作业2-轴对称问题的平衡微分方程推导
弹性力学总结
弹性力学总结第一章绪论一、弹性力学的内容：弹性力学的研究对象、内容和范围。
二、弹性力学的基本量1、外力（1）体力（2）面力2、内力——应力3、应变4、位移以上基本量要求掌握其定义、表达式、分量的符号、正负号规定、量纲。
三、弹性力学中的基本假定1、连续性2、完全弹性3、均匀性4、各向同性以上是对材料性质的假定，凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体。
5、小变形假定（对物体的变形状态所作的假定）要求掌握各假定的内容和意义（在建立弹性力学基本方程时的作用）。
习题举例：1、弹性力学，是固体力学的一个分支，它的任务是研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的（），从而解决各类工程中所提出的强度、刚度和稳定问题。
A．应力、应变和位移；B．弯矩、扭矩和剪力；C．内力、挠度和变形；D．弯矩、应力和挠度。
2、在弹性力学中，作用于物体的外力分为（）。
A．体力和应力；B．应力和面力；C．体力和面力；D．应力和应变。
3、重力和惯性力为（C ）。
A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。
4、分布在物体体积内的力称为（ C ）。
A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。
5、物体在体内某一点所受体力的集度的表达式及体力分量的量纲为（ A ）。
A ．0lim V F f V∆→∆=∆，-2-2L MT ； B ．0lim S F f S ∆→∆=∆，-1-2L MT ； C ．0lim A F p A ∆→∆=∆，-1-2L MT ； D ．0lim V F f V ∆→∆=∆，-1-2L MT 。
6、弹性力学研究中，在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念，是利用了（ ）假定。
A ．完全弹性；B ．连续性；C ．均匀性；D ．各向同性。
7、（ A ）四个假设是对物体的材料性质采用的基本假设，凡是符合这四个假设的物体，就称为理想弹性体。
A ．完全弹性，连续性，均匀性和各向同性；B ．完全弹性，连续性，均匀性和小变形；C ．连续性，均匀性，各向同性和小变形；D ．完全弹性，连续性，小变形和各向同性。
《弹性力学简明》习题提示和参考答案
题提示和答案《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。
2－4 按习题2－2分析。
2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。
当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。
2－6 同上题。
在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。
其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。
2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。
2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。
2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。
2－10 参见本章小结。
2－11 参见本章小结。
2－12 参见本章小结。
2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设)。
2－14 见教科书。
2－15 见教科书。
2－16 见教科书。
2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
2－18 见教科书。
2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令,便可得出。
第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3－2 用逆解法求解。
由于本题中l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。
3－3 见3-1例题。
3－4 本题也属于逆解法的问题。
首先校核是否满足相容方程。
再由求出应力后，并求对应的面力。
本题的应力解答如习题3-10所示。
应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。
弹性力学中平衡微分方程推导方法的一点小改进
以微 元 体 中心 点 为 具 体 展 开 点 ，应 用一 阶泰 勒 公 式 得 到 其 各 个 面上 的应 力分 量 ，从 而 推 导 得 到 了 弹性 力学 平面 问题 的平 衡 微 分方 程 ．解 决 了原 有 教 材 中泰 勒 公 式 展 开 点 （ 下转 ５ ６ 页）
５ ６｛ 南Ｉ
２ ０ １ ７ 年 ． 第６ 期
根 据 以上 分 析 ，虚 拟 样 机 技 术 应 用 于 课 堂 教 学 能够 较好 地
的 计 算 及 稳 态 、动 态 性 能 的 形 象 表 达 。Ｇ ａ ｓ Ｔ ｕ ｒ ｂ是 德 国Ｊ ｏ ａ ｃ ｈ ｉ ｍ
Ｋ ｕ ｒ ｚ ｋ ｅ 博士开发的燃气轮机 （ 航空发动机和地面燃气轮机 ） 总
璺 矗
Ａ Ｄ 面 上 的应 力 ：
