切应力互等定理
切应力互等定理ShearingStressTheorem
Ip
2dA
A
Wt
IP
max
（1）实心圆截面 (Solid circular section) d
dA 2π(d )
Ip
2dA
A
d
2 2π 3d
πd 4
0
32
Wt
Ip
max
（2）空心圆截面
πd 4 / 32 πd 3 d / 2 16
(Hollow circular
D section)
A
22 kN·m
64.84MPa [ ]
+
2max
T2 Wt 2
T2 πd23 / 16
14 103 π(0.13 ) / 16
B
C
_
14 kN·m
71.3MPa [ ]
因此，该轴满足强度要求.
(Torsion)
例题4 实心圆轴１和空心圆轴２（图a、b）材料、扭转力偶矩 m
和长度 l 均相等，最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比
在 AD 段内
B1 C
T3 Me4 6370 N m Me2 T1
注意：若假设扭矩为正值，则
Me1 3 Me4
A 3D
T3
Me4
扭矩的实际符号与计算符号相同. 作出扭矩图 从图可见，最大扭矩
在 CA段内.
6370 N·m
+ _
Tmax 9560 N m
4780 N·m 9560 N·m
(Torsion)
切应变为 2
切应变为 0
(Torsion)
§3-4 圆轴扭转的应力
变
观察变形
形
提出假设
几
何
关
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
材料力学重点公式复习
1、应力 全应力正应力切应力线应变 的大小; 外力偶矩当功率P 当功率拉压杆件横截面上只有正应力σ,且为平均分布,其计算公式为 N FAσ= 3-1式中N F 为该横截面的轴力,A 为横截面面积;正负号规定 拉应力为正,压应力为负; 公式3-1的适用条件：1杆端外力的合力作用线与杆轴线重合,即只适于轴向拉压杆件； 2适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；3杆件上有孔洞或凹槽时,该处将产生局部应力集中现象,横截面上应力分布很不均匀； 4截面连续变化的直杆,杆件两侧棱边的夹角020α≤时 拉压杆件任意斜截面a 图上的应力为平均分布,其计算公式为全应力 cos p ασα= 3-2正应力 2cos ασσα=3-3切应力1sin 22ατα=3-4 式中σ为横截面上的应力;正负号规定：α 由横截面外法线转至斜截面的外法线,逆时针转向为正,反之为负;ασ 拉应力为正,压应力为负;ατ 对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正,反之为负;两点结论：1当00α=时,即横截面上,ασ达到最大值,即()max ασσ=;当α=090时,即纵截面上,ασ=090=0;2当045α=时,即与杆轴成045的斜截面上,ατ达到最大值,即max ()2αατ=1．2 拉压杆的应变和胡克定律 1变形及应变杆件受到轴向拉力时,轴向伸长,横向缩短；受到轴向压力时,轴向缩短,横向伸长;如图3-2;图3-2 轴向变形 1l l l ∆=- 轴向线应变 llε∆= 横向变形 1b b b ∆=- 横向线应变 bbε∆'=正负号规定 伸长为正,缩短为负; 2胡克定律当应力不超过材料的比例极限时,应力与应变成正比;即 E σε= 3-5 或用轴力及杆件的变形量表示为 N F ll EA∆=3-6 式中EA 称为杆件的抗拉压刚度,是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量;公式3-6的适用条件：a 材料在线弹性范围内工作,即p σσ〈；b 在计算l ∆时,l 长度内其N 、E 、A 均应为常量;如杆件上各段不同,则应分段计算,求其代数和得总变形;即1ni ii i iN l l E A =∆=∑3-7 3泊松比 当应力不超过材料的比例极限时,横向应变与轴向应变之比的绝对值;即 ενε'=3-8强度计算许用应力 材料正常工作容许采用的最高应力,由极限应力除以安全系数求得; 塑性材料 σ=s s n σ ； 脆性材料 σ=b bn σ其中,s b n n 称为安全系数,且大于1;强度条件：构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力; 对轴向拉伸压缩杆件[]NAσσ=≤ 3-9 按式1-4可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算; 2.1 切应力互等定理受力构件内任意一点两个相互垂直面上,切应力总是成对产生,它们的大小相等,方向同时垂直指向或者背离两截面交线,且与截面上存在正应力与否无关;2.2纯剪切单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态,称为纯剪切应力状态; 2.3切应变切应力作用下,单元体两相互垂直边的直角改变量称为切应变或切应变,用τ表示; 2.4 剪切胡克定律在材料的比例极限范围内,切应力与切应变成正比,即 G τγ= 3-10式中G 