试证明：剪应力互等定理
华南理工大学研究生考试真题 材料力学1996 1999-2012
度 a 均为已知，试求梁中点 C 的垂直位移。 （20 分）
P
a
a
a
EA H 60 F
B C EI
EA
D
P
5．由三根在顶端铰接的钢管构成的支架如图图示。 钢管的外径 D＝30mm，内径 d ＝22mm，长度 l＝2.5m，材料的弹性模量 E＝210GPa。若取稳定 安全系数 nst＝3，试求许可荷载[P]。 （15 分）
一、单项选择题（共 3 小题，每题 5 分，共 15 分）
1．图示结构，杆 ABC 为刚性杆，杆 1、杆 2 的刚度相等。当杆 1 的温度升高时，两
杆的轴力变化可能有以下四种情况，正确的答案是（ ）。
（A）两杆轴力均变小；
（B）两杆轴力均增大； （C）杆 1 轴力减小，杆 2 轴力增大；
1
2
（D）杆 1 轴力增大，杆 2 轴力减小。
当加拉力 F ＝150kN 时，测得变形量l ＝4mm，求此时卸载后杆的残余应变p 。
F
2．图示结构，AB 和 BC 是两根细长杆，若 EI1 > EI2，
求结构的临界荷载 Fcr。
B
l
EI 2
A
C
三、计算题（共 6 题，共 115 分）
A
1．单位长度重量为 q、抗弯刚度为 EI 的均匀
钢条放置在水平刚性平面上，钢条的一端伸出
σy
τxy
（C） τyx
பைடு நூலகம்σx
（D）
σx
3．如图示受力的矩形截面杆，下面哪一种说法是正确的？（ ） （A）横截面上只有正应力，且沿截面高度线性分布； （B）横截面上只有剪应力，且沿截面高度按抛物线分布； （C）横截面上既有正应力，且沿截面高度线性分布；又有剪应力，且沿截面高 度按抛物线分布；
剪应力互等定理由平衡方程
§3—3 薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚 _t __1_10__r0_ ,r0：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：
2、变形规律： 圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
它们组成的力偶，其矩为
y
d a
dy
b
x
z
dx
c
(dxdy)dz
(dxdy)dz
此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx
数量相等而转向相反，从而可得
y
d a
dy
b
x
z
dx
c
剪应力互等定理：
单元体两个相互垂直平面上 的剪应力同时存在，且大小 相等，都指向（或背离）该 两平面的交线。
垂直，杆发生的变形为扭转变形。
外力特征：力偶矩矢平行于杆的轴线。力偶矩矢表示符合右手 螺旋法则。
变形特点：轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴 线的相对转动。
A
B O
A
BO
m
m
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。
A
BO
m
m
以扭转变形为主的杆件 称为轴。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
I p A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
对于实心圆截面：
d
I p A 2dA
D
02
切应力双生互等定律
切应力双生互等定律
切应力双生互等定律是固体力学中的一个基本原理，它表明在一个平衡的物体中，任意两个相互垂直的平面上的切应力大小相等，方向相反。
这个定律可以通过力的平衡条件来证明。
假设有一个物体受到力的作用，我们可以将这些力分解为平行于某个平面的切向力和垂直于该平面的法向力。
由于物体处于平衡状态，所以在任意两个相互垂直的平面上，切向力的合力必须相等，方向相反，否则物体将发生旋转或移动。
因此，这两个平面上的切应力大小相等，方向相反。
切应力双生互等定律在固体力学中具有重要的应用，例如在材料力学、结构力学和弹性力学等领域。
它为我们提供了一种简单而有效的方法来分析物体的应力状态，从而为设计和优化结构提供了重要的依据。
剪应力互等定理的内容
剪应力互等定理的内容剪应力互等定理是解决梁的剪切应力的最重要的定理之一。
该定理指出，梁的截面上各点的剪切应力总和是零。
这一定理可以帮助我们理解梁构件的性能，并可以将该定理用于实践中。
一、剪应力互等定理：剪应力互等定理，也称为梁的剪切原理，是由英国科学家约翰雷（John Reiss）于1826年发现的。
该定理提出：在梁的截面上，任意点的剪应力的总和等于零。
也就是说，在梁的截面上，这些剪切力是互等的：当某一点的剪切力增加时，其他点的剪切力会减少；当某一点的剪切力减少时，其他点的剪切力会增加。
二、剪应力互等定理的物理意义：剪应力互等定理表明，梁的截面上任意点上的剪应力总和为零；截面上任意点上的剪应力之间都是相互作用，保持相同的力量大小，也就是剪切力是相互抵消的。
也就是说，在梁的截面上，不论是哪一点的剪切力发生变化，剪切力的总和都会保持不变。
这就是梁的剪应力定理的物理意义。
三、剪应力互等定理的实际应用：剪应力互等定理的实际应用，主要是在梁的构造设计和结构加固设计中发挥作用。
通过对剪应力互等定理深入了解，可以正确理解梁的施加应力与弯矩的关系，从而恰当地构造梁，从而达到结构安全稳固的目的。
另外，剪应力互等定理在梁柱构件设计中也有着重要作用。
可以借助其定理，正确分析梁柱构件的施加荷载，以正确的梁柱尺寸设计，从而保证构件的结构强度和稳定性。
四、剪应力互等定理的分析和计算方法：（1）通过对梁的构造形式，结合局部结构形成的剪切力，来求得梁任意点上的剪切力；（2）利用几何分析方法，建立梁上各点剪切力的关系，求出梁上各点剪切力的大小；（3）进行分析计算，根据剪应力互等定理，判断梁上任何点的剪切力之和是否等于零，以此确定梁的结构安全可靠性。
