材料力学：弯曲切应力

B
n
F
* N2
m
F F dFs 0
* N2 * N1
1 dA
dA
m
n
dM * dFs F F Sz Iz
* N2 * N1
dM * dFs F F Sz Iz
* N2 * N1
z
y x
3
求纵截面 AB1 上的切应力 ’

dFs 1 dM * Sz b dx bI z dx
B
A
h/2
b
y
m
n
dA bdy
1

Fs S z
*
I
z
b
2 b h 2 * SZ ( y ) 2 4
Fs h 2 τ ( y2 ) 2I z 4
可见 ，切应力沿 截面高度按抛物线规律变化。
Fs h 2 τ ( y2 ) 2I z 4
h y 处，（即在横截面上距中性轴最远处)，切应力等于零 2
z
* z
上式为 矩形截面梁 对称弯曲时横截面上任一点处的
切应力计算公式。
Fs S bI
z
* z
A
*
Z
Iz — 整个横截面对中性轴的惯性矩 b— 矩型截面的宽度 Sz* — 过求切应力的点做与中性轴平 行的直线，该线任一边的横截面面积 对中性轴的静矩
y
A
*
y
b
— 其方向与剪力 Fs 的方向一致
τ 0
y = 0 处，( 即在中性轴上各点处） ，切应力达到最大值

max
Fs h 2 Fs h 2 3 Fs 3 Fs 3 bh 8I z 2 bh 2 A 8 12

max
3Fs 2A
式中 ， A = b h , 为矩形截面的面积 。 矩形截面切应力沿截面高度的变化如图所示。
n
z y A1
dFs
* FN 1
x
B1 B A
b
m
F
* N2
n
推导公式的步骤
1 2 3 4
y
m
n
dx
* * 分别求出 横截面 mA1和 nB1上正应力的合力 FN1 和 FN 2
由静力平衡方程，求出 dFs。 dFs 除以 AB1 面的面积得纵截面上的切应力 。 由此得到横截面上距中性轴为任意 y 的点上的切应力 。
F1 F2
q(x)
（1）推导公式的思路
1
F1
F2
q(x)
n
m
假想地用横截面 m—m , n—n
从梁中截取 dx 一段 。
两横截面上均有剪力和弯矩。 弯矩产生 正应力， x
m
n
dx
m
n
Fs M+dM
M Fs
剪力产生 切应力。
m
n
m
M Fs
n
Fs M+dM
m
n
y m
n
m
n
正应力（）分布图

My Iz
n
y
m
n
dx
m'
AB1 面的 AA1线各点处有切应力。 且各点的切应力相等。
n
z y A1
* FN 1
m'
x m z B1
dFs
n
h B
o
y
m
A
F
* N2
n
x
A1
B1 B A y b m dx
y
m
n
dx
m'
根椐切应力互等定理，在横截面的
横线 AA1 上也应有切应力 。 且横截面的横线AA1上各点的切应力相等。
弯曲切应力
对称弯曲的概念及计算简图
梁的剪力和弯矩 • 剪力图和弯矩图
平面刚架和曲杆的内力图
梁横截面上的正应力 • 梁的正应力强度条件 梁横截面上的切应力 • 梁的切应力强度条件 梁的合理设计
§4-5 梁横截面上的切应力 • 切应力强度条件
一、梁横截面上的切应力 1. 矩形截面梁 图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用。
3. 切应力沿截面高度 的变化规律
z y
O x
Fs S bI
z
* z
A1
B1
B
沿截面高度的变化 由静矩 Sz* 与 y 之间的
m1
m
A
n
关系确定。
y
z
S
* z
* A

h 2
y dA
1
y
y bdy
1
y1
y
A1 B1
O
x
1
b h2 2 ( y) 2 4
dy1 m1
M dM F * 2 dA Iz A
* N2
A1
F
* N1
dFs A
B1
B
n
F
* N2
A* 对中性轴
z的
m
1 dA
dA
m
n
S
* Z
* FN 1
M
I
S
* Z
z
y1 y x
Z
M dM F Iz
* N2
S
* Z
A1
F
* N1
2
由静力平衡方程求 dFs
dFs A
B1
z y A1
* FN 1
m'
x m z B1
dFs
n
h B
o
y
m
A
F
* N2
x
A1
B1 B A y b m dx
n
y
m
n
dx
m'
因为微元段 dx 的长度很小，
所以假设切应力在 AB1 面上 均匀分布。
n
z y A1
* FN 1
m'
x m z B1
dFs
n
h B
o
y
m
A
F
* N2
x
A1
B1 B A y m b dx
两横截面上的弯矩不等 。所以两截面上到中性轴距离相等的点
（用 y 表示）其正应力也不等。
2
假想地从梁段上截出体积元素 mB1
m'
m z n
h
o
y A1
x
B1
m'
y
B
A m
n
dx
b
z x z
m'
m n
y
A1
* FN 1
B1 h
o
y
m
A
n
B
F
* A y b m dx
y
m
dx
n
m'
3
体积元素 mB1 在两端面 mA1 , nB1
上两个法向内力不等。
* * FN F 1 N2
n
z x z
m'
m n
y
A1
* FN 1
B1
dFs
h
o
y
m
A
n
B
F
* N2
x
A1
B1 B A y b m dx
y
m
dx
n
m'
4
在纵截面 AB1 上必有沿 x
方向的切向内力 dFs。
n
此面上也就有切应力 ’
（2）公式推导
1
z
求
F*
N1和
F*
N2
y1
y
x
假设 m—m , n—n上的弯矩 为 M 和 M+dM 。 两截面上距中性轴 y1 处的
F
* N1
A1
m
dFs A
B1
B
n
F
* N2
1 dA
dA
m
n
正应力为 1 和 2 。
用 A* 记作 mA1 的面积
* FN 1 * A
z
y1 y x
1dA
dA
M
A1
A* M y1
Iz
y I
z A*
1
dA
F
* N1
dFs A
B1
B
n
F
* N2
m
M * Sz Iz
1 dA
dA
m
n
F
* N1
M * * 1 dA SZ A IZ
y1 y
z
x
A*为横截面距中性轴为 y 的 横线以外部分 mA1 的面积。 Sz*是面积 静矩。 同理
A1
F
* N1
dFs A
B1
B
n
* FN 2
m
Fs S bI
z
* z
b
m
dx
n
Fs S bI
z
* z
z
y x
4
横截面上距中性轴为任意
y 的点，其切应力 的计
算公式。
F
* N1
A1
m
dFs A
B1
B
n
* FN 2
Fs S bI
z
* z
b
m
dx
n
Fs S bI