§2-8 液体的相对平衡
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流体力学第2章水静力学--用
同理 py=pn, pz=pn
由此得证，静止流体中任一点压强与作用的方位无关。 由此可知，流体静压强只是空间坐标的函数，即
p f x,y,z
且dppdxpdypdz x y z
§2-2 流体平衡微分方程
一、静止流体平衡微分方程及其积分
取泰勒级数展
在静止流体中取六面体微团dx，dy，dz，并取开坐式标的如前图两所项示。
Evaluation only. eated（w静各it止h向CA流等osp体值pyo中r性isg任e）h.一tS2l点i0d1e的9s静-f2o压0r1强.N9与EAT作sp3用o.s5的eC方Pli位teyn无Lt 关tPdr.ofile 5.2.0
1.方向特性 ：证明
由液体的性质可知，静止的 液体不能承受剪切力，也不
x
dx
由静平衡关系 Fx 0有：
p1pd x dyd p z1pd x dyd X d z xd 0 ydz
2x 2x
可得：
X 1 p 0
x
eat同ed理w，i对thyCA,ozsp方py向orisg可eh得.tS：2lEYZi0dv1ea119slu-f2ppyzao0tri1o00.N9nEAoTsn流也pl3y体称o..s5静 欧eC平拉Pl衡平itey微衡nL分微t tP方分dr.程方of式程ile，。5.2.0
的数值C反op映y了rig压h强t 2的01大9小-2。019( hAspp)ose Pty Ltd.
三者关系： 1 P工程=1.0Kgf/cm2=10mH2O=98KPa 1 P标准 = 101.3KPa =760mmHg=10.336mH2O
第2章 水静力学
二 静水压强基本特性
流体静压强总是指向作用面的内法线方向 (垂直指向性）
由此得证，静止流体中任一点压强与作用的方位无关。 由此可知，流体静压强只是空间坐标的函数，即
p f x,y,z
且dppdxpdypdz x y z
§2-2 流体平衡微分方程
一、静止流体平衡微分方程及其积分
取泰勒级数展
在静止流体中取六面体微团dx，dy，dz，并取开坐式标的如前图两所项示。
Evaluation only. eated（w静各it止h向CA流等osp体值pyo中r性isg任e）h.一tS2l点i0d1e的9s静-f2o压0r1强.N9与EAT作sp3用o.s5的eC方Pli位teyn无Lt 关tPdr.ofile 5.2.0
1.方向特性 ：证明
由液体的性质可知，静止的 液体不能承受剪切力，也不
x
dx
由静平衡关系 Fx 0有：
p1pd x dyd p z1pd x dyd X d z xd 0 ydz
2x 2x
可得：
X 1 p 0
x
eat同ed理w，i对thyCA,ozsp方py向orisg可eh得.tS：2lEYZi0dv1ea119slu-f2ppyzao0tri1o00.N9nEAoTsn流也pl3y体称o..s5静 欧eC平拉Pl衡平itey微衡nL分微t tP方分dr.程方of式程ile，。5.2.0
的数值C反op映y了rig压h强t 2的01大9小-2。019( hAspp)ose Pty Ltd.
三者关系： 1 P工程=1.0Kgf/cm2=10mH2O=98KPa 1 P标准 = 101.3KPa =760mmHg=10.336mH2O
第2章 水静力学
二 静水压强基本特性
流体静压强总是指向作用面的内法线方向 (垂直指向性）
流体平衡微分方程
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
在理想运动流体中任取微元直角六面体abcdefgh，设 形心A（x、y、z）处的压强为p。这个六面体微团在质量 力和表面力的作用下，处于平衡状态。 1、质量力
Fx dxdydzX Fy dxdydzY Fz dxdydzZ
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
代入压差公式可以推得：
dP (gdz) dz
积分得： P z c
（2.10）
即：流体静力学基本方程
z p 常数
（2.11）
§2.3流体静力学基本方程
流体静力学基本方程式适用于均质不可压缩的重力流体 处于静止状态时流体内部的任意两点。
§2.3流体静力学基本方程
在静止流体中取体积 V的流体微团，其表面积A
一、质量力mass force
1、定义:是指作用于隔离体内某一流体质点上的力，它的大 小与质量成正比。对于均质流体（各点密度相同的流体）， 质量力与流体体积成正比，其质量力又称为体积力。
§2.1静止流体上的作用力
2、表示：单位质量力或单位质量力分量 Fm m am m(Xi Yj Zk)
加速运动（X=-a,Y=0,Z=-g）
§2.1静止流体上的作用力
二、表面力surface force 1、定义：又称面积力，是毗邻流体或其它物体作用在隔离体表
面上的直接施加的接触力。它的大小与作用面面积成 正比。 表面力是就所研究的流体系统而言的，它可能是周围同 种流体对分离体的作用，也可能是另一种相邻流体对其作用， 或是相邻固壁的作用。 例如，敞开容器内的液体，如把整个液体作为研究系统， 则它仅受自由面上的大气和相接触的容器壁面的作用；若把 和固壁接触的自由面附近的部分液体取作分离体，则上述三 种表面力都存在。
静水压强的特性
水静力学的主要内容