Ｏ＇ ｘ ４ Ｏ ＂ ｘ
＋
２ ， ｘ
小 的 ，故 认 为 它 的 各面 上 所受 应
力 是均 匀 分 布 的 ，体 力 也 是 均 匀
分 布的 ” 一 。 通过 列 其在 ｘ 、ｙ 方 向
图１ 微 小的正 平 行 六面 体
力的投影方程并忽略掉高阶微量而得出平衡微分方程。
量。
图 ２改 进 后 的 微 小 的 正 平 行 六 面 体
首 先 ，推导 切 应 力互 等 定理 ，将 所有 力对 单 元体 形 心 Ｅ 取矩
列 平衡 方程 ，得 ３ ｘ ） Ｏ ｒ ｄ：
（ ２）大 多数 教 材应 用 泰 勒 公式 对 应 力 分量 展 开 时没 有 说 明
８ ８
耘
２ ０ １ ７ 年・ 第６ 期
单 性 学中平衡 微分方程 推 导
‘
／
去的 厶口 ． Ｊ 点／ Ｊ ． 改 进
弹性力学简明教程-第四章-平面问题的极坐标解答习题详解
第四章 平面问题的极坐标解答典型例题讲解例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。
如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。
例4-1图【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角max min 2x y σσσσ+⎫=⎬⎭ 其中0,,x y x q σστ===得max min ,q q σσ==-。
最大正应力 所在截面的方位角为max 0max 0tan 104yqq τασσπα=-=-=-→--=-qqx若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成方向截取矩形ABCD ，则在其边界上便承受集度为q 的拉力和压力，如图所示。
这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。
（2）取极坐标系如图。
由2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ⎫=--⎪⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=--+⎪⎪⎭得矩形薄板ABCD 内的应力分量为()()()2222442222cos 2(1)(13)cos 2(13)sin 2(1)(13)ρφρφa a σq φa ρρa σq φb ρa a τq φc ρρ=--=-+=--+ 其中 为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b ），在 处得到44cos 2(13)4cos 2,φa σq φaϕ=-+=-当 ， 时，孔边最小正应力为，当时，孔边最大正应力为。
分析：矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。
也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。
习题全解4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。
【解】 （1）极坐标，直角坐标中的平衡微分方程10210f f ρρϕρϕρρϕϕρϕϕστσσρρϕρτστρρϕρ∂∂-⎧+++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=⎪∂∂⎩ 00yxx x y xy yf xy f y x τσστ∂⎧∂++=⎪∂∂⎪⎨∂⎪++=⎪∂∂⎩将极坐标中的平衡微分方程与直角坐标中的平衡微分方程相比较，第一式中，前两项与直角坐标相似；而项是由于正 面上的面积大于负 面上的面积而产生的，是由于正负 面上的正应力 在通过微分体中心的 方向有投影而引起的。
轴对称问题
轴对称应力状态分析当作用力对称分布于回转体时，其内部的应力状态称为轴对称应力状态，轴对称应力状态的特点是:(1)通过旋转体轴线的子午面在变形过程中始终不会扭曲，所以在θ面上没有剪应力，即pθτ=Zθτ=0，所以θσ就是一个主应力。
（2）各应力分量与θ坐标无光，对θ的偏导数为零。
采用圆柱坐标系时，轴对称的应力张量为：ij 0=000P ZPP ZZ θσσσσ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ττ设点a 的坐标为（P ,θZ)，应力状态为ijσ，a 1的坐标为（p p d +，d θθ+，z z d +），应力状态为ij ijd σσ+，即z z z ij ij z zzzzzz z z=zzz z d d d d d d d d d d θθθθθθθθθθσσθθσσσσθθσθσθ∂∂∂⎛⎫+++⎪∂∂∂⎪∂∂∂ ⎪++++ ⎪∂∂∂⎪∂∂∂ ⎪+++ ⎪∂∂∂⎝⎭ρρρρρρρρρρττρττρτττρτρτττρτρ 根据力的平衡条件=P ∑ρ0；=0P θ∑；=0Z P ∑，可得以下圆柱坐标系的平衡微分方程为：z zzz 0z 0z θσσσσ∂∂-⎫++=⎪⎪∂∂⎬∂∂⎪++=⎪∂∂⎭ρρρρρτρρττρρ在有些轴对称问题（例如圆柱体的均匀镦粗、挤压和拉拔等）中，由于=d d ρθεε，由增量理论可知，当某两个正应变增量的分量相等时，其对应的应力也相等，所以=ρθσσ。
那么轴对称的平衡方程可简化为：z zz z =0z =0z ρρρρσρσρρ∂∂⎫+⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪++⎪∂∂⎭τττ轴对称的屈服应力： 1 Tresca 屈服准则Tresca 认为当最大剪应力达到某定值时材料就会发生屈服，开始塑性变形阶段，即 max cτ=，由于屈服时的定值c 与应力状态无光，故可由单周俊宇拉伸实验或薄壁管扭转实验确定。
