平衡微分方程和边界条件
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弹性力学(习题详解)
第二章 平面问题的基本理论
（习题讲解）
习题2-1 设有任意形状的等厚度薄板，体力可 o
以不计，在全部边界上（包括孔口边 界上）受有均匀压力 q 。试证：
x
q
x y q 及 xy 0
能满足平衡微分方程、相容方程和边 界条件，同时也满足位移单值条件，
y
因而就是正确的解答。
解：本问题属平面应力问题
X V ,Y V
x
y
（1）
其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数 (x, y)表示成为：
x
2
y 2
V ,
y
2
x2
V , xy
2
xy
试导出相应的相容方程。
（2）
将式（2）代入应力表示的相容方程：
2 x2
2 y 2
( x
y)
4
x 2y 2
4
x4
2V x 2
2V x 2
4
y 4
解：由材料力学理论求出：
l
x
Px I
y
(I h3 ) h 12
xy
QS Ib
P 2I
h2 4
y2
1P y x
将式 (1)代入相容方程：
x
y 0
(1)
将式 (1)代入平衡微分方程：
x xy P y P y 0 x y I I
xy y 0 0 0
2 x2
2 y 2
( x
2V y 2
4
x 2y 2
2V y 2
4
x 4
4
2 x2y2
4
y 4
2
2V x 2
2V y 2
4
22V
2 x2
（习题讲解）
习题2-1 设有任意形状的等厚度薄板，体力可 o
以不计，在全部边界上（包括孔口边 界上）受有均匀压力 q 。试证：
x
q
x y q 及 xy 0
能满足平衡微分方程、相容方程和边 界条件，同时也满足位移单值条件，
y
因而就是正确的解答。
解：本问题属平面应力问题
X V ,Y V
x
y
（1）
其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数 (x, y)表示成为：
x
2
y 2
V ,
y
2
x2
V , xy
2
xy
试导出相应的相容方程。
（2）
将式（2）代入应力表示的相容方程：
2 x2
2 y 2
( x
y)
4
x 2y 2
4
x4
2V x 2
2V x 2
4
y 4
解：由材料力学理论求出：
l
x
Px I
y
(I h3 ) h 12
xy
QS Ib
P 2I
h2 4
y2
1P y x
将式 (1)代入相容方程：
x
y 0
(1)
将式 (1)代入平衡微分方程：
x xy P y P y 0 x y I I
xy y 0 0 0
2 x2
2 y 2
( x
2V y 2
4
x 2y 2
2V y 2
4
x 4
4
2 x2y2
4
y 4
2
2V x 2
2V y 2
4
22V
2 x2
弹性力学：平板弯曲问题的有限元分析(1)
其中为薄板的弯曲刚度9899薄板的弹性曲面微分方程薄板横截面上的内力称为薄板横截面上的内力称为薄板内力薄板内力是指薄板横截面的单是指薄板横截面的单位宽度上由应力合成的位宽度上由应力合成的主矢量主矢量和和主矩主矩
平板弯曲问题的有限元分析(1) Kirchhoff弹性薄板理论
参考文献： “弹性力学(下册)”第13章。徐芝纶
x
2w
2 (z2
2
2
)dz 4
E 3 12(1 2 )
x
2w
(c)
同样，在y为常量的截面上，每单位宽度内的 y , yx , yz
也分别合成如下的弯矩，扭矩，和横向剪力：
M y
2 2
z
y dz
E
12(1
3
2
)
(
2w y2
2w x2
)
(d)
M yx
2
2
z yxdz
E 3 12(1 2 )
(9-6)
( z )z q
(f)
2
将(9-6)式代入薄板上板面的边界条件：
得：
E
12(1
3
2
)
4
w
q
(9-7)
或 D4w q， (9-8)
其中
D
E
12(1
3
2
)
(9-9)
薄板的弹性曲面微分方程
为薄板的弯曲刚度
§9-３ 薄板横截面上的内力
► 薄板横截面上的内力，称为薄板内力，是指薄板横截面的单 位宽度上，由应力合成的主矢量和主矩。
对z积分，得到： z
2(1 2 )
2
( 4
z
z2 )4w 3
F3 (x,
平板弯曲问题的有限元分析(1) Kirchhoff弹性薄板理论
参考文献： “弹性力学(下册)”第13章。徐芝纶
x
2w
2 (z2
2
2
)dz 4
E 3 12(1 2 )
x
2w
(c)
