弹性力学2-两平面问题、平衡微分方程
弹性力学公式
2°斜截面上的正应力：全应力矢量p N 在外法线方向n 上的投影即为斜截面上的正应力σN ：=r r m n ⋅r r r r r r nσ=n p n ⋅()()x y z p ip j p k li j k ++++(){}{}x T x y z y n p p l p m p n lmn p n p ⎧⎫⎪⎪=++==⎨⎬l zx yxx ττσ⎫⎧⎟⎞⎜⎛z p ⎪⎪⎩⎭}){(}{)(n n n m n ml ij Tzyzxzzy y xyσστττστ=⎪⎭⎪⎬⎪⎩⎪⎨⎟⎟⎠⎜⎜⎝=即}){(}{n n ij T N σσ=（2-15）j 3°斜截面上的切应力：全应力矢量p N 在斜截面内的投影即斜截面上的切应力分量为：||n n n p τ=×r r ++216或2222222()()n n n x y z x y z p p p p p l p m p n τσ=−=++−（2-16）τxσz4-4、弹塑性力学中常用的简化力学模型44、弹塑性力学中常用的简化力学模型σA B分析计算有困难与实际符合较好1、理想弹塑性模型：o εεsσ⎨⎧>=≤=ss sE E εεεσεεεσ当当s理想弹塑性力学模型⎩Bσ1tg −2、线性强化弹塑性力学模型As σ1E 计算复杂⎨⎧>−+=≤=ss s s E E εεεεσσεεεσ当当)(1εoEtg 1−sε⎩型线性强化弹塑性力学模3、幂强化力学模型：σ1=n 参数少想弹性模型n A n<<=εσ100=n 便于分析理想塑性模型当理想弹性模型当A n A n ====σεσ01ε1幂强化力学模型4、刚塑性力学模型（理想塑性模型）在应力到达屈服极限之前应变为零。
AσB分析计算容易oε刚塑性力学模型5σ（刚塑性力学模型）5.理想塑性力学模型σssσσ=ε6.σ6.理想弹性力学模型εσE =ε4－6、常用屈服条件：对屈服条件的研究已有两个世纪。
弹性力学-2-平面问题的基本理论
2015-1-16
4 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
弹性力学空间问题共有应力、应变和位
移共15个未知函数，且均为 f (x, y, z)。
弹性力学平面问题共有应力、应变和位
移8个未知函数，且均为f (x, y,)。
2015-1-16
5 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
什么条件下 空间问题可简化为平面问题
px n l l
py n m m
又由于：
px xl xy m p y xyl y m
32 弹性力学
2015-1-16
2.2 平面问题中一点的应力状态 问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0， 求此斜面上的主应力σ和应力主方向α 从而可得
2015-1-16 25 弹性力学
2.2 平面问题中一点的应力状态 应力是与作用面有关的。σx，σy和τxy作为 基本未知函数，只是表示一点的坐标平面上的 应力分量（左图）。而校核强度时需要知道过 此点的任意斜面上的应力p。斜面上的应力p可 以按坐标轴分解为（px,py），也可沿法向和切 向分解为正应力σn和切应力τn（右图）。
z , zx , zy 0
2015-1-16 10 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
因此，此类问题的未知量只剩下Oxy面内 的三个应力分量： x , y , xy
所以此类问题称为平面应力问题。 由于板很薄，等厚度，外力和约束沿z 方向不变，因此应力也沿厚度z方向均匀分 布，应力x，y和xy只是坐标x, y的函数。
取如图所示的微分三角板或三棱柱
PAB，当平面AB无限接近于P点时， 该平面上的应力即为所求。
《弹性力学简明》习题提示和参考答案
题提示和答案《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。
2－4 按习题2－2分析。
2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。
当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。
2－6 同上题。
在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。
其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。
2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。
2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。
2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。
2－10 参见本章小结。
2－11 参见本章小结。
2－12 参见本章小结。
2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设)。
2－14 见教科书。
