平衡微分方程与切应力互等定理
弹性力学基本理论
15
1.1.3 应变的概念
(a) x方向的线应变
(b) y方向的线应变
(c) xy面内的剪应变
图 1-3 单元体应变的几何描述
在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元 体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即
x
u x x
y
u y x
（1.9）
u y y
ux y
相应地，y轴方向的正应变为： x-y 平面内的剪应变：
tan 1
（1.10）
; tan 2
（1.11）
16
1.1.3 应变的概念
因此，剪应变 xy 为
xy
u x 1 2 x y u y
（1.12）
应变分量的矩阵型式
x xy ij yx y zx yy
2 2 Tn n n 2
m A
B T
G
P A
n
o
y
图1-1 物体内任意点处的应力
（1.6）
12
1.1.2 应力的概念 应力状态
在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力是不同的。只有 同时给出过该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面 上应力的大小和方向，才能表示这一点的应力状态。
x' ' y z'
=
0 1 0 cos 0 sin
0 x1 sin y1 cos z1
（b）
将第一式代入上式，可得
x ' 1 0 0 cos sin 0 x ' y y 0 cos sin = sin cos 0 z' z 0 sin cos 0 0 1
弹性力学课后答案
弹性力学课后答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。
2－4 按习题2－2分析。
2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。
当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。
2－6 同上题。
在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。
其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。
2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。
2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。
2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。
2－10 参见本章小结。
2－11 参见本章小结。
2－12 参见本章小结。
2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设 )。
2－14 见教科书。
2－15 2－16 见教科书。
见教科书。
2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
2－18 见教科书。
2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令 ,便可得出。
第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3－2 用逆解法求解。
由于本题中 l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。
3－3 见3-1例题。
3－4 本题也属于逆解法的问题。
首先校核是否满足相容方程。
再由求出应力后，并求对应的面力。
本题的应力解答如习题3-10所示。
应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。
切应力互等定理的推导
切应力互等定理的推导摘要：I.引言- 介绍切应力互等定理- 说明推导的目的和方法II.切应力互等定理的推导- 基本假设和定义- 推导过程1.切应力的定义和分解2.应力平衡方程3.切应力互等定理的推导III.结论- 总结切应力互等定理的推导过程- 说明切应力互等定理的应用和意义正文：I.引言切应力互等定理是固体力学中的一个重要定理，它描述了在受力物体中，切应力在各个正交方向上的分量之间存在的关系。
为了更好地理解和应用该定理，我们首先需要了解其推导过程。
本文将详细介绍切应力互等定理的推导过程，并说明其应用和意义。
II.切应力互等定理的推导要推导切应力互等定理，我们首先需要了解一些基本假设和定义。
假设我们有一个均匀的弹性体，其内部受力平衡，即受力物体中的应力分布满足应力平衡方程。
接下来，我们开始推导切应力互等定理。
首先，我们定义切应力在x轴和y轴方向上的分量分别为τx和τy。
