为零。
等压面的特征：平衡流体的等压面垂直于质量力的方向 只有重力作用下的等压面应满足的条件：
1.静止；
2.连通；
3.连通的介质为同一均质流体；
4.质量力仅有重力；
5.同一水平面。
提问:如图所示中哪个断面为等压面?
答案: B-B’断面。