2－15 见教科书。
2－16 见教科书。
2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
2－18 见教科书。
2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令,便可得出。
第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3－2 用逆解法求解。
由于本题中l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。
3－3 见3-1例题。
3－4 本题也属于逆解法的问题。
首先校核是否满足相容方程。
再由求出应力后，并求对应的面力。
本题的应力解答如习题3-10所示。
应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。
弹性力学平面问题极坐标
r
r
2 2 2 x2 y2
sin cos
r
r
cos2 sin2
r2
sin cos
r2
2
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2 r 2
二. 极坐标系下的平衡微分方程
1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系
（1）极坐标系下的应力分量和体力分量
O
如图，根据应力状态的定义，过P
点分别以 r 方向和 方向为法线的截面
由半圆上的应力和外力的平衡关系，有
M
O
x
a
r r r
y
Fx 0
Fy 0 Mz 0
0
r
r
a
cos
ad
0
r
r a
sin
ad
0
0
r
ra
cos
r
ra
sin
d
0
0
r
ra
sin
r
ra
cos
d
0
a 0 a 0
0
r
ra
a ad
M
0
0
r
a2d M
ra
a 0
0
r
1 r
2 r
r
Fb
0
三. 极坐标系下的几何方程
1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系
类似体力分量的投影关系 2. 极坐标系下的应变分量
O
x
r
Pu
u
ur
v
r
y
将P点分别沿 r 和 方向（相互垂直）两线元的线应变 r、 及其切应变 r ， 作为P点的应变分量。
3. 极坐标系下的几何方程
弹性力学第二章
（2）平面应变问题的物理方程 由于平面应力问题中：εz = γ zx = γ zy = 0
µ 1− µ2 σx − εx = σy 1− µ E 1− µ2 µ σy − εy = σy E 1− µ
——平面应变问题 ——平面应变问题 物理方程
第三节
平面问题中一点的应力状态
一点的应力
2. 一点的主应力与应力主向 （1）主应力 若某一斜面上τn = 0 ，则该斜面上的正应力σn 称为该点一个主应力σ； 当τn = 0 时，有 σn =σ = p
px =lσ py = m σ
lσx +m xy =lσ τ m y +lτxy = m σ σ
γ xy =
2(1+ µ) τ xy E
在z方向，εz = 0, σz = µ(σx +σy )
变换关系 ： 平面应力物理方程 →平面应变物理方程：
E µ E→ ， → µ 2 1− µ 1− µ
平面应变物理方程 →平面应力物理方程：
E→
E(1+ 2µ)
(1+ µ)2
， → µ 1+ µ
µ
思考题 1. 试证：由主应力可以求出主应变，且两者方 向一致。 2. 试证：三个主应力均为压应力，有时可以产 生拉裂现象。 3. 试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。
E
µ
2.平面应变问题 2.平面应变问题 条件是：⑴很长的常截面柱体 ； ⑵体力、面力、约束平行于柱面横截面， 沿长度方向不变。 应力：
σz = µ(σx +σy )
τ zx =τ zy = 0
应变：
εz = 0 γ zx = 0 γ zy = 0
弹性力学中平衡微分方程推导方法的一点小改进
以微 元 体 中心 点 为 具 体 展 开 点 ，应 用一 阶泰 勒 公 式 得 到 其 各 个 面上 的应 力分 量 ，从 而 推 导 得 到 了 弹性 力学 平面 问题 的平 衡 微 分方 程 ．解 决 了原 有 教 材 中泰 勒 公 式 展 开 点 （ 下转 ５ ６ 页）
５ ６｛ 南Ｉ
２ ０ １ ７ 年 ． 第６ 期
根 据 以上 分 析 ，虚 拟 样 机 技 术 应 用 于 课 堂 教 学 能够 较好 地
的 计 算 及 稳 态 、动 态 性 能 的 形 象 表 达 。Ｇ ａ ｓ Ｔ ｕ ｒ ｂ是 德 国Ｊ ｏ ａ ｃ ｈ ｉ ｍ
Ｋ ｕ ｒ ｚ ｋ ｅ 博士开发的燃气轮机 （ 航空发动机和地面燃气轮机 ） 总
璺 矗
Ａ Ｄ 面 上 的应 力 ：
Ｏ＇ ｘ ４ Ｏ ＂ ｘ
＋
２ ， ｘ
小 的 ，故 认 为 它 的 各面 上 所受 应
力 是均 匀 分 布 的 ，体 力 也 是 均 匀
分 布的 ” 一 。 通过 列 其在 ｘ 、ｙ 方 向
图１ 微 小的正 平 行 六面 体
力的投影方程并忽略掉高阶微量而得出平衡微分方程。
量。
图 ２改 进 后 的 微 小 的 正 平 行 六 面 体