为材料的切变模量,为材料的又一弹性常数另两个弹性常数为弹性模量E 及泊松比ν,其数值由实验决定;对各向同性材料,E 、 ν、G 有下列关系 2(1)EG ν=+ 3-112.5.2切应力计算公式横截面上某一点切应力大小为 p pT I ρτ=3-12 式中p I 为该截面对圆心的极惯性矩,ρ为欲求的点至圆心的距离;圆截面周边上的切应力为 max tTW τ=3-13 式中p t I W R=称为扭转截面系数,R 为圆截面半径;2.5.3 切应力公式讨论（1） 切应力公式3-12和式3-13适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用,其误差在工程允许范围内; （2） 极惯性矩p I 和扭转截面系数t W 是截面几何特征量,计算公式见表3-3;在面积不变情况下,材料离散程度高,其值愈大；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强;因此,设计空心轴比实心轴更为合理;2.5.4强度条件圆轴扭转时,全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值,否则将发生破坏;因此,强度条件为[]max maxt T W ττ⎛⎫=≤⎪⎝⎭ 3-14 对等圆截面直杆 []maxmax tT W ττ=≤ 3-15式中[]τ为材料的许用切应力; 3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系1zMEI ρ=3-16 式中,ρ是变形后梁轴线的曲率半径；E 是材料的弹性模量；E I 是横截面对中性轴Z 轴的惯性矩; 3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式 ZMy I σ=3-17 式中,M 是横截面上的弯矩；Z I 的意义同上；y 是欲求正应力的点到中性轴的距离最大正应力出现在距中性轴最远点处 max max max max z zM My I W σ=•= 3-18 式中,max z z I W y =称为抗弯截面系数;对于h b ⨯的矩形截面,216z W bh =；对于直径为D 的圆形截面,332z W D π=；对于内外径之比为d a D =的环形截面,34(1)32z W D a π=-; 若中性轴是横截面的对称轴,则最大拉应力与最大压应力数值相等,若不是对称轴,则最大拉应力与最大压应力数值不相等;3.2梁的正应力强度条件梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力,其表达式为 []maxmax zM W σσ=≤ 3-19 对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁如T 字形截面、上下不等边的工字形截面等,其强度条件应表达为[]maxmax 1l t z M y I σσ=≤ 3-20a []maxmax 2y c zM y I σσ=≤ 3-20b 式中,[][],t c σσ分别是材料的容许拉应力和容许压应力；12,y y 分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离;3.3梁的切应力 z z QS I bτ*= 3-21式中,Q 是横截面上的剪力；z S *是距中性轴为y 的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩；z I 是整个横截面对中性轴的惯性矩；b 是距中性轴为y 处的横截面宽度; 3.3.1矩形截面梁切应力方向与剪力平行,大小沿截面宽度不变,沿高度呈抛物线分布;切应力计算公式 22364Q h y bh τ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3-22最大切应力发生在中性轴各点处,max 32QAτ=; 3.3.2工字形截面梁切应力主要发生在腹板部分,其合力占总剪力的95~97%,因此截面上的剪力主要由腹板部分来承担;切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线;计算公式为 ()2222824z Q B b h H h y I b τ⎡⎤⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦3-23近似计算腹板上的最大切应力：dhFs 1max=τd 为腹板宽度 h 1为上下两翼缘内侧距3.3.3圆形截面梁横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点,其竖直分量沿截面宽度相等,沿高度呈抛物线变化;最大切应力发生在中性轴上,其大小为 2max42483364z z d d Q QS Q d I b Adππτπ*⋅⋅===⨯ 3-25 圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似;3.4切应力强度条件梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力,即 []max max maxz z Q S I bττ*=≤ 3-26式中,max Q 是梁上的最大切应力值；max z S *是中性轴一侧面积对中性轴的静矩；z I 是横截面对中性轴的惯性矩；b 是maxτ处截面的宽度;对于等宽度截面,max τ发生在中性轴上,对于宽度变化的截面,max τ不一定发生在中性轴上; 4.2剪切的实用计算名义切应力：假设切应力沿剪切面是均匀分布的 ,则名义切应力为 AQ=τ 3-27 剪切强度条件：剪切面上的工作切应力不得超过材料的 许用切应力[]τ,即 []ττ≤=AQ3-285.2挤压的实用计算名义挤压应力 假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的,则 []bsbs bs bsP A σσ=≤ 3-29 式中,bs A 表示有效挤压面积,即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影;当挤压面为平面时为接触面面积,当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的 投影面积;挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力 []bs bsbs A Pσσ≤=3-30 1, 变形计算圆轴扭转时,任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角;相距为l 的两个横截面的相对扭转角为dx GI TlP⎰=0ϕ rad 4.4 若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数,则上式化为PGI Tl=ϕ rad 4.5 图4.2式中P GI 称为圆轴的抗扭刚度;显然,ϕ的正负号与扭矩正负号相同;公式4.4的适用条件：（1） 材料在线弹性范围内的等截面圆轴,即P ττ≤；（2） 在长度l 内,T 、G 、P I 均为常量;当以上参数沿轴线分段变化时,则应分段计算扭转角,然后求代数和得总扭转角;即 ∑==ni P i ii iI G l T 1ϕ rad 4.6 当T 、P I 沿轴线连续变化时,用式4.4计算ϕ; 2, 刚度条件扭转的刚度条件 圆轴最大的单位长度扭转角max 'ϕ不得超过许可的单位长度扭转角[]'ϕ,即[]''maxmax ϕϕ≤=PGI T rad/m 4.7 式 []'180'max max ϕπϕ≤⨯=︒P GI T m /︒ 4.82,挠曲线的近似微分方程及其积分在分析纯弯曲梁的正应力时,得到弯矩与曲率的关系EIM=ρ1对于跨度远大于截面高度的梁,略去剪力对弯曲变形的影响,由上式可得()()EIx M x =ρ1 利用平面曲线的曲率公式,并忽略高阶微量,得挠曲线的近似微分方程,即 ()EIx M =''ω 4.9 将上式积分一次得转角方程为 ()C dx EIx M +==⎰'ωθ 4.10再积分得挠曲线方程 ()D Cx dx dx EI x M ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰ω 4.11 式中,C,D 为积分常数,它们可由梁的边界条件确定;当梁分为若干段积分时,积分常数的确定除需利用边界条件外,还需要利用连续条件; 3,梁的刚度条件限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值,就得到梁的刚度条件,即 []ωω≤max ,[]θθ≤max 4.12 3,轴向拉伸或压缩杆件的应变能在线弹性范围内,由功能原理得 l F W V ∆==21ε 当杆件的横截面面积A 、轴力F N 为常量时,由胡克定律EAlF l N =∆,可得 EA l F V N 22=ε 4.14杆单位体积内的应变能称为应变能密度,用εV 表示;线弹性范围内,得 σεε21=V 4.15 4,圆截面直杆扭转应变能 在线弹性范围内,由功能原 ϕe r M W V 21== 将T M e =与P GI Tl =ϕ代入上式得 Pr GI lT V 22= 4.16图4.5根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功,得应变能的密度r V ： r V r τ21= 4.175,梁的弯曲应变能在线弹性范围内,纯弯曲时,由功能原理得 将M M e =与EIMl=θ代入上式得 EI l M V 22=ε 4.18图4.6横力弯曲时,梁横截面上的弯矩沿轴线变化,此时,对于微段梁应用式4.18,积分得全梁的弯曲应变能εV ,即()⎰=lEI dxx M V 22ε 4.192．截面几何性质的定义式列表于下：静 矩 惯性矩惯性半径惯性积 极惯性矩3．