弹性力学2-两平面问题、平衡微分方程

第二章 平面问题的基本理论 本章内容
2.1 平面应力与平面应变
2.2 平衡微分方程
2.3 一点的应力状态 2.4 几何方程 2.5 物理方程 2.6 边界条件
2.7 圣维南原理
2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题
2.10 常体力情况下的简化
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应变问题
几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如z轴）方向的长度很 长（相对无限长），且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一 等截面柱体；位移约束条件或支承条件沿轴方向也相同。
载荷特征：柱体侧表面承受的表面力以及体积力均平行于 横截面，且分布规律不随z变化。 应力、应变及位移分量都不会沿z向变化，只是x、y的函数。 由于对称（无限长，任一横截面都可以看作是对称面），所 有各点都只会沿x和y方向移动，而不会有z方向的位移，即 w 0
yx
y
1 2 f x f x0 f x0 x x0 f x0 x x0 2! x 1 n x n x x dx x dx dx n x n ! x
y
y
载荷特征：在薄板的两个侧表面上无表面载荷，作用于边
缘的表面力平行于板面，且沿厚度不发生变化，体积力亦平
行于板面且沿厚度不变。
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
定义xyz坐标系，以薄板中面为xy面，垂直于中面直线为Z轴。 因为板面上不受力，所以 z zx zy 0, z 2 由于剪应力互等，有 xz 0, yz 0, z 2 板很薄，外力不沿板厚变化，应力沿板厚均匀分布， 可认为整个薄板各点只有平行于oxy平面的三个应力分量，即
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
例1.1 如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是， 则是平面应力问题，还是平面应变问题？
平面应力问题 薄板弯曲问题
平面应变问题
空间问题
空间问题
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应力问题
x 0, y 0, xy yx 0, z 0, xz zx 0, yz zy 0
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
平衡微分方程： x yx fx 0 是关于物体内部任何一点（如图P x y 点）的静力平衡方程，物体内部 任意一点应力分量与体力分量之 y xy f 0 间的关系，对于整个物体来说能 y x y 满足严格精确的静力学条件。
8个未知函数 3个应力分量 3个应变分量 2个位移分量
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面问题的数学描述
15个未知函数中只存在有 xoy 平面内的分量，且只 是x、y的函数，其余分量或不存在，或可以用 xoy 平 面内的分量直接表示（胡克定律）； 应力、应变及位移一般是x，y两个坐标的函数； 基本方程式是二维的。
x y
小变形假定：利用微元体变形前的尺寸dxdy计算各面应力的合力： xy yx dx dx dy dx dy 1 dy 1 dy dx 1 xy yx xy
2 dy yx dx 1 0 2 2 O 2 x
yx
xy
x
y
除以dxdy，合并同类项 1 xy 1 yx xy dx yx dy
2 x 2 y
C
fx
x
xy
略去高阶微量，得出
fy
xy x
x dx x
dx
xy yx
y
y
yx
y dy
yx y
2个方程，3个未知数 还需物理方程、几何方程才能解答。
O
P q
`
x
O
yx
xy
x
y
P
fy
q
x
fx
x
xy
Fra Baidu bibliotek xy x
x dx x
dx
y
y
y
yx
y y dy
yx y
dy
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程




y y
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应力问题
xy zx zy yx
x
xz
O
x
zx
yx y xy yx y x
x o y
yz
y