同样，在y为常量的截面上，每单位宽度内的 y , yx , yz
也分别合成如下的弯矩，扭矩，和横向剪力：
M y
2 2
z
y dz
E
12(1
3
2
)
(
2w y2
2w x2
)
(d)
M yx
2
2
z yxdz
E 3 12(1 2 )
(9-6)
( z )z q
(f)
2
将(9-6)式代入薄板上板面的边界条件：
得：
E
12(1
3
2
)
4
w
q
(9-7)
或 D4w q， (9-8)
其中
D
E
12(1
3
2
)
(9-9)
薄板的弹性曲面微分方程
为薄板的弯曲刚度
§9-３ 薄板横截面上的内力
► 薄板横截面上的内力，称为薄板内力，是指薄板横截面的单 位宽度上，由应力合成的主矢量和主矩。
对z积分，得到： z
2(1 2 )
2
( 4
z
z2 )4w 3
F3 (x,
2-2平面应力问题
可以根据上式，求出应力与应变之间的关系 广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
1 ε x = (σ x − μσ y ) E 1 ε y = (σ y − μσ x ) E 1 γ xy = τ xy G
E (ε x + με y ) 2 1− μ E σy = (ε y + με x ) 2 1− μ E τ xy = Gγ xy = γ xy 2(1 + μ )
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
在z面的负面z处，正应力记为σz
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
∂σ z σz + dz ∂z
z正面z+dz处应力为
∂σ z σz + dz ∂z
在x面的负面处，切应力记为τxz x正面x+dx处切应力为
τ yz +
∂τ yz ∂y
dy
Z
τ yz
τ xz
τ yz +
∂τ yz ∂y
dy
Z
τ yz
∂τ xz τ xz + dx ∂x
τ xz
σz
x
∂σ z (σ z + dz ) ⋅ dxdy − σ z dxdy + ∂z ∂τ xz (τ xz + dx) ⋅ dydz − τ xz dydz + ∂x ∂τ yz dy ) ⋅ dxdz − τ yz dxdz + (τ yz + ∂y Z ⋅ dxdydz = 0
γ zx = γ xz = 0, γ yz = γ zy = 0
εz = − μ
E (σ x + σ y )
1 (σ x − μσ y ) E 1 ε y = (σ y − μσ x ) E 1 γ xy = τ xy G
常微分方程平衡点
常微分方程平衡点
常微分方程平衡点是指一个微分方程在其所有可能的取值点处都相等的解点。
当微分方程被求解时,如果它的所有解都位于平衡点,那么该微分方程就是平衡的,也就是说,其边界条件在所有的解点处都相等。
在常微分方程中,平衡点通常可以通过以下方法找到:
1. 使用条件值法:在微分方程中设一个条件值,如果条件值在解点处相等,那么平衡点就是该解点。
2. 使用积分法:将微分方程积分得到其导数,如果导数在所有解点处都相等,那么平衡点就是该解点。
3. 使用数值方法:使用数值方法,如迭代法、有限元法等,计算微分方程的解并寻找平衡点。
找到常微分方程平衡点的关键是找到所有可能的解点,并确定它们是否都位于平衡点。
如果所有可能的解点都位于平衡点,那么微分方程就是平衡的。
流体力学第二章流体静力学
流体力学第二章流体静力学编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（流体力学第二章流体静力学）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为流体力学第二章流体静力学的全部内容。
第二章 流体静力学1º 研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。
根据平衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静止流体作用在各种表面的总压力大小、方向、作用点.2º 静止：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相对运动。
① 绝对静止：流体整体相对于地球没有相对运动。
② 相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相对运动。