惯性矩的平行移轴公式静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩,如图Ⅰ-1所示; 定义式： ⎰=Ay zdA S ,⎰=Az ydA S Ⅰ-1量纲为长度的三次方;由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标C z 和C y ;则由此可得薄板重心的坐标 C z 为 AS A zdA z yAC==⎰同理有 A S y zC =所以形心坐标 A S z y C =,ASy z C = Ⅰ-2或 C y z A S ⋅=,C z y A S ⋅=由式Ⅰ-2得知,若某坐标轴通过形心轴,则图形对该轴的静矩等于零,即0=C y ,0=z S ；0=C z ,则 0=y S ；反之,若图形对某一轴的静矩等于零,则该轴必然通过图形的形心;静矩与所选坐标轴有关,其值可能为正,负或零;如一个平面图形是由几个简单平面图形组成,称为组合平面图形;设第 I 块分图形的面积为 i A ,形心坐标为Ci Ci z y , ,则其静矩和形心坐标分别为 Ci i n i z y A S 1=∑=,Ci i ni y z A S 1=∑= Ⅰ-3∑∑====ni ini Cii z C AyA AS y 11,∑∑====ni ini cii y C AzA AS z 11 Ⅰ-4§Ⅰ-2 惯性矩和惯性半径惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩,如图Ⅰ-4所示;⎰=Ay dA z I 2,⎰=Az dA y I 2 Ⅰ-5量纲为长度的四次方,恒为正;相应定义AI i y y =,AI i zz =Ⅰ-6 为图形对 y 轴和对 z 轴的惯性半径;组合图形的惯性矩;设 zi yi I I , 为分图形的惯性矩,则总图形对同一轴惯性矩为yi ni y I I 1=∑=,zi ni z I I 1=∑= Ⅰ-7若以ρ表示微面积dA 到坐标原点O 的距离,则定义图形对坐标原点O 的极惯性矩⎰=Ap dA I 2ρ Ⅰ-8因为 222z y +=ρ所以极惯性矩与轴惯性矩有关系 ()z y Ap I I dA z yI +=+=⎰22Ⅰ-9式Ⅰ-9表明,图形对任意两个互相垂直轴的轴惯性矩之和,等于它对该两轴交点的极惯性矩;下式 ⎰=Ayz yzdA I Ⅰ-10定义为图形对一对正交轴 y 、z 轴的惯性积;量纲是长度的四次方; yz I 可能为正,为负或为零;若 y ,z 轴中有一根为对称轴则其惯性积为零;§Ⅰ-3平行移轴公式由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同,如果其中一对轴是图形的形心轴()c cz ,y时,如图Ⅰ-7所示,可得到如下平行移轴公式⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=abA II A b I I Aa I I C C C C z y yzz z y y 22 Ⅰ-13 简单证明之： 其中⎰AC dA z 为图形对形心轴 C y 的静矩,其值应等于零,则得同理可证I-13中的其它两式;结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩,对形心轴的最小;在使用惯性积移轴公式时应注意 a ,b 的正负号;把斜截面上的总应力p 分解成与斜截面垂直的正应力n σ和相切的切应力n τ图222123n l m n σσσσ=++ 2222222123n n l m n τσσσσ=++-在以n σ为横坐标、n τ截面上的正应力n σ和切应力n τ区域图13.2中阴影中的一点;由图13.2显见。
扭转切应力汇总
扭转切应力两类切应力扭转切应力弯曲切应力扭转切应力圆轴扭转时的应力变形特征圆轴扭转时横截面上的切应力分析矩形截面杆扭转切应力公式圆轴扭转时的应力变形特征外加力偶矩与功率和转速的关系变形特征横截面和纵截面都有切应力存在--切应力互等定理外加力偶矩与功率和转速的关系应用此公式时要注意单位。
将圆轴表面如图划分为许多小方块，这些小方块可近似地看作矩形。
轴受扭以后，小方块就发生变形，变成菱形。
如图是放大后的情形。
产生这样的变形是因为在两个横截面上出现了切应力。
作用在AB、CD面上的切应力组成一个力偶，显然它是不能使这个微元平衡的，因此，在两个纵截面上也产生切应力。
通过应变知道横截面上有切应力，再通过平衡知道纵截面上也有切应力。
微元的直角改?横截面上和纵截面上的切应力有何关系？我们取出如图微元分析，横截面上的切应力τ乘以其作用面积dydz，再乘以力臂dx，组成一个力偶；纵截面上的切应力τ'也同样组成一个力偶，这两个力偶是大小相等，方向相反的。
最后消掉公因子dxdydz,就得到τ=τ'。
根据平衡的要求?圆轴扭转时横截面上的切应力根据变形特征和切应力互等定理，现在分析圆轴扭转时横截面上的切应力。
反对称分析论证平面保持平面由平面保持平面导出变形协调方程由物性关系得到应力分布切应力公式方法与过程反对称分析论证平面保持平面首先用反对称关系。
如图，对称圆轴两端作用一对反对称的力偶，横截面上C、D两点若不保持在原来的平面上，则从A端看，力偶是顺时针方向的，这两点背离观察者而去的；若从B端看，力偶也是顺时针方向的，C、D两点也背离观察者而去。
显然这是矛盾的，因此，C、D两点只能?第一个结论圆轴扭转时，横截面保持平面，平面上各点只能在平面内转动还可以用反对称关系作进一步分析这些平面上的点移动的规律。
观察截面上的一条直径，若发生扭曲，当分别从A、B两端看过去时，一次呈S形，一次呈反S形，同样产生矛盾的结论。