首 先 ，推导 切 应 力互 等 定理 ，将 所有 力对 单 元体 形 心 Ｅ 取矩
列 平衡 方程 ，得 ３ ｘ ） Ｏ ｒ ｄ：
（ ２）大 多数 教 材应 用 泰 勒 公式 对 应 力 分量 展 开 时没 有 说 明
８ ８
耘
２ ０ １ ７ 年・ 第６ 期
单 性 学中平衡 微分方程 推 导
‘
／
去的 厶口 ． Ｊ 点／ Ｊ ． 改 进
弹性力学 第二讲 平面问题的基本理论
本讲学习指南
本讲将系统地平面问题的基本理论－基本方程和边 界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和 代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内 容如下： 1、两类平面问题的定义； 2、关于一点应力状态的分析； 3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理 方程； 4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及 圣维南原理的应用； 5、按位移求解方法和按应力求y x
fy 0
2q0 3 s y 3 xy f ( x) y g ( x) hl
主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
平面AB上的正应力sn即为上
面所求的全应力p向法线方向n 的投影： s lp mp
n x y
平面AB上的切应力tn即为上
面所求的全应力P向切线方向的 投影： 2 2 2 t n px p y s n 或
t n mpx lp y
过一点任意斜面的主应力与主方向
问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜
§2.2 平面问题的平衡微分方程
平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条 件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力 分量与体力分量之间的关系。
如图，在弹性体内任一点
取一微小的正平行六面体，其 x、y方向的尺寸分别为dx、dy ，为计算方便，设它在z方向 的尺寸为单位长度1。
平面问题的平衡微分方程
弹性力学公式
1 / 1第一章 绪论 弹性力学基本假设： 1、连续性假设指组成物体的介质充满了物体所占的空间，物体中不存在任何间隙。
2、均匀性假设物体内的每一点都具有相同的力学性质3、各向同性假设。
指物体内一点的各个方向上的力学性质相同。
4、完全弹性假设指物体在载荷作用下发生变形，当这些荷载拆除以后物体能完全恢复到原来的形状和大小，而没有任何残余变形。
5、小变形假设假定物体内各点在载荷作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，因而应变分量和转角都远小于1。
6、无初应力假设假定物体的初始状态为自然状态，即载荷作用以前物体内没有应力。
第二章 弹性力学的基本方程 平衡微分方程：000yx x zxx xy y zy y yz xz zz F x y z F xyzF x y zτσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂边界条件：()()()x xy xz s x xy y yz s y xz yz z s z l m n T l m n T l m n T στττστττσ++=++=++=斜面应力公式（Cauchy 公式）：x x xy zx y xy y zy z xz yz z T l m n T l m n T l m nστττστττσ=++=++=++ 斜截面上的全应力：T υ斜截面上的正应力：x y z T l T m T n υσ=++斜截面上的总剪应力：222T υυυτσ=-几何方程：;;;x yz y xy z xy u w vx y z v u w y z x w v u z x yεγεγεγ∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂==+∂∂∂物理方程：()()()2(1)1;2(1)1;2(1)1;x x y z xy xy y y x z yzyz z z y x zx zxv v E E v v E E v v E E εσσσγτεσσσγτεσσσγτ⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦+=-+=+=-+=+=-+=体积应变：x y z θεεε=++x =()y z σσσΘ++12Evθ-=Θ 第三章 平面问题的直角坐标解法 平衡方程：00yxx x xy yy F x yF x yτστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂ 几何方程：;;x y xy u v u v x y y xεεγ∂∂∂∂===+∂∂∂∂ 边界条件：;x yx x xy y yl m T l m T σττσ+=+=位移边界条件：;xx y yu u u u ==平面应变：22222y xyx xy y xετε∂∂∂+=∂∂∂平面应力：222220;0;0z z zxy x yεεε∂∂∂===∂∂∂ 平面问题应力解：22222x x y y xy F xy F y x x yϕσϕσϕτ∂=-∂∂=-∂∂=-∂∂相容方程：444422420y x x y ϕϕϕ∂∂∂++=∂∂∂∂ 第四章 平面问题的极坐标解法 平衡微分方程：10210r r r r r r F r r r F r r rθθθθθθτσσσθτστθ∂-∂+++=∂∂∂∂+++=∂∂几何方程：1;1r r r r r u u u r r r u u u r r rθθθθθεεθγθ∂∂==+∂∂∂∂=+-∂∂物理方程：()()r 11;2(1)r r r rv v E E v Eθθθθθεσσεσσγτ=-=-+=相容方程：22222211()0r r r r ϕθ∂∂∂++=∂∂∂ 第五章 应力张量=0x xy xzyx y yz zx zy z σστττσστττσσ---。
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xy
x
y
除以dxdy，合并同类项 1 xy 1 yx xy dx yx dy
2 x 2 y
C
fx
x
xy
略去高阶微量，得出
fy
xy x
x dx x
dx
xy yx
y
y
yx
y dy
yx y
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应变问题
几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如z轴）方向的长度很 长（相对无限长），且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一 等截面柱体；位移约束条件或支承条件沿轴方向也相同。
载荷特征：柱体侧表面承受的表面力以及体积力均平行于 横截面，且分布规律不随z变化。 应力、应变及位移分量都不会沿z向变化，只是x、y的函数。 由于对称（无限长，任一横截面都可以看作是对称面），所 有各点都只会沿x和y方向移动，而不会有z方向的位移，即 w 0
2个方程，3个未知数 还需物理方程、几何方程才能解答。
O
P q
`
x
O
yx
xy
x
y
P
fy
q
x
fx
x
xy
xy x
x dx x
dx
y
y
y
yx
y y dy
yx y
dy
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
x
6个应变分量 x , y , z , xy yx , yz zy , zx xz
3个位移分量： u、v、w。
一般都是三个坐标参数x、y、z的函数；
基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为
已知时，维数可相应减少。
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
8个未知函数 3个应力分量 3个应变分量 2个位移分量
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面问题的数学描述
15个未知函数中只存在有 xoy 平面内的分量，且只 是x、y的函数，其余分量或不存在，或可以用 xoy 平 面内的分量直接表示（胡克定律）； 应力、应变及位移一般是x，y两个坐标的函数； 基本方程式是二维的。
zx 0, zy 0, xz 0, yz 0
在平面应变问题中，非零应变3个，独立的未知函数有8 个， x , y , xy , x , y , xy , u, v 只是 x 和 y 的函数，不随 z 而 变化。
注意：由于z方向的伸缩被阻止（w=0），所以 z 0 由广义虎克定律得到
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是 某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。
平面应力问题
几何形状特征：物体在一个坐标方向 （一般为z向）的几何尺寸远远小于其他 两个坐标方向的几何尺寸—薄板。
t/2 o x t/2 z
z x y
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应变问题微元体应力
O
x
yx y
xy x yx xy
x
y
y
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应变问题实际工程：挡土墙、管道、隧洞并非 无限长，两端的力学条件与中间截面—平面应变情况 不同，但对于离开两端较远处是可以当做平面应变的 问题，结果的误差是工程上能接受的。
y y
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应力问题
xy zx zy yx
x
xz
O
x
zx
yx y xy yx y x
x o y
yz
y
xy
y
z
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应力问题实际工程：板、墙。