共同点：不体现粘性,无切应力3º 适用范围：理想流体、实际流体4º 主要内容:流体平衡微分方程式静力学基本方程式（重点)等压面方程(测压计）作用于平面和曲面上的力（难点)重力压力重力直线惯性力压力质量力质量力重力离心惯性力 压力 重力压力第一节 流体静压强及其特性一、 基本概念1、 流体静压强:静止流体作用在单位面积上的力。
设微小面积上的总压力为，则 平均静压强： 点静压强： 即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。
单位：N/m 2 (Pa)2、 总压力：作用于某一面上的总的静压力.P单位：N (牛）3、流体静压强单位:国际单位：N/m 2＝Pa物理单位：dyn/cm 21N=105dyn ，1Pa=10 dyn/cm 2工程单位:kgf/m 2混合单位：1kgf/cm 2 = 1at (工程大气压) ≠ 1atm (标准大气压）1 at=1 kgf/cm2 =9。
弹性力学简明教程 第2章 平面问题的基本理论
一 、求AB面上的正应力σn和切应力τn
设px、py为斜面AB的应力p在x、y 轴上的投影。斜面 AB的长度为 ds, 则AB=ds, PB=lds, PA=mds 。 由平衡条件∑Fx=0 得：
l ds m d s p x ds x l ds xy m ds f x 0 2
除以ds ,然后令ds→0, 得：
B'
一、位移与形变
刚体位移
如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化， 则物体发生了变形。这种变形一方面表现在微 线段长度的变化，称为线应变；一方面表现在 微线段间夹角的变化，称为切应变。
O
A
O
A'
B
B'
二、几何方程
几何方程——描述任一点的微线段上形变分量 与位移分量之间的关系。 P点的形变分量与位移分量的关系？
0 l 1
当 l2 = 1 时，
0 l 2 1
n nmax 1 ( 1 2 ) 2 1
当 l2 = 0 时，
n n min 2
可见：两个主应力就是最大与最小的正应力。
五、求最大与最小的切应力
任意斜面上的切应力 n lm( y x ) (l 2 m 2 ) xy
y
二、几何方程
PA的线应变在小变形
时是由x 方向的位移 引起的，因此PA的线 应变为
P' A' PA x PA
o u
P
x
u
dx
v
P'
A
u dx x
A'
v
v dx x
y
u (u dx) u AA' PP' u x dx PA x v (v dx) v v x PA的转角为 dx x
第七章_弹性力学平面问题的极坐标系解答讲解
在r = b边界（外径）：
r= -qb，r=0
本问题仍为轴对称问题，且体力为零，
可采用前述的应力函数求解方程，也可按位移法求解。
１．按应力函数法求解
按应力函数求解前面已导出应力分量和位移表达式：
， ，
平面应力问题的位移：
法求解：
由基本方程 得
代入应力与位移之间关系式，对于平面应力问题，有
其中Brsin=By可略去。
将( r,)代入应力分量表达式
A、C、D由力的边界条件来定。
力的边界条件：在主要边界上，
在r = a：r= 0,r= 0, 2Aa+C/a-2D/a3= 0
在r = b:r= 0,r= 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0
在次要边界上，
在=0，环向方向的面力为零， 满足。
在= 0: 由于主要边界满足，则此式自然满足；
在= 0:
(3)
主要边界满足时，由（1）、（2）、(3)求出A、B、C，应力求出后，依次可求出应变和位移表达式，详细推导在徐芝纶（上册）P.91-92。
在徐芝纶(4-13)中I、K、H为刚体位移，I = u0、K = v0, H =。
可利用约束确定，如令r0=(a+b)/2，= 0处
应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得
——(b)
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0B=F=0
轴对称问题的应力和位移解为：
， ，
，
A、C由两个力的边界条件确定。
对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，
则根据圆盘（或圆柱）中心应力和
位移有限值,得
A=0
图示圆盘受力情况，得应力为r==2C= -q