最终结论圆轴扭转时，横截面保持平面，并且只能发生刚性转动。
材料力学扭转第3节 切应力互等定理
面和两个纵向截面，从 薄壁圆筒中截出边长分
别 dx、dy、 的单元体
如图所示：
由平衡方程
M z (Fi ) 0
( dy )dx ( Fra bibliotekdx )dy
结 论 在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对
存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线， 方向则共同指向或共同背离这一交线。这就是切应力 互等定理。
• 在图示单元体的上、 下、左、右四个侧面 上，只有切应力而无 正应力，这种应力状 态称为纯剪切。
• 纯剪切单元体的相对两个侧面将发生微小的相对错 动，从而使原来互相垂直的单元体直角改变了一个
微量 ，称为切应变。
• 切应力互等定理不仅对纯剪切应力状态适用，对于 一般情形，即使微体截面上还存在正应力，切应力 互等定理仍然成立。
纯剪切切应力互等定理剪切胡克定律
解：1.板的拉伸强度
2.板的剪切强度
Fs F 50103 A 4a 4 0.08 0.01
15.7106 15.7MPa [ ]
FN F A (b 2d )
50 103
(0.15 2 0.017) 0.01
43.1106 43.1MPa [ ]
15
§3-1 连接件的强度计算
d
b
a
3.铆钉的剪切强度
Fs A
4F 2πd 2
2F πd 2
2 50103 π 0.0172
110106 110MPa [ ]
4.板和铆钉的挤压强度
bs
Fbs Abs
F
2d
9
§3-1 连接件的强度计算
Fs F
A lb
bs
Fbs Abs
F cb
10
§3-1 连接件的强度计算
4F
d 2
F 2
dh
Fs A
4F
d 2
bs
Fbs Abs
F dh
2
为充分利用材
料切应力和挤压应
力均达到最大值。
27
§3-2 纯剪切 切应力互等定理 剪切胡克定律
三.剪切胡克定律
G
其中，比例常数G 称为切变模量。常用单位GPa
28
§3-2 纯剪切 切应力互等定理 剪切胡克定律
对各向同性材料可以证明，弹性常数E、G、 μ存在关系
G E
切应力互等定理的推导
切应力互等定理的推导1. 引言切应力互等定理是固体力学中的一个重要定理，用于描述材料的切变变形与应力之间的关系。
它是基于切变应力和应变之间的线性关系推导出来的。
本文将对切应力互等定理的推导过程进行详细阐述。
2. 切变应力和应变的定义首先，我们需要明确切变应力和应变的定义。
在固体力学中，切变应力是指单位面积上的切向力，通常用符号τ表示。
而应变是指物体在受力作用下产生的形变程度，通常用符号γ表示。
3. 切应力互等定理的表达式切应力互等定理的表达式可以写作：τ = Gγ其中，τ表示切变应力，G表示剪切模量，γ表示应变。
切应力互等定理表明，在弹性范围内，切变应力和应变之间存在线性关系，且比例系数为剪切模量。
4. 推导过程为了推导出切应力互等定理，我们需要从基本原理出发，利用一些假设和已知条件，进行推导。
4.1 假设在推导过程中，我们需要做出以下假设： - 材料是均匀各向同性的； - 材料在弹性范围内变形，不发生塑性变形； - 材料的应力和应变是线性关系。
4.2 应变的定义根据应变的定义，我们可以将应变表示为位移的导数。
对于切变应变，它是由切变位移引起的，因此可以表示为：γ = du/dy其中，du表示位移的微小变化，dy表示与du相对应的微小切向位移。
4.3 应力的分析在推导过程中，我们需要对材料受力进行分析。
考虑一个矩形的微小体积元素，其边长分别为dx、dy和dz。
根据平衡条件，我们可以得到切向应力的表达式：τ = (σx - σx+dx)/dy其中，σx表示x方向上的应力。
4.4 应力的线性关系根据假设，材料的应力和应变是线性关系。
因此，我们可以将应力表示为应变的线性函数：σx = Eεx其中，σx表示x方向上的应力，E表示杨氏模量，εx表示x方向上的应变。
4.5 应变的微分形式将应变的定义代入应力的线性关系中，我们可以得到应变的微分形式：du/dy = (εx - εx+dx)/dy4.6 切应力的表达式将应力的线性关系和应变的微分形式代入切应力的表达式中，我们可以得到切应力的表达式：τ = (σx - σx+dx)/dy = (Eεx - E(εx+dx))/dy = E(εx - εx+dx)/dy4.7 切应力互等定理的推导根据切应力的表达式，我们可以得到切应力和应变之间的关系：τ = E(εx - εx+dx)/dy考虑到应变的定义，我们可以将其改写为：τ = E(du/dy - (du+dx)/dy)= E(du - du+dx)/dy= E(du - d(du+dx))/dy= E(du - ddu - dx)/dy= E(du - ddu)/dy - E(dx)/dy= E(du/dy - d(du/dy)) - E(dx/dy)根据微积分的基本知识，我们可以将上式化简为：τ = E(d²u/dy²) - E(dx/dy)最后，我们可以将切应力互等定理的表达式写作：τ = Gγ其中，G = E/dy表示剪切模量。