综上所述，剪应力互等定理是梁的剪切应力的重要定理，其物理意义和实际应用都非常重要。
它可以帮助我们正确理解梁的施加应力与弯矩的关系，合理设计梁柱构件，从而保证构件的安全可靠性。
同时，剪应力互等定理也提供了一种有用的分析和计算方法，可以用来准确求出梁上任意点的剪切应力，从而确保结构安全可靠。
剪应力互等定理
剪应力互等定理
剪应力互等定理:在材料中取一个正六面单元体，在这个单元体上两个相互垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，其方向共同指向或共同背离这两个平面的交线（棱线）。
在相互垂直平面上，切应力成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。
这就是（剪）切应力互等定理。
推导的前提条件是认为单元处于平衡状态，力的平衡和力矩的平衡。
扩展资料：
1、在液体层流中相对移动的各层之间产生的内摩擦力的方向一般是沿液层面(指液体流动时，流向视为一个倒圆柱时，该圆柱的横截面)的切线，流动时液体的变形是这种力所引起的，因此叫做切变力（又叫剪切力),单位面积上的切变力与单位面积之比叫做切应变力，又称切应力。
2、流体力学中，切应力又叫做粘性力，是流体运动时，由于流体的粘性，一部分流体微团作用于另一部分流体微团切向上的力。
3、杆件切应力最大处：杆件的中心轴线。
切应力的量值等于单位面积上内力的量值。
切应力和压强单位相同，因此实质上并不是力，而出于习惯，可以将切应力当作力来称呼，但是需要强调为“单位面积上的切应力”。
弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
剪应力互等定理
剪应力互等定理剪应力互等定理是一个重要的基础力学定理，它的内涵深刻而又极其重要。
在这里，将会用3000字的文章来概括剪应力互等定理的基本原理以及它的重要性。
剪应力互等定理，又被称作“斯坦特定理，它是二十世纪物理学家威廉斯坦特提出的，主要用来描述物体在受外力作用时，物体内部分劲向等强度的原理。
当物体被外力拉变形时，它内部各个部位所受的力大小是相等的，这就是剪应力互等定理所表达的内容，它的表述形式也就是“剪应力互等”的性质。
在力学中，剪应力互等定理可以被用于描述一个物体在外力作用下的变形，当物体受外力作用时，会发生各种变形，这种变形是由于力的作用，而剪应力互等定理的重要性就是在于它能够帮助我们可以分析出物体受外力作用时，内部所受的剪应力大小是相等的。
因此，剪应力互等定理在几何学中十分重要，它是研究物体均性变形过程中不可缺少的重要依据。
剪应力互等定理也广泛地用于机械、结构、交通工程，以及其他的工程技术领域。
比如说在机械设计中，如果将剪应力互等定理应用到机械结构设计中，部分外力对结构的影响可以清楚地反映出来，从而可以防止结构不加以加固而出现局部把手拆除等情况。
此外，在交通工程中，剪应力互等定理也可以用来研究路面抗剪承重能力，使得路面受剪而不易发生变形，从而保证路面的使用寿命。
此外，剪应力互等定理在地震学、结构动力分析等领域也十分重要。
地震学领域中，剪应力互等定理可以用来分析建筑物结构在地震中的变形状况，从而可以设计出更为安全的建筑结构。
而结构动力分析领域中，剪应力互等定理也可以用于研究物体受外力影响时的变形情况，从而可以更有效地分析出物体的变形状况，从而保证机械的安全性和可靠性。
从以上分析可知，剪应力互等定理具有十分重要的意义，它可以运用到机械设计、结构动力分析、地震学等领域，由于其特定的性质，剪应力互等定理是这些领域中不可缺少的定理，它对于机械结构设计、交通工程、地震等领域的发展具有十分重要的意义。
总之，剪应力互等定理是一个重要的力学定理，它可以用来描述物体在受外力作用时，物体内部分劲向等强度的原理，它的重要性已经被证明，它的应用非常广泛，在机械、结构、交通工程，以及其他的工程技术领域都有着重要的作用。
剪应力互等定理的内容
剪应力互等定理的内容剪应力互等定理是力学规律中的一个基本定理，它描述了两个力相互作用产生的剪应力相等，并在多个领域中发挥着重要作用。
它的发现和应用可以追溯到古代，一直被认为是力学中很重要的一个定理。
剪应力互等定理可以为我们提供一种简单的方法来研究物体所受的剪力。
它研究了在物体结构中，在一个特定的位置，由外部力所产生的剪应力。
它指出，在同一点上，受到的两个外力产生的剪应力必须相等，不管外力的大小和方向是什么。
这一点也可以用数学方程F=ma表示，其中F表示受力，m表示物体的质量，a表示物体受力时的加速度。
剪应力互等定理在几何、力学和机械结构领域都有重要的应用。
在几何中，它可以用来分析两个物体之间的结构变化，以及其中物体力学行为的改变。
在力学中，它可以用来研究物体在多个特定点处受力的情况，以及物体所受的外力随时间变化的情况，为机械结构设计提供参考。
在机械结构领域，它的应用可以比较容易地实现，如果我们想要设计一个可以承受大负荷的机械结构，就可以利用剪应力互等定理来确定结构的形状和尺寸，以及结构的强度和可靠性。
除了在力学中的应用，剪应力互等定理也广泛应用于其他领域，比如外壳结构设计、塔架结构设计、管道、电缆、运输机构等。
在建筑结构中，它可以用来设计和优化建筑的支撑结构，以确保其可靠性和安全性。
剪应力互等定理也可以用来解决机械设计中的动力平衡问题和旋转平衡问题。
以上就是关于剪应力互等定理的大致内容。
它是一个重要的力学定理，在几何、力学和机械结构领域都有广泛的应用，为我们提供了一种简单的方法来研究物体结构中受力的情况，以及物体受力时加速度的变化。
剪应力互等定理不仅在力学中发挥着重要作用，而且在多个领域中有着广泛的应用，可以帮助我们得到更好的结构设计。
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4