然后，利用r = a时， ，得
r= -qb，r=0
本问题仍为轴对称问题，且体力为零，
可采用前述的应力函数求解方程，也可按位移法求解。
１．按应力函数法求解
按应力函数求解前面已导出应力分量和位移表达式：
， ，
平面应力问题的位移：
法求解：
由基本方程 得
代入应力与位移之间关系式，对于平面应力问题，有
其中Brsin=By可略去。
将( r,)代入应力分量表达式
A、C、D由力的边界条件来定。
力的边界条件：在主要边界上，
在r = a：r= 0,r= 0, 2Aa+C/a-2D/a3= 0
在r = b:r= 0,r= 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0
在次要边界上，
在=0，环向方向的面力为零， 满足。
在= 0: 由于主要边界满足，则此式自然满足；
在= 0:
(3)
主要边界满足时，由（1）、（2）、(3)求出A、B、C，应力求出后，依次可求出应变和位移表达式，详细推导在徐芝纶（上册）P.91-92。
在徐芝纶(4-13)中I、K、H为刚体位移，I = u0、K = v0, H =。
可利用约束确定，如令r0=(a+b)/2，= 0处
应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得
——(b)
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0B=F=0
轴对称问题的应力和位移解为：
， ，
，
A、C由两个力的边界条件确定。
对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，
则根据圆盘（或圆柱）中心应力和
位移有限值,得
A=0
图示圆盘受力情况，得应力为r==2C= -q
然后，利用r = a时， ，得
课后习题解答
【解答】由于 h l ，OA 为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：
(a)上端面
OA
面上面力
fx
0,
fy
x b
q
由于 OA 面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有
b
0
y
dx
y0
b
0 f ydx
b x qdx qb
0b
2
b 0
①主要边界，上边界 y h 上，面力为 2
f
x
(
y
h 2
)
2ax
f
y
(
y
h 2
)
ah
②主要边界，下边界 y h ，面力为 2
fx
(
y
h) 2
2ax,
fy(y
h) 2
ah
③次要边界，左边界 x=0 上，面力的主矢，主矩为
h/2
x 向主矢： Fx h/ 2 ( x )x0 dy 0
h/2
y 向主矢： Fy h/ 2 ( xy )x0 dy 0
y0
12
b
0
xy
dx 0
y0
综上所述，在小边界 OA 上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等
效的。
【2-11】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么
【解答】（1）在区域内用位移表示的平衡微分方程式（2-18）；
（2）在 s 上用位移表示的应力边界条件式（2-19）；
【3-3】如果某一应力边界问题中有 m 个主要边界和 n 个小边界，试问在主要边界和小 边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件
【解答】在 m 个主要边界上，每个边界应有 2 个精确的应力边界条件，公式（2-15）， 共 2m 个；在 n 个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有 2n 个；如果不能满足公 式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替 2 个精确应 力边界条件，共 3n 个。
弹性力学-边界条件
y
yx
x
P y
fx
n
l cosn, x cos m cosn, y sin
xy
由 x s m xy s f x xy s m y s f y
fy
x s cos yx s sin 0
h 2 h 2
h 2 h 2
f x ydy M
则边界条件可以写成(P.23 (b))：
x x l
dy Fx ,
xy x l
dy Fy ,
x x l
ydy M