xy
y
z
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应力问题实际工程：板、墙。
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是 某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。
平面应力问题
几何形状特征：物体在一个坐标方向 （一般为z向）的几何尺寸远远小于其他 两个坐标方向的几何尺寸—薄板。
t/2 o x t/2 z
具有特殊形状及受 力特点的空间问题 z
C
平面问题
O
x
z
yx y xy yx y x
zx yx y yz xz
P
zy x yz y
B
xy b xz yx a xy zx z
x zy
xy
y
A
y
x 15个未知函数 6个应力分量： x , y , z , xy yx , yz zy , zx xz 6个应变分量： x , y , z , xy yx , yz zy , zx xz 3个位移分量： u、v、w
z x y
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应变问题微元体应力
O
x
yx y
xy x yx xy
x
y
y
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应变问题实际工程：挡土墙、管道、隧洞并非 无限长，两端的力学条件与中间截面—平面应变情况 不同，但对于离开两端较远处是可以当做平面应变的 问题，结果的误差是工程上能接受的。
yx
y
xy
x
x
x
x
fy
xy
xy
类似于上式，可得 xy y fy 0 x y
x
dx
y
y
yx
y y dy
yx y
dy
平面问题的平衡微分方程 （纳维Navier方程）
x yx fx 0 x y xy y f y 0 x y
zx 0, zy 0, xz 0, yz 0
在平面应变问题中，非零应变3个，独立的未知函数有8 个， x , y , xy , x , y , xy , u, v 只是 x 和 y 的函数，不随 z 而 变化。
注意：由于z方向的伸缩被阻止（w=0），所以 z 0 由广义虎克定律得到

因为所有各点的位移矢量都平行于 oxy面，应变也只发生在 xoy 平面内，所以称之为平面位移问题，习惯上称为平面应变问题。
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
由对称条件可知， zx 0, zy 0 根据剪应力互等， xz 0, yz 0 由虎克定律，得出
x 0, y 0, xy yx 0, z 0, xz zx 0, yz zy 0
平面应变问题
z

E
x
y
x 0, y 0, xy yx 0 z 0, xz zx 0, yz zy 0
x
6个应变分量 x , y , z , xy yx , yz zy , zx xz
3个位移分量： u、v、w。
一般都是三个坐标参数x、y、z的函数；
基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为
已知时，维数可相应减少。
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
空间问题的数学描述：
z
yx y yz
C
z zx zy x yz y
B
xz
P
弹性微元体体在外界力的作用 下，在x、y、z三个方向均会产 生应力、应变及位移。 15个未知函数 — 6个应力分量：
xy b xz yx a xy zx z
x zy
A
y
x , y , z , xy yx , yz zy , zx xz
2.7 圣维南原理
2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题
2.10 常体力情况下的简化
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
弹性力学分析问题严格遵循静力学、几何学、物理学三个方面 的条件，建立三套方程。 静力平衡的条件：是关于弹性体内一点（微分体）的应力 分量与体力分量直接平衡关系的平衡微分方程。
x , y , xy yx
因此叫做平面应力问题，其中3个非零应力； 独立的未 知函数有8个， x , y , xy , x , y , xy , u, v 只是x和y的函数，不 随z而变化。
注意： z
0
t/2 o x
t/2 z
由广义虎克定律得到 1 z z x y x y E E
x 0, y 0, xy yx 0, z 0, xz zx 0, yz zy 0
z x y
第二章 平面问题的基本理论 本章内容
2.1 平面应力与平面应变
2.2 平衡微分方程
2.3 一点的应力状态 2.4 几何方程 2.5 物理方程 2.6 边界条件
xy
C
x
fx
x
x
fy
xy
xy x
x
dx
dx
y
y
yx
y y dy
yx y
dy
x x x dx x dx x
物理意义： 变化量=变化率乘以距离
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
根据微元体处于静力平衡的条件，可以得到三个平衡微分 方程。 （一）作用于体心M的合力矩为零，即 M C 0
x yx fx 0 y x xy y f 0 y y x
O
yx
xy
x
x
y
C
fx
x
xy
fy
xy x
x dx x
dx
y
y
yx
y dy
yx y
dy
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
从平面问题（图2-1的薄板、图2-2的柱形体）中取出一个微小的 正六面体， x、y方向尺寸取dx、dy正方形；z向尺寸取单位长度。 应力是坐标x、y的函数，作用于左右对面和上下对面的应力分量 不同，因为坐标的改变，具有微小差量（1-2节中图1-3中所示为特 x O 殊情况下的均匀应力情况，两对面应力一样）。 数学原理：连续性假定按照泰勒公式 展开式：
dy
证明了剪应力互等定理。
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
（二）x方向的合力为零，即 Fx 0 yx x dx dy x dy yx dy dx yx dx f x dxdy 0 x x x y O x yx fx 0 整理后，得 x y C dx f x F 0 （三）y方向的合力为零，即 y