根据应力分解原理，我们可以将切应力分解为两个正交方向上的分量，即τx = τcosθ和τy = τsinθ，其中θ为切应力与x轴正半轴之间的夹角。
然后，我们考虑受力物体中一个正方形单元体的情况。
这个单元体受到四个力的作用，分别为FX、FY、FN和FT。
根据应力平衡方程，我们可以得到以下四个方程：1.ΣFX = 02.ΣFY = 03.ΣFN = 04.ΣFT = 0其中，ΣFX、ΣFY、ΣFN和ΣFT分别表示正方形单元体在x轴、y轴、法向和切向方向上的受力分量之和。
接下来，我们分别考虑正方形单元体在x轴和y轴方向上的受力情况。
在x轴方向上，正方形单元体受到FX和FN的作用，因此有：1.ΣFX = FX + FNcosθ = 02.ΣFN = FN - FXsinθ = 0将第二个方程代入第一个方程，可得：FX = FNcosθ在y轴方向上，正方形单元体受到FY和FN的作用，因此有：1.ΣFY = FY + FNsinθ = 02.ΣFN = FN - FYcosθ = 0将第二个方程代入第一个方程，可得：F Y = FNsinθ现在我们来考虑正方形单元体在切向方向上的受力情况。
弹塑性力学 第02章应力状态理论
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7
应力状态理论
体力和面力 应力和一点的应力状态 与坐标轴倾斜的微分面上的应力 平衡微分方程·应力边界条件 主应力·应力张量不变量 最大切应力 偏应力张量及其不变量
§2-1 体力和面力
作用于物体上的外力分为两类 ①体力：指分布在物体内所有质点上的力，如重 力、惯性力和电磁力等；用 Fbx , Fby , Fbz 表示单位 体积的体力；其量纲为 MT −2 L−2 ；其单位为 N m 3。 ②面力：指作用在物体表面上的力，如风力、液 体压力等；用 f sx , f sy , f sz 表示单位面积的面力；其 量纲为 MT L ；其单位为 N m 。
⎧σ x = −γy ⎨ ⎩τ xy = 0
平面情况下面力边界 条件简化为
⎧ ⎪ f sx = σ x l + τ yx m ⎨ ⎪ ⎩ f sy = τ xy l + σ y m
AB边
l = 0， m = −1
f sx = 0， f sy = γh
⎧ ⎪σ y = −γh ⎨ = 0 τ ⎪ xy ⎩
⎧τ zy = τ yz ⎪ ⎨τ xz = τ zx ⎪τ = τ yx ⎩ xy
切应力互 等定理
σ ij = σ ji
在弹性体的表面，考虑任一微分四面体的平衡。 设物体单位面积上的面力为 f sx , f sy , f sz ，物体表面外 法线的方向余弦为l，m，n，则应用平衡关系，可得
⎧ f sx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎪ ⎪ ⎨ f sy = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎪ ⎪ ⎩ f sz = τ xz l + τ yz m + σ z n
空间问题的基本理论
§7-1 平衡微分方程
工程实际中，除经常碰到一些平面问题外，还会 碰到大量的空间问题，对空间问题，必须考虑三个方 向的尺度
分析空间问题，仍然要从三个方面考虑：a、静力 学方面 b、几何学方面 c、物理学方面
空间问题中未知量为： x、y、z、xy、xz、yz x、y、z、xy、xz、yz u、v、w
先从静力学方面考虑，导出空间问题的平衡微分方程 从物体内任一点P，取微小的平行六面体，它的六个面 垂直于坐标轴，棱边长分别为：
PA=dx， PB=dy， PC=dz
各面上的应力分量如图所示，体积力为fx、fy、fz
建立微单元的平衡微分方程：
Fx 0
x
x
yx
y
zx
z
fx
0
Fy 0
y
y
xy
r
E
1
[
1 2
r ]
j
E
1
[
1 2
j ]
z
E
1
[ 1 2
z]
zr
2(1 E
)
zr
(7-20)
小结：
空间轴对称问题的基本未知量为： 应力分量：r、j、z、zr 应变分量：r、j、z、zr 位移分量：ur、uz 这10个未知量应满足2个平衡微分方程；4个几何 方程；4个物理方程；在边界上还要满足边界条件
§ 7-4 几何方程及物理方程
一、几何方程（参照平面问题几何方程）：
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
xz
u z
w x
yz
v z
w y
位移在边界上满足位移边界条件：
弹性力学概念
力学：研究弹性体由于受外力，边界约束或温度改变等作用而发生的应力、形变和位移。
弹性力学的研究对象：为一般及复杂形状的构件、实体结构、板、壳等。
（是各种弹性体，包括杆件，平面体、空间体、板和壳体等。
弹性力学研究的对象比较广泛，可以适用于土木、水利、机械等工程中各种结构的分析。