§2-1 静水压强及其特性 §2-2重力作用下静水压强的分布规律 §2-3压强的计算基准和量度单位 §2-4测量压强的仪器 §2-5静水压强分布图 §2-6 作用在平面上的静水总压力 §2-7 作用在曲面上的静水总压力 §2-8液体平衡微分方程 §2-9重力和惯性力同时作用下液体的相对平衡
A0
P A
图2-1
二、静水压强的特性
１．静水压强的方垂直指向受压面或沿受压面的内法线方 向
这一特性可由反证法给予证明，如下图所示。
p
作用力
F
α
切向应力
２．静止液体中作用于同一点各个方向的静水压强都 相等。 证明如下:在静止流体中任取一微元四面体,对其进行 受力分析.
作用在ACD面上 的流体静压强 px
p p0 gh 98 1 9.81 107.8kN / m 解：
2
p0=pa
h
p p pa 107.8 98 9.8kN / m2
例2：如图已知， p0=50kN/m2，h=1m， 求：该点的绝对压强及相对压强 解：p p0 gh 50 1 9.8 1 59.8kN / m2
Xdx 0
p X p Y p Z pn
上式说明，在静止液体中，任一点静水压强的大小与作用 面的方位无关，但液体中不同点上的静水压强可以不等， 因此，静水压强是空间坐标的标量函数，即：
p p p dp dx dy dz x y z （2-2）
p p( X , Y , Z )
表 压强的单位及其换算表
帕 (Pa) 1 9.8 × 10 10.13 × 10 10.00 × 10 0.686 × 10
§2-1 静水压强及其特性 §2-2重力作用下静水压强的分布规律 §2-3压强的计算基准和量度单位 §2-4测量压强的仪器 §2-5静水压强分布图 §2-6 作用在平面上的静水总压力 §2-7 作用在曲面上的静水总压力 §2-8液体平衡微分方程 §2-9重力和惯性力同时作用下液体的相对平衡
A0
P A
图2-1
二、静水压强的特性
１．静水压强的方垂直指向受压面或沿受压面的内法线方 向
这一特性可由反证法给予证明，如下图所示。
p
作用力
F
α
切向应力
２．静止液体中作用于同一点各个方向的静水压强都 相等。 证明如下:在静止流体中任取一微元四面体,对其进行 受力分析.
作用在ACD面上 的流体静压强 px
p p0 gh 98 1 9.81 107.8kN / m 解：
2
p0=pa
h
p p pa 107.8 98 9.8kN / m2
例2：如图已知， p0=50kN/m2，h=1m， 求：该点的绝对压强及相对压强 解：p p0 gh 50 1 9.8 1 59.8kN / m2
Xdx 0
p X p Y p Z pn
上式说明，在静止液体中，任一点静水压强的大小与作用 面的方位无关，但液体中不同点上的静水压强可以不等， 因此，静水压强是空间坐标的标量函数，即：
p p p dp dx dy dz x y z （2-2）
p p( X , Y , Z )
表 压强的单位及其换算表
帕 (Pa) 1 9.8 × 10 10.13 × 10 10.00 × 10 0.686 × 10
流体力学讲义 第二章 流体静力学
第二章流体静力学作用在流体上的力有面积力与质量力。
静止流体中，面积力只有压应力——压强。
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程，等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜体与浮体的稳定性问题等。
第一节作用于流体上的力一、分类1.按物理性质的不同分类：重力、摩擦力、惯性力、弹性力、表面张力等。
2.按作用方式分：质量力和面积力。
二、质量力1.质量力(mass force):是指作用于隔离体内每一流体质点上的力，它的大小与质量成正比。
对于均质流体（各点密度相同的流体），质量力与流体体积成正比，其质量力又称为体积力。
单位牛顿（N）。
2.单位质量力：单位质量流体所受到的质量力。
(2-1) 单位质量力的单位：m/s2 ，与加速度单位一致。
最常见的质量力有：重力、惯性力。
问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所受的单位质量力f水和f水银的大小？A. f水<f水银；B. f水=f水银；C. f水>f水银；D、不一定。
问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液体所受的单位质量力大小（fX. fY. fZ）分别为多少？自由落体：X＝Y=0,Z=0。
加速运动：X=-a,Y=0,Z=-g。
三、面积力1.面积力（surface force）：又称表面力，是毗邻流体或其它物体作用在隔离体表面上的直接施加的接触力。
它的大小与作用面面积成正比。
表面力按作用方向可分为：压力：垂直于作用面。
切力：平行于作用面。
2.应力：单位面积上的表面力，单位：或图2-1压强(2-2)切应力(2-3) 考考你1.静止的流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，无法承受剪切力。
2.理想流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，因为无粘性，故无剪切力。
第二节流体静压强特性一、静止流体中任一点应力的特性1.静止流体表面应力只能是压应力或压强，且静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
第二章--流体静力学PPT课件
.