悬臂梁的例子：
y
h 2 h 2
y y x
h 2 h 2
x
P
L
L
对边界条件的积分为： (P.23 (b))：
x yx
xy l fx y s m fy
x 上面：l=0，m=-1 左面： 右面： l=-1 l=1 m=0 m=0 下面：l=0，m=1 y
(2).上下两面 ( ) f l 0 m 1 ( ) f
二、应力边界条件 在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示： 弹性体内单元体斜面上的 y 应力分量与坐标面应力的 yx 关系有(静力平衡) f xn X x p x x xy l p y m y yx
• 所得到的应力分量必须在所有边界上各点处严 格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。 • 在小边界上，如果不能严格满足边界条件，可 以用圣维南原理在静力等效意义上满足(积分 意义上的)边界条件。 • 根据这个原理：两组面力其分布尽管不同，但 如果两者的合力与合力矩相同(静力等效)，此 时它们所产生的作用结果仅仅在局部有比较大 的差异，远离这个局部，结果基本相同。
yx
x
P y
fx
n
l cosn, x cos m cosn, y sin
xy
由 x s m xy s f x xy s m y s f y
fy
x s cos yx s sin 0
h 2 h 2
h 2 h 2
f x ydy M
则边界条件可以写成(P.23 (b))：
x x l
dy Fx ,
xy x l
dy Fy ,
x x l
ydy M
悬臂梁的例子：
y
h 2 h 2
y y x
h 2 h 2
x
P
L
L
对边界条件的积分为： (P.23 (b))：
x yx
xy l fx y s m fy
x 上面：l=0，m=-1 左面： 右面： l=-1 l=1 m=0 m=0 下面：l=0，m=1 y
(2).上下两面 ( ) f l 0 m 1 ( ) f
二、应力边界条件 在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示： 弹性体内单元体斜面上的 y 应力分量与坐标面应力的 yx 关系有(静力平衡) f xn X x p x x xy l p y m y yx
• 所得到的应力分量必须在所有边界上各点处严 格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。 • 在小边界上，如果不能严格满足边界条件，可 以用圣维南原理在静力等效意义上满足(积分 意义上的)边界条件。 • 根据这个原理：两组面力其分布尽管不同，但 如果两者的合力与合力矩相同(静力等效)，此 时它们所产生的作用结果仅仅在局部有比较大 的差异，远离这个局部，结果基本相同。
弹塑性力学第四章弹性力学的求解方法
微分方程并求解，最后根据边界条件确定待定常数。
逆解法求解空间问题
逆解法的基本思想
从已知的空间应力或位移函数出发，反推得到弹性体的形状和边界条件。
适用于具有特定应力或位移分布的空间问题
如无限大体、半无限大体等具有特殊应力或位移分布的空间问题。
求解步骤
假设空间应力或位移函数，根据弹性力学基本方程推导得到弹性体的形状和边界条件，并 验证假设的合理性。
04
半解析法在弹性力学中的应用
有限差分法基本原理及步骤
差分原理
有限差分法基于差分原理，将连续问 题离散化，通过求解差分方程得到近 似解。
网格划分
将求解区域划分为规则的网格，每个 网格节点对应一个未知数。
差分格式
根据问题的性质和精度要求，选择合 适的差分格式，如向前差分、向后差 分、中心差分等。
边界处理
电测实验方法介绍及优缺点分析
电阻应变片法
利用电阻应变片将试件表面的应变转换 为电阻变化，通过测量电路获取应变信 息。该方法具有测量精度高、稳定性好 、适用于各种环境和试件形状的优点， 但需要粘贴应变片并进行温度补偿，且 只能进行点测量。
VS
电容传感器法
利用电容传感器将试件表面的位移或应变 转换为电容变化，通过测量电路获取相关 信息。电容传感器法具有非接触、高灵敏 度、宽频响等优点，但易受环境干扰，且 需要进行复杂的电路设计和信号处理。
04 边界条件处理 根据边界条件对总体刚度矩阵和荷载向量进行修正。
05
求解线性方程组
求解总体刚度矩阵和荷载向量构成的线性方程组，得 到节点位移。
边界元法基本原理及步骤
边界积分方程
边界离散化
单元分析
总体合成
求解线性方程组