）弹性力学的任务在边界条件下，从平衡微分方程、几何方程和物理方程求解应力、应变和位移等未知函数研究方法已知条件：1物体的几何形状，即边界面方程2物体的材料参数3所受外力的情况4所受的约束情况。
求解的未知函数：应力、应变和位移。
解法：在弹性体区域内，根据微分体上力的平衡条件建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件建立物理方程弹性体边界上，根据面力条件，建立应力边界条件；根据约束条件建立位移边界条件然后在边界条件下，求解弹性体区域内的微分方程，得出应力、形变和位移弹性力学的基本假设（即满足什么样条件的物体是我们在弹性力学中要研究的）（1）均匀性假设即物体是由同一种材料所组成的，在物体内任何部分的材料性质都是相同的。
（用处：物体的弹性参数，如弹性模量E，不会随位置坐标的变化而变化）（2）连续性假设即物体的内部被连续的介质所充满，没有任何孔隙存在。
（用处：弹性体的所用物理量均可用连续的函数去表示）（3）完全弹性假设即当我们撤掉作用于物体的外力后，物体可以恢复到原状，没有任何的残余变形；应力（激励）与应变（响应）之间呈正比关系。
（用处：可以使用线性虎克定律来表示应力与应变的关系）（4）各向同性假设即物体内任意一点处，在各个方向都表现出相同的材料性质。
（用处：物体的弹性参数可以取为常数）（5）小变形假设即在外力的作用下，物体所产生的位移和形变都是微小的。
（用处：可以在某些方程的推导中略去位移和形变的高阶微量。
即简化几何方程，简化平衡微分方程）上述这些假定，确定了弹性力学的研究范畴：研究理想弹性体的小变形状态外力是其他物体作用于研究对象的力（分为体力和面力）体力是作用于物体体积内的外力（如重力和惯性力）面力是作用于物体表面上的外力（如液体压力和接触力）内力假想将物体截开，则截面两边有互相作用的力，称为内力切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的（大小等正负号相同）形变就是物体形状的改变。
切应力互等定理的推导
切应力互等定理的推导1. 引言切应力互等定理是固体力学中的一个重要定理，用于描述材料的切变变形与应力之间的关系。
它是基于切变应力和应变之间的线性关系推导出来的。
本文将对切应力互等定理的推导过程进行详细阐述。
2. 切变应力和应变的定义首先，我们需要明确切变应力和应变的定义。
在固体力学中，切变应力是指单位面积上的切向力，通常用符号τ表示。
而应变是指物体在受力作用下产生的形变程度，通常用符号γ表示。
3. 切应力互等定理的表达式切应力互等定理的表达式可以写作：τ = Gγ其中，τ表示切变应力，G表示剪切模量，γ表示应变。
切应力互等定理表明，在弹性范围内，切变应力和应变之间存在线性关系，且比例系数为剪切模量。
4. 推导过程为了推导出切应力互等定理，我们需要从基本原理出发，利用一些假设和已知条件，进行推导。
4.1 假设在推导过程中，我们需要做出以下假设： - 材料是均匀各向同性的； - 材料在弹性范围内变形，不发生塑性变形； - 材料的应力和应变是线性关系。
4.2 应变的定义根据应变的定义，我们可以将应变表示为位移的导数。
对于切变应变，它是由切变位移引起的，因此可以表示为：γ = du/dy其中，du表示位移的微小变化，dy表示与du相对应的微小切向位移。
4.3 应力的分析在推导过程中，我们需要对材料受力进行分析。
考虑一个矩形的微小体积元素，其边长分别为dx、dy和dz。
根据平衡条件，我们可以得到切向应力的表达式：τ = (σx - σx+dx)/dy其中，σx表示x方向上的应力。
4.4 应力的线性关系根据假设，材料的应力和应变是线性关系。
因此，我们可以将应力表示为应变的线性函数：σx = Eεx其中，σx表示x方向上的应力，E表示杨氏模量，εx表示x方向上的应变。
4.5 应变的微分形式将应变的定义代入应力的线性关系中，我们可以得到应变的微分形式：du/dy = (εx - εx+dx)/dy4.6 切应力的表达式将应力的线性关系和应变的微分形式代入切应力的表达式中，我们可以得到切应力的表达式：τ = (σx - σx+dx)/dy = (Eεx - E(εx+dx))/dy = E(εx - εx+dx)/dy4.7 切应力互等定理的推导根据切应力的表达式，我们可以得到切应力和应变之间的关系：τ = E(εx - εx+dx)/dy考虑到应变的定义，我们可以将其改写为：τ = E(du/dy - (du+dx)/dy)= E(du - du+dx)/dy= E(du - d(du+dx))/dy= E(du - ddu - dx)/dy= E(du - ddu)/dy - E(dx)/dy= E(du/dy - d(du/dy)) - E(dx/dy)根据微积分的基本知识，我们可以将上式化简为：τ = E(d²u/dy²) - E(dx/dy)最后，我们可以将切应力互等定理的表达式写作：τ = Gγ其中，G = E/dy表示剪切模量。
FEM-03弹性力学基础(三类方程)
物理方程(cont.)