第二章 流体静力学
流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的 规律及其在工程实际中的应用。
这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球 作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时， 称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标 系静止时，称流体处于相对静止状态。
流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作 用，即切向应力都等于零，流体只存在压应力——压强。
Pd=22.6Kpa
将以上条件代入式（2-15）积分，便可得到同温层标准大气压分布
dppgdz pgdz
RT
RT d
p dp z g
dz
pa p
zd RTd
p22 .6ex1p1( 00z0) 6334
式中z得单位为m，11000m≤z≤25000m。
35
.
2.3.2气体压强分布
2.大气层压强的分布
2.3.3压强的度量
相对压强
绝对压强
真空度 绝对压强
绝对压强、相对压强和真空之间的关系
41
.
2.3.3压强的度量
相对压强
绝对压强
真空 绝对压强
绝对压强、相对压强和真空之间的关系
42
.
2.3.3压强的度量
立置在水池中的密封罩如图所示，试求罩内A、B、C三
点的压强。
【解】：
B点： pB p0
C
A点： pAghAB pB
从11-15km，温度几乎不变，恒为216.5K（-56.5℃）， 这一层为同温层。
32
.
2.3.2气体压强分布
2.大气层压强的分布
（1）对流层
dpgdz dp pg dz
p
第二章 流体静力学
流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的 规律及其在工程实际中的应用。
这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球 作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时， 称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标 系静止时，称流体处于相对静止状态。
流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作 用，即切向应力都等于零，流体只存在压应力——压强。
Pd=22.6Kpa
将以上条件代入式（2-15）积分，便可得到同温层标准大气压分布
dppgdz pgdz
RT
RT d
p dp z g
dz
pa p
zd RTd
p22 .6ex1p1( 00z0) 6334
式中z得单位为m，11000m≤z≤25000m。
35
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2.3.2气体压强分布
2.大气层压强的分布
2.3.3压强的度量
相对压强
绝对压强
真空度 绝对压强
绝对压强、相对压强和真空之间的关系
41
.
2.3.3压强的度量
相对压强
绝对压强
真空 绝对压强
绝对压强、相对压强和真空之间的关系
42
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2.3.3压强的度量
立置在水池中的密封罩如图所示，试求罩内A、B、C三
点的压强。
【解】：
B点： pB p0
C
A点： pAghAB pB
从11-15km，温度几乎不变，恒为216.5K（-56.5℃）， 这一层为同温层。
32
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2.3.2气体压强分布
2.大气层压强的分布
（1）对流层
dpgdz dp pg dz
p
第二章流体静力学
当四面体的体积趋于零时，可证得px= py=pz=pn
即
p=p(x,y,z)
§2-2 流体的平衡微分方程及积分
一、流体的平衡微分方程
在平衡流体中取如图所示微小正交六面体。分析六面
体在x、y、z方向所受外力，列平衡方程，整理化简得
fx
1
p x
0
fy
1
p y
0
1 p
fz z 0
上式也可用矢量方程表示：
虚压力体：压力体和液体在受压曲面的异侧， Pz向上。