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
平衡微分方程： x yx fx 0 是关于物体内部任何一点（如图P x y 点）的静力平衡方程，物体内部 任意一点应力分量与体力分量之 y xy f 0 间的关系，对于整个物体来说能 y x y 满足严格精确的静力学条件。
从平面问题（图2-1的薄板、图2-2的柱形体）中取出一个微小的 正六面体， x、y方向尺寸取dx、dy正方形；z向尺寸取单位长度。 应力是坐标x、y的函数，作用于左右对面和上下对面的应力分量 不同，因为坐标的改变，具有微小差量（1-2节中图1-3中所示为特 x O 殊情况下的均匀应力情况，两对面应力一样）。 数学原理：连续性假定按照泰勒公式 展开式：
dy
证明了剪应力互等定理。
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
（二）x方向的合力为零，即 Fx 0 yx x dx dy x dy yx dy dx yx dx f x dxdy 0 x x x y O x yx fx 0 整理后，得 x y C dx f x F 0 （三）y方向的合力为零，即 y
xy
C
x
fx
x
x
fy
xy
xy x
x
dx
dx
y
y
yx
y y dy
yx y
dy
x x x dx x dx x
物理意义： 变化量=变化率乘以距离
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
根据微元体处于静力平衡的条件，可以得到三个平衡微分 方程。 （一）作用于体心M的合力矩为零，即 M C 0
2.7 圣维南原理
2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题
2.10 常体力情况下的简化
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
弹性力学分析问题严格遵循静力学、几何学、物理学三个方面 的条件，建立三套方程。 静力平衡的条件：是关于弹性体内一点（微分体）的应力 分量与体力分量直接平衡关系的平衡微分方程。
x 0, y 0, xy yx 0, z 0, xz zx 0, yz zy 0
z x y
第二章 平面问题的基本理论 本章内容
2.1 平面应力与平面应变
2.2 平衡微分方程
2.3 一点的应力状态 2.4 几何方程 2.5 物理方程 2.6 边界条件
因为所有各点的位移矢量都平行于 oxy面，应变也只发生在 xoy 平面内，所以称之为平面位移问题，习惯上称为平面应变问题。
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
由对称条件可知， zx 0, zy 0 根据剪应力互等， xz 0, yz 0 由虎克定律，得出
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
例1.1 如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是， 则是平面应力问题，还是平面应变问题？
平面应力问题 薄板弯曲问题
平面应变问题
空间问题
空间问题
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应力问题
x 0, y 0, xy yx 0, z 0, xz zx 0, yz zy 0
x yx fx 0 y x xy y f 0 y y x NhomakorabeaO
yx
xy
x
x
y
C
fx
x
xy
fy
xy x
x dx x
dx
y
y
yx
y dy
yx y
dy
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
y
y
载荷特征：在薄板的两个侧表面上无表面载荷，作用于边
缘的表面力平行于板面，且沿厚度不发生变化，体积力亦平
行于板面且沿厚度不变。
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
定义xyz坐标系，以薄板中面为xy面，垂直于中面直线为Z轴。 因为板面上不受力，所以 z zx zy 0, z 2 由于剪应力互等，有 xz 0, yz 0, z 2 板很薄，外力不沿板厚变化，应力沿板厚均匀分布， 可认为整个薄板各点只有平行于oxy平面的三个应力分量，即
x , y , xy yx
因此叫做平面应力问题，其中3个非零应力； 独立的未 知函数有8个， x , y , xy , x , y , xy , u, v 只是x和y的函数，不 随z而变化。
注意： z
0
t/2 o x
t/2 z
由广义虎克定律得到 1 z z x y x y E E
yx
y
xy
x
x
x
x
fy
xy
xy
类似于上式，可得 xy y fy 0 x y
x
dx
y
y
yx
y y dy
yx y
dy
平面问题的平衡微分方程 （纳维Navier方程）
x yx fx 0 x y xy y f y 0 x y
具有特殊形状及受 力特点的空间问题 z
C
平面问题
O
x
z
yx y xy yx y x
zx yx y yz xz