E 1 1 2
2G 2G 2G D 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E G 2 1
0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G
y
v v dy y
u dy y
B' B dy M' v M u dx O A'
v dx x
A
u
u dx x
x
u u x dx A点位移 v v dx x u u dy y B点位移 v v dy y
11
几何方程
1
1
T
1
0 0 0
1 1
1 0 0 0
0 0 0 1 2 21 0 0
0 0 0 0 1 2 21 0
0 0 0 0 1 2 21 0
18
xy
v u xy x y w v yz y z u w zx z x
13
几何方程
u x v y y w z z v u xy x y w v yz y z u w zx z x
z 2 2 z y yz
2
2 yz
2 z 2 x 2 xz 2 2 x z xz
2 x yz xz xy 2 x x y z y z 2 y zx yz xy 2 y y x z x z xy yz zx 2 z 2 z z x y x y
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章应力状态分析一. 内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。
应力状态是本章讨论的首要问题。
由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。
因此，一点各个截面的应力是不同的。
确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。
首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。
应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。
本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。
本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。
二. 重点1.应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2.平衡微分方程与切应力互等定理；3.面力边界条件；4.应力分量的转轴公式；5.应力状态特征方程和应力不变量三．知识点体力、应力矢量、应力分量、平衡微分方程、面力边界条件、主平面与主应力、主应力性质、截面正应力与切应力、三向应力圆、八面体单元、偏应力张量不变量、面力、正应力与切应力、应力矢量与应力分量、切应力互等定理、应力分量转轴公式、平面问题的转轴公式、应力状态特征方程、应力不变量、最大切应力、球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。
体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。
面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。
体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。
学习要点：1.体力；2. 面力。
体力：作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。
所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。
例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。
面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。
为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V,设△V 的体力合力为△F，则P点的体力定义为令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。
物体内任一点的体力用F b表示，称为体力矢量，其方向由该点的体力合力方向确定。
体力沿三个坐标轴的分量用F b i( i = 1,2,3)或者F b x,F b y,F b z表示，称为体力分量。
体力分量的方向规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。
应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位体积的力。
面力：类似于体力，可以给出面力的定义。
对于物体表面上的任一点P，在P点的邻域取一包含P点的微小面积元素△S。
设△S 上作用的面力合力为△F，则P 点的面力定义为面力矢量是单位面积上的作用力，面力是弹性体表面坐标的函数。
一般条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。
面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。
面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负。
弹性力学中的面力均定义为单位面积的面力。
§2.2 应力和应力状态学习思路:物体在外界因素作用下，物体内部各个部分之间将产生相互作用，物体内部相互作用力称为内力。
为讨论弹性体的强度，将单位面积的内力，就是内力集度定义为应力。
p n为过任意点M，法线方向为n的微分面上的应力矢量。
应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面的法线方向n的方向改变而变化。
一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。
讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。
凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。
应力状态对于研究物体的强度是十分重要的。
显然，作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系。
不可能也不必要写出一点所有截面的应力。