单向均匀拉伸中230σσ==，屈服时1sσσ=，所以最大剪应力为：13113222scσσσστ-====，该剪应力也应等于纯剪屈服时的剪应力k ，所以当假定 123σσσ≥≥，塑性条件可写成31==2ks σσσ-，该公式同样可用于轴对称问题中。
Hertz理论
2 1
1 K2 E2
2 2
方程（１９）
由方程（１４）和（１７）可以求得 方程（１９）的表达式为：
K1 K 2 q ds d r
2
现在问题转化为寻求 q 的一个表达式 以满足上式。
当两球体受到力Ｐ的作用而沿着０点的法向 相互压紧时，在接触处发生局部变形，而形 成一个小的圆形接触面（斑），其接触区半 径及变形均远远小于两球半径Ｒ１、Ｒ２。 因此Ｍ和Ｎ两点的距离为：
r z1 z2 2
2
1 1 R R 2 1
弹性变形量计算（１４）
设 w1 表示球体１面上的点Ｍ由于局部变形 所产生的沿 z1 轴方向的位移，w2 表示球２ 面上的点Ｎ由于局部变形所产生的沿 z2 轴方 向的位移，两球的中心Ｏ1Ｏ２彼此接近的距 离为。如果Ｍ和Ｎ点在接触区域内，则可以 得到： z z w w
按照Hertz假设，接触区域的压力分布是半球体 形式的，这样接触中心的压力最大，为q０，其
位置在接触中心Ｏ处。所以接触区的压力 分布q的积分可以表达为（见图４）：
q0 q ds a F F
a 2
2
r 2 sin 2
式中Ｆ是虚线半圆的面积，a 是接触圆半径。 积分表达式是把接触压力沿弦 mn 进行积分， 可以求得。 将上述方程代入到方程（１９）式，得：
方程（１）
因为 d 很小，所以可以认为式中的
d d sin 2 2
并略去高阶微量，并除以 r· dr · d · dz， 前式整理后可得：
轴对称问题
(i , j , m )
由上式可见，单元内应变 εr、εz、γrz都是常量，但φi, φj, φm与各单元中各点的位置(r, z)有关，环向应变εθ不是常量； 当结构包含对称轴(r = 0)在内时，φi , φj , φm是奇异的， 这将给数值计算带来困难。
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
- 16 -
z j
wj uj wi ui
单元结点力向量：
wm um
i m
{ f }e
⎧ fi ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨fj ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ f m ⎭ 6×1
r
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
- 11 -
4.2 三结点三角形轴对称单元
4.2.2 单元位移模式 由于有三个结点，在r方向和z方向上各有三个结点条件， 因此设它的单元位移模式为
u ( r , z ) = α1 + α 2 r + α 3 z ⎫ ⎬ w(r , z ) = α 4 + α 5 r + α 6 z ⎭
该位移模式与平面问题三结点三角形单元完全相同。同样， 将结点坐标和结点位移代入上式可得到单元内部位移
⎧ ui ⎫ ⎪w ⎪ ⎪ i⎪ 0 ⎤ ⎪uj ⎪ e ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ = [ N (r , z )]{δ } Nm ⎥ ⎪ wj ⎪ ⎦ ⎪ um ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ wm ⎪ ⎩ ⎭
-5-
4.1 基本概念
4.1.2 基本方程 ①平衡方程
∂σ r ∂τ zr σ r −σ θ + + + br = 0 ∂r ∂z r ∂σ z ∂τ rz τ rz + + + bz = 0 ∂z ∂r r ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
Hertz理论
按照Hertz假设，接触区域的压力分布是半球体 形式的，这样接触中心的压力最大，为q０，其
位置在接触中心Ｏ处。所以接触区的压力 分布q的积分可以表达为（见图４）：
q0 q ds a F F
a 2
2
r sin
2 2
式中Ｆ是虚线半圆的面积，a 是接触圆半径。 积分表达式是把接触压力沿弦 mn 进行积分， 可以求得。 将上述方程代入到方程（１９）式，得：
Hertz弹性接触理论
1. 2. 3. 4. 5.
弹性力学基础理论
空间轴对称问题的基本微分方程
空间轴对称问题
弹性接触问题(Hertz弹性接触理论) 一般接触问题
弹性力学的应力与应变关系
在弹性力学中假设物体是均匀、连续、 和各向同性的，应力和应变的关系只决 定于物体的物理性质，所以弹性力学与 塑性力学的主要区别主要是应力和应变 的关系定性。
Hertz假设接触表面的压应力分布为半椭 圆体。 （３）、静力平衡方程：根据接触表面压 应力分布规律求得表面接触压力所组成 的合力应等于外加载荷。 将上述三方面的方程表达式联合求 解，即可求得各种接触问题的公式。
现推导两个球体弹性接触时的公式。 设两圆球体的半径分别为Ｒ１、Ｒ２ 。开 始时在公切平面上的０点相互接触，如 图３所示。
方向的应变，则有：
x = [x - （y +z ）]/E
同理可以得到 y轴和 z轴方向的应变。
剪应变与剪应力的关系
同样的方法可以得出剪应变与剪应力的 关系表达式：
xy =
xy
/G
式中G为剪切弹性模量。