第七章 应力状态和强度理论
1. 此梁的剪力图和弯矩图如图d和e。危险截面为荷载 作用位置C的左侧横截面。
m
256 106 m3
6
第七章 应力状态和强度理论
3. 危险截面上a点和b点处的应力：
a
MC Iz
ya
80103 N m 88106 m4
0.135
m
122.7 106 Pa 122.7 MPa
a
FSC
S
* za
Izd
200 103 N 256 106 m3 88106 m4 9 103 m
FSC 200 kN M C 80 kN m
5
第七章 应力状态和强度理论
2. 相关的截面几何性质为
Iz
120 103
m 300 103 12
m3
111103
m 270 103 m 3 12
88106 m4
S
* za
120 103
m 15103
m
135 10 3
m 7.5103
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 320.12. 1302:5 6:3602: 56:36D ecembe r 13, 2020
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月13 日星期 日上午 2时56 分36秒0 2:56:36 20.12.1 3
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。02:5 6:3602: 56:3602 :5612/ 13/2020 2:56:36 AM
•
3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 302:56: 3602:5 6Dec-20 13-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 02:56:3 602:56: 3602:5 6Sunda y, December 13, 2020
试证明：剪应力互等定理
从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, x = - 1MPa , y = - 0.4MPa , xy= - 0.2MPa , yx = 0.2MPa ,
(1)绘出相应的应力圆 (2)确定此单元体在 =30°和 = - 40°两斜面上的应力。
解: (1) 画应力圆
量取OA= x= - 1 , AD = XY= - 0.2,定出 D点; OB =y= - 0.4和， BD′ = yx= 0.2 , 定出 D′点 .
以 DD′ 为直径绘出的圆即为应力圆。
(-0.4,0.2)
D′
A
CB o
y
xy x
D (-1,-0.2)
(2) 确定 = 30°斜截面上的应力
将 半径 CD 逆时针转动 2 = 60°到半径 CE, E 点的坐标就 代表 = 30°斜截面上的应力。
(3) 确定 = - 40°斜截面上的应力
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/13/
2020 2:56:36 AM02:56:362020/12/13
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/13/
谢 谢 大 家 2020 2:56 AM12/13/2020 2:56 AM20.12.1320.12.13
• 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。13-Dec-2013 December 202020.12.13
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Sunday, December 13, 20201
3-Dec-2020.12.13
• 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自 己眷恋了。20.12.1302:56:3613 December 202002:56
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 2时56 分20.12. 1302:5 6December 13, 2020
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8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月13日 星期日 2时56 分36秒0 2:56:36 13 December 2020
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9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 2时56 分36秒 上午2时 56分02 :56:362 0.12.13
将 半径 CD顺时针转 2 = 80°到半径 CF, F 点的坐标就代表 = - 40° 斜截面上的应力。
F
40°
D′
30°= - 0.68MPa 30°= - 0.36MPa -40°= - 0.95MPa
40° A80°
C
B30° o
60°
D
E
30°
40°= - 0.26M 64.6 MPa
b
MC Iz
yb
80103 N m 88106 m4
0.15
m
136.4106 Pa 136.4 MPa
b 0
7
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1320. 12.13Sunday, December 13, 2020
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