为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用合理的应力参数。
为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。
学习要点：1. 应力矢量；2. 应力矢量的分解；3. 应力分量。
应力矢量：物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为内力。
内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力的截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力F。
内力的分布一般是不均匀的。
为了描述任意一点M的内力，在截面上选取一个包含M的微面积单元ΔS，则可认为微面积上的内力主矢ΔF的分布是均匀的。
设ΔS 的法线方向为n，则定义：上式中p n为微面积ΔS 上的平均应力。
如果令ΔS 逐渐减小，并且趋近于零，取极限可得上述分析可见：p n是通过任意点M，法线方向为n的微分面上的应力矢量。
应力p n是矢量，方向由内力主矢ΔF确定，又受ΔS方位变化的影响。
应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面的法线方向n的方向改变而变化。
这种性质称为应力状态。
因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。
一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。
应力状态对于研究物体的强度是十分重要的。
显然，作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系。
不可能也不必要写出一点所有截面的应力。
为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用合理的应力参数。
正应力与切应力：讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。
为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。
应力矢量的一种分解方法是将应力矢量p n在给定的坐标系下沿三个坐标轴方向分解，如用p x, p y, p z表示其分量，则p n=p x i + p y j+ p z k这种形式的分解并没有工程实际应用的价值。
它的主要用途在于作为工具用于推导弹性力学基本方程。
另一种分解方法，是将应力矢量p n沿微分面ΔS的法线和切线方向分解。
与微分面ΔS 法线n方向的投影称为正应力，用n表示；平行于微分面ΔS 的投影称为切应力或剪应力，切应力作用于截面内，用n表示。
弹性体的强度与正应力和切应力息息相关，因此这是工程结构分析中经常使用的应力分解形式。
由于微分面法线n的方向只有一个，因此说明截面方位就确定了正应力n的方向。
但是平行于微分面的方向有无穷多，因此切应力n不仅需要确定截面方位，还必须指明方向。
应力分量：为了表达弹性体内部任意一点M 的应力状态，利用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过M点截取一个平行六面体单元。
将六面体单元各个截面上的应力矢量分别向3个坐标轴投影，可以得到应力分量ij。
应力分量的第一脚标i 表示该应力所在微分面的方向，即微分面外法线的方向；第二脚标j 表示应力的方向。
如果应力分量与j 坐标轴方向一致为正，反之为负。
如果两个脚标相同，i＝j，则应力分量方向与作用平面法线方向一致，这是正应力，可以并写为一个脚标，例如x。
如果两脚标不同，i≠j，则应力分量方向与作用平面法线方向不同，这是切应力，例如xy。
六面体单元的3对截面共有九个应力分量ij。
应该注意：应力分量是应力矢量在坐标轴上的投影，因此是标量，而不是矢量。
在已知的坐标系中应力状态通常用应力张量表示。
使用应力张量可以完整地描述一点的应力状态。
§2.3 应力矢量与应力分量学习思路:应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且也由于截面的法线方向n的方向改变而变化，研究这一变化规律称为应力状态分析。
如果应力分量能够描述一点的应力状态，那么应力分量与其它应力参数必然有内在联系。
本节分析应力矢量与应力分量之间的关系，为深入讨论应力状态作准备。
利用三个坐标平面和一个任意斜截面构造微分四面体单元，通过四面体单元探讨坐标平面的应力分量和斜截面上的应力矢量的关系。
根据平衡关系，推导任意斜截面的应力矢量、法线方向余弦和各个应力分量之间的关系。
分析表明：一点的应力分量确定后，任意斜截面的应力矢量是确定的。
学习要点：1. 微分四面体单元；2. 应力矢量与应力分量。
一点的九个应力分量如果能够完全确定一点的应力状态，则其必须能够表达通过该点的任意斜截面上的应力矢量。
为了说明这一问题，在O点用三个坐标面和一任意斜截面截取一个微分四面体单元。
斜截面的法线方向矢量为n，它的三个方向余弦分别为l，m和n。
设斜截面上的应力为p n，i，j和k 分别为三个坐标轴方向的单位矢量，p n在坐标轴上的投影分别为p x, p y, p z。
则应力矢量可以表示为p n= p x i+ p y j+ p z k同样，把单位体积的质量所受的体积力F b沿坐标轴分解，有F b= F b x i+ F b y j+ F b z k设S为ΔABC的面积，则ΔOBC=lS, ΔOCA=mS, ΔOAB=nSΔABC的法线方向的单位矢量可表示为n= l i+ l j + m k微分四面体在应力矢量和体积力作用下应满足平衡条件，设h为O点至斜面ABC 的高，由x方向的平衡，可得将公式代入上式，则对于微分四面体单元，h与单元体棱边相关，因此与1相比为小量，趋近于零，因此同理如果采用张量记号，则上述公式可以表示为上式给出了物体内一点的9个应力分量和通过同一点的各个微分面上的应力之间的关系。
这一关系式表明，只要有了应力分量，就能够确定一点任意截面的应力矢量，或者正应力和切应力。
因此应力分量可以确定一点的应力状态。
§2.4 平衡微分方程学习思路:物体在外力作用下产生变形，最后达到平衡位置。
平衡不仅是指整个物体，而且弹性体的任何部分也是平衡的。
本节通过微分平行六面体单元讨论弹性体内部任意一点的平衡。
应该注意：在讨论微分单元体平衡时，考虑到坐标的微小变化将导致应力分量的相应改变。
即坐标有增量时，应力分量也有对应的增量。
这个增量作为高阶小量，如果不涉及微分单元体平衡时是可以不考虑的。
微分平衡方程描述了弹性体内部任意一点的平衡，确定了应力分量与体力之间的关系。