A
A
B
B
例4：试绘制图中abc曲面上的压力体。如已知曲面abc为半圆 柱面，宽度为1m，d=3m，试求abc柱面所受静水压力的水平分 力Px和竖直分力Pz 。
a
d d/2
b 水
水 c
[解] 因abc曲面左右两侧均有水的作用，故应分别考虑。
考虑左侧水的作用
故得欧拉平衡微分方程综合式（即全微分形式）
dp ( f xdx f ydy f z dz)
四.等压面
1.定义： p=C或dp=0的平面或曲面。
2.等压面微分方程
f xdx f y dy f z dz 0
或
f•
ds
0
3.等压面的性质
(1)等压面与等势面重合;
(2)等压面恒与质量力正交。
其作用点为通过体积重心所引出的水平线与受压面的交点D。 当相对压强分布图为三角形时，D点位于自由液面下(2h)/3处。
对于相对压强分布图为梯形情况，可将其分解成三角形和矩 形两部分进行计算后，最后利用合力矩定理求总压力作用点。
例3.铅垂放置的矩形平板闸门，面板后布置三根横梁,各横梁受 力相等,已知闸门上游水头H=4m，试求： （1）每根横梁所受静水总压力的大小； （2）各横梁至水面的距离。
静水压强分布图实例ppt课件
p p pa 107.8 98 9.8kN / m2
p0=pa h
例2：如图已知， p0=50kN/m2，h=1m， 求：该点的绝对压强及相对压强
p0
pa
h
解：p p0 gh 50 1 9.81 59.8kN / m2
p p pa 59.8 98 38.2kN / m2
由液面上的压强p0；另一部分是该点到自由液面的单位面积上的液柱重
量gh 。 (3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静压
强相等，即任一水平面都是等压面。
20
z
Z
y
p0 h
A
Z0
x
21
[例题]已知：p0=98kN/m2， h=1m，
求：该点的静水压强
p0=pa
h
p
pa
解： p p0 gh
§2-3 压强的计算基准和量度单位
一、压强的表示
1. 计算基准
绝对压强：以完全真空时的绝对零压强(p＝0)为基准来计 量的压强称为绝对压强；
相对压强：
以当地大气压强为基准来计量的压强称为相对压强。
绝对压强与相对压强之间的关系可在下面导出。当 自由液面上的压强是当地大气压强pa时，则液体中任一点的
压强可写成 p pa gh
为了正确区别和理解绝对压强、计示压强和真空之间 的关系，可用图来说明。
25
计示压强
绝对压强
真空 绝对压强
图 绝对压强、计示压强和真空之间的关系
26
流体静压强的量度单位主要有三种:应力单位,大气压的 倍数和液注高度。为了便于换算，现将常遇到的几种压强单位 及其换算系数列于表中。
表 压强的单位及其换算表
p0=pa h
例2：如图已知， p0=50kN/m2，h=1m， 求：该点的绝对压强及相对压强
p0
pa
h
解：p p0 gh 50 1 9.81 59.8kN / m2
p p pa 59.8 98 38.2kN / m2
由液面上的压强p0；另一部分是该点到自由液面的单位面积上的液柱重
量gh 。 (3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静压
强相等，即任一水平面都是等压面。
20
z
Z
y
p0 h
A
Z0
x
21
[例题]已知：p0=98kN/m2， h=1m，
求：该点的静水压强
p0=pa
h
p
pa
解： p p0 gh
§2-3 压强的计算基准和量度单位
一、压强的表示
1. 计算基准
绝对压强：以完全真空时的绝对零压强(p＝0)为基准来计 量的压强称为绝对压强；
相对压强：
以当地大气压强为基准来计量的压强称为相对压强。
绝对压强与相对压强之间的关系可在下面导出。当 自由液面上的压强是当地大气压强pa时，则液体中任一点的
压强可写成 p pa gh
为了正确区别和理解绝对压强、计示压强和真空之间 的关系，可用图来说明。
25
计示压强
绝对压强
真空 绝对压强
图 绝对压强、计示压强和真空之间的关系
26
流体静压强的量度单位主要有三种:应力单位,大气压的 倍数和液注高度。为了便于换算，现将常遇到的几种压强单位 及其换算系数列于表中。
表 压强的单位及其换算表
流体力学-第二章
二、解析法 求解作用在任意平面上的液体总压力
二、解析法 求解作用在任意平面上的液体总压力 作用在dA面积上的液体总压力为 作用在 面积上的液体总压力为 作用在整个受压平面面积为A上的液体总压力为 作用在整个受压平面面积为 上的液体总压力为
作用在任意形状平面上的液体总压力大小， 作用在任意形状平面上的液体总压力大小，等于该平面的淹没 面积与其形心处静压强的乘积， 面积与其形心处静压强的乘积，而形心处的静压强就是整个受 压平面上的平均压强。 压平面上的平均压强。 总压力的方向垂直于平面，并指向平面。 总压力的方向垂直于平面，并指向平面。
ω
旋转
等压面方程
自由表面方程
第五节 一、图解法
作用在平面上的液体总压力来自液体总压力的方向垂直于矩形平面，并指向平面， 液体总压力的方向垂直于矩形平面，并指向平面，液体总压力的 作用线通过静压强分布图体积的重心。 作用线通过静压强分布图体积的重心。液体总压力作用线与矩形 平面相交的作用点D称为压力中心 称为压力中心。 平面相交的作用点 称为压力中心。
三、流体静力学基本方程的物理意义和几何意义 1. 流体静力学基本方程的物理意义
Z：单位重量流体从某一基准面算起所 ： 具有的位能，因为是对单位重量而言， 具有的位能，因为是对单位重量而言， 所以称单位位能。 所以称单位位能。
：单位重量流体所具有的压能，称 单位重量流体所具有的压能， 单位压能。 单位压能。
等压面方程
三、等压面 帕斯卡定 律 等压面方程 当流体质点沿等压面移动距离ds时 质量力所作的微功为零。 当流体质点沿等压面移动距离ds时，质量力所作的微功为零。 ds 因为质量力和位移ds都不为零，所以等压面和质量力正交。 ds都不为零 因为质量力和位移ds都不为零，所以等压面和质量力正交。 这是等压面的一个重要特性。 这是等压面的一个重要特性。
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6、求证流体静止的必要条件是质量力必须满足：
f f 0
4、 学生在实验室采 用如图所示的装置测 量储水器J的中心点C 的压力，测得，他们 误认为U形管左边全 部充满水，计算出G 点的压力后经老师检 查发现部分管路中的 空气没有排除，空气 所占的位置如图所示。 试问学生原来计算结 果的误差为多少(图中 尺寸单位为cm)？
5、 试用图示法表示图所示的单位宽度二元曲面上的压力 体及曲面在铅直投影面上的压强分布。
p (ax gz) C
结果分析： 1）自由液面 p=po(或p=pa)
a Zs x g
Zs——自由面上点的Z坐标
上述方程是容器等加速直线运动液体自由面方程。 从方程可以看出自由面是一通过坐标原点的倾斜平面。 它与水平方向夹角β：
a tg g
2）等压面 p=const 或 ax+gz=c
设有一盛装液体的容器，以 等加速度a向右作直线运动。 坐标系0xyz固定在容器上， 原点0取在自由面中心， 容器中液体相对非惯性坐标 oxyz处于相对平衡。
作用在单位质量液体上的质量力为： X=-a Y=O Z=-g 平衡微分方程 积分
dp ( Xdx Ydy Zdz) (adx gdz)
a xz C g
等压面是一族平行的与水平面夹角为β的倾斜平 面。 根据等压面性质，等压面与质量正交，可得出同 样的结果。
3) 压强分布
A点在液面下深度
a h Zs z x z g
p p 0 ( a x z ) p0 h g
A点压强
该式说明等加速直线运动容器，液体静压强分布规 律与重力作用下静止液体静压强分布规律相同 即某点的静压强等于液面压强加上液体容重与该点 在液面下深度的乘积。
二、容器等角速旋转液体的平衡
盛有液体的容器绕垂直轴z以等角速 度旋转， 原点o在液体自由表面的中心处。 液体对非惯性系oxyz处于相对平衡， 作用在液体质点上的质量力除重力 外，还要虚加一个大小等于液体质点 的质量乘以向心加速度。
结果分析：等压面是一族绕z轴旋的抛物面。4) 分界面→等压面
§2-8 液体的相对平衡
流体整体对地球有相对运动，但流体质点本身各 自之间没有相对运动，这种状态为液体的相对平 衡状态. 流体平衡微分方程适用于绝对静止，流体所受外 力为零，而相对平衡流体所受外力F=ma F-ma=0，将-ma作为惯性力 F′=0 就可以采用平衡微分方程
一、容器等加速直线运动液体的相对平衡
本章思考题练习题
1 、设质量力场，fx=zy, fy=μxz, fz=νxy,试问流体 在该力场作用能否平衡？ 2 、已知 p为常数，总体积为 V，单位质量流体所受 3 引力为 f r r 。压力中心为固定中心。求p＝1的 等压面方程式。 3 、作用在流体微团上的力可分为几类？表达式如 何？静止流体的表面力有何特性？